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Gravitation als reiner Entropieeffekt?

Jenseits des etablierten Standardmodells der Elementarteilchenphysik und der Allgemeinen Relativitätstheorie, d.h. Quantengravitation, Supersymmetrie und Supergravitation, Stringtheorien...
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Gravitation als reiner Entropieeffekt?

Beitrag von tomS » 7. Feb 2010, 15:58

Es gibt einine neuere Arbeiten, in denen der Zusammenhang zwischen Gravitation und Entropie untersucht wird. Ausgangspöunkt war ja die Berechnung der Hawking-Strahung für Schwarze Löcher sowie die Beobachtung Bekensteins, dass formal die Ereignishorizonte analoge Eigenschaften wie ein thermodynamisches System aufweisen, wenn man Fläche des Horizontes mit der Entropie des Schwarzen Lochs identifiziert.

Seither ergeben sich immer wieder neue Hinweise auf eine tiefere Verknüpfung, insbs. seit der Berechnung der Entropie eines Schwarzen Lochs im Rahmen der Schleifenquantengravitation. Diese Berechnung beruht auf der Quantisierung der Raumzeit in sogenannten Spin-Netzwerken. Man betrachtet nun die Punkte auf dem Horiznt, die von dem Spin-Netzwerk duchstoßen werden und interpretiert diese als mikrophysikalische Freiheitsgrade, die das Schwarze Loch nach außen repräsentieren. Dies "induziert" eine neue Quantenfeldtheorie (eine sogenannte Chern-Simons-Theorie), die ausschließlich auf dem Horizont lebt und an die Freiheitsgrade der außerhalb liegenden Raumzeit koppelt. Aus dieser Chern-Simons-Theorie lassen sich nun die Bekenstein-Hawking-Entropie sowie Quantenkorrekturen dazu berechnen.

Jacobson (in einer älteren Arbeit), kürzlich Verlinde mit relativ allgemeinen Argumenten sowie Smolin speziell für die Schleifenquantengravitation drehen diesen Zusammenhang um: statt dass die Quantengravitation die mikrophsykalische Ursache für die Entropie liefert, gehen sie davon aus, dass es gerade umgekehrt die Entropie ist, die sich im Rahmen eines makroskopischen Phänomens als Kraft äußert. Demzufolge wäre die Gravitation keine fundamentale Kraft, sondern ein entropischer Effekt, erzeugt durch Entropiedifferenzen. Verlinde leitet sogar unter relativ allgemeinen Annahmen her, wie das Newtonsche Kraftgesetz F = m*a aus einer reinen Entropiebetrachtung folgt.

http://arxiv.org/abs/1001.0785
On the Origin of Gravity and the Laws of Newton
Erik P. Verlinde
(Submitted on 6 Jan 2010)
Abstract: Starting from first principles and general assumptions Newton's law of gravitation is shown to arise naturally and unavoidably in a theory in which space is emergent through a holographic scenario. Gravity is explained as an entropic force caused by changes in the information associated with the positions of material bodies. A relativistic generalization of the presented arguments directly leads to the Einstein equations. When space is emergent even Newton's law of inertia needs to be explained. The equivalence principle leads us to conclude that it is actually this law of inertia whose origin is entropic.

Smolin geht nun einen Scritt weiter und wendet Verlindes Argmente im Rahmen der Schleifenquantengravitation an:

http://arxiv.org/abs/1001.3668
Newtonian gravity in loop quantum gravity
Lee Smolin
(Submitted on 20 Jan 2010)
"We apply a recent argument of Verlinde to loop quantum gravity, to conclude that Newton's law of gravity emerges in an appropriate limit and setting. This is possible because the relationship between area and entropy is realized in loop quantum gravity when boundaries are imposed on a quantum spacetime."

Smolin verwendet den ersten Hauptsatz der Thermodynamik in der Form



Die erste Gleichung definiert eine Kraft F gemäß einer Potentialdifferenz, während die zweite Gleichung die Potential- bzw. Energiedifferenz zu einer Entropiedifferenz bei gegebener Temperatur T in Beziehung setzt (erster Hauptsatz).Man beachte, dass x hier keine Ortskoordinate oder Lönge darstellt, sondern lediglich formal eingeführt wird. Dies entspricht der Tatsache, dass man x einführt und es nach der Ableitung des Newtonsches Gravitationsgesetzes als Ortskoordinate interpretiert; dass es sich um eine Ortskoordinate handelt wird jedoch zur Ableitung nie vorausgesetzt.

