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Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 11. Mai 2020, 14:55

Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 14:33
... musst du zeigen, daß die Äquivalenzklassen alle disjunkt sind. Das kannst du aber nur für den abzählbaren Bereich tun mit endlichen Differenzen.
Ja, und das ist ausreichend, weil mich nur der endliche Bereich interessiert. Es ist deine Idee, das auszuweiten.
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 14:33
Entweder du hast ein Element, welches A) keiner Klasse angehört oder du hast ein Element, welches B) zwei Klassen angehört.
A) sei F/~ wie oben und sei f aus F, jedoch existiere kein [f] in F/~. Nun ist f ~ f, d.h. es gibt sicher ein [f] mit zumindest einem Element f. Der Fall (A) ist also ausgeschlossen.
B) sei h ein Element in [f] und in [g], jedoch [f] ungleich [g]; wenn h ~ f für alle f in [f] und wenn h ~ g für alle g in [g], dann ist wegen f ~ h ~ h ~ g auch [f] = [g]. Der Fall (B) ist ebenfalls ausgeschlossen.
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 14:33
Was ist der maximale Unterschied zwischen dem gewählten Repräsentanten und der tatsächlich realisierten Hutfolge?
Der Unterschied kann gleich jeder beliebigen, endlichen Zahl sein. Es gibt kein Maximum.

Wichtig:
tomS hat geschrieben:
11. Mai 2020, 14:04
Du begehst zwei Fehler:
1) Du hast ein Problem, zwischen dem aktual Unendlichen und dem beliebig, jedoch endlich zu unterscheiden.
2) Du betrachtest den Beweis, als ob dieser eine konstruierbare oder berechenbare Lösung liefern müsste; das war nie der Anspruch.
Dann:
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 14:33
Die Wahrscheinlichkeit für eine hohe Differenz ist größer als für kleine Differenzen.
Per Definition der Äquivalenzrelation hat man implizit festgelegt, daß dieser Unterschied gegen unendlich geht, aber endlich bleibt.

Man kann annehmen, daß jedes Element der Äquivalenzklasse dieselbe Wahrscheinlichkeit hat realisiert zu werden
Du argumentierst mit etwas - einem Wahrscheinlichkeitsmaß - das auf derartigen Mengen nicht existiert.
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 14:33
Die Äquivalenzrelation ist 'broken by design'
Dann müsstest du - ohne Rückgriff auf das vorliegende Problem oder undefinierte Begriffe wie „Wahrscheinlichkeitsmaße über Äquivalenzklasse“ - einen logischen Widerspruch konstruieren. Nochmal ganz einfach die bereits eingeführte äquivalente Darstellung, in der die Folgenglieder 0,1 als Nachkommastellen einer reellen Zahl in Binärdarstellung interpretiert werden:

Zwei reelle Zahlen r,s aus [0,1] seien äquivalent, d.h. r ~ s, genau dann, wenn |s - r| = p/(2^k) für geeignete ganze Zahlen p,k.

Bitte zeige genau dafür einen logischen Widerspruch zu den Eigenschaften einer Äquivalenzrelation.


Wenn ich das lese
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 14:33
Du willst einerseits nur Hutfolgen der Äquivalenzklasse zuordnen, die endlich viele Differenzen zum Repräsentanten haben. Andererseits bekommst du praktisch immer eine Folge auf den Tisch geknallt, die von ihrer Äquivalenzklasse im Durchschnitt unendlich weit weg ist.
habe ich den Eindruck, du hast das Konzept nicht verstanden.

Jede Folge f in [f] ist von jeder beliebigen anderen Folge in [f] immer nur „endlich weit“ entfernt; wenn „unendlich weit“, dann gehört sie zu einem anderen [g].
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 11. Mai 2020, 15:38

ps: Du hattest deinen Post editiert, während ich das hier geschrieben habe. ich lass es trotzdem mal erst stehen.

Hey tom, nochmal kurz hierzu:
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 14:33
Annahme: Die Sünder machen das Spiel beliebig oft und wählen jedes mal die richtige Äquivalenzklasse. Wie hoch ist dann im Durchschnitt die Anzahl der Verdammten pro Durchgang? Die Antwort hierauf zeigt denke ich den Widerspruch am Besten.
Die Äquivalenzrelation will nur eine endliche Differenz.
Die durchschnittliche Abweichung ist aber limn->unendlich (n*(N^n/N^n)) = limn->unendlich (n) = unendlich
Dabei sei n die Anzahl der Abweichungen vom Repräsentanten, während man alle Folgen als gleich wahrscheinlich annimmt.

Du willst einerseits nur Hutfolgen der Äquivalenzklasse zuordnen, die endlich viele Differenzen zum Repräsentanten haben. Andererseits bekommst du praktisch immer eine Folge auf den Tisch geknallt, die von ihrer Äquivalenzklasse im Durchschnitt unendlich weit weg ist.
Die Wahrscheinlichkeit für den Repräsentanten ist genau so hoch, wie für jede Folge, welche um einen Hut abweicht.
Ich denke es ist klar, daß die Wahrscheinlichkeit um von der Äquivalenzklasse um einen Hut abzuweichen IN mal hörer ist, als bei der Hutvergabe den Repräsentanten direkt zu bekommen und damit erraten zu haben.
Es gibt IN mal mehr Folgen, welche um 2 Hüte abweichen, als es Folgen gibt, welche nur um 1 Hut differieren; die Wahrscheinlichkeit für eine 2 Hut-Differenz ist IN mal höher.
Es gibt IN mal mehr Hutfolgen, welche um 3 Hüte abweichen, als es Hutfolgen gibt, die um 2 Hüte abweichen.
Egal welche Äquivalenzklasse bei der Hutvergabe realisiert wird, ist eine Folge, die vom Repräsentanten um n+1 abweicht, IN mal höher als alle anderen Folgen, die eine kleinere Differenz aufweisen, zusammen.
Die Wahrscheinlichkeit etwas zu ziehen, was sich innerhalb der Menge der Äquivalenzklasse befindet ist Null. Selbst wenn man tatsächlich eine ganz bestimmte Äquivalenzklasse realisiert bekommt, ist die Wahrscheinlichkeit für alle endlich differierenden Elemente zusammen Null. Nochmal im Klartext: Nicht einmal alle Elemente der Klasse zusammen haben eine Wahrscheinlichkeit größer Null, selbst wenn die Klasse tatsächlich gewählt wurde.

tomS hat geschrieben: Du argumentierst mit etwas - einem Wahrscheinlichkeitsmaß - das auf derartigen Mengen nicht existiert.
Eine diffuse Wahrscheinlichkeitsverteilung existiert aber auf der Grundmenge. Auch: Jede Hutfolge hat dieselbe Wahrscheinlichkeit - kann man induktiv aus der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Hutes/Bits ableiten. Deine Aufgabe impliziert, daß die Wahrscheinlichkeit von weißen und schwarzen Hüten je 50% beträgt. Wieso sollte ich nicht Schlüsse daraus ziehen können? Ich muss nicht die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Elemente berechnen können. Die Konstanz der Dichtefunktion über der Grundmenge ist völlig ausreichend... und die ist auch Voraussetzung für deine Aufgabenstellung.
tomS hat geschrieben: Dann müsstest du - ohne Rückgriff auf das vorliegende Problem oder undefinierte Begriffe wie „Wahrscheinlichkeitsmaße über Äquivalenzklasse“ - einen logischen Widerspruch konstruieren.
Muss ich das? Ich habe doch selbst gezeigt, daß ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß über der Äquivalenzklasse keinen Sinn macht und widersprüchlich ist. Es ist die Definition der Äquivalenzrelation und deines Beweises, welche behauptet, die Wahrscheinlichkeit einer endlichen Diskrepanz zum Repräsentanten sei 100%.
Du selbst hast den Elementen innerhalb der Äquivalenzklasse eine kummulative Wahrscheinlichkeit von 100% zugeordnet und behauptet, die Abweichung sei immer endlich. Ich habe nur aufgezeigt, daß das nicht geht.
tomS hat geschrieben: Nochmal ganz einfach die bereits eingeführte äquivalente Darstellung, in der die Folgenglieder 0,1 als Nachkommastellen einer reellen Zahl in Binärdarstellung interpretiert werden:

Zwei reelle Zahlen r,s aus [0,1] seien äquivalent, d.h. r ~ s, genau dann, wenn |s - r| = p/(2^k) für geeignete ganze Zahlen p,k.

