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Standardmodell und Symmetrien

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Standardmodell und Symmetrien

Beitrag von tomS » 8. Apr 2008, 08:31

Nachdem die Frage nach der Bedeutung der Symmetrien SU(2), SU(3), ... SU(N) im Standardmodell aufkam, jetzt hier im mathematischen Bereich einige Erklärungen dazu.

Der Beitrag ist erst mal ein Versuchsballon. Natürlich geht's dann noch weiter; also z.B. muss noch erklärt werden, was das mit Physik, Quarks usw. zu tun hat. Aber ein Anfang ist gemacht.

SO(2)
Sehr einfach zu verstehen ist die spezielle orthogonale Gruppe in 2 Dimensionen: SO(2). Es handelt sich dabei um eine Beschreibung der Rotationssymmetrie in zwei Dimensionen mittels 2*2 Matrizen. Die Matrizen sind zunächst Orthogonal-Matrizen, d.h. dass das Produkt einer Matrix O mit ihrer transponierten Matrix trans(O) gleich der 2*2 Einheitsmatrix ist: O*trans(O) = trans(O)*O = 1.
Transponieren heißt Spiegeln der Matrixelemente an der Hauptdiagonalen.
Die Matrizen haben außerdem die spezielle Eigenschaft, dass ihre Determinante 1 ist, d.h. wir schließen Spiegelungen und Streckungen aus:
det O = 1.
Die Drehmatrix O = O(θ) hängt dabei von einem Parameter = Drehwinkel θ ab.
SO(2)-Symmetrie bedeutet nun, dass ein Skalarprodukt zweier Vektoren (x| und |y) invariant ist, wenn man beide Vektoren einer Drehung unterwirft:
(x’| = (x| trans(O)
|y’) = O |y)
(x’|y’) = (x| trans(O) * O |y) = (x|y)
Insbs. ist die Norm bzw. Länge eines Vektors invariant unter Rotationen
|x’|² = (x’|x’) = (x|x) = |x|²

Damit haben wir schon alles beieinander:
Einen Vektorraum der Dimension 2 mit einem Skalarprodukt.
Darauf definiert eine Drehmatrix O(θ).
Alle anderen Gruppen SO(n) und SU(n) können ganz ähnlich formuliert werden.

Ein paar Hinweise:
Der Vektorraum, auf dem Rotation definiert wird, ist bei SO(n) immer über den reellen Zahlen definiert, bei SU(n) über den komplexen Zahlen.
Der Vektorraum hat eine Dimension (hier 2), die Drehgruppe auch (hier 1). Die Dimension der Gruppe ist dabei die Anzahl der Parameter (In zwei Dimensionen kann man jede Drehung mit genau einem Parameter beschreiben). Es ist wichtig, diese beiden Dimensionen zu unterscheiden.

SO(3)
Als nächstes die spezielle orthogonale Gruppe in 3 Dimensionen: SO(3). Es handelt sich dabei um eine Beschreibung der Rotationssymmetrie in drei Dimensionen mittels 3*3 Matrizen.
Man stellt nun fest, dass die SO(3) drei Parameter (Drehwinkel) zu ihrer Beschreibung benötigt. Im Falle der SO(2) war die Drehung um den Koordinatenursprung durch genau einen Parameter festlegbar. In drei Dimensionen benötigt man drei Parameter (drei mögliche Richtungen der Drehachsen, also drei Winkel) um eine allgemeine Drehung zu beschreiben. Zu Details am besten unter „Eulerwinkel“ googeln.

Die erste Besonderheit der SO(3) ist, dass sie nicht-abelsch ist, dass es bei zwei Drehungen i.A. auf deren Reihenfolge ankommt, dass also O(θ, θ, θ) * O(ω, ω, ω) etwas anderes ist wie O(ω, ω, ω) * O(θ, θ, θ).

U(1)
Sehr einfach zu verstehen ist die unitäre Gruppe in 1 Dimension: U(1). Es handelt sich dabei um eine Beschreibung der „Rotationssymmetrie“ in der komplexen Ebene mittels einer 1*1 Matrix, also einer Zahl. Die Matrix ist dabei unitär, d.h. dass das Produkt einer Matrix U mit ihrer adjungierten (= transponiert plus komplex konjugiert) Matrix adj(U) gleich der Einheitsmatrix ist: U*adj(U) = adj(U)*U = 1. (in einer Dimension ist transponieren natürlich trivial, d.h. es bleibt nur die komplexe Konjugation übrig, aber für später brauchen wird das).
Die „Drehmatrix“ U = U(θ) hängt dabei wieder von einem Parameter = Drehwinkel θ ab.
U(1)-Symmetrie bedeutet nun, dass ein Skalarprodukt zweier komplexer Vektoren (z| und |w) invariant ist, wenn man beide Zahlen einer Drehung U(θ) unterwirft:
(z’| = (z| adj(U)
|w’) = U |w)
Insbs. ist die Norm einer komplexen Zahl invariant unter Rotationen
|z’|² = (z’|z’) = (z|z) = |z|²
In einer Dimension ist das alles trivial, es handelt sich einfach um die Invarianz des Betrages einer komplexen Zahl unter der Multiplikation mit
U(θ) = exp(i θ) = cos(θ) + i*sin(θ)
adj(U) = U(-θ) = exp(-i θ) = cos(θ) - i*sin(θ)
Wir werden später sehen, dass es für alle SO(n) und SU(n) derartige Exponentialschreibweisen gibt.

Man kann nun die oben diskutierte SO(2) und alle verwendeten Formeln direkt auf die U(1) abbilden, indem man jedem Punkt (r,s) in der zweidimensionalen Ebene eine entsprechende komplexe Zahl z = r + i * s zuordnet. Dann entspricht die 2*2 Drehmatrix O(θ) genau der komplexen Zahl U(θ). cos(θ) und sin(θ) in der Darstellung der Drehmatrix erhält man sofort aus U(θ) = exp(i θ) = cos(θ) + i*sin(θ).
Man sagt, die beiden Gruppen SO(2) und U(1) seien isomorph, d.h. sie sind (aus gruppentheoretischer Sicht) identisch.

SU(2)
Als nächstes die spezielle unitäre Gruppe in 2 Dimensionen: SU(2). Es handelt sich dabei um eine Beschreibung der „Rotationssymmetrie“ in einem zweidimensionalen komplexen Vektorraum mittels 2*2 Matrizen, d.h. der Vektor hat die Dimension 2 und jede Komponente ist wieder eine komplexe Zahl.
Hier verwendet man wieder die Bedingung det U = 1.
Die Formeln stehen alle schon bei der U(1). Man muss jetzt nur unter |z) tatsächlich einen komplexen zweier-Vektor, nicht nur eine komplexe Zahl verstehen.
Man stellt nun fest, dass die SU(2) wiederum drei Parameter (Drehwinkel) zu ihrer Beschreibung benötigt, wie im Falle der SO(3). D.h. oben hatten wir einen dreidimensionalen reellen Vektrorraum mit 3*3 Matrizen und drei Parametern in O(θ, θ, θ) jetzt haben wir zweidimensionalen, dafür komplexen Vektorraum mit komplexen 2*2 Matrizen und wieder drei Parametern in U(θ, θ, θ).

