Abenteuer-Universum

Danke Tom,
noch ganz kurz zur letzten Frage:

tomS hat geschrieben: ↑

14. Mai 2020, 13:24

• Gibt es eine Bijektion, bei welcher jede Bitfolge der ersten n Ziffern (für alle endlichen n) der aufeinander abgebildeten Elemente identisch ist?
  ja, k muss groß genug sein
• Wo stecken die Signaturunterschiede zweier Elemente unterschiedlicher Klassen, wenn jeder endliche Bereich ihrer Ziffern identisch sein kann?
  offenbar nur in der gesamten Folge

Wenn bei genügend großem k, alle endlichen Folgen der beiden Elemente identisch sind, kann man dann alle identischen Ziffern weg lassen und trotzdem die Klassenzugehörigkeiten der Elemente mittels AC ermitteln?

ralfkannenberg hat geschrieben: voilà: man nehme die Nullfolge

Habe nicht verstanden was du sagen willst. Es gibt auch Grenzwerte, die in im aproximierten Punkt nicht stetig sind. Hier ist im übertragenen Sinn die Folge n->unendlich nur um endlichen Bereich stetig, die Differenzierung findet erst statt, wenn n=unendlich.

ralfkannenberg hat geschrieben: Sorry Leute, ich komme zur Zeit beruflich bedingt mit dem Nachlesen nicht nach. Mein aktueller Stand ist vorgestern abend + ein paar Rosinen, die ich mir herausgepickt habe.

Auch von mir sorry. Versuche halt auf jeden mit einer antwort einzugehen, da kommt wohl viel Text zusammen...

Skeltek hat geschrieben: ↑

14. Mai 2020, 13:38

ralfkannenberg hat geschrieben: Sorry Leute, ich komme zur Zeit beruflich bedingt mit dem Nachlesen nicht nach. Mein aktueller Stand ist vorgestern abend + ein paar Rosinen, die ich mir herausgepickt habe.

Auch von mir sorry. Versuche halt auf jeden mit einer antwort einzugehen, da kommt wohl viel Text zusammen...

Hallo zusammen,

ich habe nun i nder Mittagspause nachgelesen und hänge jetzt hier und am Folgebeitrag fest, da servierst Du schwere Kost. Ich brauche etwas mehr Zeit.

Nur soviel:

Skeltek hat geschrieben: ↑

13. Mai 2020, 22:25

Man hat also überabzählbar viele völlig identische Klassen, die sich nur in ihrem unendlichsten Element unterscheiden.

Sagen wir es einmal so: in der Wortwahl ist das meines Erachtens falsch, aber in der Sache ist es vielleicht richtig.


Freundliche Grüsse, Ralf

Skeltek hat geschrieben: ↑

14. Mai 2020, 13:38

ralfkannenberg hat geschrieben:voilà: man nehme die Nullfolge

Hallo Skel,

ich möchte nutzen, dass sich die Nullfolge bis zu jeder endlichen Indexzahl von jeder beliebigen Folge nur in höchstens endlich vielen Stellen unterscheidet.


Freundliche Grüsse, Ralf

Skeltek hat geschrieben: ↑

14. Mai 2020, 13:38

Wenn bei genügend großem k, alle endlichen Folgen der beiden Elemente identisch sind, kann man dann alle identischen Ziffern weg lassen und trotzdem die Klassenzugehörigkeiten der Elemente mittels AC ermitteln?

