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Planck-Länge - veränderliche Lichtgeschwindigkeit

Einstein über die Schulter geschaut: Fragestellungen zur Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie, mathematische Methoden, Bedeutung und Interpretation
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Planck-Länge - veränderliche Lichtgeschwindigkeit

Beitrag von tomS » 18. Jan 2008, 22:47

Ich hab zu dem Thema „Frequenzabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit“ ja schon mehrfach was geschrieben, siehe unter Grenzbereiche: „Quantengravitation: Einführung, physikalische Vorhersagen“ sowie unter Relativität: „Lichtgeschwindigkeit“.

Man kann diese ganze Thematik auch rein klassisch und unabhängig von der Quantengravitation betrachten. Das ganze nennt sich „deformed special relativity“ oder „doubled special relativity“, kurz DSR und ist für sich alleine sehr interessant.

Zunächst kurz zur SRT: Einstein leitete die Grundgleichungen der aus zwei Grundprinzipien ab:
A) Konstanz der Lichtgeschwindigkeit für alle Inertialysteme (nicht-beschleunigte Bezugssysteme) und
B) Gleichberechtigung aller Inertialysteme, d.h. kein ausgezeichnetes Bezugssystem
Daraus folgt nun,
1) dass zwei gegeneinander bewegte Beobachter darin übereinstimmen, dass Licht sich immer mit derselben Geschwindigkeit bewegt, unabhängig davon, in welchem System sich die Lichtquelle befindet und wie sie sich bewegt; und
2) dass gegeneinander bewegte Uhren unterschiedliche Zeiten = einen unterschiedliche schnellen Zeitverlauf anzeigen (Zeitdilatation) und dass gegeneinander bewegte Maßstäbe unterschiedliche Längen anzeigen (Längenkontraktion).
Misst man nun in einem Bezugssystem eine Geschwindigkeit, so muss man tatsächlich zwei separate Messungen ausführen, Länge und Zeit, die Geschwindigkeiten ist der Quotient. Normalerweise ergeben sich für zwei gegeneinander bewegte Beobachter nun unterschiedliche Ergebnisse für die Geschwindigkeiten, d.h. neben Länge und Zeit hängen auch Geschwindigkeiten von Bezugssystemen ab. Mit einer Ausnahme: für die Lichtgeschwindigkeit findet man natürlich unabhängig vom Bezugssystem immer denselben Wert (das muss alleine schon aus Konsistenzgründen gelten, man hat es ja als Forderung A hineingesteckt).

Man kann nun darüber spekulieren, dass es eine kleinste Länge gibt, die sogenannte Planck-Länge. Wenn die Planck-Länge in der Natur tatsächlich eine fundamentale Rolle spielt, dann ist es natürlich problematisch, wenn auch sie der Längenkontraktion unterliegt, denn dann würden zwei Beobachter eben nicht übereinstimmen, ob „Etwas“ die Planck-Länge hat. Tatsächlich könnte man dieses „Etwas“ „kürzer machen“, in dem man sich relativ zu ihm in Bewegung setzt.

Davon ausgehend hat man nun versucht, die Grundprinzipien der SRT wie folgt abzuändern:
A neu) Konstanz / Invarianz der Planck-Länge für alle Inertialysteme und
B) Gleichberechtigung aller Inertialysteme, d.h. kein ausgezeichnetes Bezugssystem (unverändert)
Daraus folgt nun – im Gegensatz zu oben,
1 neu) dass sich Licht nicht immer mit der selben Geschwindigkeit bewegt, sondern dass die Lichtgeschwindigkeit von der Frequenz = der Energie der Photonen abhängt; und
2 neu) dass gegeneinander bewegte Uhren unterschiedliche Zeiten = einen unterschiedliche schnellen Zeitverlauf anzeigen (Zeitdilatation) und dass gegeneinander bewegte Maßstäbe unterschiedliche Längen anzeigen (Längenkontraktion) – außer für die Planck-Länge!
D.h. dass nun alle Beobachter darin übereinstimmen, was die Planck-Länge ist – oder anders ausgedrückt, wenn „Etwas“ in einem Bezugssystem die Planck-Länge hat, dann auch in jedem anderen Bezugssystem.