Die SO(3) ist anschaulich die Rotationssymmetrie des dreidimensionalen Raumes, die SU(2) dagegen kann man sich nicht mehr so leicht veranschaulichen, da man an dem zweidimensionalen komplexen Vektorraum scheitert. Zwei komplexe Zahlen bedeuten ja vier reelle Zahlen.

Die SU(2) ist wiederum nicht-abelsch, d.h. es kommt wieder auf die Reihenfolge der Drehungen an

Interessanterweise kann man für je zwei Matrizen U aus der SU(2) eindeutig eine Matrix O aus der SO(3) finden. Die beiden Gruppen sind jedoch nicht isomorph, da man eben in SU(2) „doppeltsoviele“ Drehungen hat wie in der SO(3). Insbs. stellt man fest, dass in der SO(3) die Drehung um 360° die Einheitsmatrix ist, während man in der SU(2) um 720° rotieren muss! Eine Rotation um 360° ergibt nicht die Einheitsmatrix 1 sondern -1.
Die beiden Gruppen sind also nicht identisch, aber doch eng verwand und liegen eigentlich allen quantenmechanischen Überlegungen zum Drehimpuls und zum Spin zugrunde.

SO(n)
Betrachtet man allgemein einen n-dimensionalen, reellen Vektorraum, so ist SO(n) wieder die entsprechende Rotationssymmetrie. Die Vektoren haben n Komponenten, die SO(n) besteht aus n*n Matrizen mit der Determinante 1.

SU(n)
Betrachtet man allgemein einen n-dimensionalen, komplexen Vektorraum, so ist SU(n) wieder die entsprechende Rotationssymmetrie. Die Vektoren haben n komplexe Komponenten, die SU(n) besteht aus n*n Matrizen mit komplexen Einträgen und der Determinante 1.

U(n)
Lässt man die Bedingung det U = 1 weg, so erhält man aus der SU(n) die U(n). Mathematisch ist das sehr einfach. Man kann einfach eine gegebene n*n Matrix der SU(n) mit einer komplexen Zahl exp(ia) wie oben bei der U(1) multiplizieren und erhält eine n*n Matrix der U(n), d.h. es kommt einfach noch eine U(1) Symmetrie dazu:
U(n) = U(1) * SU(n).

Ausblick:
- Drehimpuls und Spin in SO(3) bzw. SU(2)
- Verwandtschaft der Lorentzgruppe SO(3,1) und der SU(2)
- Quarks in der SU(2), SU(3), ...
- lokale Eichsymmetrien: U(1) und SU(n)
Zuletzt geändert von tomS am 10. Apr 2008, 08:46, insgesamt 1-mal geändert.
Gruß
Tom

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Beitrag von wilfried » 8. Apr 2008, 11:30

Lieber Tom

das ist wieder mal eine sehr gute Idee uns diese gruppentheoretischen Grundlagen aufzuzeigen. Diese Inhalten dienen der Klarheit vieler anderer Artikel bei uns im Forum.

"Versuchsballon ready to take off"

Gruß

Wilfried
Die Symmetrie ist der entscheidende Ansatz Dinge zu verstehen:
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rot B - dE/ / (c dt) = (4 pi j ) / c
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Beitrag von wilfried » 9. Apr 2008, 18:21

Liebe Freunde

ich möchte zu Toms Ausführungen noch ein paar Dinge zur Erklärung des Standardmodells beitragen.

Als Bausteine der Materie kennen wir:

1. Gruppe

Elektron e-
Positron e+
Neutrino nue
Antineutrino nue_bar

Beide Teichenarten werden als Leptonen bezeichnet. Wortursprung: λεπτος Aussprache: leptos) = leicht, fein
Beide Teilchen besitzen auch eine Masse, auch das Neutrino. Die Elektron Masse beträgt 511 keV, die des Neutrinos 2.2eV. Neuere Hinweise lassen schliessen, dass die Neutrinomasse jedoch nur 1e-3 eV beträgt. Aber das weiß ich nicht so ganz genau.

Leptonen spären keine Kernkraft und deshalb sind sie unbeteiligt an der starken Wechselwirkung.

Der Radius der Leptonen wird auf <1e-18m angenommen. Das ist auch für die Kernphysik nahezu punktförmig.

2. Gruppe

Nukleonen, als da sind: Proton und Neutron

Diese Teilchen werden Hadronen genannt. Wortursprung: δρός, hadros, dick

Hadronen werden als nicht elementar angesehen und beschrieben.

Die elektrische Ladung in einem Proton und einem Neutron ist auf 3 punktförmige Teilchen verteilt. Diese punktförmigen Teilchen heißen Quarks.

In den Nukleonen kennen wir 2 Quarks:

up-Quark Ladung 2/3 Elektron nennt sich u
down-Quark Ladung -1/3 Elektron nennt sich d

Auch der Quarkradius beträgt offensichtlich <1e-18 m, also auch punktförmig.

Zusästzlich tragen Quarks eine sogenaante Farbladung. Diese Farbladung ist verantwortlich, dass diese Bauelemente an der starken WW teilnehmen. Eine weitere Verantwortung dieser Farbladung ist, dass freie Quarks nicht existent sind. Quarks sind stets an Hadronen gebunden.

Diese Farbladungen werden mit rot, grün und blau tituliert. Wie in der Farbenlehre (daher auch der Name als Synonym) ergibt die Summe gleichverteilter Farben auch hier weiss. In euinem Nukleon werden stets nur weisse Farbladungen angetroffen. Das gilt für den Integralblick auf ein Nukleon. Schaut man aber in den Zeitbereich, in die kurzen Zeitabläufe der Quantenreaktionen, so erkennt man sehr wohl unterschiedliche Farbladungen.
Es gilt: Nur farbneutrale = weisse Teilchen können frei existieren

Es gibt auch Antiquarks. Diese nennen sich u_bar und d_bar. Antiquarks tragen konsequenterweise auch Antifarben.

Hadronen werden eingeteilt in 2 Gruppen:

Baryonen
Sie bestehen aus 3 Quarks, so wie Nukleonen. Ihre zugehörigen Antiteilchen sind aus 3 Antiquarks aufgebaut.

Mesonen
Sie bestehen aus 1 Quark sowie 1 Antiquark. Als Beispiel sei das PION genannt.

Baryonen sind Teilchen mit Halbzahl-Spin.
Mesonen sind Teilchen mit Ganzzahl-Spin.

Da freie Quarks nicht existieren ist es auch (zumnindest wie mir bekannt!!) unmöglich ihre Masse exakt zu messen. Die Masse kann nur aus einem Rückschluss ihrer Bindungsenergie angegeben werden.

Die Massenangabe durch die Bindungsenergie der starken WW liegt im Bereich von einigen MeV
Das PION liegt bei 140 MeV
Das PROTON liegt bei 983 MeV

Die Masse des Universums setzt sich aus diesen 4 Grundbausteinen zusammen

Leptonen = Elektron und Neutrimo
Quarks = up und down Quark

Da alle diese teilchen den Spin 1/2 besitzen besteht der Materieaufbau aus Fermionen.

Beschleuniger zeigen, dass zu jedem dieser 4 Fermionen 2 weitere Kopien vorhanden sind.
Die Kopien unterscheiden sich nur durch ihre Masse von den Originalteilchen.