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie sich zwei Folgen f und g unterscheiden können:
1) die Unterschiede sind auf einen endlichen Stellenbereich 1 ... N beschränkt; ab N+1 sind beide Folgen identisch
2) die Unterschiede sind nicht um einen endlichen Stellenbereich beschränkt sondern erstrecken sich bis ins Unendliche

Im Falle von (1) sind beide Folgen äquivalent f ~ g
Im Falle von (2) sind beide Folgen nicht äquivalent

Da zwei Folgen genau dann äquivalent sind, wenn sie sich in höchstens endlich vielen Stellen unterscheiden, erfolgt die Identifikation der Äquivalenzklasse immer im unendlichen Teil der Folgen.

tomS hat geschrieben: ↑

14. Mai 2020, 14:37

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie sich zwei Folgen f und g unterscheiden können:
1) die Unterschiede sind auf einen endlichen Stellenbereich 1 ... N beschränkt; ab N+1 sind beide Folgen identisch
2) die Unterschiede sind nicht um einen endlichen Stellenbereich beschränkt sondern erstrecken sich bis ins Unendliche

Im Falle von (1) sind beide Folgen äquivalent f ~ g
Im Falle von (2) sind beide Folgen nicht äquivalent

Das tricksige dabei ist, dass ja zunächst nur die Anzahl der Unterschiede endlich sein muss.
Daraus ergibt sich zwar, dass der letzte Unterschied an einer beliebig späten Stelle N sein kann, aber dass es ihn geben muss (wenn es endlich viele sind, muss es einen ersten und einen letzten geben), woraus folgt, dass danach noch ein unendlich großer Bereich kommen muss, wo es es keine Unterschiede mehr geben kann.
Da aber N nicht bestimmt bzw. näher benennbar ist (da bliebig, aber dennoch eine konkrete Zahl), ist es dieser Bereich ab N+1 auch nicht, d.h. man kann keine einzige Zahl aus diesem Bereich benennen oder kennen, man weiß nur (indirekt), dass es ihn geben muss.

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

14. Mai 2020, 14:36

Skeltek hat geschrieben: ↑

14. Mai 2020, 13:38

ralfkannenberg hat geschrieben:voilà: man nehme die Nullfolge

ich möchte nutzen, dass sich die Nullfolge bis zu jeder endlichen Indexzahl von jeder beliebigen Folge nur in höchstens endlich vielen Stellen unterscheidet.

Hi Ralf, der Vergleich ist nicht ganz korrekt, aber um es auf dein Beispiel übertragen auszudrücken:
Der Unterschied ist erst erkennbar, wenn deine Folge 0 tatsächlich erreicht. Das ist auf der ganzen Länge der Folge nicht der Fall, weil du immer einen infinitesimalen Abstand zur 0 hast. Erst bei der Kompletten Folge, einschließlich dem Erreichen der Null, gelangst du zur Festlegung der Klassenzugehörigkeit.
Ich bin unsicher ob ich dich da richtig verstanden habe und halte die Analogie für falsch. Aber ich habe versucht in deinem Model zu antworten, auch wenn ich nur einen Teil deiner Analogie verstanden habe.

tomS hat geschrieben: ↑

14. Mai 2020, 14:37

Da zwei Folgen genau dann äquivalent sind, wenn sie sich in höchstens endlich vielen Stellen unterscheiden, erfolgt die Identifikation der Äquivalenzklasse immer im unendlichen Teil der Folgen.

Danke, exakt das wollte ich zeigen bzw ralfkannenberg erklären. Ich denke damit hätten wir uns auf eine Formulierung geeinigt, die wir beide akzeptieren können?

seeker hat geschrieben: Da aber N nicht bestimmt bzw. näher benennbar ist (da bliebig, aber dennoch eine konkrete Zahl), ist es dieser Bereich ab N+1 auch nicht, d.h. man kann keine einzige Zahl aus diesem Bereich benennen oder kennen, man weiß nur (indirekt), dass es ihn geben muss.

Ja. Die Sünder kennen aber das N nicht, bzw es kann beliebig sein. Aus Sicht der Sünder kommt keine einzige Stelle als valider Kandidat für N+1 in Frage.
Wie Tom sagt, erfolgt die Identifikation der Äquivlanzklasse immer erst im unendlichen Teil und nicht innerhalb der Menge der endlichen Ziffernstellen.

Skeltek hat geschrieben: ↑

14. Mai 2020, 15:14

Ja. Die Sünder kennen aber das N nicht, bzw es kann beliebig sein. Aus Sicht der Sünder kommt keine einzige Stelle als valider Kandidat für N+1 in Frage.
Wie Tom sagt, erfolgt die Identifikation der Äquivlanzklasse immer erst im unendlichen Teil und nicht innerhalb der Menge der endlichen Ziffernstellen.