Im Einzelnen findet man:
- modifizierte Gleichungen zu Lorentz-Transformation inkl. Längenkontraktion und Zeitdilatation
- modifizierter Zusammenhang zwischen Energie und Impuls
- frequenzabhängige Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
- zusammenfassend eine sogenannte Deformierung der Poincare-Invarianz
- jedoch weiterhin kein ausgezeichnetes Bezugssystem, d.h. nach wie vor echte „Relativität“

Sämtliche aus der SRT bekannten Gleichungen werden also modifiziert – allerdings sind diese Effekte (zunächst) nicht messbar, da sie sich erst auswirken für Längen vergleichbar mit der Planck-Länge, Zeiten vergleichbar mit der Planck-Zeit, Energien vergleichbar mit der Planck-Energie etc.

Hinweise auf Abweichungen ergeben sich möglicherweise aus Messungen von Photonen unterschiedlicher Energie und unterschiedlicher Laufzeit aber gleichzeitiger Emission: sie kommen zeitversetzt an. Mehr dazu in den o.g. Beiträgen.
Gruß
Tom

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Maclane
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Beitrag von Maclane » 19. Jan 2008, 06:28

Das klingt ja interessant. :)

Aber sag mal, wie ist das denn dann mit dem Übergang von der Planck-Skala zu unserer (metrischen) Skala? Also ich mein, wie ist das denn, wenn ich nun ein Etwas habe, was zwei oder zehn oder eine Million Planck-Längen lang ist?
Oder ich könnte doch auch einen Ein-Meter-Stab als soundso viele Planck-Längen festlegen/messen.

Also klassisch wissen wir doch, dass der Meter-Stab kürzer wird, wenn relativistische Effekte auftreten. Aber die Planck-Länge soll immer gleich bleiben. Ja soll ich dann von von der festgelegten Menge Planck-Längen einfach welche subtrahieren? Wo sind die denn dann hin? Ist doch komisch oder?
Irgendwie will mir das nicht in Kopp. :oops:

Was spricht denn eigentlich dagegen, wenn die Planck-Länge bei hohen Geschwindigkeiten kürzer wird? Es könnte doch auch h oder G kleiner werden, oder nicht? Und wenn nicht, warum nicht?

Nu bin ich ja neugierig geworden. Mehr Infos bitte. :)

Gruss Mac
Das Gehirn ist nur so schlau wie sein Besitzer.

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Beitrag von tomS » 25. Jan 2008, 00:42

Aber die Planck-Länge soll immer gleich bleiben. Ja soll ich dann von der festgelegten Menge Planck-Längen einfach welche subtrahieren? Wo sind die denn dann hin? Ist doch komisch oder?
Um das zu erklären muss man auf die Gleichungen der normalen Lorentztransformation zurückgreifen. Am besten versuch ich das mit einer Analogie. Aus der normalen Lorentztransformation kann man eine Gleichung für die Addition von Geschwindigkeiten ableiten. Aus dieser Gleichung folgt z.B., dass ein Raumschiff, das sich in einem Bezugssystem mit dem 0.8-fachen der Lichtgeschwindigkeit bewegt, in einem anderen Bezugssystem (das sich selbst ebenfalls mit dem 0.8-fachen der Lichtgeschwindigkeit gegenüber dem ersten Bezugssystem bewegt) nur ca. mit dem 0.96-fachen der Lichtgeschwindigkeit bewegt. Naiv würde man ja das 1.6-fache erwarten.
D.h. die Lorentztransformation sorgt dafür, dass die Lichtgeschwindigkeit als Grenzgeschwindigkeit universellen Charakter bekommt.
Für die Planck-Länge (oder besser zunächst die Planck-Energie) versucht man nun das selbe; man konstruiert Gleichungen, die zusätzlich noch dazu führen, dass auf uns vertrauten Energieskalen die gewöhnlichen Lorentztransformationen gelten, dass jedoch bei hohen Energien diese so „deformiert“ werden, dass nie Energien größer als die Planck-Energie entstehen.
Was spricht denn eigentlich dagegen, wenn die Planck-Länge bei hohen Geschwindigkeiten kürzer wird?
Die Idee ist folgende: Effekte auf der Planck-Skala sollen universellen Charakter haben, d.h. z.B. die Aussage „wenn man die Planck-Energie in einem Volumen kleiner der Planck-Länge^3 komprimiert, dann entsteht ein schwarzes Loch“ muss in allen Bezugssystemen richtig sein. Es kann ja nicht in einem Bezugssystem ein schwarzes Loch geben und in einem anderen nur (z.B.) ein gewöhnliches Photon. Da man aber aus einem langwelligen Photon niedriger Energie durch Wechsel des Bezugssystems ein beliebig hochenergetisches Photon in einem beliebig kleinen Volumen „machen“ kann (durch Lorentz-Kontraktion), muss man dafür sorgen, dass trotzdem in beiden Bezugssystemen dieselbe Physik gilt.