Myon: = schweres Elektron Masse ~ 106MeV

Hier ein schönes Bild dieser Teilchen mit Erklärungen

Bild

Diese tafel zeigt die fundamentale Tabelle der Fermionen.
Jedes dieser Fermionen besitzt auch Antiteilchen. Fermionen der 2. und 3. Generation sind instabile Teilchen, diese zerfallen in die leichteren Fermionen der 1. Generation.
Aber: Bei all diesen Zerfällen gilt der Erhaltungssatz der Leptonen.
Dieser besagt, dass jeder Leptonenfamilie eine gewisse Leptonenzahl zugeordnet ist. Und diese bleibt stets erhalten auch bei Trennungen

Bei Quarks ist das ähnlich, aber eben nur ähnlich. Soll heißen, dass die zugehörige Quantenzahl nicht streng erhalten bleibt. Der Grund dafür sind die Übergänge zwischen den Generationen, die durch die schwache WW ermöglicht werden.

Die Leptonenzahl ist auch in den Neutrino Oszillationen verletzt. Diese waren Bestandteil der Forschung der letzten Jahre. Nur so am Rande bemerkt!

Trotzdem gilt: Die Zahl der Leptonen sowie die Zahl der Quarks bleibt in allen Reaktionen streng erhalten.

Die Problematik des Quark Modells

Quarks sind als freie Teilchen nicht beobachtbar. Erst in der 2. Hälfte des letzten Jahrhunderst hat man mittekls Streuexperimenten eine Vielzahl hadronischer Resonanzen beobachtet. Das sind instabile Teilchen, wie beispielsweise die Elektron-Positron Vernichtung.

Alle dieser Resonanzen können als starke WW Zustände der bekannten 6 Quarks angesehen werden:
Quarl -Antiquark (Mesonen) 3 Quark Zustände (Baryonen)

Die Gruppentheorie hilft uns nun eine Beschreibung der Möglichkeiten aufzuzeigen, wie sich aus Quarks Hadronen aufbauen.

Die Mesonensind aus den 3 leichtesten Quarks sowie deren Antiquarks zusammengesetzt. Erwartet wird nun, dass die lleichtesten Mesonen diejenigen sind, welche sich aus dem Quark / Antiquark Grundzustand zusammensetzen bzw. deren Quarks / Antiquarks im Grundzustand befindlich sind. Diese besitzen keinen Bahndrehimpuls.
Damit ist der Gesamtdrehimpuls diese QWuark/Antiquarksystems Null.

3 verschiedene Quarks / Antiquarks gleichen Quantenzustands besitzen 9 Möglichkeiten ihrer Kombination miteinander. Aus der Gruppentheorie folgt nun, dass dise 9 Möglichkeiten sich auf 1 Oktett sowie 1 Singulett aufteilt. Diese werden auch Mulitpletts genannt.

Damit gebe ich wieder den Stab an Tom weiter. Sollte ja nur eine kurze Ausführung zu den Grundlagen sein, nur eine kleine Erläuterung.
Was jetz folgt ist mit der Kenntnis der 4 Grundkenntnisse die Anwendung der Eichsymmetrien oder vieleicht zuerst der lokalen Eichsymmetrien. Aber das wird Tom schon machen

Netten Gruß

Wilfried
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Beitrag von tomS » 10. Apr 2008, 09:53

Exponentialdarstellung der SU(n)
Alle o.g. Gruppen können im weitesten Sinne als Drehgruppen bezeichnet werden. Für die U(1) habe ich bereits eine Darstellung in Exponentialform
U(θ) = exp iθ
hingeschrieben. Diese Form existiert (mit notwendigen Verallgemeinerungen) für alle Drehgruppen. Man führt dazu die zu einer Gruppe gehörende Algebra, einen Satz von Matrizen Tª, a=1.. K ein. Die Zahl K der Matrizen Tª entspricht der Anzahl der Drehwinkel oder Parameter θª und hängt von der Gruppe selbst ab (Bsp. oben: für SU(2) und SU(3) ist K=3). Für die Exponentialdarstellung erhält man
U(θª) = exp iθª Tª
wobei in θª Tª über alle einzelnen Terme summiert wird.
Dazu benötigt man die Definition der Exponentialfunktion einer Matrix. Diese kann man z.B. durch Taylorentwicklung definieren:
exp iθª Tª = 1 + iθª Tª + (iθª Tª)² / 2 + ...

Wichtig:
Die Matrizen Tª heißen Generatoren der Gruppe bzw. sie bezeichnen die Basis ihrer zugehörigen Algebra. Basis deswegen, weil man eine Art Vektorraum definiert hat, mit den Tª als Basisvektoren und einem Vektor θª Tª mit den Koeffizienten θª.
Die Algebra der Tª ist in den meisten Fällen ausreichend, um die Eigenschaften der jeweiligen Gruppe zu studieren und um Berechnungen in der Quantenmechanik durchzuführen.
Die Tª enthalten die wesentlichen Informationen über infinitesimale Drehungen; man sieht dies, wenn man nur den ersten Term der obigen Taylorentwicklung betrachtet: exp iθª Tª = 1 + iθª Tª +

Eine explizite Konstruktion der Tª ist häufig nicht notwendig und wird für große SU(n), also große n, die expolizit durchgeführt, jedoch sollte man sich das Beispiel SU(2) mal genauer anschauen. Dafür erhält man die Tª aus den Pauli-Matrizen gemäß
Tª = σª / 2.
Mit Hilfe dieser Darstellung und einiger Rechenregeln für die σª kann man z.B. auch Taylorentwicklung für exp iθª Tª wieder explizit berechnen. (Dies gilt für SU(n), n>2 leider nicht mehr).

Zur Form der Tª:
Für die SU(n) kann man sich überlegen, welche Form die Tª haben müssen: Zunächst betrachtet man immer die sogenannte Fundamentaldarstellung der Gruppe. Oben haben wir diese implizit eingeführt, indem wir z.B. SU(n) und SO(n) als Drehgruppen für n-dimensionale Vektoren bezeichnet haben. Demnach müssen auch die Generatoren Tª n*n Matrizen sein.
Zunächst muss die Matrix exp iθª Tª unitär sein. Dazu sind (reelle Drehwinkel θª vorausgesetzt), die Tª sogenannte selbstadjungierte Matrizen, also adj(Tª) = Tª. D.h. komplexe Konjugation der Elemente plus Spiegelung an der Diagonalen liefert wieder dasselbe Tª.
Dann überlegt man sich, wie viele Tª es gibt: Die Tª sind die Basis für einen Vektorraum aus n*n Matrizen. Dieser Vektorraum ist also n² dimensional, die Basis hat also n² Elemente (dass die n*n Elemente in einem quadratischen Schema statt in einem Vektor angeordnet sind, spielt für die Abzählung keine Rolle). Nun zieht man noch eine Matrix (die Einheitsmatrix) für die U(1) in der U(n) = U(1)*SU(n) ab, und erhält statt n² nur noch n²-1 Matrizen.

Zusammenfassend: Die SU(n) umfasst alle Drehungen von komplexen Vektoren der Dimension n. Die Anzahl K der Drehwinkel θª, a=1..K, ist n²-1, dies ist die Dimension der Gruppe SU(n). Demnach ist auch die Zahl der Generatoren Tª gleich n²-1. Geht man von der SU(n) zur U(n) über, so muss man noch einen Generator, nämlich die Einheitsmatrix, mit dazunehmen.