Ja. Sobald die reale Folge aber vergeben ist, kennen sie es, aber ja, erst dann.

Skeltek hat geschrieben: ↑

14. Mai 2020, 15:14

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

14. Mai 2020, 14:36

Skeltek hat geschrieben: ↑

14. Mai 2020, 13:38

ich möchte nutzen, dass sich die Nullfolge bis zu jeder endlichen Indexzahl von jeder beliebigen Folge nur in höchstens endlich vielen Stellen unterscheidet.

Hi Ralf, der Vergleich ist nicht ganz korrekt, aber um es auf dein Beispiel übertragen auszudrücken:
Der Unterschied ist erst erkennbar, wenn deine Folge 0 tatsächlich erreicht. Das ist auf der ganzen Länge der Folge nicht der Fall, weil du immer einen infinitesimalen Abstand zur 0 hast. Erst bei der Kompletten Folge, einschließlich dem Erreichen der Null, gelangst du zur Festlegung der Klassenzugehörigkeit.

Hallo Skel,

entschuldige meine ungenaue Ausdrucksweise: in unserem Kontext meine ich mit "Nullfolge" (0,0,0,0,0...).


Freundiche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg hat geschrieben: ↑

14. Mai 2020, 15:56

entschuldige meine ungenaue Ausdrucksweise: in unserem Kontext meine ich mit "Nullfolge" (0,0,0,0,0...).

Achso, ich dachte du meinst eine sich an Null annähernde Folge >.< XD

Ja, auch eine solche 'Nullfolge' kann keiner Äquivalenzklasse zugeordnet werden, solange die 'letzte Null' nicht niedergeschrieben ist.
Das böse ist, daß eine beliebige abzählbare Anzahl von Abweichungen davon auch nichts an der Zuordenbarkeit ändert.
Es ist konstruktiv nicht beweisbar, zu welcher Klasse eine beliebige Folge gehört, egal wieviele Stellen man betrachtet.

Einfach ausgedrückt:
Wir teilen die Signatur f_m* einer Folge auf:
f_s := Signatur der Folge (bestehend aus der Verkettung aller Ziffern in normaler Reihenfolge)
f_identity := Identitifizierungsmerkmal/signatur innerhalb der Klasse
f_class := Identitifizierungsmerkmal/signatur der Klasse
-> f_s = f_identity ° f_class wobei das '°'-Symbol für die hintereinander Verkettung der beiden steht
Man hat also
f_m* = xxxxxxx ° xxxxxx
Der blaue Teil dient dazu, das Element innerhalb der Äquivalenzklasse zu identifizieren. Der purpurne Teil bleibt für die Identifikation der Klasse übrig.
Der blaue Teil ist abzählbar unendlich. Der lila Teil ist der Abschluss, der nicht im blauen Teil enthalten ist.
Es ist kurios (aber doch recht einleuchtend), daß alle existenten Ziffern zum blauen Teil gehören, aber der lilane Teil trotzdem überabzählbar unendlich groß bleibt.

Analogie zu Cantor:
Alle abzählbaren Zahlen bilden die Elemente, die Menge aller Diagonalzahlen entsprechen den Klassen.
Die Verknüpfung der beiden Mengen wäre das Analog zur Gesamtmenge aller Hutfolgen.

Du kannst eine Folge nicht so aufteilen, ohne zuvor nicht die gesamte Äquivalenzklasse verstanden zu haben, da du vorher nicht weißt, welche Ziffern zu welchem Teil gehören. D.h. Ja, es verhält sich so, aber Nein, es bringt uns nicht weiter.

Ich werde noch eine Beweisskizze auf Basis der reellen Zahlen in [0,1] erstellen.