Motiviert wird das ganze wie folgt: In Berechnungen in der Quantenfeldtheorie kommen sogenannte virtuelle Teilchen vor, d.h. dass ein Photon kurzfristig virtuell in ein Elektron-Positron-Paar zerfällt und wieder zu einem Photon rekombiniert. Diese Effekte sind nicht direkt beobachtbar, da physikalisch immer nur das Photon sichtbar ist, aber sie sind als theoretisches Konstrukt akzeptiert; aus ihnen lassen sich zahllose korrekte (messbare) Vorhersagen ableiten.
Leider führen sie jedoch zu dem Problem, dass die virtuellen Teilchenpaare rechnerisch „schlecht kontrollierbar sind“. In einer Theorie mit Gravitation würden bei genügend hohen Energien virtuelle Paare schwarzer Löcher entstehen. Man glaubt nun aber, dass diese Effekte auf dieser Skala „verboten“ sind, da kürzere Wellenlängen als die Planck-Länge und höhere Energien als die Planck-Energie physikalisch unsinnig sind. Daher sucht man einen mathematischen Mechanismus, der dies leistet, ohne auf den normalen Energieskalen gegen die SRT zu verstoßen.
Dazu „deformiert“ man die Gleichungen der SRT so, dass sie bei den uns „vertrauten“ Energieskalen nicht von den gewohnten Gleichungen zu unterscheiden sind, dass sie jedoch auf der Planck-Skala zu den geforderten Abweichungen führen.
Tatsächlich ist der ursprüngliche Ansatz auch nicht der, dass die Planck-Länge eine Invariante ist, sondern stattdessen die Planck-Energie, aber letztendlich führt dies auf dasselbe hinaus.
Es könnte doch auch h oder G kleiner werden, oder nicht? Und wenn nicht, warum nicht?
Für h hab ich noch nie gehört, dass sich das jemand überlegt hat.
Für G könnte es derartige Effekte geben. Tatsächlich führen die o.g. Rechnungen mit den virtuellen Teilchen für die QED bzw. QCD zu Effekten, die einem Größerwerden bzw. Kleinerwerden von G (für wachsende Energien) entsprechen. Man nennt dies die Renormierung der Kopplungskonstanten. In der Quantengravitation hat man jedoch das Problem, dass die Rechnungen mit den virtuellen Teilchen (Störungsrechnung) aus mathematischen Gründen inkonsistent werden, da sie zu Unendlichkeiten führen, die man nicht konsistent beseitigen kann. In den mir bekannten Ansätzen der Quantengravitation, die diese Unendlichkeiten vermeidet, kommen die virtuellen Teilchen so nicht vor. Daher weiß ich nicht, ob man vernünftig von einer Renormierung von G sprechen kann. Ich kann mich aber mal schlau machen.
Gruß
Tom

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Beitrag von breaker » 26. Jan 2008, 16:37

Mensch, warum sind die interessantesten Theorien immer die, die man nicht überprüfen kann? :wink:

Wie würden diese modifizierten Gleichungen denn dann aussehen? Bisher hat sich das angehört, als wäre es ziemlich einfach (also im Prinzip fast nochmal das selbe, was Einstein mit den Newton-Gleichungen gemacht hat).
Spontan würde ich mir irgendeinen Faktor vorstellen, wie 1+E/Eplanck, der dazukommt und eben für kleine E gegen 1 geht.
Oder sowas ähnliches.
Ist es so einfach oder wird das doch etwas komplizierter als die alte SRT?