Bitte zeige genau dafür einen logischen Widerspruch zu den Eigenschaften einer Äquivalenzrelation.
Mehrdeutige Aufgabenstellung. Beliebige aber feste p & k oder variable p & k?
Je nachdem würde ich den Widerspruch zur Transitivität versuchen zu zeigen.
Reflexiv für p=0 und k=1
Symmetrisch für beliebige p und k
Transitiv: Abhängig von Aufgabenstellung. Ja, falls p und k Variablen. Nein, falls p und k Parameter.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 11. Mai 2020, 16:23

Hallo skeltek, bitte nochmal den letzten Beitrag lesen: Wahrscheinlichkeiten sind unnötig und führen zu nichts, da letztlich nicht definierbar.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 11. Mai 2020, 16:28

Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 15:38
Die Wahrscheinlichkeit für den Repräsentanten
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 15:38
IN mal hörer ist
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 15:38
Die Wahrscheinlichkeit etwas zu ziehen, was sich innerhalb der Menge der Äquivalenzklasse befindet ist Null.
Hallo Skel,

Du argumentierst hier mit Wahrscheinlichkeiten und mit einem "Produkt mit IN".

An sich könnte man auch umgekehrt argumentieren, dass die Menge der unbekannten Hutfarben ebenfalls sehr klein ist - pro Hutfolge nur einer von unendlich vielen.

Ich denke, es bringt nichts, hier Unendlichkeiten gegeneinander "abzuwägen"; man muss einfach die Axiome sinnvoll nutzen und dann schauen, was dabei herauskommt. Und obgleich Du jede reelle Zahl mithilfe zweier rationaler Zahlen beliebig gut approximieren kannst reichen die rationalen Zahlen nicht ins Übermächtige hinein.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 11. Mai 2020, 16:37

Hey Tom,
ich habe es eigentlich anders aufgefasst. Du weist implizit der Gesamtheit der endlichen Diskrepanzen die Wahrscheinlichkeit 100% zu (indem du sagst, daß die Differenz der Hutfolge zum Repräsentant immer endlich ist; das tust du schlicht per Definition).
Eigentlich wollte ich zeigen, daß gerade das nicht geht und keinen Sinn macht.
Rollentausch?
Gruß, Skel
ralfkannenberg hat geschrieben: Du argumentierst hier mit Wahrscheinlichkeiten und mit einem "Produkt mit IN".

An sich könnte man auch umgekehrt argumentieren, dass die Menge der unbekannten Hutfarben ebenfalls sehr klein ist - pro Hutfolge nur einer von unendlich vielen.

Ich denke, es bringt nichts, hier Unendlichkeiten gegeneinander "abzuwägen"; man muss einfach die Axiome sinnvoll nutzen und dann schauen, was dabei herauskommt.
Darum geht es nicht direkt. Es geht darum, daß ihr sagtet, die Elemente der Relation würden sich nur in endlich vielen Hüten unterscheiden. Genau das ist eure Rechtfertigung dafür, daß man jederzeit durch Vergleich die Hutfolge einer Äquivalenzklasse zuordnen kann (durch Vergleich mit Repräsentant der Folge).
Es geht darum, ob es prinzipiell möglich ist, eine Folge zufällig zu ziehen, die sich wenigstens halbwegs in einem endlichen Bereich um den Repräsentanten herum befindet. Ihr sagtet, die Wahrscheinlichkeit sei ungleich Null 100%. Ich sage diese Wahrscheinlichkeitsverteilung von 100% macht keinen Sinn und führt zu einem Widerspruch. Jede mögliche Folge über der Grundmenge muss dieselbe Wahrscheinlichkeit haben gezogen zu werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Grundmenge ist zweifelsfrei wahr. Eure ist es meiner Meinung nach nicht.
Ihr müsst begründen, wie eure 100%ige Wahrscheinlichkeit einer endlichen Differenz zustande kommt - das kann man nicht einfach per willkürlicher Definition festsetzen.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 11. Mai 2020, 17:49

Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 16:37
Hey Tom,
ich habe es eigentlich anders aufgefasst. Du weist implizit der Gesamtheit der endlichen Diskrepanzen die Wahrscheinlichkeit 100% zu (indem du sagst, daß die Differenz der Hutfolge zum Repräsentant immer endlich ist; das tust du schlicht per Definition).
Von Wahrscheinlichkeiten war bei mir nie die Rede, auch nicht implizit oder per Definition.
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 16:37
Es geht darum, ob es prinzipiell möglich ist, eine Folge zufällig zu ziehen, die sich wenigstens halbwegs in einem endlichen Bereich um den Repräsentanten herum befindet.
Verstehe ich nicht. Warum sollen wir Folgen zufällig ziehen?
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 16:37
Ihr müsst begründen, wie eure 100%ige Wahrscheinlichkeit einer endlichen Differenz zustande kommt - das kann man nicht einfach per willkürlicher Definition festsetzen.
Nein, weil wir nicht von Wahrscheinlichkeiten reden.

Wir müssen zeigen, dass eine Strategie existiert, nach der höchstens endlich viele Zwerge falsch raten. Und das wurde gezeigt, ohne Wahrscheinlichkeiten.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 11. Mai 2020, 20:08

Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 16:37
Darum geht es nicht direkt. Es geht darum, daß ihr sagtet, die Elemente der Relation würden sich nur in endlich vielen Hüten unterscheiden. Genau das ist eure Rechtfertigung dafür, daß man jederzeit durch Vergleich die Hutfolge einer Äquivalenzklasse zuordnen kann (durch Vergleich mit Repräsentant der Folge).
Es geht darum, ob es prinzipiell möglich ist, eine Folge zufällig zu ziehen, die sich wenigstens halbwegs in einem endlichen Bereich um den Repräsentanten herum befindet. Ihr sagtet, die Wahrscheinlichkeit sei ungleich Null 100%. Ich sage diese Wahrscheinlichkeitsverteilung von 100% macht keinen Sinn und führt zu einem Widerspruch.
Hallo Skel,

lass es mich einmal ein bisschen anders ansetzen.

An sich würde es ja genügen, "irgendetwas" zu definieren, was sich in höchstens einem Folgenglied der Hutfolge unterscheidet, denn jeder Sünder sieht ja alle Hüte ausser seinem eigenen. Dürften die Sünder miteinander reden, so könnten bereits die beiden ersten Sünder allen anderen sagen, welche Farbe ihr Hut hat.

Nun ist das Problem, dass sich mit den Hutfolgen, die sich höchstens in einem Folgenglied unterscheiden, keine Äquivalenzklasse bilden lässt, weil die Transtivität verletzt ist:

sei f:=(0,0,0,0...), also alles Nullen
sei g:=(1,0,0,0...), also vorne eine 1, dann alles Nullen
sei h:=(1,1,0,0...), also vorne zwei 1, dann alles Nullen

f und g unterscheiden sich nur im ersten Folgenglied, also in höchstens einem Folgenglied
g und h unterscheiden sich nur im zweiten Folgenglied, also in höchstens einem Folgenglied, aber

f und h unterscheiden sich im ersten und im zweiten Folgenglied, also in mehr als höchstens einem Folgenglied.


Das "kleinste" Unterscheidungskriterium, mit dem auch die Transitivität und damit die Äquivalenzklasse erreicht werden kann, ist "höchstens endlich viele". Diese bilden nun die Ausgangsmenge. Dass es daneben noch viele weitere Hutfolgen gibt, die sich in unendlich vielen Folgengliedern unterscheiden und welche Mächtigkeit auch immer diese aufweisen interessiert hier momentan nicht, da wir bzw. die Sünder nur diejenigen, die sich um höchstens endlich viele Folgenglieder unterscheiden, betrachten und daraus Rückschlüsse ziehen.