Skeltek hat geschrieben: ↑

14. Mai 2020, 16:30

Einfach ausgedrückt:
Wir teilen die Signatur f_m* einer Folge auf:
f_s := Signatur der Folge (bestehend aus der Verkettung aller Ziffern in normaler Reihenfolge)
f_identity := Identitifizierungsmerkmal/signatur innerhalb der Klasse
f_class := Identitifizierungsmerkmal/signatur der Klasse
-> f_s = f_identity ° f_class wobei das '°'-Symbol für die hintereinander Verkettung der beiden steht
Man hat also
f_m* = xxxxxxx ° xxxxxx
Der blaue Teil dient dazu, das Element innerhalb der Äquivalenzklasse zu identifizieren. Der purpurne Teil bleibt für die Identifikation der Klasse übrig.
Der blaue Teil ist abzählbar unendlich. Der lila Teil ist der Abschluss, der nicht im blauen Teil enthalten ist.
Es ist kurios (aber doch recht einleuchtend), daß alle existenten Ziffern zum blauen Teil gehören, aber der lilane Teil trotzdem unendlich groß bleibt.

Hallo Skel,

nein, ich bin überhaupt nicht einverstanden.

Du operierst letztlich mit einem "unendlichsten" Element und mit solchen, die quasi unveränderlich "jenseits vom unendlichsten" Element sind.

Das klappt aber nicht, weil es keine grösste natürliche Zahl gibt, d.h. Du kommst ohnehin nur bis n. Für alle n in IN.

Wenn Du einen solchen Approach versuchen möchtest, dann müsstest Du eben mit zwei N's operieren, ein N₁ und ein N₂, beide in IN. Dann kannst Du alle "kleinen" n bis N₁, dann so die mittelgrossen zwischen N₁+1 und N₂ und dann noch die ganz grossen ab N₂+1 betrachten.

Natürlich verlagert man damit das Problem lediglich auf Zahlen jenseits von N₂, aber eben: N₁, N₂ und auch alle n > N₂ sind und bleiben endlich.

Deine Aufspaltung bringt also nichts: wenn Du mit N₁ und N₂ arbeitest, ist zwar alles korrekt, aber es ist nicht gesagt, dass das n der endlich vielen Sünder, die gerettet werden, kleiner als N₁ bleibt. Und es ist auch nicht gesagt, dass dieses n < N₂.

Und sobald Du mit "unendlich" arbeitest, wird das alles undefiniert.


Freundliche Grüsse, Ralf

tomS hat geschrieben: ↑

14. Mai 2020, 17:10

Du kannst eine Folge nicht so aufteilen, ohne zuvor nicht die gesamte Äquivalenzklasse verstanden zu haben, da du vorher nicht weißt, welche Ziffern zu welchem Teil gehören. D.h. Ja, es verhält sich so, aber Nein, es bringt uns nicht weiter.

Ja Tom, ich bin da mit dir auf derselben Linie. Nur weiß ich nicht, was die beste Strategie ist, diesen Umstand verständlich zu erklären.

Es geht darum, daß keine endliche Ziffernfolge der abzählbar unendlichen Menge zum zweiten Teil gehört. Für kein einziges N existiert eine Aufteilung nach meinem Schema! (das will ich zeigen)
Man muss die Folge als Ganzes betrachten, um sicher zu stellen, daß man den "zweiten Teil" gesehen hat. Der zweite Teil steckt im Komplement der abzählbaren Menge bezüglich der überabzählbaren Obermenge. N kann beliebig weit nach rechts gehen N->Unendlich... solange N!=Unendlich, bleibt der zweite Teil Unendlich lang und überabzählbar.

@ralfkannenberg:
Mit einem speziellen N hat es nichts zu tun. Der 'zweite Teil' existiert nur im Abschluss der abzählbaren Menge, welcher diese vervollständigt. Die Klassensignatur steckt nicht innerhalb der Ziffern selbst, sondern nur in der folge als Ganzes betrachtet.
Es ist ähnlich wie bei Cantors zweitem Diagonalargument, wo der Unterschied immer weiter nach rechts wandert. Eine differierende Ziffer wird sichergestellt, aber sie wandert unweigerlich immer weiter nach rechts. Die ersten n-1 Stellen der Diagonalzahl können von allen Folgeelementen verwirklicht sein.
Wenn man in jede n-te Zeile, die ersten n-1 Ziffern der Diagonalzahl schreibt, treibt man die differierende Ziffer immer weiter vor sich her.