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tomS
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Beitrag von tomS » 27. Jan 2008, 15:43

Gratulation!

Ja Frank, zunächst ist das eigentlich genauso einfach, wie du das beschrieben hast!

Man fordert, dass es eine maximale und invariante (d.h. Beobachterunabhängige) Grenzgeschwindigkeit v=c gibt und man fordert nochmal das selbe für eine Massen-bzw. Energieskala.

Leider ergeben sich auf dem Weg dahin sehr viele mathematische Schwierigkeiten, die bis heute nicht vollständig gelöst sind; ich versuch das mal zusammenzufassen:

1) Die Transformationen für den Viererimpuls (E, P) entsprechen nicht mehr den gewöhnlichen Lorentztransformationen, sondern es treten kompliziertere Funktionen mit Termen 1+xE, 1+xm und 1+xP auf; x ist eine noch zu definierende Skala, z.B. die Plancklänge = 1/Planckmasse). Für x=0 erhält man die bekannten Transformationen zurück.

2) Man kann zwei verschiedenen "Koordinatensysteme" betrachten, eines davon (E, P) mit den o.g. komplizierten Transformationen und dein anderes (e, p) mit den bekannten Transformationen. Letzteres ist ein Hilfskonstrukt, das man nur zwischendurch nutzt, um einfacher rechnen zu können. Man stellt aber nun fest, dass man bei der Wahl der Transformation U(E,p,m) von (E, P) nach (e, p) sehr große Freiheiten hat. Man muss eigentlich nur fodern, dass U wieder Terme der Form 1+xE, 1+xm und 1+xP enthält. Aus der großen Klasse von U kann man die sinnvolle Form nur auf Basis physikalischer Gedankengänge und aufgrund von Experimenten auswählen. Es gibt ein paar Kandidaten, aber mangels eindeutiger Ergebnisse noch nichts endgültiges.

3) Man findet, dass im Impulsraum (E, P) eine andere Metrik gilt als im Ortsraum!!! In der SRT gilt in beiden Räumen die Metrik diag(+1, -1, -1, -1). Hier gilt im Ortraum für ein Teilchen der Masse m eine Metrik, die von dessen Viererimpuls abhängt!

4) Wenn man die mathematische Konstruktion genau durchführt, dann stellt man fest, dass die bekannte Lorentzgruppe SO(3,1) und die daraus resultierende Poincaregruppe modifiziert werden. Die Poincaregruppe basiert auf sogenannten Generatoren für die Transformationen: 3 Rotationen, 3 Boosts, 4 Translationen (inkl. einer Zeittranslation, deshalb vier).

5) Man kann mathematisch die Generatoren der Poincaregruppe alle aus Vierervektoren (t, x) und (E, P) zusammensetzen. Dazu verwendet man die sogenannte Poissonklammer. Versucht man nun, dies für die modifizierte Poincaregruppe zu tun, dann stellt man fest, dass man auch die Poissonklammer modifizieren muss. Dies hat nun drastische Konsequenzen, da dies dazu führt, die zugrundeliegende Geometrie des Ortsraumes nicht-kommutativ wird. D.h. dass für zwei beliebige Raum-Punkte x und y nun gilt x*y ungleich y*x!!! D.h. dass die Koordinaten keine gewöhnlichen Zahlen mehr sind!

6) Damit werden sofort viele Rechnungen ungültig!

7) Es gibt immer noch Unstimmigkeiten, wie bestimmte Ergebnisse zu interpretieren sind. Z.B. erhält man aus den verschiedenen Transformationen U (s.o.) verschiedene Energie-Impuls-Beziehungen (teilw. auch Dispersionsrelationen genannt). Klassisch gibt es nun ein bekanntes Verfahren, wie man daraus die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen / Teilchen einer bestimmten Masse berechnet. Dieses Verfahren beruht auf der Definition von Wellenpaketen, d.h. der Überlagerung von Wellen, und der Betrachtung der sog. Gruppengeschwindigkeit. Diese Rechnung wird nun wegen der nicht-kommutativen Geometrie mehrdeutig. Man ist sich noch nicht einig, wie man diese Mehrdeutigkeiten auflösen kann.

