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Grundsatzfragen

Mathematische Fragestellungen
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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von tomS » 27. Apr 2019, 16:08

seeker hat geschrieben:
27. Apr 2019, 13:15
Ich denke, auch wenn ein System Aussagen über sich selbst machen kann, ist damit noch nicht sichergestellt, dass es die (von uns) gewünschten Aussagen über sich selbst machen kann. Sichergestellt sind nur die schon erwähnten Gödel-Einschränkungen für genügend mächtige Systeme.
Sichergestellt ist es nicht; aber nur auf die Gödel-Einschränkungen ist es sicher nicht limitiert.
seeker hat geschrieben:
27. Apr 2019, 13:15
Außerdem müsste das formale Gödel-System nicht nur Aussagen über sich selbst machen, sondern ggf. Aussagen über sich selbst hinaus, nämlich über die Welt, ...
Unter der Annahme der Identität entfällt dieser Einwand.
seeker hat geschrieben:
27. Apr 2019, 13:15
... denn es kann eben wie versucht zu zeigen nicht a priori zirkelfrei sichergestellt werden, dass gilt: formales System S ist identisch mit realer Welt W, S = W
Natürlich kann oder will ich das nicht zeigen; es ist eine metaphysische Prämisse, wie z.B. die Mathematical universe hypothesis
seeker hat geschrieben:
27. Apr 2019, 13:15
Und dann wird es ganz schwierig.
Es wird jedenfalls leichter als bei Pippen, weil man eine klare Annahme hat, ausgehend von der man logisch argumentieren kann.

Ich kann jedoch nicht sagen, ob und in welcher Form man zeigen kann, dass die getroffenen Aussagen bzgl. W = (N, P, A) gödelisierbar sind. Dazu muss ich einen Logiker fragen.
Gruß
Tom

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 27. Apr 2019, 19:00

tomS hat geschrieben:
27. Apr 2019, 16:08
Dazu muss ich einen Logiker fragen.
Ja, wenn du einen kennst, prima! Das wär interessant.
Frag ihn vielleicht bitte auch gleich noch zu seiner Meinung, was man sich mit der Grundannahme, die du vorschlägst, einhandelt.
Grüße
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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von Job » 28. Apr 2019, 10:52

Zur Frage, was die Mathematik mit der „Realität“ zu tun haben könnte, möchte ich auch ein paar Gedanken besteuern.

Die Physik bedient sich zu einem wesentlichen Teil der Mathematik und mathematischer Modelle, um die Natur und ihre Prozesse möglichst genau und experimentell nachvollziehbar abzubilden. Die Tatsache, dass es den Physikern damit in beeindruckender Weise gelungen ist, viele Prozesse in der Natur zu verstehen, ja sogar vorherzusagen, zeigt für mich, dass die Mathematik auch etwas mit der Realität zu tun haben muss. Die Frage ist dann natürlich: Was könnten diese Gemeinsamkeiten sein und wie weit gehen sie? Was könnten wir daraus evtl. lernen?

Es liegt nahe, dass die Mathematik nur dann etwas mit der Realität gemeinsam haben kann, wenn auch die grundlegenden Fundamente der Mathematik bereits etwas mit der Realität zu tun haben. Es macht daher Sinn, sich zunächst mit diesen zu beschäftigen.

Ich möchte dabei kurz auf zwei dieser Fundamente eingehen.

1. Die mathematische Logik (später)

2. Die ZFC Axiome


Das eigentlich spannende an den ZFC Axiomen sind die Axiome, die sich mit Unendlichkeiten beschäftigen. Es gibt zwar auch noch einige wenige Vertreter einer rein endlichen Mathematik, aber die meisten bahnbrechenden und spannenden Aussagen der Mathematik sind ohne Unendlichkeiten nicht möglich. Daher haben die meisten Mathematiker mit der Akzeptanz von Unendlichkeiten an sich kein Problem. Es gibt allerdings ein paar Feinheiten und in dieser Hinsicht auch einige Aspekte, wo man durchaus geteilter Meinung sein kann, ob diese in der Natur realisiert sind oder nicht.

Betrachten wir dazu die drei zentralen Axiome von ZFC, die sich mit Unendlichkeiten befassen. Die genauen Definitionen kann man in Wikipedia nachlesen.

