tomS hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 08:52
Skeltek hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 02:39
Du gehst da auf den räumlichen
Abstand ein, den Beobachter A bei passiver Beobachtung seines Vergangenheitslichtkegels dem Beobachter B zuordnet und
mit Hilfe dessen man die Eigenzeit des anderen durch Ablesen dessen Lichtuhr erfassen kann(die Zeit, bei welcher die Photonen emmitiert wurden). Dabei erhälst du doch exakt den maximalen Gangunterschied, den die beiden hätten, wenn B unmittelbar nach dem Absenden der Lichtsignale mit v=c auf A zugeflogen wäre. Das ist doch genau der von mir zuvor beschriebene Umstand, daß der
momentan optisch erfasste Abstand (als Strecke auf dem Lichtkegel) in den Gangunterschied einfließt.
Das hast du offenbar falsch verstanden.
Die beiden Beobachter tauschen direkt ihre lokal gemessenen und lokal photographierten Eigenzeiten per Lichtsignal aus.
Von einem
Abstand ist nie die Rede. Er ist sowohl irrelevant als auch unbekannt, im Falle beliebiger Bewegung sogar
prinzipiell unbekannt.
Ich meinte folgenden Abstand:
- Lichtkegel_Weltlinien_Schnitte.jpg (8.27 KiB) 6974 mal betrachtet
Durch diesen Abstand wird eine untere Schranke für den Gangunterschied festgelegt, wenn man sich von da an geradlinig bewegt und der andere für ein Schnittpunkt der Weltlinien sorgen muss. Ein Zukunftslichtkegel durch V gibt auch die Menge aller möglichen Weltlinien vor, welche Astronaut2 von da ab gegangen sein kann; das schränkt die Anzahl möglicher Entwicklungen von C2 ab V ein. Es ist doch egal ob Astronaut 1 die Uhr bei V abliest, oder Astronaut die Zeit selbst abliest und diese dann per Lichtsignal kodiert übermittelt.
tomS hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 08:52
Skeltek hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 02:39
Du gehst (bei Relativbewegung v=0) von Position des anderen auf der
Gegenwarts-Hyperfläche senkrecht nach unten und kannst beim Schnittpunkt mit dem Vergangenheitslichtkegel die Obergrenze des Gangunterschiedes ermitteln. Ist die Relativbewegung ungleich Null verfolgt man halt C2 solange rückwärts, bis man den Schnittpunkt mit dem Kegel hat.
Ich betrachte
nie die Gegenwarts-Hyperfläche, immer nur die Lichtkgel.
Ich denke trotzdem das Gedankenexperiment mit Relativgeschwindigkeit v=0 wäre erlaubt:
- Lichtkegel_senkrecht_Schranke.jpg (10.25 KiB) 6974 mal betrachtet
Die Lichtminute Abstand wandelt sich in 1 Minute Vorsprung um, für jeweils den anderen, je nachdem wer die Bewegungsrichtung ändert.
Verstehe mich hier nicht falsch. Ich verstehe dein PDF durchaus. Du hattest das Anfertigen des PDFs jedoch als Umschreibungsabsicht einer Kritik an meiner Erklärung im anderen Thread initiiert. Ich ging bei der wechselseitigen Betrachtung auch vom Schnittpunkt mit dem Vergangenheitslichtkegel aus (den du als Ablesen und übermitteln der Eigenzeit von Astronaut 2 bei V beschreibst), habe dann jedoch darauf aufbauend die rote Strecke im Schaubild nach oben verschoben.
tomS hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 08:52
Skeltek hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 02:39
tomS hat geschrieben:
(1)Die Eigenzeit ist mathematisch die Länge der Weltlinie, und (2)die Differenz lesen wir auf Uhren ab.
(1) Ja, das stimmt.
(2) Das
simultane Ablesen beider Uhren führt bei deiner Lichtkegel-Erklärung für beide Beobachter zu unterschiedlichen Zeitpaaren.
Beobachter A liest die Eigenzeiten T
A1 und T
B1 ab, Beobachter B liest z.B. die Eigenzeiten T
A2 und T
B1 simultan ab.
Es gibt kein
simultanes Ablesen.
Das ist weder mein Ziel, noch funktioniert es im allgemeinen Fall. Es geht um observable Größen, nämlich die lokal gemessenen und lokal photographierten sowie per Lichtsignal ausgetauschten Eigenzeiten. Und für diese Observablen gibt’s kein Zwillingsparadoxon
Ja, das gibt's da tatsächlich nicht. Es war kein Vorwurf, sondern eher eine Feststellung, daß du dich auf die 'Randbedinungen' beschränkst. Du nimmst ein Koordinatensystem als Hilfsmittel um die Länge der Weltlinien in Eigenzeit zu ermitteln (auch wenn es wegen der Invarianz irrelevant ist welches).
tomS hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 08:52
Skeltek hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 02:39
1. Hin- und Rückweg sind nicht gleich, da die Weltlinie des anderen die eigenen beiden Lichtkegel nicht äquidistant schneidet.