Die Entropie S ist gegeben durch



wobei N der Anzahl der mikrophysikalischen Zustände auf dem Ereignishorizont entspricht. Die Beziehung von Bekenstein zwischen Entropie S und Oberfläche A lautet dann



Unter der Annahme eines thermodynamischen Gleichgewichtes kann man einen Temperaturbegriff T einführen:



Setzt man dies ineinander ein so erhält man letztlich



f steht für einen rein numerischen Faktor.

Smolin argumentiert nun dahingehend,dass sich im Limes c gegen unendlich (Newtonscher Grenzfall unendlicher Lichtgeschwindigkeit) und h gegen Null (klassischer Grenzfall verschwindender Quantenkorrekturen) der Term in der zweiten Klammer als Masse m eines Teilchens imäußeren Gravitationsfeld interpretieren lässt. Dies wird dadurch motiviert, dass die auftretende Länge mit der Comptonwellenlänge des Teilchens identifiziert wird.

Smolin weist darauf hin, dass hier nicht aus der LQG die Entstehung einer klassischen, glatten Raumzeit abgeleitet wird, sondern "nur", dass unter der Voraussetzung einer solchen das x als Abstand interpretiert werden kann und dass bzgl. dieses Abstandes das Newtonsche Gravitationsgesetz abgeleitet wird.
Gruß
Tom

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Re: Gravitation als reiner Entropieeffekt?

Beitrag von PeterM » 7. Feb 2010, 16:40

Hallo Tom,

ich habe mal eine einfache Definition von Entropie, die ich im Netz gefunden, kopiert:

Die Entropie ist ein Maß für die Unordnung eines Systems

Je mehr Zufall in einem System steckt ,desto höher ist die Entropie

Die Entropie ist ein Maß für die Verteilung von Energie und Materie.

Je höher die Entropie , desto gleichmäßiger und zufälliger ist etwas verteilt.


Wenn ich jetzt mal versuche das mit der Gravitation zu verbinden, dann verbleibt irgendwie noch Wärme und Bewegung als Gravitationseffekt. Liege ich da ganz falsch? Oder geht das in die Richtung?

Tut mir leid, mehr kriege ich nicht gebacken.

Gruß

Peter

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Re: Gravitation als reiner Entropieeffekt?

Beitrag von tomS » 7. Feb 2010, 17:31

Es ist wirklich nicht so ganz einfach. Du hast mit deiner Definition recht; sie ist zwar stark vereinfacht, aber grundsätzlich so richtig. Man muss dazu etwas ausholen:

Stell dir ein makroskopisches System, z.B. einen Raum gefüllt mit Gas vor. Dieser Raum hat ein vorgegebenes Volumen V, das Gas hat eine Temperatur T, einen Druck p. Das makroskopische System wird also beschrieben durch diese drei Größen V, T und p. Mehr nicht! Nun kann man außerdem noch eine Energiebilanzgleichung aufstellen, d.h.die Energie betrachten, die diesem System, z.B. durch eine Heizung zugeführt wird. Daraus kann man nun formal einen (recht unanschaulichen) Entropiebegriff ableiten.

Nun weiß man aber, dass das Gas aus Gasmolekülen besteht, d.h. dass sich diese o.g. makrospkopischen Zustandsgrößen aus mikroskopischen Größen ableiten lassen. Man bezeichnet einen fest vorgegebenen Zustand (P,V,T) als einen Makrozustand. Nun betrachet man alle Mikrozustände, die die N Gasmoleküle prinzipiell einnehmen können (d.h. anschaulich gesprochen ihre möglichen Positionen und Geschwindigkeiten). Nun betrachtet man für alle diese möglichen Mikrozustände, die Wahscheinlichkeit, dass er für einen vorgegebenen Makrozustand realisiert ist. D.h.man ordnet jedem Mikrozustand n eine Wahrscheinlichkeit p[down]n[/down] zu. Dann ergibt sich die Entropie zu



Beispiel: Wir betrachten ein System aus zwei Münzen. Die vier möglichen Mikrozustände sind
n=1: {Kopf, Kopf}
n=2: {Kopf, Zahl}
n=3: {Zahl, Kopf}
n=4: {Zahl, Zahl}