1. Das Unendlichkeitsaxiom

Wenn wir davon ausgehen, dass dieses Axiom, das insbesondere die Existenz der (unendlichen) Menge der natürlichen Zahlen beinhaltet, auch etwas mit der Realität zu tun hat, bedeutet dies zweierlei:

Zum einen: Es existiert überhaupt eine Menge. Das hört sich vielleicht etwas banal an, aber im Prinzip macht es in der Mathematik von vornherein alle Diskussionen überflüssig, ob etwas aus dem „Nichts“ entstehen kann. Die Mathematik setzt die Existenz von „Etwas“ einfach voraus. Manch einer könnte vielleicht argumentieren, dass die leere Menge, aus der sich dann weitere Mengen konstruieren lassen, ja mit dem Nichts vergleichbar wäre. Aber das ist nicht richtig. Die leere Menge ist nicht „nichts“, sondern ein „etwas", in diesem Fall eine Menge.

Zum anderen: Die zweite Aussage des Unendlichkeitsaxioms ist im Grunde genommen von fundamentaler Bedeutung sowohl für die Mathematik als auch, wenn wir es auf die Realität übertragen, für die Natur. Es postuliert die Existenz von abzählbar unendlich großen Mengen. Dies bedeutet in die Realität übertragen, dass es in der Natur aktual Unendlichkeiten gibt, die einen diskreten (abzählbaren) Charakter haben. Es existieren dann abzählbar unendlich viele verschiedene Elemente. Diese könnten wir auch als elementare Bausteine der Natur ansehen. Diese fundamentalen Bausteine der Natur, aus denen sich dann sowohl Licht und Materie als auch alle Kräfte ableiten lassen, kennen wir heute noch nicht. Wir kennen heute nur einige Ihrer Kondensate wie Elektronen, Photonen, Schwarze Löcher, etc. Auch das Wesen von Energie und Zeit kann man aus den Grundbausteinen ableiten und damit ergibt sich kanonisch auch ihre „Quantisierung“. Die Quantisierung der Energie ist eine zentrale Aussage der QM und bereits bekannt, auf die Quantisierung der Zeit kann ich hier nicht weiter eingehen. Wir haben diese fundamentalen Bausteine in der QM im Grunde genommen bereits direkt vor unserer Nase, interpretieren die mathematischen Modelle der QM aber zur Zeit in einer völlig anderen Art und Weise, die uns damit die Sicht auf diese Bausteine versperrt.


2. Das Potenzmengenaxiom

Dieses Axiom hat aus meiner Sicht ebenfalls zwei wichtige Bezugspunkte zur Realität. Zum einen besagt es, dass es in der Natur neben der diskreten und abzählbaren Unendlichkeit (s.o.) auch eine zweite aktual Unendlichkeit in Form eines Kontinuums gibt. Dies hat einen wesentlichen Bezug zu den reellen Zahlen und auf die Natur bezogen auf den Raum, in dem wir leben. Die zweite, ebenso wichtige Aussage des Axioms liegt m.E. darin begründet, dass dieses Kontinuum nicht für sich als vollständig eigenständiges „Etwas“ postuliert wird, sondern dass es sich indirekt aus einem Prozess oder einer Operation ergibt, nämlich mathematisch repräsentiert durch „Bilde die Potenzmenge einer gegebenen Menge“. Auf die Natur übertragen bedeutet das m.E., dass der Raum an sich ohne Inhalt nicht existiert, also keine Bühne ist, auf der sich die Prozesse abspielen, sondern dass der Raum aus einem unendlichen Prozess heraus erst gebildet wird und ohne eine „Grundmenge“ nicht existieren kann. Oder anders: Der Raum besteht aus einer abzählbar unendlichen Grundmenge plus einem daraus durch einen unendlichen Prozess entstehenden (dynamischen) „Kontinuum“, das man aber nicht mit dem R3 verwechseln darf. Topologisch z.B. unterscheiden sich diese beiden Räume erheblich.