Die Algebra der Tª:
Die Wichtigkeit der Generatoren liegt darin begründet, dass sie alle wesentlichen Strukturen der vollen Gruppe enthalten. Dazu betrachtet man die sogenannten Kommutatoren
[T, T] = T * T - T * T (und natürlich für alle anderen Tª mit a = 3, 4, ...)
Für diese Kommutatoren gilt nun, dass sich die rechte Seite wieder als Linearkombination der Tª schreiben lässt, also
[T, T] = Fª Tª (Summe über a)
Dabei heißen die Zahlen Fª (natürlich auch für alle anderen Zahlen 3, 4, ...) die sogenannten Strukturkonstanten der Algebra. Die Tª bzw. die Strukturkonstanten F legen die Algebra und damit die wesentlichen Eigenschaften der Gruppe in weiten Teilen fest.
Die Kommutatoren sind deswegen so wichtig, weil sie die nicht-Kommutativität der Drehungen beschreiben. [T, T] beschreibt anschaulich die Differenz zwischen „erst Drehung 1, dann Drehung 2“ und „erst Drehung 2, dann Drehung 1“.

Die Bedeutung der Algebra der Tª:
Betrachtet man den Drehimpuls L in der Quantenmechanik: Man erhält einen quantenmechanischen Differentialoperator mit den Komponenten Lª, a=1..3. Wichtig dabei ist, dass diese Komponenten Lª dieselbe Algebra mit denselben Strukturkonstanten haben, wie die Matrizen Tª der SO(3)!
Bsp.
[T, T] = F³ T³ (d.h. nur die Zahl F³ ist ungleich Null)
[L, L] = F³ L³
Der Witz dabei ist, dass sich die Eigenschaften des quantenmechanischen Drehimpulses L aus rein algebraischen Relationen ergeben. Dies war in der Quantenmechanik eine revolutionäre Erkenntnis.

Die Verwandschaft von SO(3) und SU(2)
In der SO(3) sind die Tª 3*3 Matrizen, in der SU(2) sind es 2*2 Matrizen. Beide Gruppen haben drei Drehwinkel, also a=1..3. Ich habe oben geschrieben, dass diese beiden Gruppen eng miteinander verwandt sind.
Bei der Algebra bzw. den Kommutatoren sieht dies wie folgt aus: Jeder Kommutator hat in der SU(2) und in der SU(3) denselben Wert! D.h. dass zwar die Matrizen die Tª in den beiden Gruppen unterschiedlich aussehen, dass jedoch die Strukturkonstanten F identisch sind! D.h. dass zwar die Gruppen SU(2) und SU(3) unterschiedlich sind (einmal handelt es sich um Drehungen von komplexen 2er-Vektoren, einmal um Rotationen von reellen 3er-Vektoren), die Algebra ist jedoch identisch!

Zusammenfassung
Fast alle Eigenschafen der Gruppen SU(n) und SO(n) ergeben sich aus den Generatoren Tª sowie deren Kommutatoren. Diese sogenannte Algebra ist deswegen so wichtig, weil sich z.B. quantenmechanische Eigenschaften nicht nur aus komplizierten Differentialoperatoren sondern aus den einfachen algebraischen Beziehungen der Tª sowie der Kommutatoren ergeben. Im Falle des Drehimpuls erhält man z.B. die Drehimpulsquantisierung, die Eigenwerte, etc.

Ausblick:
- Darstellungen von Gruppen
- Darstellungen von SO(3) und SU(2)
- Verwandtschaft der Lorentzgruppe SO(3,1) und der SU(2)*SU(2)
- Eigenschaften von Drehimpuls und Spin
Gruß
Tom

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Beitrag von tomS » 11. Apr 2008, 15:18

Darstellungstheorie
Ich möchte jetzt das Pferd von hinten aufzäumen. Bisher sind wir davon ausgegangen, dass jede Gruppe, z.B. eine SU(n) dadurch definiert ist, dass sie n-dimensionale Vektoren rotiert, und dass man dazu n*n Matrizen Tª benötigt, um die Drehmatrizen U(θª) = exp iθª Tª zu beschreiben. Dann haben wir die Algebra der Tª und die Kommutatoren bzw. die Strukturkonstanten F betrachtet.

Man kann auch umgekehrt vorgehen! Man betrachtet dazu ausschließlich die Kommutatoren sowie die Strukturkonstanten F, und versucht rückwirkend, konkrete Matrizen Tª zu finden, die diese Relationen erfüllen. Dabei stellt man nun fest, dass man die oben gefundenen Tª wieder findet, aber auch weitere mögliche Xª (zur Unterscheidung schreibe ich dafür nicht mehr Tª), allerdings haben diese eine andere Dimension, sind also keine n*n Matrizen mehr.

Man nennt dies die unterschiedlichen Darstellungen einer Gruppe (oder Algebra). Die zuerst eingeführten Tª sind die sogenannte Fundamentaldarstellung. Dies ist für jede Gruppe quasi die definierende Darstellung, aus der man alle Eigenschaften ableiten kann. Darüber hinaus gibt es für jede Gruppe auch weitere Darstellungen Xª, die teilweise alle Informationen und Strukturen der Fundamentaldarstellung enthalten, teilweise nur einige. Insofern ist die Gruppe bzw. die Algebra das zentrale Element, die einzelnen Darstellungen sind nur Ausprägungen. In der Natur sind jedoch die einzelnen Darstellungen, das, was physikalisch existiert. Eine Theorie mit einer zugrundeliegenden Symmetrie hat immer einzelne physikalische Objekte, z.B. Teilchen, die dann in einer gewissen Darstellung existieren.

Zwei Darstellungen (neben der Fundamentaldarstellung) sind besonders hervorzuheben. Zum einen ist dies die triviale Darstellung, in der die Xª alle zur Einheitsmatrix werden! Außerdem kann man aus den Strukturkonstanten F wiederum eine Darstellung generieren, dies ist die sogenannte adjungierte Darstellung. Die adjungierte Darstellung ist extrem wichtig, wenn man sich das Quarkmodell bzw. die SU(3) ansieht.

Was passiert nun in den anderen Darstellungen?
Jede Darstellung benötigt einen Vektorraum.
Für die Fundamentaldarstellung war ist dies der Vektorraum mit Dimension n.
Für die triviale Darstellung ist dies die Dimension 1 (trivial: einen Vektor der Dimension 1 = Skalar rotiert man dadurch, dass man eben nichts tut, also ist jede Drehmatrix U = 1)
Für die adjungierte Darstellung ist der zugrundeliegende Vektorraum die Algebra selbst, d.h. die Kommutatoren und die Strukturkonstanten sind selbst die Darstellung der Algebra. Die Dimension dieser Darstellung ist (im Falle der SU(n)) wieder n²-1.