2. Die Progression der Eigenzeit ist für den Astronauten selbst immer maximal entlang seiner Geodäten.
3. Befinden sich zwei Astronauten an zwei unterschiedlichen Orten ,d.h. räumlich getrennt, wollen wir deren Eigenzeitprogression vergleichen. Dabei sind Distanz/räumliche Anordnung und 'Winkelunterschied' der jeweiligen Tangenteneinheitsvektoren ihrer Weltlinien entscheidend.
Es war bei der eigentlichen Fragestellung 'wessen Zeit vergeht langsamer' völlig unerheblich, wie es zu dieser zu untersuchenden Momentaufnahme ihrer raumzeitlichen Positionen gekommen ist und wie ihre bisherigen Weltlinien aussahen.
4. Wer beim Widertreffen einen negativen Gangunterschied aufweist hängt davon ab, wer seinen Zukunftslichtkegel zum anderen hin kippt (äquivalent mit einem Kippen der Gegenwartshyperfläche).
5. Was du machst ist die Integration entlang der Weltlinien C* mit einer Bijektion zwischen Strecke und Eigenzeit. Das kann man für jeden Astronauten separat machen. Mir fehlt aber für meinen persönlichen Geschmack noch eine anschaulichere Darstellung für Siebenstein, wovon abhängig ist, wer 'weiter hinten' auf der Zeitachse ist. Mir lag viel daran zu verdeutlichen, daß dies von der 'Richtung der Zeitachse' abhängt (der Orthogonale zur Gleichzeitigkeits-Hyperebene). Da es keine ausgezeichnete, bevorzugte Gleichzeitigkeits-Hyperebene gibt, wies ich auf die Abhängigkeit ihrer Wahl hin und dem Winkel der Tangenteneinheitsvektoren bezüglich dieser Ebene (wobei die Orthigonale zur Ebene idealerweise eine Geodäte zwischen Start- und Endpunkten der Astronauten sein sollte). Wer eine höhere Zeitdilatation beim Wiedertreffen aufweist hängt also primär davon ab, welcher Astronaut zwischen Start- und Endpunkt am wenigsten von der idealen Verbindungslinie abweicht(!). Wer den Kurs ändert, um ein Treffen herbeizuführen, ist derjenige, welcher den Endpunkt seiner Weltlinie auf die Weltlinie des anderen verlegt und somit das Verhältnis von selbst zurückzulegender Strecke im Verhätniss zur Strecke des anderen Astronauten maximiert.
1. Hin- und Rückweg sind wechselweise völlig unbekannt. Alles was festliegt ist ein gemeinsamer Start und Zielpunkt.
Das war meine Erklärung, weshalb man nur mit den Lichtkegeln arbeiten kann und man keine 'Distanz' im klassischen Sinne verwenden kann. Das sind wir uns doch einig?
tomS hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 08:52
2. Geodäten liegen im Allgemeinen nicht vor.
Ja, trotzdem ist die Aussage, der Tangenteneinheitsvektor habe für ihn selbst immer die Länge 1, nicht falsch. Okay, ich hab wohl versehentlich Geodäte statt Weltlinie geschrieben.
tomS hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 08:52
3. Verglichen werden die
gemessene und photographierte Eigenzeit; dazu sind Distanzen etc. irrelevant. Zur Berechnung benötigt man eine genaue Flugroute. Die beiden Flugrouten müssen dabei nich in einem gemeinsamen Koordinatensystem angegeben werden (was z.B. für Rindlerbeobachter nicht funktioniert)
Wenn ich den CMB betrachte, weiß ich, daß ich ihm gegenüber einen Gangunterschied von ca 14 Milliarden Jahren habe. Das skaliert ziemlich exakt mit der Distanz (die Expansion des Universums vernachlässigen wir mal), wenn man diese in Lichtjahren misst. Es ist die Strecke, die man auf dem Vergangenheitslichtkegel abtragen muss.
tomS hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 08:52
Es gibt keine Fragestellung '
wessen Zeit vergeht langsamer' mehr
Es gibt zwei Funktionen, nämlich die Progression der (photographierten und übertragenen) Eigenzeit von B bezogen auf die von A sowie umgekehrt. Die Fragestellung '
wessen Zeit vergeht langsamer' erfordert ein globales Referenzsystem, auf das ich bewusst verzichte.
