Es ist äußerst schwierig den Zusammenhang den ich meine auf einer so elementaren Ebene völlig richtig auszuformulieren.tomS hat geschrieben:Doch, man kann diese Abbildung bijektiv vornehmen.Skeltek hat geschrieben:Die Zuordnung des Quadrates zu einer Punktmenge ist injektiv, nicht bijektiv.
Es ist übrigens ein Kennzeichen überabzählbarer Mengen, dass zu echten Teilmengen eine bijektive Abbildung konstruiert werden kann.
Was gemeint war ist:
Die Punktmenge, kann injektiv auf ein Quadrat, einen Kreis, ein Dreieck, eine konvexe Fläche, eine konkave Fläche, das Komplementär dieser Objekte usw abgebildet werden.
Klar -> jede dieser Abbildungen ist bijektiv, jedoch ist die Menge der möglichen Abbildungen mächtiger als die Menge der Punkte der Ursprungsmenge.
Hier bringst du einen Übergang weg von der Totalordnung. Bei einer Bijektion von "eindimensional" zu "zweidimensional" gehen die Relationen verloren. Hier wird der wesentiche Unterschied zwischen den beiden im Abbildungsalgorithmus codiert. Die Meßung des "Maßes" ist in der neuen Arithmetik völlig anders; du misst völlig andere Zusammenhänge oder Relationen.tomS hat geschrieben:Doch, denn die geometrische Form ist exakt bekannt, nämlich [0,1] und [0,1] * [0,1]Skeltek hat geschrieben:Du kannst nicht sagen:
Ich habe hier eine willkürliche abgeschlossene Menge bzw Fläche und eine Linie unbestimmter Form und behaupte es handelt sich um ein Quadrat.
Die Punktmenge an sich interessiert sich nicht dafür, wie sie angeordnet ist: ohne die Translation durch die Bijektion zwischen Quadrat und Linie wäre die Frage nach "Wieviele Linien passen in das Quadrat" gar nicht sinnig.
Fast analog dieselbe Fragestellung:
Zwei Hotels mit jeweils unendlich vielen Zimmern. Im ersten Hotel rücken alle ein Stück weiter sodaß jeder zweite Raum leer ist. Dann rückt jeder soweit weiter, dass zwischen jedem belegten Zimmer abzählbar unendlich viele Zimmer sind.
Danach fragst du, wie oft die Gästeanzahl des zweiten Hotels in die leeren Räume des ersten Hotels hinein passt.
Das ist unsinnig. Beide Hotels haben genau "1 Hotel" an Gästen, egal wie man es schiebt und dreht.
So haben auch Quadrat und Linie exakt denselben Inhalt. Jede andere Interpretation emergiert erst aus der durch den Bijektionsalgorithmus codierten Arithmetik.
[0,1] und [0,1] * [0,1] haben dieselbe Mächtigkeit.tomS hat geschrieben:Nein, es handelt sich nicht um eine maßtheoretische sondern einzig um eine geometrische Aussage.Skeltek hat geschrieben:Allein bei der Behauptung, es handele sich um ein Quadrat machst du ja schon eine Maß-technische Festlegung und spannst da eine Arithmetik drüber.
Es ist ganz einfach:
Gegeben sind zwei Mengen [0,1] und [0,1] * [0,1]
Zwischen beiden existiert eine Bijektion [0,1] ↔ [0,1] * [0,1]
Diese ist nicht maßerhaltend, d.h. μ([0,1]) = 0 ≠ 1 = μ([0,1] * [0,1])
Das Maß wird wie du sagts durch die Bijektion ein völlig anderes und die beidensind nicht vergleichbar.