Nun definieren wir einen Makrozustand {einmal Kopf, einmal Zahl}. Hier ist es uns egal, welche Münze Kopf und welche Zahl anzeigt. Die Wahrscheinlichkeit, der vier Mikrozustände in diesem Makrozustand ist gegeben durch
n=1: p[down]1[/down] = p{Kopf, Kopf} = 0
n=2: p[down]2[/down] = p{Kopf, Zahl} = 1/2
n=3: p[down]3[/down] = p{Zahl, Kopf} = 1/2
n=4: p[down]4[/down] = p{Zahl, Zahl} = 0

Der erste und der vierte Mikrozustand sind nicht möglich, d.h.p=0, die beiden Mikrozustände 2 und 3 sind gleichwahrscheinlich.Die Engtropie ergibt sich zu



Betrachten wir nun einen anderen Makrozustand, nämlich {zweimal Kopf}. Die Wahrscheinlichkeiten der Mikrozustände ergeben sich zu
n=1: p[down]1[/down] = p{Kopf, Kopf} = 1
n=2: p[down]2[/down] = p{Kopf, Zahl} = 0
n=3: p[down]3[/down] = p{Zahl, Kopf} = 0
n=4: p[down]4[/down] = p{Zahl, Zahl} = 0

Es ist klar, dass nur der erste Mikrozustand realisiert sein kann. Die Entropie ergibt sich zu



Man sieht also, dass je mehr Mikrozustände zu einem Makroszustand,beitragenm desto größer ist die Entropie des Makrozustandes.

Man kann dieses Konzept auch auf eine größere Ansammlung von Münzen anwenden; hätten wir z.B. 1000 Münzen, so wäre ein möglicher Makrozustand {500 mal Kopf, 500 mal Zahl}. Man überlegt sich leicht, dass es eine riesige Anzahl von möglichen Mikrozuständen gibt, d.h.dass dieser Zustand eine dementsprechend große Entropie hat. Betrachtet man dagegene den Makrozustand {1000 mal Kopf, 0 mal Zahl} so findet man sofort wieder, dass seine Entropie gleich 0 ist (da überhaupt nur ein einziger Mikrozustand beiträgt).

Damit sollte der Begriff Entropie einigermaßen klar sein. Was noch nicht bedeuet, dass man daraus bereits irgendeine Verbindung zur Gravitation ableiten kann.
Gruß
Tom

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Re: Gravitation als reiner Entropieeffekt?

Beitrag von tomS » 8. Feb 2010, 08:14

Ich versuche mal,die Idee weiterzuspinnen.

Um eine entropische Kraft zu haben, benötigen wir erstmal fundamentale Freiheitsgrade; ohne diese gibt es auch keine Entropie. In der LQG wird das Argument nun daingehend erweitert, dass die Entropie direkt für einen Horizont (i.A. denm eines schwarzen Lochs) abgeleitet wird. Diesem Horizont wird eine Entropie (nach Bekenstein) und eine Temperatur (nach Unruh) zugeordnet. Die fundamentalen Freiheitsgrade der LQG sind Spin-Netzwerke; diese induzieren eine mikroskopische Chern-Simons Eichtheorie auf dem Horizont.

Nun muss man sich die Frage stellen, was vom Ausgangspunkt, nämlich der Ashtekar-Formulierung der ART eigentlich übrig bleibt. Nicht viel.

Es gibt eigentlich vier wichtige Strukturen
- SU(2)
- Eich-Invarianz / Gauss-Constraint G
- Diffeomorphismus Constraint D
- Hamilton Constraint H

Fangen wir von hintet an: H ist immer noch schlecht verstanden; aber alle wesentlichen Ergebnisse der LQG scheinen entweder unabhängig von der genauen Form von H zu sein, oder sie kommen ganz ohne H aus. G und D sind implementiert bzw. gelöst.

Es bleibt also die Frage: warum SU(2)? Aus der Perspektive der ART ist dies einfach zu benatworten,es handelt sich einfach um eine bestimmte Symmetriestruktur der Raumzeit. Wenn man diese Raumzeit aber vergisst (denn die ist zwar in der historischen Betrachtung als Ausgangspunkt relevant, aber eigentlich nicht fundamental, sondern abgeleitet), dann sehe ich keinen Grund, warum es gerade SU(2) sein soll, und nicht irgendetwas anderes.

Wie gesagt, es bleibt die Frage: warum SU(2)?
Gruß
Tom

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