Und das ist auch ihr gutes (mathematisches) Recht, dass sie nur diese nutzen, zumal der Erfolg ihnen recht gibt. Um die Übrigen endlich vielen, die so nicht gerettet werden können, müssen sich nun eben die Schutzengel, die Namenspatronen und die Gottesmutter kümmern - die katholische Kirche kennt da schon Konzepte, auch diese zu erretten. Und bei den Freikirchen kann man sich direkt an Jesus Christus im Gebet wenden. Aber letztere beide sind nun natürlich keine mathematischen Betrachtungen, stehen aber auch denjenigen, die nichts von Axiomen verstehen, jederzeit offen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 11. Mai 2020, 23:06

tomS hat geschrieben:
11. Mai 2020, 17:49
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 16:37
Es geht darum, ob es prinzipiell möglich ist, eine Folge zufällig zu ziehen, die sich wenigstens halbwegs in einem endlichen Bereich um den Repräsentanten herum befindet.
Verstehe ich nicht. Warum sollen wir Folgen zufällig ziehen?
Die Hutfarben werden zufällig verteilt.
tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 16:37
Ihr müsst begründen, wie eure 100%ige Wahrscheinlichkeit einer endlichen Differenz zustande kommt - das kann man nicht einfach per willkürlicher Definition festsetzen.
Nein, weil wir nicht von Wahrscheinlichkeiten reden.

Wir müssen zeigen, dass eine Strategie existiert, nach der höchstens endlich viele Zwerge falsch raten. Und das wurde gezeigt, ohne Wahrscheinlichkeiten.
Dafür ist aber notwendig, daß die ausgewürfelte Hutfolge in der Äquivalenzklasse ist. Das heißt, sie darf sich nur an endlich vielen Stellen vom Repräsentanten unterscheiden. Die Annahme, daß es möglich ist eine Folge mit nur endlich vielen Unterschieden zu ihrem Klassenrepräsentanten zu erwischen führt zu einem Widerspruch, da es impliziert, daß die Dichtefunktion der diffusen Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der Grundmenge überall unstetig ist.
Schlimmer noch: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zahlen wäre von der vorausgehenden Wahl der Repräsentanten abhängig.

Ihr wendet die Mengenstruktur auf ein Wahrscheinlichkeitsproblem an. Ihr ignoriert aber, daß das Wahrscheinlichkeitsmaß auf dieser nicht mehr gültig ist.
Ich werde jetzt versuchen, worum mich Tom gebeten hat: Die Unvollständigkeit der Äquvalenzklasse zu zeigen:
  • Die Äquivalenzrelation wird definiert, indem sich maximal eine endliche Anzahl an Hüten/Ziffern/Bits unterscheiden sollen.
  • R sei der Repräsentant der Äquivalenzklasse
  • A # B sei die Ziffernfolge, die sich ergibt, wenn man die Differenzen von A und B zu R auf R anwendet.
    z.B. R=11111111; A= 01111111; B= 11001011 -> A # B = 01001011 ; also bitweise die Unterschiede zu R akkumulieren
  • Eine Verkettung A # B # C # ... hat auf grund der Transitivität nur in endlich vielen Stellen eine Abweichung zu R
  • Eine unendliche Verkettung aller abzählbaren Klassenelemente wäre nicht mehr in der Klasse enthalten, deshalb lassen wir diese außer acht (das wollt ihr ja so)
  • Es existieren in jeder Verkettung unendlich viele Ziffern, welche sich nicht von denen in R unterscheiden
  • Es gibt abzählbar viele Verkettungen nach obigem Prinzip (unendliche Ketten schließen wir ja aus)
  • Egal wieviele Verkettungen ihr nach obigem Prinzip verknüpft, bleiben immer unendlich viele Ziffern übrig, welche mit denen in R übereinstimmen - egal was ihr macht und wieviele Elemente ihr auf diese Weise verknüpft, bleiben unendlich viele ziffern übrig, die ich noch verändern kann
  • Ich kann aus jeder beliebigen Verkettung an Elementen jederzeit eine Ziffer konstruieren, welche sich noch nicht unterscheidet und daraus eine Ziffernfolge konstruieren, welche sich in mindestens einer Ziffer von allen Elementen eurer Äquivalenzklasse unterscheidet. Welche Ziffer das ist, muss ich nicht benennen, ich muss nur ihre Existenz zeigen (und ich zeige, daß es jederzeit unendlich viele solcher Ziffern geben wird, immerhin schließt ihr den Abschluss der abzählbaren Menge explizit aus)
  • Ich kann jederzeit ein Element konstruieren, welches sich zwischen eurer endlichen Anzahl an Abweichungen und unendlich vielen Abweichungen befindet, indem ich einfach eine der unendlich vielen noch mit denen in R identischen Ziffern verändere und einen Unterschied zu euren Elementen sicher stelle
  • Die einzige Möglichkeit um zu verhindern, daß ich ein nicht enthaltenes Element konstruieren kann, wäre obige Schnittmengenbildung auf unendliche Ketten auszuweiten. Solange ihr euch weigert die Klassendefinition auf unendlich viele Differenzen auszuweiten, bleiben jederzeit unendlich viele nichtdifferierende Ziffern übrig.
  • Ihr könnt nicht alle Ziffern abdecken, da es sonst gegen die Transitivität meiner oben definieren Verknüpfung "A # B" verstoßen würde.
Es ist ein wenig wie "The diary of Tristram Shandy", wobei die Anzahl der falsch geratenen Hüte seinen Tagebucheintragungen entsprechen.

Ich denke es ist einfach nicht okay, einerseits die Lebesgue-Messbarkeit aufzugeben, dann eine Lösung zu konstruieren und dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung später stillschweigend wieder einzuführen. Wobei hier letzteres noch nicht einmal gemacht wird, was weitaus schlimmer ist für eine Aufgabe, bei der es sich um Wahrscheinlichkeitsrechnung dreht. Das kommt mir vor wie eine Master-Arbeit Version der Grundschulaufgabe, wo an irgendeiner Stelle mit einer Variable gekürzt wird(dividiert), irgendein Widerspruch hingezaubert und letztlich sich herausstellt, daß die Variable eigentlich Null war. Das symbolische Rechnen ist völlig legitim, nur wird auf dem Weg zum Endergebnis irgendwo die Hälfte der axiomatischen Grundlagen außer Kraft gesetzt, aber halt so, daß es das Niveau der Getesteten übersteigt und sie den Fehler nicht entdecken können (nur, daß hier im Vergleich zur Grundschulaufgabe das Niveau mehrere Größenordnungen höher ist).

@ralfKannenberg:
Auf dich antworte ich gleich durch editieren dieses Posts. Kam noch nicht dazu
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 11. Mai 2020, 23:35

@ralfkannenberg:
Lies dir mal "The diary of Tristram Shandy" durch.
Er schreibt alle seine Tage auf und braucht 1 Jahr um einen Tag aufzuschreiben. Falls er sterblich ist, wird er nie mit Schreiben fertig werden und es werden immer Tage fehlen(es sind jederzeit nur endlich viele Tage im Tagebuch aufgeschrieben, trotzdem existieren jederzeit deutlich mehr Tage, die er nicht aufgeschrieben hat). Falls er unsterblich ist, gibt es keinen Tag, den er nicht irgendwann aufschreiben wird.

Ähnlich ist es in der Äquivalenzklasse. Alle Elemente haben nur endlich viele Abweichungen vom Repräsentant, trotzdem bleibt immer der viel größerer Teil der mehr Abweichungen hat nicht enthalten. Es bleibt immer eine Lücke zwischen 'endlich' und 'unendlich'.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 11. Mai 2020, 23:56

Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 23:06
Ihr wendet die Mengenstruktur auf ein Wahrscheinlichkeitsproblem an.
Hallo Skel,

ich verstehe Dein Argument nicht, dass Du hier Wahrscheinlichkeiten einbringen möchtest. Es werden doch gar keine Wahrscheinlichkeiten betrachtet.

Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 23:06
Ihr ignoriert aber, daß das Wahrscheinlichkeitsmaß auf dieser nicht mehr gültig ist.
Auch ein Wahrscheinlichkeitsmass wurde nicht definiert.