Einen leeren und statischen Raum gibt es also nicht. Mathematisch könnte man einen leeren Raum zwar mit dem R3 abbilden, in der Natur gibt es aber kein wirkliches Pendant dazu. Aus praktischen Gründen ist es aber oft sehr nützlich, den realen Raum über ein R3 Koordinatensystem zu adressieren. Wir können ein Gefühl für den Raum in der Natur bekommen, wenn wir uns die ART anschauen. Sie behandelt einen kleinen Teil dieser dynamischen Aspekte (nur für die Gravitation und nur für unser Universum). Der eigentliche Raum in der Natur ist aber noch wesentlich komplexer und dynamischer. Die physikalischen Eigenschaften und Formen eines endlichen Raumabschnittes sind dabei dynamisch insbesondere von seinem Inhalt (Art und Verteilungsstrukturen der Grundbausteine) und seiner Umgebung abhängig. Das gilt insbesondere auch für unser Universum. Die ART setzt im Grunde erst auf einem vorgelagerten Prozess (wir nennen es „Urknall“ und „Inflationsphase") auf, der unser Universum (endlicher spezieller Raumausschnitt) bereits räumlich (und damit auch inhaltlich) so gestaltet hat, dass damit erst die Voraussetzungen für die Gültigkeit der ART geschaffen wurden und sie dann bestimmte Aspekte des weiteren Verlaufs sehr gut abbilden kann. Die ART selber kann diesen vorgelagerten Prozess aber nicht beschreiben und auch nicht das finale Ende des Universums. Trotz aller Einschränkungen (auch was die Interpretation angeht) zeigt uns die ART aber den richtigen Weg, um den Raum einmal umfassend zu verstehen. Sie sagt uns, dass jeder endliche Raumabschnitt veränderlich ist, in Abhängigkeit seines (dynamischen) Inhalts und seiner Umgebung.


3. Das Auswahlaxiom


Dieses Axiom ist im Gegensatz zu den beiden anderen Axiomen durchaus nicht unumstritten. Zu Recht, wie ich meine. Der Grund dafür liegt zum einen darin begründet, dass dieses Axiom eine reine Existenzbehauptung beinhaltet und keinerlei Konstruktionsansätze enthält. Das wird allgemein als unschön empfunden. Zum anderen ergeben sich daraus zum Teil sehr merkwürdige Konsequenzen wie zum Beispiel das Banach-Tarski Theorem, die eigentlich jedem Physiker die Haare zu Berge stehen lassen sollten.

Für die Analysis und andere Bereiche reicht eine abgeschwächte Version des Auswahlaxioms bereits aus. Eine abgeschwächte Version ist notwendig, um viele wirklich fundamentale Ergebnisse der Mathematik beweisen zu können oder zu unterfüttern. Wenn man also den ganzen Reichtum der mathematischen Ergebnisse nutzen will, benötigt man zumindest eine abgespeckte Version des Auswahlaxioms in geeigneter Form. Die anderen Axiome reichen dafür nicht aus.

Wenn man das Auswahlaxiom als allgemein gültig ansieht, also für jede Art von Mengen, lassen sich Aussagen wie das Lemma von Zorn, das Banach-Tarski Theorem oder auch „Jeder Vektorraum hat eine Basis“ beweisen.

Rein aus mathematischer Sicht kann man das dann glauben oder nicht, je nachdem, in welcher Form man das Auswahlaxiom akzeptiert.

Wenn wir einmal davon ausgehen, dass die Fundamente der Natur sich in den Axiomen der Mathematik widerspiegeln müßten, stellt sich die Frage, ob die allgemeine Version des Auswahlaxioms in der Natur tatsächlich realisiert ist. Nur dann könnte ich die mathematischen Ergebnisse daraus auch in der Physik einsetzen, andernfalls würde es keine Physik mehr sein, sondern nur ein Gedankenspiel ohne Bezug zur Realität. Für mich ist allein schon das Banach-Tarski Theorem ein Grund dafür anzunehmen, dass die allgemein gültige Form des Auswahlaxioms nicht in der Natur realisiert ist. Auch die Maßtheorie liefert uns hier einige Argumente in diese Richtung, worauf ich aber nicht näher eingehen möchte.

Das Auswahlaxiom macht auch implizit Aussagen über die Beschaffenheit des Kontinuums, zumindest Aussagen über die Existenz von bestimmten Teilmengen der reellen Zahlen, die daraus abgeleitet werden können. Das hat auch sehr viel mit Problemen zu tun, mit denen die Maßtheorie (und damit auch Wahrscheinlichkeitstheorie) Jahrzehnte lang zu kämpfen hatte, bevor sie in der Lage war, die grundlegenden Axiome zur Maßtheorie konsistent formulieren zu können.

