tomS hat geschrieben: ↑14. Mai 2020, 17:10
Du kannst eine Folge nicht so aufteilen, ohne zuvor nicht die gesamte Äquivalenzklasse verstanden zu haben, da du vorher nicht weißt, welche Ziffern zu welchem Teil gehören. D.h.
Ja, es verhält sich so, aber
Nein, es bringt uns nicht weiter.
Ja Tom, ich bin da mit dir auf derselben Linie. Nur weiß ich nicht, was die beste Strategie ist, diesen Umstand verständlich zu erklären.
Es geht darum, daß
keine endliche Ziffernfolge der abzählbar unendlichen Menge zum zweiten Teil gehört. Für kein einziges N existiert eine Aufteilung nach meinem Schema! (das will ich zeigen)
Man muss die Folge als Ganzes betrachten, um sicher zu stellen, daß man den "zweiten Teil" gesehen hat. Der zweite Teil steckt im Komplement der abzählbaren Menge bezüglich der überabzählbaren Obermenge. N kann beliebig weit nach rechts gehen N->Unendlich... solange N!=Unendlich, bleibt der zweite Teil Unendlich lang und überabzählbar.
@ralfkannenberg:
Mit einem speziellen N hat es nichts zu tun. Der 'zweite Teil' existiert nur im Abschluss der abzählbaren Menge, welcher diese vervollständigt. Die Klassensignatur steckt nicht innerhalb der Ziffern selbst, sondern nur in der folge als Ganzes betrachtet.
Es ist ähnlich wie bei Cantors zweitem Diagonalargument, wo der Unterschied immer weiter nach rechts wandert. Eine differierende Ziffer wird sichergestellt, aber sie wandert unweigerlich immer weiter nach rechts. Die ersten n-1 Stellen der Diagonalzahl können von allen Folgeelementen verwirklicht sein.
Wenn man in jede n-te Zeile, die ersten n-1 Ziffern der Diagonalzahl schreibt, treibt man die differierende Ziffer immer weiter vor sich her.
Es zeigt lediglich, daß die einbettende Menge überabzählbar ist und die eingebettete Menge unvollständig.
ralfkannenberg hat geschrieben:
Du operierst letztlich mit einem "unendlichsten" Element und mit solchen, die quasi unveränderlich "jenseits vom unendlichsten" Element sind.
Nein, nicht wirklich. Es ist eine schlechte Anschauung mit einem 'unendlichsten' Element zu arbeiten. Was es eher trifft ist: Die Unterscheidung ist nicht im abzählbar unendlichen Bereich.
Der lila Teil L ist überabzählbar. Nun 'frisst' sich die blaue Menge B für N->Unendlich durch die lila Menge, bis diese vollständig 'ausgehöhlt' ist. Übrig bleibt L\B
Also C= B
C= L\B dient der Identifikation der Klasse. L und C haben die Mächtigkeit des Kontinuums, B nur die der natürlichen Zahlen.
ps: Ich bin gespannt auf Toms Skizze. Ich denke er kann das besser und formeltechnisch korrekter zeigen als ich.
Übrigens habe ich versucht ein paar Sachen in LaTeX aufzuschreiben. Ich weiß, daß das Board tex benutzt, aber das kommt wohl nicht von einem Plugin...? Kennt jemand eine Seite, wo man sich die ganzen Befehle ansehen kann? \complement, \compl \stcomp funktioniert alles nicht; nur als Beispiel. Oder ist der Interpreter doch ein Plugin? Von den installierten habe ich nichts gefunden, was eine solche Funktionalität zu haben scheint.