Wenn ich beispielsweise die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen beweisen möchte, dann brauche ich doch auch keine Wahrscheinlichkeiten zu definieren. Ich kann das tun und daraus Erkenntnis erhoffen, warum nicht. - Aber wenn es auch ohne geht, dann kann ich das auch sein lassen.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 12. Mai 2020, 00:09

ralfkannenberg hat geschrieben:
11. Mai 2020, 23:56
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 23:06
Ihr ignoriert aber, daß das Wahrscheinlichkeitsmaß auf dieser nicht mehr gültig ist.
Auch ein Wahrscheinlichkeitsmass wurde nicht definiert.
Doch, die Wahrscheinlichkeit einen weißen Hut zu bekommen ist 50%, und das für jeden Sünder. Alle Folgen an 0 und 1 bzw weiß oder schwarz sind gleich wahrscheinlich. Das ist in der ursprünglichen Fragestellung so.
ralfkannenberg hat geschrieben: Wenn ich beispielsweise die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen beweisen möchte, dann brauche ich doch auch keine Wahrscheinlichkeiten zu definieren. Ich kann das tun und daraus Erkenntnis erhoffen, warum nicht. - Aber wenn es auch ohne geht, dann kann ich das auch sein lassen.
Das brauchst du tatsächlich nicht. Dann darfst du aber auch nicht damit rechnen, daß du aus einem reelen Intervall [0,1] zufällig eine rationale Zahl ziehst.

In der Lösung bricht man mit der Lebesgue-Meßbarkeit; alle Wahrscheinlichkeitsapekte werden aufgegeben. Erst dadurch wird ermöglicht, die Wahrscheinlichkeit fast aller auf 100% infinitesimal nahe an 100% zu setzen.
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 12. Mai 2020, 00:22

Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 23:06
Ich werde jetzt versuchen, worum mich Tom gebeten hat: Die Unvollständigkeit der Äquvalenzklasse zu zeigen:
  • Die Äquivalenzrelation wird definiert, indem sich maximal eine endliche Anzahl an Hüten/Ziffern/Bits unterscheiden sollen.
  • R sei der Repräsentant der Äquivalenzklasse
  • A # B sei die Ziffernfolge, die sich ergibt, wenn man die Differenzen von A und B zu R auf R anwendet.
    z.B. R=11111111; A= 01111111; B= 11001011 -> A # B = 01001011 ; also bitweise die Unterschiede zu R akkumulieren
  • Eine Verkettung A # B # C # ... hat auf grund der Transitivität nur in endlich vielen Stellen eine Abweichung zu R
  • Eine unendliche Verkettung aller abzählbaren Klassenelemente wäre nicht mehr in der Klasse enthalten, deshalb lassen wir diese außer acht (das wollt ihr ja so)
  • Es existieren in jeder Verkettung unendlich viele Ziffern, welche sich nicht von denen in R unterscheiden
  • Es gibt abzählbar viele Verkettungen nach obigem Prinzip (unendliche Ketten schließen wir ja aus)
Hallo Skel,

bis hier bin ich einverstanden.
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 23:06
  • Egal wieviele Verkettungen ihr nach obigem Prinzip verknüpft, bleiben immer unendlich viele Ziffern übrig, welche mit denen in R übereinstimmen - egal was ihr macht und wieviele Elemente ihr auf diese Weise verknüpft, bleiben unendlich viele ziffern übrig, die ich noch verändern kann
Damit indes bin ich nicht einverstanden: auch wenn unendlich Ziffern "übrig" bleiben, so kann ich jeder Ziffer eine Nummer geben. Und somit finde ich eine Verkettung, die diese Ziffer verändert. Das ist ja das Wesen der Abzählbarkeit.

Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 23:06
  • Ich kann aus jeder beliebigen Verkettung an Elementen jederzeit eine Ziffer konstruieren, welche sich noch nicht unterscheidet und daraus eine Ziffernfolge konstruieren, welche sich in mindestens einer Ziffer von allen Elementen eurer Äquivalenzklasse unterscheidet. Welche Ziffer das ist, muss ich nicht benennen, ich muss nur ihre Existenz zeigen (und ich zeige, daß es jederzeit unendlich viele solcher Ziffern geben wird, immerhin schließt ihr den Abschluss der abzählbaren Menge explizit aus)
Aber nur endlich viele Verkettungen später wird auch diese Ziffer verändert.

Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 23:06
  • Ich kann jederzeit ein Element konstruieren, welches sich zwischen eurer endlichen Anzahl an Abweichungen und unendlich vielen Abweichungen befindet, indem ich einfach eine der unendlich vielen noch mit denen in R identischen Ziffern verändere und einen Unterschied zu euren Elementen sicher stelle
Auch das ändert nichts daran, dass Du erneut nur endlich viele Verkettungen später auch diese Ziffer verändern wirst.

Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 23:06
  • Die einzige Möglichkeit um zu verhindern, daß ich ein nicht enthaltenes Element konstruieren kann, wäre obige Schnittmengenbildung auf unendliche Ketten auszuweiten. Solange ihr euch weigert die Klassendefinition auf unendlich viele Differenzen auszuweiten, bleiben jederzeit unendlich viele nichtdifferierende Ziffern übrig.
  • Ihr könnt nicht alle Ziffern abdecken, da es sonst gegen die Transitivität meiner oben definieren Verknüpfung "A # B" verstoßen würde.
Du argumentierst mit einem "vorauseilenden Gehorsam" und schiebst Unendlichkeiten vor Dir her, was zwar anschaulich, aber zunächst gar nicht definiert ist. Bleiben wir doch im endlichen definierten Teil: Du kannst ein beliebiges n auswählen und dann feststellen, dass Du nach endlich vielen Verkettungen dieses n erreichen wirst.

Meines Erachtens ist das völlig genügend.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 12. Mai 2020, 00:34

Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 23:35
Es bleibt immer eine Lücke zwischen 'endlich' und 'unendlich'.
Hallo Skel,

möglicherweise urteile ich voreilig. Ich denke aber, dass dieses Statement nur deswegen richtig ist, weil Du die beiden Begriffe in Hochkomma gesetzt hast. Tatsächlich aber gibt es kein "unendlichstes" Folgenglied, denn jedes Folgenglied hat eine endliche Indexzahl. Es gibt deswegen auch keine "Lücke" - die Abstände sind gleichabständig, denn nach Folgenglied Nr. n folgt Folgenglied Nr. (n+1) bzw. - da ich nicht unnötigerweise die Addition bemühen möchte: Folgenglied Nr. successor(n).

Natürlich bleiben nach dem Folgeglied Nr. (n+1) immer noch unendlich viele übrig, aber dennoch hat jedes eine Nummer, d.h. irgendwann einmal wirst Du dieses ereichen.

Du hast also keine Lücke, sondern lediglich eine nach oben unbeschränkte Folge gleichabständiger Folgenglieder, von denen jedes eine endliche Indexzahl hat.


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 12. Mai 2020, 00:42

Skeltek hat geschrieben:
12. Mai 2020, 00:09
ralfkannenberg hat geschrieben:
11. Mai 2020, 23:56
Auch ein Wahrscheinlichkeitsmass wurde nicht definiert.
Doch, die Wahrscheinlichkeit einen weißen Hut zu bekommen ist 50%, und das für jeden Sünder. Alle Folgen an 0 und 1 bzw weiß oder schwarz sind gleich wahrscheinlich. Das ist in der ursprünglichen Fragestellung so.
Hallo Skel,

bist Du sicher ? Ich behaupte, sie kann auch 75% betragen: Du hast zwei Teilfolgen, nämlich diejenige der weissen Hüte und diejenige der schwarzen Hüte. Beide haben unendlich viele Elemente.

Nun "komponieren" wir uns folgende Folge:

weiss-weiss-weiss-schwarz-weiss-weiss-weiss-schwarz-weiss-weiss-weiss-schwarz u.s.w.

Das geht, weil beide Teilfolgen unendlich viele Elemente haben. Und diese Folge geht gegen 75% weisse Hüte und 25% schwarze Hüte. Zwar gehe ich mit den weissen Hüten viel spendabler um als mit den schwarzen, doch kann ich das tun, da es ja unendlich viele von denen gibt.