In dem Wikipedia Artikel zum Banach-Tarski Theorem werden einige dieser Aspekte angesprochen. Wer Lust hat, kann da ja mal reinschauen.

Rein mathematisch kann man im Grunde nicht entscheiden, ob das Auswahlaxiom in seiner allgemeinen Form nun „wahr“ ist oder nicht. Die Mathematik wäre hier ausnahmsweise mal auf Hilfe von „außen“ angewiesen. Und diese Hilfe könnte in diesem Fall die Physik zur Verfügung stellen, wenn Sie eine plausible Erklärung dafür liefern könnte, warum die allgemeine Form des Auswahlaxioms in der Natur wahrscheinlich nicht realisiert ist. Aber erst wenn wir den Raum und das Vakuum grundlegend physikalisch verstanden haben, kann diese Hilfe geleistet werden.


Fazit:

Während die Physik Impulse durch die beiden ersten Unendlichkeitsaxiome in Bezug auf die Existenz grundlegender Bausteine (Masse) und die Beschaffenheit von Raum, Energie und Zeit erhalten kann, wäre sie nach erfolgreicher Verarbeitung dieser Impulse in der Lage der Mathematik etwas zurückzugeben in Bezug auf die Gültigkeit des Auswahlaxioms.

Wir müssen meiner Meinung nach diese Unendlichkeiten wirklich ernst nehmen und sie auch als grundlegendes Konstruktionsprinzip der realen Natur begreifen. Sie werden dann nicht nur die Mathematik bereichern bzw. in großen Teilen als „naturrelevant" bestätigen, sondern auch unser physikalisches Verständnis, was die Natur „ist“, maßgeblich verbessern. Ich möchte nicht behaupten, dass wir die Natur dann ganz verstanden hätten. Das wäre vermessen, aber wir wären einen großen Schritt in dieser Richtung weiter.

Die Unendlichkeiten in der Natur sind allerdings nicht unendlich variantenreich bzw. beliebig. Die Natur ist nur so komplex wie zwingend notwendig. Was ist damit gemeint? In der Mathematik kann man die Unendlichkeiten immer mächtiger und komplexer denken. In der Natur ist dies nicht so. Der Natur reichen zwei Arten von Unendlichkeiten aus. Die abzählbar unendlichen für die Grundbausteine und das reelle Kontinuum für den Raum und die Bewegungen der Grundbausteine und deren Kondensate durch den Raum. Auch für die Abbildung der möglichen Zustände des „Alls“ reicht die Mächtigkeit des Kontinuums aus. Cantor hat einmal bewiesen, dass die Mächtigkeit von RN gleich der Mächtigkeit von R ist, selbst wenn N abzählbar unendlich ist. Mehr brauchen wir nicht, um die Zustände abzubilden.

Cantor schreibt dazu in einem Brief an Dedekind:
Da sieht man, welch’ wunderbare Kraft in den gewöhnlichen reellen rationalen und irrationalen Zahlen doch liegt, dass man durch sie im Stande ist die Elemente einer ρ-fach ausgedehnten stetigen Mannigfaltigkeit eindeutig mit einer einzigen Koordinate zu bestimmen…


Mathematische Fragestellungen nach der Existenz und Struktur von immer mächtigeren Unendlichkeiten wären damit für die Natur nicht von Belang und ein reines Gedankenspiel. Es ist auch bemerkenswert, dass viele dieser Aussagen bzw. Hypothesen im Grunde mittels der bestehenden Axiome weder bewiesen noch widerlegt werden können. Aus mathematischer Sicht ist es sicher interessant, auch diese Aspekte zu untersuchen. Die Ergebnisse können aber nicht auf die Natur übertragen werden.

Aus dieser Sichtweise heraus könnte man die Axiome von ZFC etwas strenger formulieren, wenn man nur das Ziel hat, damit auch „naturverbunden“ zu sein.

Dies würde das Potenzmengenaxiom betreffen: Es würde reichen, dies auf die Menge der natürlichen Zahlen zu beschränken, um die Existenz eines Kontinuums und seine Konstruktion sicherzustellen.