8) Man darf Energien und Impuls nicht mehr einfach addieren!!! Man erhält statt dessen kompliziertere Additionstheoreme, ähnlich wie das relativistische Additionstheorem für Geschwindigkeiten. Nur bzgl. dieses Additionstheorems gelten die bekannten Erhaltungssätze.

Zusammenfassend: Es fehlt noch an physikalischen Erkennntissen, wie man die Mehrdeutigkeiten beseitigen kann:
1) Ableitung einer konkreten "deformed special relativity“ aus einer zugrundeliegenden Theorie der Quantengravitation (es gibt Ansätze)
2) Experimentelle Erkenntnisse (dazu schreib ich noch was)

Folgende Artikel fand ich ganz aufschlussreich:
http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0207/0207085v1.pdf
http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0205/0205067v3.pdf
http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0405/0405273v1.pdf

Siehe außerdem folgende Beiträge hier im Forum:
Von Ray unter "News- Links: "Lorentz-Invarianz mit kosmischer Strahlung bestätigt"
http://abenteuer-universum.de/viewtopic ... highlight=
Von mir unter "Grenzbereiche": "Quantengravitation: Einführung, physikalische Vorhersagen", mein zweites Posting vom 4.12.2007
http://abenteuer-universum.de/viewtopic.php?t=647
Gruß
Tom

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Beitrag von tomS » 30. Jan 2008, 01:41

Ich hab versprochen, noch was zur experimentellen Situation zu sagen.

Vorab aber noch eine Anmerkung zu zwei verschiedenen Mechanismen, wie man auf die variable Lichtgeschwindigkeit bzw. auf andere verwandte Effekte kommt.

Zum einen gibt es die DSR, die ich oben schon beschrieben habe. Die DSR besagt in Kürze:
- Die Poincare-Symmetrie ist nicht gebrochen, sie ist jedoch nicht-linear realisiert (deformiert).
- Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt.
- Die Energie-Impuls-Beziehung weicht von der bekannten E² - p² = m² ab.
- Als Konsequenz ergibt sich ebenfalls eine energieabhängige Lichtgeschwindigkeit v(E).
- Viererimpulse müssen nicht-linear addiert werden (vgl. rel. Addition von Geschwindigkeiten).

Zum einen gibt es die spontane Brechung der Lorentz-Invarianz (habe ich nicht im Detail beschrieben) Sie besagt in Kürze:
- Die Poincare-Symmetrie ist gebrochen.
- Es gibt ein ausgezeichnetes Bezugssystem.
- Die Energie-Impuls-Beziehung weicht von der bekannten E² - p² = m² ab.
- Als Konsequenz ergibt sich ebenfalls eine energieabhängige Lichtgeschwindigkeit v(E).
- Viererimpulse werden wie gewohnt addiert.

In beiden Fällen ist die Abweichung von E² - p² = m² von der Form E² - p² = m² + a * (E/M) * p²
(+ weitere Terme, die jedoch mit höheren Potenzen von M unterdrückt sind). Dabei ist M die Planck-Masse und a ein zu bestimmender Parameter. Die Abweichungen verschwinden für p=0 (Ruhe).

Vergleich der beiden Ansätze:

Beide Ansätze führen zu teilweise abweichenden, teilweise identischen Vorhersagen.

Lichtgeschwindigkeit:
Zunächst lassen beide Theorie sowohl Modifikationen für Photon-Geschwindigkeiten v(E) kleiner c als auch für v(E) größer c zu, dies entspricht dem Fall a negativ bzw. a positiv (s.o.). Im Grenzfall E = 0 ergibt sich jeweils v(0) = c.
Da die Brechung der Lorentz-Invarianz ein Bezugssystem auszeichnet, sollte in diesem Bezugssystem c als Grenzgeschwindigkeit gelten, jedoch (energieabhängig) für v(E) kleiner c. Für E = 0 natürlich v = c. Hier gilt also a negativ.
Es gibt ein mathematisches Argument, dass die Deformation der Lorentztransformationen nur für den Fall v(E) größer c konsistent ist. D.h. für die DSR sollte a positiv gelten.