Oder lieber nur 20% ? Bitte sehr, denn auch von den schwarzen gibt es ja unendlich viele:

weiss-schwarz-schwarz-schwarz-schwarz-weiss-schwarz-schwarz-schwarz-schwarz-weiss-schwarz-schwarz-schwarz-schwarz usw.

Was ich sagen will: man kann da keine Wahrscheinlichkeiten definieren.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 12. Mai 2020, 07:20

Ich würde jetzt erst einmal gerne die Lösung Schritt für Schritt durchgehen und genau verstehen.
tomS hat geschrieben:Lösung

Fast alle Sünder - d.h. alle bis auf endlich viele - können sich retten.


Beweis

Sei f = (fn) mit n ∈ N und fn = 0,1 eine Hutfolge.

Sei F = {f(r); r ∈ R} die (überabzählbare) Menge aller Hutfolgen

Nun definieren wir eine Äquivalenzrelation von Hutfolgen f ~ g: f sei äquivalent zu g, genau dann, wenn sich f und g nur in höchstens endlich vielen Stellen unterscheiden. Umgekehrt sind zwei Folgen nicht äquivalent, wenn sie sich in unendlich vielen Stellen unterscheiden.

Eine Äquivalenzklasse [f] wird dann definiert als Teilmenge von F mit

[f] = {f(r) ∈ F: f(r) ~ f} ⊂ F

d.h. in [f] sind alle f(r) enthalten, die untereinander und insbs. zu einem (beliebigen) Repräsentanten f äquivalent sind.

Eine Teilmenge S = {σ ∈ F} ⊆ F nennt man ein Repräsentantensystem von F bzgl. ~, wenn S genau ein σ ∈ [f] je [f] enthält.

...
Also, ich versuche das zu verstehen:
Wir haben F, als die (überabzählbare) Menge aller überhaupt möglichen Hutfolgen f (die alle abzählbar-unendlich lang sind).
Dann definieren wir die o.g. Äquivalenzrelation von Hutfolgen f ~ g, das ist klar.
Dann bilden wir die Äquivalenzklasse [f], deren Elemente, wenn ich es richtig verstehe, alle (also nicht nur etwa z.B. paarweise) zueinander nach o.g. Festlegung äquivalent sind, d.h. alle Folgen in [f] unterschieden sich nur in endlich vielen Stellen und im Umkehrschluss: sie sind alle an unendlich vielen Stellen identisch. An unendlich vielen gleichen Stellen? Wie geht das, es sind doch alle Stellen belegt?
Ich denke, an dem Punkt sollte man erst einmal kurz prüfen, ob [f] überhaupt Elemente hat und wie viele (keine, endlich- oder unendlich-viele?), wobei ich schon glaube, dass [f] nicht leer ist, dass es unendlich viele sein sollten, bin mir aber etwas unsicher.
Oder ist es so, dass alle f in [f] zu allen anderen Folgen f in [f] äquivalent sind, bis auf jeweils eine?

Den letzten Satz mit dem Repräsentantensystem (und wozu das gut ist) verstehe ich noch nicht. Oder besagt er einfach nur, dass [f] Teilmenge von F ist?
Grüße
seeker


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 12. Mai 2020, 07:34

Ich bin echt ratlos.
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 23:06
tomS hat geschrieben:
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 16:37
Ihr müsst begründen, wie eure 100%ige Wahrscheinlichkeit einer endlichen Differenz zustande kommt - das kann man nicht einfach per willkürlicher Definition festsetzen.
Nein, weil wir nicht von Wahrscheinlichkeiten reden.

Wir müssen zeigen, dass eine Strategie existiert, nach der höchstens endlich viele Zwerge falsch raten. Und das wurde gezeigt, ohne Wahrscheinlichkeiten.
Dafür ist aber notwendig, daß die ausgewürfelte Hutfolge in der Äquivalenzklasse ist. Das heißt, sie darf sich nur an endlich vielen Stellen vom Repräsentanten unterscheiden. Die Annahme, daß es möglich ist eine Folge mit nur endlich vielen Unterschieden zu ihrem Klassenrepräsentanten zu erwischen führt zu einem Widerspruch, da es impliziert, daß die Dichtefunktion der diffusen Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der Grundmenge überall unstetig ist.
Schlimmer noch: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zahlen wäre von der vorausgehenden Wahl der Repräsentanten abhängig.

Ihr wendet die Mengenstruktur auf ein Wahrscheinlichkeitsproblem an. Ihr ignoriert aber, daß das Wahrscheinlichkeitsmaß auf dieser nicht mehr gültig ist.
Das ist doch völlig sinnlos. Ich schreibe mehrfach, dass es in der Aufgabenstellung nie um Wahrscheinlichkeiten geht und dass wir diese nie benutzen. Und du erklärst nun zum wiederholten Male etwas in der Art von, wir würden die Mengenstruktur auf ein Wahrscheinlichkeitsproblem anwenden. Das ist schlicht falsch.
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 23:06
Ich werde jetzt versuchen, worum mich Tom gebeten hat: Die Unvollständigkeit der Äquvalenzklasse zu zeigen:
Zu deinem Beweis:

Erstes Missverständnis: Du gehst irrigerweise davon aus, dass wir hier etwas konstruieren würden. Das tun wir explizit nicht.

F ≔ {f = ⟨fn⟩: fn ∈ {0,1}, n ∈ N} ¹

∥f – g∥ ≔ ∑n |fn – gn| ²

f ~ g ⟺ ∥f – g∥ < ∞
[f] ≔ {g ∈ F: g ~ f}
F/~ = {[f] : f ∈ F} ³

¹ Definition der Folgen
² Definition eines Abstandes zweier Folgen mittels ℓ¹-Norm
³ Definition der Äquivalenzrelation und -klassen

Wir konstruieren nichts! Wir strukturieren ein existierendes F mittels ~ zu F/~.

Dein schrittweises Vorgehen ist für die überabzählbare Menge F ungeeignet. Was du demnach zeigst, ist nicht, dass unsere Definition von F/~ inkonsistent wäre, du zeigst lediglich, dass man F/~ nicht konstruieren kann. Ja, das ist korrekt, aber das liegt daran, dass die Methode der Konstruktion schwächer ist als ZFC.

Wenn du unser axiomatisches Vorgehen gemäß ZFC nicht akzeptierst, dann ist das ein prinzipieller Einwand gegen unsere Art, Mathematik zu betreiben. OK.
Wenn du unser unser axiomatisches Vorgehen gemäß ZFC akzeptierst, dann gehen deine Behauptung n ein Beweis fehl: Unsere Mathematik ist dann nicht inkonsistent, sie ist lediglich mit den von dir gewählten Mitteln nicht darstellbar. Das ist jedoch das Problem der von dir gewählten schwächeren Methodik.

Zweites Problem:
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 23:06
  • Egal wieviele Verkettungen ihr nach obigem Prinzip verknüpft, bleiben immer unendlich viele Ziffern übrig, welche mit denen in R übereinstimmen - egal was ihr macht und wieviele Elemente ihr auf diese Weise verknüpft, bleiben unendlich viele ziffern übrig, die ich noch verändern kann
  • Ich kann aus jeder beliebigen Verkettung an Elementen jederzeit eine Ziffer konstruieren, welche sich noch nicht unterscheidet und daraus eine Ziffernfolge konstruieren, welche sich in mindestens einer Ziffer von allen Elementen eurer Äquivalenzklasse unterscheidet. Welche Ziffer das ist, muss ich nicht benennen, ich muss nur ihre Existenz zeigen (und ich zeige, daß es jederzeit unendlich viele solcher Ziffern geben wird, immerhin schließt ihr den Abschluss der abzählbaren Menge explizit aus)
Das ist ein großer Irrtum.

1) Du kannst diese Ziffer nicht konstruieren. Schon die Tatsache, dass du es nicht tust, sondern lediglich auf ihrer Existenz bestehst, ist ein deutlicher Hinweis.

2) Die Behauptung, du könntest daraus eine Ziffernfolge konstruieren, welche sich in mindestens einer Ziffer von allen Elementen eurer Äquivalenzklasse unterscheidet, ist trivialerweise falsch. Wenn eine Ziffernfolge sich in einer (endlich vielen) Ziffern von Elementen einer Äquivalenzklasse unterscheidet, dann gehört sie per defininitionem zu der Äquivalenzklasse.