Statt des Auswahlaxioms könnte man das Axiom der Determiniertheit nehmen, das Theoreme wie Banach-Tarski nicht zulässt, trotzdem aber all die schönen Ergebnisse der Mathematik erlaubt, auf die sich maßgeblich auch die Physik bezieht.

Aus dem Axiom der Determiniertheit folgen u.a. folgende wichtige Aussagen:
  • Die einfache Kontinuumshypothese ist wahr
  • Jede Teilmenge der reellen Zahlen ist Lebesgue-messbar
  • Die reellen Zahlen können nicht wohlgeordnet werden
  • Das abzählbare Auswahlaxiom ist wahr
Die dann vorliegende „ZFD“ würde dann im Grunde nur „gute“ Mengen zulassen und „schlechte“ wie beim Banach-Tarski Theorem verhindern.

Die heutigen Axiome der Mathematik in Form von ZFC haben bereits jetzt sehr viel mit der Natur gemeinsam. Einzig das Auswahlaxiom ist mit großer Vorsicht zu genießen und sollte daher durch etwas „naturverbundenes“ ersetzt werden.
Alles ist einfacher, als man denken kann, zugleich verschränkter, als zu begreifen ist.
J.W. von Goethe

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von Pippen » 10. Mai 2019, 01:34

tomS hat geschrieben:
27. Apr 2019, 09:13
1. Nehmen wir an, es gäbe in der Welt in jedweder Art und Weise kein IN (ohne Arithmetik, nur die Zahlenreihe).
2. Daraus folgt, dass es auch für uns kein IN gäbe.
3. Es gibt für uns aber natürliche Zahlen (ja, IN ohne Arithemtik ist sogar beweisbar vollständig und konsistent).
...

Wenn es für mich entsprechend (3) ein X gibt, dann gibt es für mich ein X; die Aussage (2), es gäbe kein X, ist dann trivialerweise falsch.
Nein, denn 3. wäre falsch, weil es der Annahme aus 1. widerspricht, 2. dagegen nicht. Konsequenz: Was du für IN hälst, kann nicht IN sein, die Peano-Axiome (ohne Arithmetik!) wären irgendwo inkonsistent, obwohl wir ihre Konsistenz (aber eben nur scheinbar!) beweisen können. Wenn 1. wahr wäre, dann wäre das die absurde Konsequenz!

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von tomS » 10. Mai 2019, 08:35

ich schreibe explizit "ohne Arithmetik"
Gruß
Tom

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von Pippen » 16. Mai 2019, 08:34

tomS hat geschrieben:
10. Mai 2019, 08:35
ich schreibe explizit "ohne Arithmetik"
Inwiefern spielt das eine Rolle? Du nimmst in 1. an, es gäbe keine natürlichen Zahlen und in 3., es gäbe doch natürlichen Zahlen. Das ist ein Widerspruch. Dann ist entweder 1. falsch oder 3. falsch, und falls 1. wahr sein sollte, dann wäre die Konsequenz, dass 3. falsch sein muss, zB weil die Peano-Axiome inkonsistent wären; unser Beweis für ihre Konsistenz (ohne Arithematik können wir die Peano-Axiome als konsistent beweisen) wäre danach doch irgendwo ungültig/falsch.

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von Job » 19. Mai 2019, 10:47

Zum Thema Unendlichkeiten möchte ich noch ein paar ergänzende Überlegungen anfügen.

tomS hat geschrieben:
5. Jan 2019, 17:51

Die Natur kann durchaus vollständig formalisierbar sein, ohne dass sie dadurch automatisch berechenbar und prognostizierbar sein müsste.

Z.B. könnte das heutige Universum eine universelle Turingmaschine sein, die auf Daten arbeitet, die einen bestimmten Algorithmus sowie bestimmte Anfangsbedingungen kodieren. Eine universelle Turingmaschine können wir problemlos konstruieren, ebenso wie sämtliche zulässige Algorithmen bis zu einer festen, jedoch beliebigen Länge. Damit ist das Universum von dieser Turingmaschine berechenbar - Schritt für Schritt, jedoch nicht mehr. Insbs. existiert für geeignete Algorithmen keine „Abkürzung“, d.h. man kann sicher nicht vorhersagen, wie sich das Universum verhalten wird; Universum ist selbst der effizienteste Algorithmus zur Berechnung seiner selbst. Darüberhinaus ist das Universum mittels Beobachtung innerhalb desselben nicht vollständig erkennbar, denn dazu wäre die vollständige Kenntnis aller Daten notwendig, die jedoch nicht als Teilmenge in den Daten enthalten sein kann. Dennoch könnte der grundlegende Mechanismus, nämlich dass überhaupt eine Turingmaschine vorliegt, geschlussfolgert werden.

