Hallo Skel,Skeltek hat geschrieben: ↑18. Apr 2020, 00:55Anderer Aspekt:-> Alles oberhalb dieser Zeile trägt aber kaum wirklich zur Dikussion bei.
- Man kann alle Binärzahlen in zwei Mengen unterteilen. Die eine Menge enthält alle Zahlen, welche mit '0' beginnen, die andere alle Zahlen, welche mit einer '1' beginnen.
- Die beiden Mengen unterteilt man nach dem selben Prinzip(auf die nächste Ziffer bezogen) und führt dies für alle Untermengen durch. Das wird dann unendlich widerholt.
- Man kann sagen, daß diese unendliche Untermengenbildung existiert und alle Zahlen der ursprünglichen Menge enthält.
- Diese Mengen und Untermengen sind alle abzählbar.
- Es sind keine Mengen dabei, welche nicht abzählbar sind
- Jede Menge enthält exakt zwei Elemente (bzw zwei Mengen als Elemente)
- Die Abzählbarkeit der Mengen lässt sich nicht auf die Elemente übertragen, welche sich darin befinden.
Ich habe vor ein paar Jahren ein Beispiel hier im Forum genau zu diesem Thema gebracht, in dem ich eine überabzählbare Menge konstruiert hatte, welche genau gleich viele Elemente wie eine abzählbar unendliche Menge hatte (ohne daß jedoch eine Bijektion existiert). Ich krame das mal bei Gelegenheit heraus und schau nochmal drüber. Zur Not nehme ich nochmal das vereinfachte Beispiel mit dem Baumdiagram.
ich denke, ich habe Deine Konstruktion wenigstens ungefähr verstanden und vermute, dass das Problem genau hier liegt, auch wenn ich den konkreten Fehler Deiner Konstruktion momentan noch nicht anzugeben vermag.
Ich möchte die reellen Zahlen wie auch im Cantor'schen Diagonalbeweis auf das reellwertige Intervall [0,1) beschränken, das ist ja ebenfalls überabzählbar und wir müssen uns nicht mit führenden Nullen bei Vorkommastellen, herumschlagen.
Wobei die Fragestellung, wieviele es von denen gibt, durchaus eng mit Deiner Konstruktion korreliert sein dürfte, denn von denen gibt es nur abzählbar unendlich viele. Die Überabzählbarkeit steckt also nicht in den Vorkommastellen. Aber das ist momentan nur eine Randbemerkung.
Ausgangspunkt ist also die Menge der reellen Zahlen im Intervall [0,1).
Nach dem ersten Schritt hast Du 2 Mengen, nämlich eine, deren binäre Nachommastellen mit "0" anfangen, und eine, deren binäre Nachommastellen mit "1" anfangen. Beide Mengen haben überabzählbar unendlich viele Elemente.
Nach dem zweiten Schritt hast Du 4 Mengen, nämlich eine, deren binäre Nachommastellen mit "00" anfangen, eine zweite, deren binäre Nachommastellen mit "01" anfangen, eine dritte, deren binäre Nachommastellen mit "10" anfangen und eine vierte, deren binäre Nachommastellen mit "11" anfangen. Alle vier Mengen haben überabzählbar unendlich viele Elemente.
Nach dem dritten Schritt hast Du 8 Mengen, nämlich eine, deren binäre Nachommastellen mit "000" anfangen, eine zweite, deren binäre Nachommastellen mit "001" anfangen, bis hin zu einer achten, deren binäre Nachommastellen mit "111" anfangen. Alle vier Mengen haben überabzählbar unendlich viele Elemente.
u.s.w.
Du bewegst also quasi einen "Schieber" durch die Menge [0,1) hindurch, im ersten Schritt steht der Schieber nach der ersten Nachkommastelle und Du hast 2 Mengen, im zweiten Schritt steht der Schieber nach der zweiten Nachkommastelle und Du hast 4 Mengen, im dritten Schritt steht der Schieber nach der dritten Nachkommastelle und Du hast 8 Mengen.
Und im n.-ten Schritt steht der Schieber nach der n.-ten Nachkommastelle und Du hast 2n Mengen.
Das machst Du nun irgendwie abzählbar unendlich mal, d.h. der Schieber steht nun am rechten Ende der Nachkommastellen, in der Hoffnung, dass nun alle Elemente von [0,1) links vom Schieber stehen, und daraus schliesst Du, nun alle reellen Zahlen von [0,1) erfasst zu haben und kommst somit auf abzählbar unendlich viele Elemente.
Ich würde Deiner Konstruktion vielleicht zustimmen, wäre die Ausgangsmenge nicht die Menge aller reellen Zahlen in [0,1), sondern wäre die Ausgangsmenge eine beliebige aber abzählbare Liste solcher reellen Zahlen in [0,1). Dann funktioniert das vermutlich, wobei man das auch erst noch zeigen müsste - dieses Jonglieren mit Unendlichkeiten nach rechts mit diesem "Schieber" und nach unten in dieser Liste ist zunächst einmal überhaupt nicht definiert.
Ich mache jetzt erst einmal nicht weiter, sondern frage lieber nach: ist das so ungefähr die Konstruktion, die Dir vorschwebt ?
Freundliche Grüsse, Ralf