3) Du zeigst, dass es jederzeit unendlich viele solcher Ziffern geben kann. Das bestreiten wir nicht. Im Falle unendlich vieler Unterschiede gehören diese eben zu einer anderen Äquivalenzklasse.

4) Nochmal zu (2) und Ich kann ... daraus eine Ziffernfolge konstruieren, welche sich in mindestens einer Ziffer von allen Elementen eurer Äquivalenzklasse unterscheidet.
Gegeben sei [f] sowie eine Folge g, die sich von allen Folgen f aus [f] in endlich vielen Stellen unterscheidet. Dann ist g ein Element von [f].
Gegeben sei [f] sowie eine Folge g, die sich von allen Folgen f aus [f] in unendlich vielen Stellen unterscheidet. Dann ist g kein Element von [f] sondern Element einer anderen Äquivalenzklasse [g].
Wo ist der Widerspruch?


Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 23:06
Ich denke es ist einfach nicht okay, einerseits die Lebesgue-Messbarkeit aufzugeben, dann eine Lösung zu konstruieren und dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung später stillschweigend wieder einzuführen.
Das tun wir nicht.

Wir haben nie von einer Lebesgue-Messbarkeit gesprochen, Gleichmächtigkeit |F| = |[0,1]| bedeutet noch nicht Lebesgue-Messbarkeit, und wir führen keine Wahrscheinlichkeitsverteilung ein. Das behauptest du zwar immer, ist jedoch nicht der Fall.
Skeltek hat geschrieben:
11. Mai 2020, 23:06
Wobei hier letzteres noch nicht einmal gemacht wird, was weitaus schlimmer ist für eine Aufgabe, bei der es sich um Wahrscheinlichkeitsrechnung dreht.
Zum wiederholten Male: es dreht sich nicht um Wahrscheinlichkeitsrechnung; das behauptest du, ist jedoch nicht zutreffend.

Zusammenfassung:
1) Du scheinst Existenzbeweise gem. ZFC abzulehnen und akzeptierst - meiner Vermutung zufolge - lediglich konstruktive Beweise: OK
2) Du skizzierst, dass deine konstruktive Methode schwächer ist als unsere Methode: OK
3) Du folgerst, dass unsere Methode inkonsistent wäre: unzutreffend
4) Du wirfst uns vor, wir würden Wahrscheinlichkeitsrechnung falsch, inkonsistent oder unvollständig anwenden: unzutreffend

Beispiel zu 3: die nicht-Konstruierbarkeit der Zahl i² = 1 über R zeigt nicht die Inkonsistenz der komplexen Zahlen
zu 4: wir wenden sie nicht an, weil sie gemäß Aufgabenstellung, Beweis und Lösung irrelevant ist
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 12. Mai 2020, 07:42

Skeltek hat geschrieben:
12. Mai 2020, 00:09
Doch, die Wahrscheinlichkeit einen weißen Hut zu bekommen ist 50%, und das für jeden Sünder. Alle Folgen an 0 und 1 bzw weiß oder schwarz sind gleich wahrscheinlich. Das ist in der ursprünglichen Fragestellung so.
Nein, das ist leider ein Missverständnis.

Ich habe nicht geschrieben, die Wahrscheinlichkeit, ein Sünder trüge einen weißen Hut, betrage 50%.

Ich habe geschriebene, dass - nachdem alle Sünder ihre Hüte aufhaben - blindes Raten im Mittel zu eine Erfolgsquote von 50% führt. Letzteres ist mathematisch korrekt, jedoch nicht das selbe wie die von dir genannte Wahrscheinlichkeit; diese ist als Wahrscheinlichkeit über einer unendlichen Folge f hier tatsächlich nicht definiert und als Gleichverteilung auch nicht definierbar.

Meine Aussage hat jedoch nichts mit der Lösung zu tun, denn sie trifft auf beliebige Folgen zu, z.B. auch auf (11111....); auch in dieser der Folge führt blindes Raten im Mittel zu eine Erfolgsquote von 50%.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sünder seine eigene Hutfarbe ohne weitere Strategie zufällig errät, ist tatsächlich wohldefiniert und beträgt 50%; dabei handelt es sich nicht um eine Wahrscheinlichkeit über der Menge F, oder einer Folge f, sondern über der Menge {0,1}. Die Erfolgsquote im Mittel ist nun nichts anderes als das Gesetz der großen Zahlen für genügend häufiges Wiederholen unabhängiger Zufallsexperimente "Sünder 1 rät", "Sünder 2 rät, … Sünder N rät"; bei N Ratevorgängen wird die Erfolgsquote asymptotisch Z(N) = N/2 erreichen.

Wenn dich das verwirrt hat: sorry.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von soon » 12. Mai 2020, 09:31

"Fast alle können sich retten" ist bei der Vorgabe 'unendlich viele Sünder' gleichbedeutend mit der Aussage:

Unendlich viele Sünder können sich retten und unendlich viele Sünder können sich nicht retten.

Die Mächtigkeit der Mengen ist gleich.

[Sorry, erster Beitrag im Forum, am Ende einer Diskussion, und gleich ein Klugscheißerbeitrag]

Edit: Ups, gerade nochmal nachgelesen, - der Vergleich der Mächtigkeit unendlicher Mengen ist doch nicht so einfach.

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von tomS » 12. Mai 2020, 10:40

soon hat geschrieben:
12. Mai 2020, 09:31
"Fast alle können sich retten" ist bei der Vorgabe 'unendlich viele Sünder' gleichbedeutend mit der Aussage:

Unendlich viele Sünder können sich retten und unendlich viele Sünder können sich nicht retten.
Leider nein.

"Fast alle" bedeutet im Falle einer abzählbaren Menge "alle Elemente dieser Menge, bis auf endlich viele", ganz allgemein so etwas wie "die gesamte Menge bis auf eine Teilmenge vom Maß Null". Z.B. sind fast alle reellen Zahlen transzendent, da die algebraischen Zahlen als Nullstellen von Polynomen endlichen Grades über den rationalen Zahlen abzählbar sind.
Gruß
Tom

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 12. Mai 2020, 12:23

@soon: Tom hat Recht. In der Mathematik bedeutet 'fast alle' dasselbe wie 'alle, bis auf endlich viele'. Aber an sich geht die Idee in die Richtung, daß man eine Zahl x nicht geretteter Sünder sucht, die nicht unendlich ist, aber trotzdem irgendwo mittig zwischen Null und Unendlich, also im endlichen Bereich.

@Tom: Okay, ich habe recherchiert.
Das von dir beschriebene Paradoxon hat im Englischen eine ähnliche Lösung.
Substitute the colors by numbers and get an infinite sequence of numbers. Define an equivalence relation, by stating that 2 sequences are equivalent, if they are equal after a finite number of entries.
In allen englischsprachigen Abhandlungen, die ich finden konnte, werden die Äquivalenzklassen so definiert, daß sie nach höchstens einer endlichen Anzahl Ziffern identisch sind. Intuitiv macht das glaube ich keinen Unterschied, würde das jedoch nicht als trivial ansehen.

Bevor ich dich jetzt weiter in den Wahnsinn treibe, habe ich mir vorgenommen etwas seltener zu schreiben und die Phasen wo ich meine Gedanken sortiere zeitlich auszudehnen. Ich zweifle nicht an deiner Lösung und verstehe sie auch. Ich versuche nur auszumachen, wie man den Unterschied zwischen ZFC und ZF ohne C besser beschreiben kann und den eigentlichen Haken besser zu verinnerlichen.
Ich schiebe das Pradoxon hin und her und versuche zu zeigen, daß z.B. die Wahrscheinlichkeitsrechnung dann keinen Sinn mehr macht. Du reagierst unter der Annahme, daß ich versuche deinen Beweis zu widerlegen (ich lasse offen ob so ein Beweis dabei herauskommt).
Mir ist es wichtig, voll zu untersuchen, welche mathematischen Regeln oder Axiome anderer Gebiete dabei verletzt werden in dem Kontext nicht mehr gültig sind.
Daß die Wahrscheinlichkeit sich im Vorfeld exakt für einen bestimmten Repräsentanten zu entscheiden 0% ist und damit nicht einer Vorverlegung des Zufalls sondern gar kein Zufall (nicht einmal Lebesgue-meßbar) ist (Grund warum es nur via Auswahlaxiom möglich ist), hätte von mir eher besser als Feststellung präsentiert werden sollen als es wie eine Kritik, Gegenargumentaussehen oder Gegenbeweis aussehen zu lassen.