Es zeigt lediglich, daß die einbettende Menge überabzählbar ist und die eingebettete Menge unvollständig.

ralfkannenberg hat geschrieben: Du operierst letztlich mit einem "unendlichsten" Element und mit solchen, die quasi unveränderlich "jenseits vom unendlichsten" Element sind.

Nein, nicht wirklich. Es ist eine schlechte Anschauung mit einem 'unendlichsten' Element zu arbeiten. Was es eher trifft ist: Die Unterscheidung ist nicht im abzählbar unendlichen Bereich.
Der lila Teil L ist überabzählbar. Nun 'frisst' sich die blaue Menge B für N->Unendlich durch die lila Menge, bis diese vollständig 'ausgehöhlt' ist. Übrig bleibt L\B

Also C= B^C= L\B dient der Identifikation der Klasse. L und C haben die Mächtigkeit des Kontinuums, B nur die der natürlichen Zahlen.

ps: Ich bin gespannt auf Toms Skizze. Ich denke er kann das besser und formeltechnisch korrekter zeigen als ich.
Übrigens habe ich versucht ein paar Sachen in LaTeX aufzuschreiben. Ich weiß, daß das Board tex benutzt, aber das kommt wohl nicht von einem Plugin...? Kennt jemand eine Seite, wo man sich die ganzen Befehle ansehen kann? \complement, \compl \stcomp funktioniert alles nicht; nur als Beispiel. Oder ist der Interpreter doch ein Plugin? Von den installierten habe ich nichts gefunden, was eine solche Funktionalität zu haben scheint.

Unser altes TeX hier taugt nix, aber Werner hat es night hingekriegt, eine neue Distribution auf dem Server zu installieren.

tomS hat geschrieben: ↑

14. Mai 2020, 17:10

Du kannst eine Folge nicht so aufteilen, ohne zuvor nicht die gesamte Äquivalenzklasse verstanden zu haben, da du vorher nicht weißt, welche Ziffern zu welchem Teil gehören.

Ich denke die ganze Problematik hier lässt sich auf die Unendlichkeit von N zurückführen:

Wir können N zwar konstruieren (in dem Sinne, dass man die Regeln angibt, die zu N führen), aber wir können N (und alle seine Elemente) nicht kennen, insofern nicht wissen, was N ist und ob N ist - und zwar ganz prinzipiell nicht.
Wir tun aber manchmal so, als könnte man N -im Prinzip- kennen, verstehen (auch hier in diesem Rätsel: "ganz kennen").
Das ist nicht der Fall: Wir kennen, verstehen nur die Regeln, die zu etwas führen, das wir dann als "N" oder in einem unbedeutenden Teil ausgeschrieben als "1,2,3,4, ..." identifizieren.
Und darin liegt ein Widerspruch.
Wir kennen zwar auch noch zusätzlich Strukturen in diesem N, die wir angeben können, aber auch damit kennt man N nie ganz, nicht einmal zu einem bedeutenden Teil. Es wird ja manchmal auch gerne verdinglicht, es wird manchmal so getan, als sei dieses N so etwas wie ein Ding oder eine Entität, das wissen wir aber nicht. Sicher existiert nur der dazu von uns generierte, endliche Regelsatz.