Damit haben wir das Modell eines universellen, logisch in sich geschlossenen, vollständig formalisierten und vollständig deterministischen Universums, mit einer präzise definierten Struktur und Mikrokausalität, das wir als solches prinzipbedingt nicht erkennen können.

Ich bin keineswegs davon überzeugt, dass dieses Modell zutrifft, aber ich halte es gerade wegen all dieser Eigenschaften und seiner logischen Einfachheit für viel interessanter als irgendwelche nebulösen Konstrukte. Es ist nämlich einerseits präzise definiert, erscheint jedoch andererseits dennoch undurchschaubar und rätselhaft - ohne dass man letzteres noch dazudichten müsste - mehr Emergenz geht kaum:

Dieses wunderschöne Beispiel von Tom enthält m.E. schon sehr viel von dem, wie unser Universum „tickt“ und das bereits in seiner endlichen Variante einige Fragen beantwortet, die wir uns immer wieder stellen.

Kann die Zukunft von uns vorhergesagt werden? —> nein, selbst das Universum weiß heute nicht, in welchem Zustand es morgen sein wird.
Können wir jemals den aktuellen Gesamtzustand kennen? —> nein
Können wir die Zustände in der Vergangenheit berechnen? —> nein, weil wir zum einen den aktuellen Zustand nicht abbilden können und zum anderen der Vorgängerzustand nicht eindeutig sein muss, d.h. zwei unterschiedliche Zustände können zum gleichen Folgezustand führen.

In der Variante von Tom wäre das Universum, da eine Turing Machine, prinzipiell im mathematischen Sinn berechenbar. Die Natur ist m.E. aber keine Turing Maschine, obwohl sie im Grunde so ähnlich funktioniert wie von Tom beschrieben. Dies liegt daran, dass wir es hier mit unendlich vielen möglichen Zuständen und Prozessen zu tun haben. Damit ist das Universum (nicht nur) im mathematischen Sinne nicht mehr berechenbar. Es wird dadurch noch undurchschaubarer und rätselhafter und die Emergenzen haben wegen der unendlichen Prozesse auch noch eine völlig neue Qualität als bei den berechenbaren Prozessen.

Der Mensch ist in der Lage, in seinen Gedanken weit über den eigenen physikalischen Horizont hinaus zu blicken und eigentlich alle Grenzen zu überwinden. Dies ist für mich eine ganz erstaunliche Gabe. Dies führt uns auch zu der Frage, was unser Bewusstsein und unser Abstraktionsvermögen ausmacht. Die Antwort ist m.E. nur auf einer anderen für uns nicht zugänglichen Ebene zu finden, die wir uns nicht mehr vorstellen können. Verstand und Bewusstsein scheinen ähnlich wie der Raum etwas Emergentes zu sein, das sich dann bilden kann, wenn eine sehr große Anzahl von Grundbausteinen in einem begrenzten Raumbereich und in einer ganz bestimmten Anordnung zusammengefunden haben. Es ist ein bisschen so wie bei den reellen Zahlen. Auch hier entsteht durch einen unendlichen Prozeß aus rationalen Zahlen etwas neues. Während Raum und Bewusstsein zwei Resultate unendlicher Prozesse wären, gehört die Zeit nicht in diese Kategorie. Die Zeit könnte vielmehr der Treibstoff für diese unendlichen Prozesse sein, das Bindeglied zwischen diskreter Materie und ihren zum Teil kontinuierlichen Emergenzen.


Dazu folgende Bemerkungen:

1. Der konkrete Prozeß, wie diese unendlichen Emergenzen entstehen, ist unbekannt.

2. Es ist auch unklar, was die Emergenz im Falle des Bewusstseins dann ontologisch sein könnte. Es ist lediglich klar, dass es (ähnlich wie bei den reellen Zahlen) mehr sein muss, als nur die Summe der Einzelteile.