Trotzdem werde ich das Gefühl nicht los, noch einige Aspekte übersehen zu haben.
Zum Beispiel, daß die Sünder durch die Wahl des Repräsentanten am Anfang darauf einigen, daß nur endlich viele Sünder verdammt werden (z.B. die Hälfte der ersten n Sünder, wobei nur gesagt wird, daß n endlich ist, aber kein genauer Wert festgelegt), während der Rest gerettet wird. Das will ich auch nicht bestreiten.
In der Praxis: Der Sünder mit der Nummer n hat eine endliche Nummer. Da seine Nummer endlich ist, ist seine Chance falsch zu liegen ungleich Null. Alle nach ihm werden gerettet. So sieht das eigentlich jeder Sünder mit einer endlichen Nummer.
Es existiert aber kein Sünder, von dem man sagen kann, daß seine Positionierung größer ist als das n.
Ob ein Sünder definitiv gerettet wird oder diese Sicherheit nicht hat ist also lediglich davon abhängig, ob seine Position m größer oder kleiner als n ist.

Soweit richtig?

Bedeutet das nicht indirekt, daß jeder Sünder mit einer endlichen Positionierung m eine 50%ige Chance hat gerettet zu werden, obwohl nur endlich viele nicht gerettet werden? (ohne blindes Raten, also die Ziffer im Repräsentanten nennend)
Gehen wir mal von der englischen Formulierung der Lösung aus: Die ersten n Ziffern (n sei zufällig aber endlich) differieren von der Äquivalenzrelation. Welche Chance hat dann Sünder #1 gerettet zu werden? Beim ersten sind es behaupte ich mal 50%. Und welche Chance hat Sünder #2? Wo zieht man die Grenze? Natürlich irgendwo bei einer zufälligen endlichen Zahl.

Verstehe mich nicht wieder falsch. Ich versuche nur Problem und Lösung von allen Seiten auszuleuchten. Gerade auch der letzte Absatz widerspricht deiner Lösung ja nicht. Es können beliebig viele Sünder eine 50% Chance verdammt zu bleiben haben, ohne daß es die abzählbar unendliche Restmenge in ihren 100% antastet.

Das kontroverse möglicherweise: Die Chance als Sünder, eine Positionierung m zu erwischen, welche kleiner ist als n, beträgt 100%.
Das zeigt ein Vergleich der Größen der Mengen, wenn man innerhalb der Äquivalenzklasse1, die von der Äquivalentrelation1 der Lösung, eine weitere Äquivalenzrelation2 einführt:
Zwei Elemente seien äquivalent, wenn sie sich um dieselbe Anzahl an Ziffern vom Repräsentanten ihrer einbettenden Klasse unterscheiden.

Es ist zumindest kontraintuitiv, daß man bei zufälligem Ziehen einer Positionierung vor der Hutvergabe immer eine praktisch 100%ige Chance hat zu den ersten n Sündern zu gehören, obwohl der Rest bzw unendlich viele gerettet werden.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 12. Mai 2020, 13:10

Skeltek hat geschrieben:
12. Mai 2020, 12:23
@soon: Tom hat Recht. In der Mathematik bedeutet 'fast alle' dasselbe wie 'alle, bis auf endlich viele'. Aber an sich geht die Idee in die Richtung, daß man eine Zahl x nicht geretteter Sünder sucht, die nicht unendlich ist, aber trotzdem irgendwo mittig zwischen Null und Unendlich, also im endlichen Bereich.
Hallo Skel,

Vorsicht, das ist meines Wissens ungenau: so sind fast alle reellen Zahlen nicht-ganzzahlig. Es sind auch fast alle reellen Zahlen irrational. Es sind auch fast alle reellen Zahlen transzendent.

Das "fast alle" bezieht sich auf Teilmengen, die innerhalb der umfassenderen Menge eine Nullmenge bilden.


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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von seeker » 12. Mai 2020, 13:10

Ich versuche einmal alleine weiterzukommen:
seeker hat geschrieben:
12. Mai 2020, 07:20
Dann bilden wir die Äquivalenzklasse [f], deren Elemente, wenn ich es richtig verstehe, alle (also nicht nur etwa z.B. paarweise) zueinander nach o.g. Festlegung äquivalent sind, d.h. alle Folgen in [f] unterschieden sich nur in endlich vielen Stellen und im Umkehrschluss: sie sind alle an unendlich vielen Stellen identisch. An unendlich vielen gleichen Stellen? Wie geht das, es sind doch alle Stellen belegt?
Ich denke, an dem Punkt sollte man erst einmal kurz prüfen, ob [f] überhaupt Elemente hat und wie viele (keine, endlich- oder unendlich-viele?), wobei ich schon glaube, dass [f] nicht leer ist, dass es unendlich viele sein sollten, bin mir aber etwas unsicher.
Oder ist es so, dass alle f in [f] zu allen anderen Folgen f in [f] äquivalent sind, bis auf jeweils eine?
Es scheint mir nun einsichtig, dass da sich die f hier nur durch endlich viele Stellen unterscheiden, automatisch allgemeine Transitivität gegeben sein muss, denn wenn f1 nach ~ äquivalent zu einem f2 ist (das ist sicher) und f2 äquivalent zu f3 ist (das ist auch sicher), dann ist auch f1 äquivalent zu f3, usw. Also sind alle f in [f] gemäß der Relation zueinander äquivalent und es sind unendlich viele.

(Hinterher, wenn die Hüte vergeben sind, ist es ja dann sowieso so, dass alle f, die alle Leute n sehen, ab der Stelle n+1 automatisch identisch sein müssen (was immer einen unendlich großen Bereich darstellt).)

Wie ist das nun mit S? Wie wähle ich das vor der Hutvergabe aus?
Ich kann ja nicht irgendein f aus [f] wählen und es als S definieren?
Grüße
seeker


Kritisches Denken bedeutet nicht, sich einseitig nur aus kritischen Quellen zu versorgen und die dortigen Darstellungen unkritisch zu übernehmen. Viele überschätzen ihre eigene Medienkompetenz massiv. Dies wird von Verführern ausgenutzt.

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 12. Mai 2020, 13:16

Skeltek hat geschrieben:
12. Mai 2020, 12:23
Bevor ich dich jetzt weiter in den Wahnsinn treibe, habe ich mir vorgenommen etwas seltener zu schreiben und die Phasen wo ich meine Gedanken sortiere zeitlich auszudehnen. Ich zweifle nicht an deiner Lösung und verstehe sie auch.
Hallo Skel,

da bist Du schon weiter als ich. Ich kann den Beweis aufschreiben, ich kann Schritt für Schritt nachvollziehen, aber "verstanden" habe ich ihn noch nicht. Er muss noch "in mein Gehirn einsickern", denn etwas auswendig rezitieren zu können und jeden Schritt formal nachvollziehen zu können heisst noch lange nicht, dass man es auch verstanden hat.

Allerdings bin ich da nicht in Eile, das braucht noch etwas Zeit und Muße und vor allem letztere habe ich momentan nicht.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von ralfkannenberg » 12. Mai 2020, 13:33

seeker hat geschrieben:
12. Mai 2020, 13:10
Es scheint mir nun einsichtig, dass da sich die f hier nur durch endlich viele Stellen unterscheiden, automatisch allgemeine Transitivität gegeben sein muss, denn wenn f1 nach ~ äquivalent zu einem f2 ist (das ist sicher) und f2 äquivalent zu f3 ist (das ist auch sicher), dann ist auch f1 äquivalent zu f3, usw. Also sind alle f in [f] gemäß der Relation zueinander äquivalent und es sind unendlich viele.
Hallo seeker,

das ist richtig, aber dennoch Vorsicht: das ist nämlich nicht dasselbe als wenn man argumentiert:

"höchstens endlich", also gibt es ein schönes n und ich wähle nun ein solches schönes n aus und betrachte dann die f, die sich höchstens durch n Stellen unterscheiden.