Da sind wir uns ja einig. Mir ging es halt darum, weshalb bei der Integration der Eigenzeit entlang der Weltlinien zwischen Start und Widertreffen ein anderes Ergebnis heraus kommt.
Meine Aussage war, daß die infinitesimalen Stücke der Strecke umso mehr zur Dillatation beitragen, umso mehr sie gegenüber der Geodäten zwischen Start und Wiedertreffen gekippt sind. Ich hätte eher statt nach C zu integrieren, nach der Vektorkomponente integriert, welche parallel zur der Geodäten ist, welche durch Start und Wiedertreffen geht, auch wenn dann die Formel etwas komplizierter ausgefallen wäre.
tomS hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 08:52
4. Der Gangunterschied hängt von beiden Weltlinien ab, also von der
gesamten Historie.
Ja, wobei für den Gangunterschied aber nur eine Teilkomponente des Differentials des Bewegungsvektors verantwortlich ist. (vielleicht sollte ich hier eine Skizze nachreichen, falls das unverständlich ist?)
tomS hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 08:52
5. Nein, es gibt keine Bijektion zwischen
Strecke und Eigenzeit; es gibt eine (mathematisch komplizierte und unanschauliche) Bijektion zwischen Eigenzeiten. Es gibt auch keine anschaulichere Darstellung „
wer 'weiter hinten' auf der Zeitachse ist“. Das ganze Problem mit dem Zwillingsparadoxon lässt sich auf irreführende und im allgemeinen Kontext unzulässiges ist Fragestellungen sowie deren unzureichender Beantwortung zurückzuführen. Und genau das mache ich nicht
'Strecke' war nicht rein räumlich gemeint. Man kann jedem durchflogenen Raumzeitpunkt eine eindeutige Zeit der Lichtuhr zuordnen.
tomS hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 08:52
Skeltek hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 02:39
Bei deiner Ausführung (die ich persönlich ziemlich gut finde), gehst du auf die bisherigen Verläufe der Weltlinien ein, integrierst entlang dieser und gibst die Eigenzeitverläufe entlang dieser Weltlinien an. Mir fehlt persönlich der Zusatz, daß man eine beliebige Gleichzeitigkeits-Hyperebene wählen kann und sich diese immer mit beiden Weltlinien schneidet.
Danke für das Kompliment.
Keine Ursache. Mache ich ja nicht oft.
tomS hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 08:52
Ich weiß nicht, ob der Zusatz fehlt, bzw. was mit diesen Gleichzeitigkeits-Hyperebenen besser wird. Für nicht-inertiale Beobachter ist die Wahl lokaler Gleichzeitigkeits-Hyperebenen möglich jedoch nicht zielführend. Für inertiale Beobachter führt er zur
Identifizierung von Eigen- und Koordinatenzeiten - und das ist letztlich die Ursache für die Verwirrung und das vermeintliche Paradoxon.
Die Idee war ursprünglich darzulegen, daß in der flachen Raumzeit nur eine Teilkomponente des 4er Vektors für die Dillatation verantwortlich ist... der zur Start-Ende-Verbindungslinie parallele Anteil des Bewegungsvektors ist ausreichend, die dazu orthogonalen Vektoren kann man mit Mühe aus der Gleichung heraus kürzen.
tomS hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 08:52
Ein sinnvoller Ansatz ist die Wahl eines von beiden Beobachtern unabhängigen Koordinatensystems, das
nicht als Gleichzeitigkeits-Hyperebene interpretiert wird. In dieser Interpretation bzw. Identifizierung sowie dann naheliegender jedoch letztlich
falscher Schlussfolgerungen steckt die Ursache für das vermeintliche Paradoxon.
Das Koordinatensystem ist beliebig und deine Observablen in jedem dieser Systeme invariant. Ich wähle halt gerne welche, die mit gewissen Eigenheiten koinzidieren.
tomS hat geschrieben: ↑24. Aug 2020, 08:52
Evtl. musst du nochmal den Anfang des Artikels lesen und meine Intention besser verstehen bzw. kritisieren:
Ja, mache ich dann heute/morgen.
Unterm Strich denke ich:
Meine Aussage: Es gibt kein bevorzugtes Koordinatensystem; wer einen Zeitvorsprung hat kann man so nicht sagen und zeige das über die Relativität der Gleichzeitigkeit.
Deine Aussage: Man soll es koordinatensystemunabhängig betrachten (weil man aus den Hyperebenen nichts herleiten kann für räumlich getrennte Beobachter) und am besten invariante Observablen verwenden.
Ich denke unsere Ansichten sind gar nicht so verschieden. Wir halten halt nur unterschiedliche Methoden für didaktisch sinnvoller.