Beispiel SO(3)
Zunächst muss ich noch den Begriff des Casimir-Operators einführen. Es gibt üblicherweise mehr als einen, wir brauchen jedoch nur den ersten. Betrachtet man den quantenmechanischen Drehimpulsoperator L, so erhält man die Komponenten Lª. Man betrachtet nun den sogenannten Gesamtdrehimpuls |L|² = Lª* Lª (Summe über alle Komponenten, also quasi Betragsquadrat). In der Quantenmechanik findet man, dass dessen Eigenwerte quantisiert sind (dies ist bereits eine Eigenschaft der Algebra – also rein mathematisch ohne Quantenmechanik).
Dazu betrachtet man eine Zahl ℓ=0, 1, 2, .... Man spricht dann auch vom Gesamtdrehimpuls ℓ. Allerdings sind die Eigenwerte von |L|² nicht ℓ oder ℓ², sondern ℓ(ℓ+1).
Also
für ℓ=0 ist der Eigenwert 0
für ℓ=1 ist der Eigenwert 1*(1+1) = 2
für ℓ=2 ist der Eigenwert 2*(2+1) = 6
usw.
Der Casimir-Operator hat also die Eigenwertgleichung
|L|²|ℓ m) = ℓ(ℓ+1) |ℓ m)
m erkläre ich gleich.
Die Bedeutung von |L|² ist, dass man mit seiner Hilfe den unendlich dimensionalen Hilbertraum der Quantenmechanik in verschiedene endlichdimensionale Darstellungen der SO(3) zerlegen kann.
Jetzt kommt der Parameter m ins Spiel. Er bezeichnet den Eigenwert einer weiteren Drehimpulskomponente (man wählt dazu immer die 3- bzw. die z-Komponente). D.h.
L³|ℓ m) = m |ℓ m)
Man findet nun, dass die erlaubten Werte von m von –ℓ bis +ℓ laufen, d.h. es gibt 2ℓ+1 Möglichkeiten, entsprechend
dim(rep(ℓ)) = 2 ℓ + 1
Die Dimension der Darstellung ℓ ist 2 ℓ + 1.

Also:
für ℓ=0 ist m=0
für ℓ=1 ist m=-1, 0, +1
für ℓ=2 ist m=-2, -1, 0, 1, 2
usw.

Dies sind jetzt genau die Darstellungen der Drehgruppe SO(3)
Also:
für ℓ=0 die triviale Darstellung
für ℓ=1 die Fundamentaldarstellung mit der Dimension 3 entsprechend der 3 Werte für m
für ℓ=2 eine 5-dimensionale Darstellung entsprechend m=-2, -1, 0, 1, 2
usw.

D.h. man kann den unendlich dimensionalen Hilbertraum H zerlegen in
H = (1) + (3) + (5) + (7) + ...
Dabei steht (1) für die triviale Darstellung (man sagt auch Singulett), (3) für die Fundamentaldarstellung (man sagt auch Triplett) usw.

Die Vektoren lauten
|ℓ=0, m=0)
|ℓ=1, m=-1), |ℓ=1, m=0), |ℓ=1, m=+1)
|ℓ=2, m=-2), |ℓ=2, m=-1), |ℓ=2, m=0), |ℓ=2, m=+1), |ℓ=2, m=+2)
usw.

Zu jeder dieser Darstellungen kann man die Xª konstruieren (braucht man meist aber nicht). Die Dimension der Matrizen entspricht der Dimension des Vektorraumes bzw. der Darstellung dim(rep) = 2ℓ+1.

Diese gesamte Schlussfolgerung ist möglich, ohne eine einzige Differentialgleichung zu lösen, sie folgt ausschließlich aus den Eigenschaften der Algebra SO(3).

Beispiel SU(3)
Die o.g. Darstellungen der SO(3) sind alle sogenannte Vektordarstellungen. Man kann nun die SU(2) untersuchen, und findet folgendes: zunächst hat die SU(2) dieselben Vektordarstellungen wie die SO(3), zusätzlich hat sie aber noch sogenannte Spinordarstellungen, die sich durch halbzahlige Drehimpuls auszeichnen.

Dazu betrachtet man den Gesamtdrehimpuls ℓ=1/2, 3/2, ... Die Eigenwerte von |L|² sind wieder ℓ(ℓ+1).
Also
für ℓ=1/2 ist der Eigenwert 1/2 * (1/2 + 1) = 3/4
für ℓ=3/2 ist der Eigenwert 3/2*(3/2+1) = 15/4
usw.
Die Eigenwertgleichungen sind wieder
|L|²|ℓ m) = ℓ(ℓ+1) |ℓ m)
L³|ℓ m) = m |ℓ m)
Man findet nun, dass die erlaubten Werte von m von –ℓ bis +ℓ laufen, d.h. es gibt wieder 2ℓ+1 Möglichkeiten.

Also:
für ℓ=1/2 ist m=-1/2, +1/2
für ℓ=3/2 ist m=-3/2, -1/2, +1/2, +3/2
usw.

Dies sind jetzt genau die Spinor-Darstellungen der SU(2)
Also:
für ℓ=1/2 die Fundamentaldarstellung mit der Dimension 2 entsprechend der 2 Werte für m
usw.

D.h. man kann den unendlich dimensionalen Hilbertraum H zerlegen in
H = (1) + (2) + (3) + (4) + (5) + ... =
= (1) + (3) + (5) + ... +
= (2) + (4) + (6) + ... +

Man sieht wieder, dass die SU(2) die SO(3) umfasst, dass sie aber eben zusätzlich noch die Spinoren mitbringt, die man zur Beschreibung der Fermionen benötigt.

Die Lorentzgruppe SO(3, 1)
Aus dem oben gesagten wird noch nicht klar, woher die Spinoren denn nun eigentlich kommen, bzw. warum man eben die SU(2) verwenden muss, obwohl doch die SO(3) die natürliche Drehgruppe zu sein scheint. Die Erklärung findet man in der Struktur der Lorentzgruppe SO(3, 1).

Zunächst: warum nicht SO(4) sondern SO(3, 1)? Grund ist, dass die Zeit anders behandelt wird als die drei Raumdimensionen. Betrachtet man ds² = dx²+dy²+dz² - dt², so ist das Minus vor dem dt² genau die Ursache für die SO(3,1).

Man kann für die SO(3,1) wieder die die Generatoren Tª hinschreiben. Insgs. sind das sechs Stück – also die Dimension der Lorentzgruppe ist 6. Drei davon sind die bekannten Generatoren Lª (jetzt a =1..3) der Drehgruppe SO(3), die drei anderen Kª (a=1..3) sind die sogenannten Boosts, die eine Lorentztransformation erzeugen. Man kann diese also unterteilen in
{Tª} = {Lª, Kª}.
Nun kann man komplexe Linearkombinationen einführen, nämlich
Mª = Lª + i Kª und
Nª = Lª - i Kª
Nun untersucht man die neuen Generatoren Mª und Nª sowie deren Kommutatoren. Dabei stellt man etwas Erstaunliches fest: die Mª generieren die Algebra einer SU(2), die Nª generieren ebenfalls die Algebra einer weiteren SU(2). Die Kommutatoren zwischen den Mª und den Nª sind alle Null.

Man schreibt dies kurz als
SO(3,1) ~ SU(2)*SU(2)
d.h. man kann die Algebra der SO(3,1) algebraisch umformen zu zwei getrennten SU(2)-Algebren. Auch die Zahl der Dimensionen passt wieder. Man hatte für die SO(3,1) die Dimension sechs (drei Rotationen, drei Boosts), für die SU(2)*SU(2) findet man zweimal drei Generatoren der SU(2), also wieder sechs.

Man erhält die Spinoren also aus einer algebraischen Manipulation der SO(3,1). Demnach ist der Spin keine rein quantenmechanische Eigenschaft, sondern zugleich auch eine relativistische. Ohne die Lorentzgruppe SO(3,1) wüsste man nicht, wieso man es den Spin eigentlich gibt.