Das liefert keine Äquivalenzrelation: seien f und g genau an den ersten n-Stellen verschieden und g und h genau an den zweiten n-Stellen (also von n+1 bis 2n). Dann sind f und h aber genau an den ersten 2n-Stellen verschieden und nicht mehr in derselben Äquivalenzklasse. Man muss also das n allgemein halten und kann nur nach höchstens endlich vielen Unterschieden klassifizieren, denn sowohl ein Unterschied von n Stellen als auch ein Unterschied von 2n Stellen ist ein Unterschied von "höchstens endlich vielen Stellen".

seeker hat geschrieben:
12. Mai 2020, 13:10
(Hinterher, wenn die Hüte vergeben sind, ist es ja dann sowieso so, dass alle f, die alle Leute n sehen, ab der Stelle n+1 automatisch identisch sein müssen (was immer einen unendlich großen Bereich darstellt).)
Vorsicht: wenn Du die Leute mit Nummern von 1 bis und mit n meinst, und dann n+1 und die folgenden betrachtest, dann stimmt das.

Wenn Du das für alle n so argumentierst, dann wird es problematisch, weil Du dann in "Skelteks Falle" hineinläufst, dass Du die verbleibenden identischen Stellen "unendlich oft" nach hinten verschiebst, was so nicht definiert ist und auch gar nicht erforderlich ist.

seeker hat geschrieben:
12. Mai 2020, 13:10
Wie ist das nun mit S? Wie wähle ich das vor der Hutvergabe aus?
Warum wählst Du das schon vor der Hutvergabe aus ? Die Hüte werden verteilt und nun "schaut" man - sagen wir lieber: beurteilt bzw. "wählt" man, welcher Repräsentant am besten passt.


Freundliche Grüsse, Ralf

Skeltek
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Re: Ein Rätsel mit unendlich vielen Verdammten ...

Beitrag von Skeltek » 12. Mai 2020, 13:51

ralfkannenberg hat geschrieben: da bist Du schon weiter als ich. Ich kann den Beweis aufschreiben, ich kann Schritt für Schritt nachvollziehen, aber "verstanden" habe ich ihn noch nicht. Er muss noch "in mein Gehirn einsickern", denn etwas auswendig rezitieren zu können und jeden Schritt formal nachvollziehen zu können heisst noch lange nicht, dass man es auch verstanden hat.
Das ist auch so ein Paradoxon: umso mehr man weiß, umso mehr Fragen werfen sich auf und umso mehr der eigenen Wissenslücken erkennt man :D
Vermutlich steigt die Zahl der möglichen Fragen exponentiel mit dem bisher erlangten Wissen an XD
ralfkannenberg hat geschrieben:
12. Mai 2020, 13:33
seeker hat geschrieben:
12. Mai 2020, 13:10
(Hinterher, wenn die Hüte vergeben sind, ist es ja dann sowieso so, dass alle f, die alle Leute n sehen, ab der Stelle n+1 automatisch identisch sein müssen (was immer einen unendlich großen Bereich darstellt).)
Vorsicht: wenn Du die Leute mit Nummern von 1 bis und mit n meinst, und dann n+1 und die folgenden betrachtest, dann stimmt das.

Wenn Du das für alle n so argumentierst, dann wird es problematisch, weil Du dann in "Skelteks Falle" hineinläufst, dass Du die verbleibenden identischen Stellen "unendlich oft" nach hinten verschiebst, was so nicht definiert ist und auch gar nicht erforderlich ist.
Ich habe die Falle ja nicht erfunden sondern nur entdeckt (sie war vorher schon da). Seeker kann ja auch unabhängig auf dieselben Gedanken kommen. Ich denke die englische Form der Formulierung ist genauer; diese setzt den Repräsentanten bewusst so, daß sich endlich viele unterscheiden können, alle restlichen endlichen Elemente identisch sind und höchstens das Unendlich selbst differiert (das lassen wir mal Außen vor).
ralfkannenberg hat geschrieben:
seeker hat geschrieben:
12. Mai 2020, 13:10
Wie ist das nun mit S? Wie wähle ich das vor der Hutvergabe aus?
Warum wählst Du das schon vor der Hutvergabe aus ? Die Hüte werden verteilt und nun "schaut" man - sagen wir lieber: beurteilt bzw. "wählt" man, welcher Repräsentant am besten passt.
Das ist so nicht ganz richtig. Man hat überabzählbar viele Äquivalenzklassen. Bei jeder dieser Klassen wählt man bereits vor der Hutvergabe exakt einen Repräsentanten, der nur einen endlichen Unterschied zum späteren Ergebnis aufweist (der kleine Unterschied zur späteren tatsächlichen Hutfolge ist nicht zufällig, sondern per Definition auf 'endlich' festgelet). Der Repräsentant pro Klasse steht somit schon vor der Hutvergabe fest und ist 'by design' nur endlich differierend vom Ergebnis.
(Ich denke Tom wird das so in dieser Formulierung bestätigen können)
Das heißt: Sobald du die anderen Hüte siehst, ermittelst du zuerst die Äquivalenzklasse zu welcher die Hutfolge gehört und kannst dann den Repräsentanten daraus selektieren. Für das Ermitteln der Äquivalenzklasse braucht man afaik auch wieder das Auswahlaxiom; zumindest benötigt man eine injektive Funktion, welche allen Elementen aller Äquivalenzklassen ihre zugehörige Äquivalenzklasse zuordnet. hat man die Klasse, braucht man nur noch den Repräsentanten auswählen und kann danach die Anzahl dijunkter Ziffern berechnen.

@seeker:
seeker hat geschrieben: Wie ist das nun mit S? Wie wähle ich das vor der Hutvergabe aus?

Ich kann ja nicht irgendein f aus [f] wählen und es als S definieren?
Doch, genau das solltest du tun (auch wenn man es hier gerade aus der Grundmenge zieht). Du wählst aus dem unendlich großen [f] irgendein f (nur ein ganz bestimmtes wählen zu können würde auch gehen). Die Definition stellt sicher, daß dein f in endlicher Nähe zur später realisierten Hutfolge ist.
Das ganze geht nur unter der Annahme, daß die Äquivalenzrelation tatsächlich eine vollständige Partitionierung der Ursprungsmenge durchführt. Das geht aber in Richtung Division Paradoxon, Banach-Tarski usw.

Auch interessant, aber nur sehr entfernt mit dem Problem verwandt:
Wikipedia - Paradox of Löwenheim and Skolem hat geschrieben: Based upon work of the German mathematician Leopold Löwenheim (1915) the Norwegian logician Thoralf Skolem showed in 1922 that every consistent theory of first-order predicate calculus, such as set theory, has an at most countable model. However, Cantor's theorem proves that there are uncountable sets. The root of this seeming paradox is that the countability or noncountability of a set is not always absolute, but can depend on the model in which the cardinality is measured. It is possible for a set to be uncountable in one model of set theory but countable in a larger model (because the bijections that establish countability are in the larger model but not the smaller one).
Wikipedia - Skolem's paradox hat geschrieben: In the context of a specific model of set theory, the term "set" does not refer to an arbitrary set, but only to a set that is actually included in the model. The definition of countability requires that a certain one-to-one correspondence, which is itself a set, must exist. Thus it is possible to recognise that a particular set u is countable, but not countable in a particular model of set theory, because there is no set in the model that gives a one-to-one correspondence between u and the natural numbers in that model.
Ich hab das letzte nur hinzugefügt, weil es ein paar Erkentnisse abdeckt, die ich mir im Lauf der Zeit selbst angeeignet habe. Vor allem die Erklärung zu 'undefinable numbers' hat es mir angetan. Ggf einen Thread wert, wenn wir hiermit durch sind. Allerdings werd ich mich danach wohl eine Weile aus dem Analysis-Thema zurückziehen und wieder etwas mehr der Webseite und Astronomie widmen.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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