D.h.: Wenn wir solche Dinge wie hier diskutieren, dann sprechen wir in Wahrheit ausschließlich über endliche Regelsätze und auffindbare und konstruierbare Strukturen darin, nicht aber über das, was wir uns vielleicht vorzustellen versuchen, was sich aus diesen Regeln tatsächlich als "Ding" ergibt oder ergeben mag.
Es heißt auch: Dieses Sünder-Rätsel hier hat nicht das Geringste mit irgendeiner realen Welt zu tun. Es gibt in keiner möglichen oder auch nur konsistent-denkbaren Welt irgendwelche Sünder, die alle Elemente einer Unendlichkeit vollständig wissen können, ganz einfach weil dieses Wissen darum einen Widerspruch zu seiner Existenz bilden würde, es gibt hier schlicht kein "alle".

Daher gilt auch hier:

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

seeker hat geschrieben: ↑

15. Mai 2020, 12:26

tomS hat geschrieben: ↑

14. Mai 2020, 17:10

Du kannst eine Folge nicht so aufteilen, ohne zuvor nicht die gesamte Äquivalenzklasse verstanden zu haben, da du vorher nicht weißt, welche Ziffern zu welchem Teil gehören.

Ich denke die ganze Problematik hier lässt sich auf die Unendlichkeit von N zurückführen.

Für den Fall einer Äquivalenzklasse - ja.

Aber nicht für das Gesamtproblem und F/~; letzteres ist unendlich mal so kompliziert;-)

Ich hab' das PDF mal aktualisiert und die Betrachtung reeller Zahlen aus [0,1] sowie die Berechnung der Mächtigkeiten ergänzt.

Riddle

seeker hat geschrieben: Das ist nicht der Fall: Wir kennen, verstehen nur die Regeln, die zu etwas führen, das wir dann als "N" oder in einem unbedeutenden Teil ausgeschrieben als "1,2,3,4, ..." identifizieren.
Und darin liegt ein Widerspruch.
Wir kennen zwar auch noch zusätzlich Strukturen in diesem N, die wir angeben können, aber auch damit kennt man N nie ganz, nicht einmal zu einem bedeutenden Teil. Es wird ja manchmal auch gerne verdinglicht, es wird manchmal so getan, als sei dieses N so etwas wie ein Ding oder eine Entität, das wissen wir aber nicht. Sicher existiert nur der dazu von uns generierte, endliche Regelsatz.

Ja, mag sein. Aber der Punkt ist denke ich der: Selbst bei Kenntniss der gesamten Folge, existiert kein terminierender Algorithmus, der die Folge einer Klasse zuweist. Alle Algorithmen die existieren brechen (beweisbar) niemals ab. Für so etwas bräuchte man eine Form des Hypercomputings, bei dem man die Folgen auf einen Schlag als reeles Ganzes einspeisen kann.
Die Unentscheidbarkeit wird durch das AC aushebelt.
Das bedeutet meiner Meinung nach: Selbst, wenn man die Repräsentanten aller Klassen kennen würde und sich diese merken könnte (nachdem man sie nur durch AC ermitteln konnte), benötigt man für den Vergleich der tatsächlichen Hutfolge mit den Repräsentanten wiederum das AC (geht es mit AC?), da für kein Paar unendlicher Folge entscheidbar ist, ob sie ab irgendeiner Stelle doch differieren.

Das Determinieren der Lösung ist denke ich äquivalent mit einem unendlich langen Rechnen in der Annahme, daß in der Restmenge der möglichen künftigen Rechenschritte des in jedem Fall nicht terminierenden Algorithmus jederzeit noch eine Lösung enthalten ist. Das AC überspringt den nicht terminierenden Algorithmus und hüpft direkt an das Ende der Berechnung.
Im Grunde geht es um die Berechnung von f₁-f₂ und ob sich die Differenz als q*2^-n darstellen lässt.
Nun sei f_1n die Teilfolge von f₁ mit nur den ersten n Ziffern.
Damit ergibt sich als Entscheidungskriterium:



Was ich jedoch so fast niemals schreiben würde (hab ich gerade geschrieben), da die Stetigkeit nur innerhalb der endlichen Menge gilt und die Prüfung der Darstellbarkeit der 0 mittels q/(2^n) keinerlei Sinn ergibt (q!=0). Die Grenzwertbetrachtung von (2^n) für n->unendlich mit unendlich als Grenzwert wird nicht ohne Grund bei Cauchy-Folgen usw bereits per Definition ausgeschlossen.

tomS hat geschrieben: Ich hab' das PDF mal aktualisiert und die Betrachtung reeller Zahlen aus [0,1] sowie die Berechnung der Mächtigkeiten ergänzt.