Auch die „Verdoppelung“ der SU(2) findet man in der Natur wieder. So beschreibt man z.B. Elektronen, Positronen, Quarks usw. durch sogenannte Diracspinoren. Das sind vierkomponentige Objekte, wobei jeweils zwei Komponenten einer SU(2) entsprechen.
Gruß
Tom

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Beitrag von tomS » 16. Apr 2008, 21:03

zur SU(3) im Quarkmodell
Als Einstimmung auf die Bedeutung der SU(3) im Quarkmodell hier zwei Links zur Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Quark_model
http://en.wikipedia.org/wiki/SU%283%29
Weitere Erläuterungen folgen.
Gruß
Tom

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Beitrag von tomS » 16. Apr 2008, 21:04

Quarkmodell und SU(3)

So, nach viel Mathematik jetzt zum versprochenen Quarkmodell.

Zunächst muss man vorausschicken, dass es bei den Quarks zwei SU(3) Symmetrien gibt:

Zum Einen die SU(3)-Color Symmetrie der starken Wechselwirkung = der QCD. Diese SU(3) Symmetrie ist eine lokale Eichsymmetrie, die Eichbosonen sind die Gluonen, die den Zusammenhalt der Quarks in den Hadronen bewirkt und deren „Rest-Wechselwirkung“ wiederum Protonen und Neutronen zu Atomkernen bindet.

Zum anderen die SU(3)-Flavor Symmetrie entsprechend der Quarksorten. Zunächst kannte man den sogenannten Isospin mit SU(2) Symmetrie für Protonen und Neutronen bzw. für die zugrundeliegenden Quarks u und d. Bald wurde jedoch das s-Quarks entdeckt, das nur unwesentlich schwerer ist als u und d, und die SU(2) wurde durch die SU(3) ersetzt. Heute kennt man sechs Quarks (u, d, s, c, b, t), da die letzten drei jedoch deutlich schwerer sind, ist die zugehörige SU(6) Symmetrie eben keine gute Symmetrie in der Natur.

Die Entdeckung des Quarksmodells (Gell-Mann, Zweig) und der SU(3)-Flavor Symmetrie hatte eine phänomenologische Anwendung der SU(3) zu folge. Man versuchte durch Symmetrieargumente, Zustände aus mehreren Quarks zu konstruieren und innerhalb der SU(3)-Flavor zu klassifizieren. Daraus ließen sich relativ genaue Vorhersagen über die Massenverhältnisse der Hadronen ableiten. Außerdem war es möglich, sogar neue Teilchen und ihre Eigenschaften (Spin, elektrische Ladung, Symmetrien) vorherzusagen, die dann auch im Experiment gefunden wurden. Man kannte jedoch nicht die Dynamik, d.h. die Wechselwirkung, die die Quarks zusammenhält.

Dies war der QCD vorbehalten. Die SU(3)-Color ist an sich strukturell identisch zur SU(3)-Flavor; ein wesentlicher Unterschied ist, dass es sich um eine Eichtheorie handelt, d.h. dass die Klassifizierung nach Darstellungen nur die halbe Miete ist. Man muss den komplizierten Formalismus von lokalen Eichfeldern verwenden, um die Dynamik zu verstehen. Im Falle der SU(3)-Color stellt man fest, dass alle beobachtbaren Hadronen ausschließlich Color-Singuletts sind, d.h. zwar tragen die Quarks Farbe (rot, blau, grün) entsprechend der dreidimensionalen Fundamentaldarstellung der SU(3), jedoch sind alle zusammengesetzten Teilchen Singuletts, d.h. Zustände aus der trivialen Darstellung. Dieses sogenannte Color-Confinement kann nicht aus algebraischen Eigenschaften der SU(3) abgeleitet werden.

Zurück zur SU(3)-Flavor - bzw. zunächst noch zum SU(2) Isospin. Diese Symmetrie ist analog der SU(2) des Spins aufgebaut. Die Fundamentaldarstellung ist zweidimensional,
statt |ℓ=1/2, m=-1) und |ℓ=1/2, m=+1) schreibt man |d) und |u) für die beiden Quarks.

Aus diesen Quarks kann man nun andere Zustände zusammensetzen. Man findet die Triplett-Darstellung für die drei Pionen entsprechend der Quark-Kombinationen
|π0) = |u,anti-u – d, anti-d)
|π+) = |u, anti-d)
|π-) = |d, anti-u)
und eine „zusammengesetzte“ Dublett-Darstellung für Protonen und Neutron entsprechend der Quark-Kombinationen
|p) = |uud)
|n) = |udd)

Interessant wird es nun, wenn man das s-Quark mit dazu nimmt und damit von der SU(2) zur SU(3) übergeht. Die Dimension der Fundamentaldarstellung ändert sich von 2 auf 3, die Dimension der Gruppe von 3 auf 8. D.h. es gibt acht Generatoren Tª. Bei der SU(3)-Color werden diese Matrizen auch als Gell-Mann-Matrizen λª bezeichnet, die Tª entsprechen dann λª/2. (Der Faktor 2 ist Konvention).
Ein wesentlicher Unterschied zur SU(2) ist, dass die SU(3) den Rang zwei hat, d.h. neben der o.g. Quantenzahl m bei den Drehimpuls-Darstellungen hat man noch eine weitere Quantenzahl, die sogenannte Hyperladung. Dem entsprechen jetzt zwei diagonale λª, für a=3 (Isospin) und a=8 (Hyperladung).
D.h. dass man die Zustände jetzt wie folgt benennen muss:
|ℓ, I³, Y)
Dabei steht ℓ für das Multiplett (Singulett, Triplett, Oktett, ...), I³ für die dritte Komponente des Isospins (beim Drehimpuls war das das m) und Y für die Hyperladung.

Die Klassifizierung der Hadronen für auf die Einordnung nach |ℓ, I³, Y). Zunächst werden Hadronen nach unterschiedlichen ℓ-Werte, d.h. in unterschiedlichen Multipletts klassifiziert. Innerhalb jedes Multipletts werden die Hadronen dann in ein Koordinatensystem / Gitter gemäß der beiden Werte I³ und Y eingetragen. Daraus erhält man die bekannten Acht- (Oktett) bzw. Zehnecke (Dekuplett), die aus den fundamentalen Dreiecken (Triplett) zusammengesetzt sind. Siehe dazu die letzten beidem Links zur Wikipedia sowie die Graphiken.

Betrachtet man alle niedrigdimensionalen Darstellungen, so sind dies 1 (Singulett), 3 (Triplett = Fundamentaldarstellung), 8 (Oktett) und 10 (Dekuplett). Höhere gibt es ebenfalls, sie sind jedoch hier erstmal nicht relevant. Alle außer dem Triplett kommen in der Natur als beobachtbare Teilchen vor (wobei einige aus drei Quarks und andere aus einem Quarks und einem Anti-Quark zusammengesetzt sind; s.o.). Interessant ist, dass alle diese Multipletts (ihre Existenz) sowie ihre Eigenschaften (bzw. die der enthaltenen Teilchen) ausschließlich aus der o.g. Darstellungstheorie abgeleitet werden konnten – mit Ausnahme der Nicht-Existenz des Tripletts, d.h. freier Quarks!