Photonen-Zerfall:
Betrachtet man den Zerfall eines Photons in ein Elektron-.Positron-Paar, so stellt man fest, dass dieser Zerfall gewöhnlich verboten ist (die Energie-Impuls-Beziehung kann nicht konsistent gelöst werden).
Für den Fall der gebrochenen Lorentz-Invarianz wird dieser Zerfall nun ab einer bestimmten Schwellenenergie möglich. Dies signalisiert, dass die Lorentz-Invarianz tatsächlich gebrochen ist, da nun nicht mehr alle Bezugssysteme gleichberechtigt sind, denn sonst wäre der Zerfall ja auch in einem Bezugssystem möglich, in dem das Photon niedrigere Energie hat.
Für die DSR bleibt der Zerfall verboten.

Synchrotron-Strahlung:
Für die gebrochene Lorentz-Invarianz betrachtet den Fall a negativ. Daraus ergibt sich, dass Elektronen eine bestimmte Grenzgeschwindigkeit und daher die Frequenzen der Synchrotronstrahlung eine bestimmte Grenze nicht überschreiten können. Es gibt also eine maximal mögliche Grenzfrequenz für Synchrotronstrahlung.
Für die DSR betrachtet den Fall a positiv. Daraus ergibt sich weder eine Grenzgeschwindigkeit, noch eine Grenzfrequenz.

Schwellenenergien für Photonen:
Aufgrund der Wechselwirkung von hochenergetischen Photonen mit der kosmischen Hintergrundstrahlung können in den Kollisionen Elektron-Positron-Paare erzeugt werden. Daher sollten hochenergetische Photonen ab einer bestimmten Schwellenenergie nicht mehr beobachtet werden.
Für die gebrochene Lorentz-Invarianz ergibt sich eine signifikante Erhöhung dieser Schwellenenergie.
Für die DSR ergibt sich dagegen kaum eine Veränderung (d.h. unter der experimentellen Nachweisgrenze).

Schwellenenergien für Protonen:
Aufgrund der Wechselwirkung von hochenergetischen Protonen mit der kosmischen Hintergrundstrahlung können in den Kollisionen Pion-Antipion-Paare erzeugt werden. Daher sollten hochenergetische Protonen ab einer bestimmten Schwellenenergie nicht mehr beobachtet
Die Ergebnisse sind im Wesentlichen identisch mit der Argumentation für die Photonen:
Für die gebrochene Lorentz-Invarianz ergibt sich eine signifikante Erhöhung der Schwellenenergie.
Für die DSR ergibt sich dagegen kaum eine Veränderung (d.h. unter der experimentellen Nachweisgrenze).

Flugzeitexperimente:
Aufgrund der frequenzabhängigen Lichtgeschwindigkeit v(E) sollte man bei zeitlich eng eingrenzbaren Gamma-Ray-Bursts nachweisen können, ob Photonen unterschiedlicher Energie zu unterschiedlichen Zeiten registriert werden. Problematisch ist natürlich, dass es noch Unsicherheiten bzgl. der genaue Gamma-Ray-Bursts gibt. Es könnte ja bereits bei der Emission Frequenzabhängigkeiten geben.
Hier können die beiden Theorien direkt verglichen werden, da man aus a negativ bzw. a positiv sofort ableiten kann, dass Photonen mit höherer Energie später bzw. früher ankommen.

Zwei Papiere sollten nützlich sein: „Modern Tests of Lorentz Invariance“
http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0502/0502097v2.pdf
sowie
„Phenomenology of Doubly Special Relativity“ http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0312/0312124v1.pdf
In beiden Artikeln werden mehrere Modelle, insbs. Brechung der Lorentz-Invarianz sowie DSR analysiert
Gruß
Tom

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