Huträstel Lösung Version2 - riddle_v2.pdf

Danke für den Link - jetzt passt alles

@skeltek: q = 0 wäre zulässig; die Konvergenz passt (außer dass eine Konvergenz in q nicht funktioniert, nur in R). Aber da wir die gesamte Menge [f] betrachten, ist die Betrachtung der Konvergenz m.E. nicht ausreichend.

tomS hat geschrieben: ↑

15. Mai 2020, 15:24

@skeltek: q = 0 wäre zulässig; die Konvergenz passt (außer dass eine Konvergenz in q nicht funktioniert, nur in R). Aber da wir die gesamte Menge [f] betrachten, ist die Betrachtung der Konvergenz m.E. nicht ausreichend.

Ja, ich denke aber formal ist es korrekt. Die in R konvergierende Folge kann einen Grenzwert in q haben; wir testen ja gerade darauf, ob der Unterschied letztlich in q liegt.
Die Konvergenz ist nicht ausreichend als Entscheidungskriterium. Aber ich glaube das ist das, was ich mit der Unstetigkeit gemeint hatte. Folgen können gegen alles mögliche konvergieren (reel, z.B. x-> r; x>r); was jedoch nichts nützt, wenn die approximierte Stelle unstetig ist z.B. f(r) != lim_x->r;x>r) f(x). Bei r=infinity hat man die Anaologie dazu.
Die Konvergenz entspricht dem Ausführen eines Algorithmus, das direkte Setzen von f(r=infinity) der Betrachtung der Folge als Ganzes.
Durch die Konvergenzbetrachtung ist es daher nicht lösbar, da während der Ausführung der Konvergenzbetrachtung jede Differenz in q liegt.

Das eigentliche Problem ist, daß die Differenz bzw Grenzlinie zwischen den Äquivalenzklassen infinitesimal klein ist. Wenn man ein beliebige Folge f* hat, dann gibt es in jeder(!) Äquivalenzklasse eine Cauchy-Folge* mit Grenzwert f*. Somit ist die Betrachtung der Konvergenz für die Klassendifferenzierung nicht ausreichend.
Gruß, Skel

Ich denke, du verwechselt das mit der Vollständigkeit von R bzw. der fehlenden Vollständigkeit von Q.

Eine Folge kann einen Grenzwert in R haben, jedoch nicht in Q. Dann ist sie in Q nicht konvergent.

"Eine Folge kann einen Grenzwert in R haben, ... " <- der Satz ist zweideutig. Ist die Folge in R oder der Grenzwert in R?
Der Mann sieht den Hügel mit dem Fernglas. Wo ist das Fernglas?

Wikipedia hat geschrieben: Der Grenzwert einer Cauchy-Folge rationaler Zahlen kann auch eine irrationale Zahl sein.

Eine Folge kann in Q konvergieren, das ist nicht dasselbe wie einen Grenzwert in Q zu haben.
Q wird doch erst durch die Grenzwerte zu R vervollständigt?
Ist unsere Differenz gerade rein sprachlich-kommunikativ bedingt?

Es geht um eine Folge in Q, die nicht in Q, jedoch in R konvergiert.

Ja, ich war mir nicht bewusst, es anders beschrieben zu haben?
Mir geht es gerade darum, daß bei während der Grenzwertaproximation nicht erkennbar ist, ob es auf einen rationalen Punkt konvergiert oder auf einen 'Nachbarpunkt' (falsche naive Ausdrucksweise). Erkennbar ist, daß der Limes auch eine Nullfolge bildet, auch wenn die voneinander subtrahierten Folgen in unterschiedlichen Klassen sind.
Wie du sagtest nützt die Konvergenz nichts und reicht nicht aus.