Hier kommt nun die SU(3)-Color ins Spiel. Man fordert die Existenz einer weiteren Ladung (Farbladung), ebenfalls in der Fundamentaldarstellung, und ordnet jedem Quark neben dem Flavor noch eine Color = Farbe zu. D.h. dass man ein Proton z.B. wie folgt schreiben kann:
|p) = |uud) = |ein Element aus dem SU(3)-Flavor-Oktett) und
|p) = |SU(3)-Color-Singulett).
D.h. man fordert, dass alle beobachtbaren, freien Teilchen immer Color-Singuletts sein müssen. So kann man die Nicht-Existenz freier Quarks also die Nicht-Existenz von Color-Tripletts „erzwingen“. Außerdem kann man z.B. auch exotische Zustände aus z.B. vier Quarks ausschließen, da z.B. der Zustand |uuud) nie ein Color-Singulett sein kann, obwohl er nach der SU(3)-Flavor ebenfalls erlaubt wäre.

Diese Forderung nach Color-Singuletts ist jedoch ein algebraischer Kunstgriff. Er sorgt dafür, dass man genau die Teilchen beobachtet, die man beobachtet, erklärt jedoch nicht, warum man eben Color-Singuletts fordert. Dies ist die QCD vorbehalten, die aus der algebraischen Betrachtung der SU(3)-Color eine lokale Eichsymmetrie mit Wechselwrikung (über die Gluonen macht). Nach der QCD wird nicht gefordert, dass es nur Color-Singuletts gibt, sondern dies folgt dynamisch aus den Gleichungen der Theorie (Color-Confinement). Man kennt bis heute jedoch keine exakte theoretische Herleitung, sondern nur i) phänomenologische Ansätze und ii) Computerberechnungen (Gittereichtheorie), die dieses Confinement erklären.
Gruß
Tom

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Beitrag von derNeugierige » 18. Apr 2008, 19:17

Hi Tom,

eine Frage zur Quarkmasse und Nukleonenmasse:

Wegen der Bindungsenergie ist die Atommasse kleiner als die Summe der Nukleonenmasse, das ist der Massendefekt. Denn bei dem Zusammenschluss von Teilchen zu einem gebundenen System wird die Bindungsenergie freigesetzt, und nach Einstein ist ja Energie gleich Masse.
(vielleicht auch noch gleich die Frage, warum überhaupt die Bindungsenergie freigesetzt wird?)

So und nun das Problem: Beim Zusammenschluss von Quarks zu einem Nukleon ist ebenfalls die starke Kernkraft die entscheidende Wechselwirkung. Aber hier ist aufeinmal die Nukleonenmasse viel höher als die Summe der einzelnen Quarks!



Grüße

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Beitrag von tomS » 18. Apr 2008, 20:23

Sehr gute Frage! Das kann man so schnell nicht beantworten.

Man muss grundsätzlich unterscheiden zwischen sogenannten "Constituent-Quarks" und sogenannten "Current-Quarks"; erstere entsprechen so ungefähr den Quarks, die Gell-Mann im Sinn hatte, als er sich das Quark-Modell ausdachte, letztere wären die physikalisch elementaren Quarks - wenn man sie als solche frei beobachten könnte (kann man aber nicht, wegen dem Color-Confinement).

Constituent-Quarks:
- hypothetische Teilchen, die in Summe die Hadronen (Baryonen = Proton, Neutron usw.; Mesonen = Pion usw.) aufbauen
- Summe der Quark-Mmassen = ca. Hadronmasse
- Summe der Quark-Ladung = exakt Hadronladung
- Summe der Quark-Spins = exakt Hadronspin
Auf diese hypothetischen (rein algebraischen) Constituent-Quarks bezieht sich der Massendefekt

Current-Quarks:
- Objekte, die bei harten, hochenergetischen Streuprozessen als einzelne Teilchen im Hadron sichtbar werden (tiefinelastische Streuung)
- tragen die selben Quantenzahlen wie die Constituent-Quarks (el. Ladung, Hyperladung, ...)
- sind als freie Teilchen oder bei niederen Energien nicht beobachtbar
- Massen fast exakt Null! Summe der Massen << Hadronmasse!
Dies sind keine hypothetischen Teilchen, sondern die einzige Art von Teilchen, die sich wenigstens in einigen Experimenten als Teilchen zeigen.

Zusammengefasst: wenn man heute im Rahmen der QCD von Quarks spricht, meint man die Current-Quarks.

Der wesentliche Unterschied zwischen dem naiven, algebraischen Quarkmodell mit "drei Constituent-Quarks = ein Proton" und der QCD ist, dass letztere eine dynamische Theorie wechselwirkender Quarks, Antiquarks und Gluonen ist. D.h. aber, dass leider gilt: "Current-Quarks + jede Menge Quark-Antiquark Paare sowie Gluonen = ein Proton". Man findet, dass der Beitrag der Current-Quarks zur Hadron-Masse, -Ladung sowie -Spin extrem klein ist (also z.B. nur einige Prozent statt 100%).

Man muss also im Rahmen der QCD ein Hadron als kompliziertes Gebilde wechselwirkender Objekte betrachten, die man nicht mehr einfach abzählen kann. Man kann nicht mehr auf ein Quark oder ein Gluon deuten und sagen "so, das ist jetzt eines der drei Quarks". Vergleiche das mal mit dem elektrischen Feld um eine geladenen Kugel oder um ein Elektron: wo ist da das elementare Photon? Ein Hadron ist eine stabile Anregung des QCD Vakuums, wobei unendlich viele elementare "Quanten" der jeweiligen Felder mitspielen müssen, d.h. mit angeregt sind. Insofern ist die Gleichung
|Proton) = |uud)
in der QCD nur teilweise korrekt. Sie ist richtig, was die naive Abzählung der Quantenzahlen / Ladungen / SU(3)-Eigenschaften betrifft, aber sie ist falsch, wenn man sie als dynamische Gleichung auffasst. Man kann sagen, dass die SU(3)-Flavor quasi ihre Spuren hinterlässt, also das Proton verhält sich immer noch wie ein Zustand mit einer bestimmten Symmetrie in einer bestimmten Darstellung der SU(3), aber das Bild, dass es eben aus den drei Quarks und sonst nichts aufgebaut ist, ist falsch.

Analogie ist das Wasserstoffatom: Man gelangt im Bohrschen Atommodell wundersamerweise zu fast exakt richtigen Spektren, aber trotzdem ist das grundsätzliche Bild fundamental falsch, wie man in der Quantenmechanik bemerkt.
Gruß
Tom

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Beitrag von derNeugierige » 19. Apr 2008, 13:03

Also ist der Grund dafür, warum die Nukleonenmasse größer als die Summe der einzelnen Quarks ist, dass man es hier mit einem dynamischen, komplexen System zu tun hat, und man so nicht sagen kann, dass es 3 Quarks sind, die in einem Proton enthalten sind. Sondern es könnten auch 4 sein, und deshalb ist die Nukleonenmasse höher, weil eigentlich 4 Quarks enthalten sind, oder wie?
Ich finde diese Antwort irgendwie unbefriedigend.


Grüße

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Beitrag von tomS » 20. Apr 2008, 01:42

Neuer Versuch.

Symmetrien der QCD
Nehmen wir die SU(2)-Flavor / SU(3)-Color QCD mit masselosen (!) Quarks, also m(u) = m(d) = 0 und ohne s-, c-, b- oder t-Quarks. Ist nur ein mathematisches Modell, liefert aber bereits ziemlich realistische Ergebnisse. Folgende Gleichungen sind zu lösen
(Ĥ – E) |Proton) = 0
Ĝª(x) |Proton) = 0
(I³ - ½) |Proton) = 0
(ein paar andere, die für die Diskussion nicht relevant sind, hab ich weggelassen)

Ĥ ist der Hamiltonoperator, d.h. die erste Gleichung ist die Energie-Eigenwertgleichung. Dabei ist E = mc², also die Ruhemasse des Protons. Diese Gleichung hat mit den Symmetrien zunächst nichts zu tun, sondern entspricht der Schrödingergleichung der Quantenmechanik.

