Das Pauli- Verbot

Licht zeigt gleichzeitig die Eigenschaften einer (elektromagnetischen) Welle und auch eines Teilchens, letzteres in Form eines ruhemasselosen Energiepaketes, das wir Photon nennen (Welle- Teilchen- Dualismus).

Louis Victor de Broglie (1892 - 1987) wies dieses Verhalten 1923 auch subatomaren Teilchen wie Elektronen oder Protonen zu, sie zeigen ebenfalls diesen Dualismus. So können wir einerseits sagen, dass ein Elektron den Atomkern umkreist, oder dass sich um den Kern eine Welle ausbreitet. Berechnen lässt sich die Frequenz dieser Welle aus der Energie

E

des Teilchens und dem Planckschen Wirkungsquantum

h

$v = E / h$

Kennt man den Impuls $p$ des Teilchens, so berechnet sich die Wellenlänge nach

$λ = h / p$

Werner Heisenberg hat in seiner Unschärferelation gezeigt, dass man niemals gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit den Ort und die Geschwindigkeit eines Teilchens ermitteln kann. Das ist nicht in ungenauen Messmethoden begründet, sondern eine fundamentale, natürliche Grenze:

$Δ_{χ} \cdot Δ_{p χ} \geq h$

In dieser Formel der Unschärferelation entspricht also das Produkt aus der Ortsunschärfe und der Impulsunschärfe dem Planckschen Wirkungsquantum.

Das Plancksche Wirkungsquantum ist von der Größenordnung her eine minimale Dimension:

$h = 6.625 \cdot 10^{- 34} [Js]$

Wie Einstein in seiner Formel $E = {mc}^{2}$ die Lichtgeschwindigkeit als endliche, fundamentale Größe verwendet, so setzt Max Planck in seiner Beziehung $E = h ν$ als Proportionalitätsfaktor $h$ ein, um den Energieinhalt $E$ eines Photons aus seiner Frequenz $ν$ abzuleiten.

Erhebt man das Plancksche Wirkungsquantum $h$ zur dritten Potenz, so erhält man ein Einheitsvolumen, den so genannten Phasenraum. Er enthält drei Impulsdimensionen und drei Raumdimensionen - was zugegebenermaßen nicht leicht vorstellbar ist.

Erläuterung:
Die so genannten Fermionen, zu denen wir Elektronen, Protonen, Neutronen und auch die superleichten Neutrinos zählen, haben keine kontinuierlichen, veränderlichen Eigenschaften wie Geschwindigkeit, Energie, Impuls oder auch Rotation. Vielmehr sind dies der Quantenmechanik zufolge diskrete, unveränderliche Werte, die als Quantenzahlen ausgedrückt werden. Diese wiederum entsprechen Zuständen, die in einem bestimmten Raum der besagten Größe besetzt werden können. Man spricht also von einem Energieraum, Impuls- oder Drehimpulsraum. Ist z.B. ein Teilchen gemäß der Heisenbergschen Unschärfe in seinem Ortsraum recht genau lokalisiert (entsprechend einem kleinen Δχ), so wird es im Impulsraum "verschmiert", unscharf sein. Anders ausgedrückt: Sperrt man ein Teilchen in eine winzig kleine Kiste, kennt man seinen Ort sehr genau. Dann aber sind seine Energie- und/oder Impulszustände sehr groß (entsprechend einem großen Δp), sie sind nicht mehr exakt bestimmbar.

Wolfgang Pauli hat bereits 1925 erkannt, dass sich innerhalb eines Phasenraums nicht zwei in allen physikalischen Daten (Quantenzahlen) übereinstimmende Teilchen aufhalten können, wir nennen dies das Pauli- Verbot. Alle Teilchen besitzen einen Eigendrehimpuls, entfernt ähnlich der Rotation eines Planeten, den man als Spin bezeichnet. Er wird ausgedrückt als Vielfaches von 1/2 oder ist 0 und kann positiv oder negativ sein.

Zwei Elektronen innerhalb eines Phasenraums müssen sich demnach durch ihren Spin, der den Wert 1/2 hat, unterscheiden. Weil der Spin positiv oder negativ sein kann, wird eines der beiden Elektronen den Spin + 1/2, das andere den Spin - 1/2 einnehmen. Stellen wir uns hierzu wieder am besten vor, wir würden die beiden Elektronen in einen sonst leeren Kasten sperren. Nach dem Pauli- Verbot wird sich also das eine Elektron, vereinfacht ausgedrückt, rechts herum drehen, das andere dreht sich entgegengesetzt. Damit ist das Pauliverbot erfüllt, die Elektronen unterscheiden sich in der Quantenzahl Spin.

Dieses Ausschließungsprinzip gilt nicht nur in unserem Kasten, es ist auch gültig für die Elektronenhüllen der Atome.

In der Kernregion eines massereichen Sterns sind die Elektronen nicht mehr an die Atomkerne gebunden, sondern frei beweglich. Aber durch die ungeheure Dichte werden sie eng zusammen gequetscht, man spricht hier von einem Elektronengas. Zum Vergleich nehmen wir wieder unseren Kasten und geben zu den zwei Elektronen noch eine ganze Handvoll weitere hinzu. Nun machen wir den Kasten immer kleiner, die Elektronen rücken zwangsweise immer dichter zueinander. Zwar unterscheiden sie sich durch entweder positiven oder negativen Spin, aber das genügt nun nicht mehr, weil sie sich jetzt viel zu nahe kommen. Die langsameren Teilchen haben ihre Phasenräume jetzt vollständig ausgefüllt und zusätzliche Elektronen finden darin (im Kasten) nur dann noch Platz, wenn sie sich gegenseitig "aus dem Weg" gehen. Da alle anderen Quantenzahlen belegt sind erreichen sie dies, indem sie sich durch eine hohe Geschwindigkeitsdifferenz von den anderen Elektronen unterscheiden. Je enger der Kasten wird, umso schneller müssen sich die Teilchen deshalb bewegen. Dabei ist entscheidend, dass unter den Bedingungen im Innern des massereichen Sterns nur eine extrem hohe Geschwindigkeit eines Teilchens es von den anderen differenzierbar macht.

Die Elektronen können dabei bis in die Nähe der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden. Ein solches Gas nennt man entartet, das ideale Gasgesetz ( $p \cdot V = R \cdot T$ ) hat keine Gültigkeit mehr. Das bedeutet, dass der Druck in der Kernregion nur noch abhängig ist von der Dichte, nicht mehr von der Temperatur. Warum?

Irgendwann bewegen sich die Elektronen mit relativistischer Geschwindigkeit, sie können nun nicht mehr schneller werden! Temperatur ist ja nichts anders als eine Teilchenbewegung. Die Elektronen können ihre Bewegung jetzt aber nicht mehr steigern, deshalb ist der Druck im Innern nur noch von der Dichte abhängig.

Ein typisches Beispiel für ein entartetes Elektronengas ist ein Weißer Zwerg, es können jedoch auch andere Teilchen entarten, wie in einem Neutronenstern das Neutronengas.