Hallo Skeltek,Skeltek hat geschrieben: ↑16. Mär 2017, 20:15Man teilt R in Intervalle von Länge 1 ein, welche die Elemente der obersten Menge bilden.
Diese 'Interval'-Elemente sind wiederum Mengen, welche aus Intervallen bestehen.
Diese teilt man wiederum auf in Teilintervalle.
Man führt das unendlich oft fort und teilt ständig weiter in Intervalle auf.
In der 'untersten' Menge(welche genau genommen wegen der unendlichen Rekursion nicht existiert) stehen dann die einzelnen Elemente drin.
danke schön, jetzt verstehe ich, was Du meinst. Letztlich bildest Du eine Cauchy-Folge und vervollständigst mit diesem Prozess die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen.
Mit Hilfe des Cantor'schen Diagonalbeweises kann man zeigen, dass es keine Bijektion dieser Menge in die natürlichen Zahlen gibt. Daraus folgt sofort, dass die Menge der transzendenten Zahlen ebenfalls überabzählbar ist. Ohne dass man in der Lage wäre, aus dieser riesig riesig riesig grossen Menge auch nur ein einziges Element konkret benennen zu können.
Das war 1874, doch zum Glück war es im Jahre 1851 dem französischen Mathematiker Liouville gelungen, eine transzendente Zahl konkret anzugeben, und im Jahre 1873, also ein Jahr vor Cantor und seinem Diagonalbeweis, gelang Hermite der Nachweis, dass auch die Euler'sche Zahl transzendent ist. Somit war es bevor man verstanden hat, wie es bei den transzendenten Zahlen um ihre Mächtigkeit bestellt ist, gelungen, wenigstens zwei transzendente Zahlen konkret zu benennen. Eine dritte, nämlich die Kreiszahl pi, war zwar ebenfalls längst als transzendent vermutet worden, hier gelang der Nachweis dem Mathematiker Lindemann im Jahre 1882.
Freundliche Grüsse, Ralf