Ĝª(x) ist der sogenannte Gauß-Constraint der SU(3)-Color, also die quantisierte Version des Gauß-Gesetzes. In der SU(3) nummeriert ª dabei die Generatoren, d.h. a=1..8. Integriert man das Gauß-Gesetz über x, so erhält man die Gleichung, dass die Gesamt-Farbladung Null ist
Qª |Proton) = 0
D.h. dass das Proton neutral bzgl. der Farbladungen Qª ist. Zu diesen Farbladungen tragen dabei Quarks und Gluonen bei, Qª ist also ein sehr komplizierter Operator.
Qª ist die quantisierte Version der algebraischen Generatoren Tª, d.h. dass Qª und Tª dieselbe SU(3) Algebra erzeugen, allerdings ist Tª eine gewöhnliche Matrix, Qª dagegen ein Operator in einem (unendlichdimensionalen) Vektorraum, dem sogenannten Hilbertraum.

Die SU(3)-Color Symmetrie der QCD ist dabei einfach die Gleichung
[Ĥ, Ĝª(x)] = 0, oder in der integrierten Version
[Ĥ, Qª] = 0
D.h. dass Ĥ ein Singulett unter SU(3)-Color Transformationen ist und dass alle Eigenzustände von Ĥ, also z.B. |Proton) ebenfalls Singulettzustände sein müssen.
In der lokalen Version mit Ĝª(x) stellt die Gleichung die lokale Eichinvarianz unter SU(3)-Color Eichtransformationen sicher.
Die integrierte Version mit Qª stellt sicher, dass ein farbneutraler Zustand wie das Proton mit auch für alle Zeiten farbneutral bleibt, es ist also so etwas die quantisierte Version der Farbladungserhaltung.

I³ ist der Isospin aus der SU(2)-Flavor. Das Proton hat den Isospin ½. Diese dritte Gleichung ist identisch zu der aus dem einfachen, algebraischen Quark-Modell.
Die SU(2)-Flavor Symmetrie ist keine lokale Eichsymmetrie, d.h. es gibt nur die Gleichung für die Ladungen (der Isospin I³ ist eine davon), keine lokale, x-abhängige Version wie das Gauß-Gesetz.

Zusammenfassend kann man sagen, dass die Operatoren die aus der SU(2)-Flavor bzw. SU(3)-Color bekannten Symmetrien erfüllen und dass die Lösungen der Gleichungen (hier speziell das Proton) in den entsprechenden Multipletts liegen. Bzgl. SU(2)-Flavor und SU(3)-Color sieht alles so aus wie im naiven, algebraischen Quarkmodell. Ein wesentlicher, neuer Operator ist der Hamiltonoperator Ĥ der QCD, den es so im naiven Quarkmodell einfach nicht gibt.

Tief-inelastische Streuung
So, jetzt kommen wir zur eigentlichen Problematik der Anzahl der Quarks im Proton. Man kann ja Quarks nicht direkt sehen und auch nur schwer direkt messen. Man tut dies über die sogenannte tief-inelastische Streuung von Elektronen an Protonen (z.B. bei HERA). Dabei zeigt sich, dass bei hohen Schwerpunktsenergien q² (es handelt sich dabei um ein Viererimpulsquadrat) die Elektronen nicht mehr an einem Proton, sondern in einem bestimmten Regime praktisch an einzelnen, freien Quarks streuen. Man nennt dies die asymptotische Freiheit, d.h. bei großem q² verschwindet das Confinement. Das Elektron „sieht“ quasi einzelne freie Quarks. Man kann zwar die Effekte der anderen Quarks und Gluonen weiterhin nicht vernachlässigen, aber sie sind relativ schwach und können als „kleine Störung“ in der Störungstheorie betrachtet werden.

Schlussendlich misst man in diesen Experimenten sogenannte Strukturfunktionen F¨(q², x) der Protonen, die bestimmten quantenmechanischen Operatoren Ô¨ entsprechen. D.h. F¨ „misst“ den Operator Ô¨ im Proton. Man erhält F¨ aus dem Erwartungswert des Operators
…F¨(q², x) = … (Proton| Ô¨ |Proton)
x steht für den Bruchteil des Impulses, den das Quarks (an dem das Elektron gestreut hat) zum Gesamtimpuls des Protons beiträgt, es gilt also
0 < x < 1.
… steht für weitere Terme, die uns hier nicht interessieren.

¨ steht für verschiedene Typen von Strukturfunktionen, z.B. kann man den Impulsanteil bestimmter Quarksorten messen, oder den Spinanteil, d.h. man berechnet im Wesentlichen das Integral über dx von 0 bis 1 für ein bestimmtes F¨(q², x) und erhält nun eine Funktion M¨(q²). Deren Wert besagt nun z.B.:
- die u-Quarks tragen (bei einem Streuexperiment mit Schwerpunktsenergie q²) soundsoviel zum Proton-Impuls bei
- oder die d-Quarks tragen soundsoviel zum Proton-Impuls bei
- oder alle Quarks (u und d) tragen soundsoviel zum Proton-Impuls bei
- oder alle Quarks (u und d) tragen soundsoviel zum Proton-Spin bei
usw.

Man erwartet nun, dass z.B. der Impulsanteil und der Spinanteil über alle der Quarks gleich 1 ist, also
M¨(q²) = 1 (oder in einer anderen Skalierung ⅓, da es eben drei Quarks im Proton gibt).
Tatsächlich findet man jedoch, dass gilt
M¨(q²) < 1 (teilweise deutlich kleiner 1!)
Demnach tragen die Quarks - es handelt sich um die sogenannten Valence-Quarks - nur einen geringen Bruchteil des Proton-Impulses bzw. des Proton-Spins. Der restliche Anteil kommt von virtuellen Quark-Antiquark-Paaren - den sog. Sea-Quarks und den virtuellen Gluonen. Beide zusammen sind die o.g. Current-Quarks.
Die Valence-Quarks sind die naiv erwarteten drei Quarks (nur eben mit einer deutlich geringeren Masse – hier zu Null gesetzt), die Sea-Quarks sind die virtuellen Quarks (und Antiquarks), die im Proton herumschwirren.

Schlussendlich stellt sich heraus, dass die drei Quarks, die das Elektron „sieht“ bzw. an denen es streut, nur einen Bruchteil des Protons ausmachen, dass das Proton eben mehr ist als „die Summe seiner drei Teile“.

Nun ist es leider so, dass man für die komplizierten Operatoren Ô¨ keine einfachen Lösungen oder Eigenwertgleichungen findet, bzw. dass diese keine einfachen Symmetrieeigenschaften haben. D.h. dass die oben angestellten Überlegungen bzgl. Hamiltonoperator und SU(3)-Color zwar als Bedingungen an den Zustand |Proton) gestellt werden müssen, dass dieser jedoch noch wesentlich mehr Informationen beinhaltet bzw. wesentlich komplizierter ist, als es diese einfachen Gleichungen zunächst vermuten lassen.
Gruß
Tom

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