3. Das Bewusstsein eines einzelnen Menschen benötigt Materie in einer bestimmten Konstellation (Grundbausteine), um sich zu bilden, ist auf der anderen Seite aber mehr als nur Materie. Unser physikalisches Gehirn alleine kann das Bewusstsein nicht erklären. Das physikalische Gehirn ist für die Bildung notwendig, aber nicht hinreichend.

4. Damit sich das Bewusstsein durch einen unendlichen Prozess bilden kann, ist ausser der Materie (Grundbausteine) auch noch etwas anderes nötig, dass die notwendige „Energie" dafür bereitstellt. Dies ähnelt ein wenig der von verschiedenen Philosophen behandelten „Weltseele“ und damit etwas, das sich selbst und alles andere bewegt und damit „zum Leben erweckt“ und das gesamte All durchdringt. Wir nennen das heute, ohne uns (zumindest in der westlichen Welt) dessen bewusst zu sein, „die Zeit“.
Die Zeit ist auf der einen Seite, wenn wir sie nur aus messtechnischem Winkel betrachten (Treffer der Vakuumteilchen) etwas relativ einfaches und durchschaubares mit einem diskreten Charakter. Die Zeit, die wir auf den Atomuhren ablesen, können wir verstehen, auch die von Einstein gefundenen Einflüsse von Bewegungen und schweren Massen auf diese Art der Zeitmessung. Dies sind aber nur einige für uns messbare (Aus)Wirkungen der Zeit. Die Zeit hat aber darüber hinaus noch eine weitaus größere Bedeutung als unendlich verfügbarer Treibstoff des Alls. Zeit ist viel mehr als das, was wir auf der Uhr ablesen. Sie hat eine aktive, dominante Rolle. Sie vergeht nicht, sondern sie wirkt. Wir haben zwei Gleichungen in der QM, die uns eine enge Verbindung der Zeit mit der Energie und dem Impuls zeigen:




<—>


In der QM sind dies heute Ungleichungen, aber wenn man den physikalischen Hintergrund dieser Ungleichungen kennt, kann man sehen, dass es sich sogar um Gleichungen handelt. Veränderungen der Energie (grundsätzlich kinetischer Natur) und Impulsänderungen (beides sind Wirkungen) sind also bedingt durch die Zeit (Ursache). Die Zeit sorgt also dafür, dass sich die an sich tote Materie in Form der Grundbausteine und deren Konglomerate ständig in Bewegung befindet und damit das All frei nach Heraklit weniger ein „Sein" als ein ständiges „Werden“ (und Vergehen) ist. Wie wir „Zeit" für unsere Zwecke messen können (spezielle (Aus)Wirkungen der Zeit), ist aus meiner Sicht begreifbar, was Zeit wirklich „ist“ (Ursache) wohl eher nicht. Sie hat hier eher einen transzendenten Charakter.

5. Es ist unklar, ob das Bewusstsein (Resultat des emergenten Prozesses) dann auch ohne Materie existieren könnte. Dies könnte erst beantwortet werden, wenn 2. klar wäre.

6. Wenn das Bewusstsein so ein emergenter Zustand ist, kann man wohl auch sagen, dass es so etwas wie einen freien Willen tatsächlich gibt. Er wäre zwar auch von seiner Umgebung mit beeinflußt, aber der individuelle Teil (unser Körper) hätte einen sehr großen Anteil daran.

7. Unser Bewusstsein mit all seinen Fähigkeiten ist aus meiner Sicht ein Beleg dafür, dass wir trotz unserer räumlich und „zeitlich" eher weniger bedeutenden Erscheinung zumindest einen Teil des Geheimnisses der Natur und ihrer Unendlichkeit in uns tragen. Wir sind etwas besonderes, auch wenn es schwer fällt, dies wirklich auf den Punkt zu bringen.

8. Unsere Begriffe Materie und Zeit bezeichnen aus dieser Sicht heraus die primären „Bausteine" des Alls. Atomare Materie, Licht, Raum, Energie, Bewegung, etc. sind Emergenzen bzw. Wirkungen davon. Aus Materie und Zeit, die global im ganzen All vorhanden sind und immer schon waren, entstehen lokal dann u.a. auch unser Körper und unser Geist.

Dies alles führt uns an die Grenzen des für uns „Begreifbaren“. Ich kann für mich sagen, dass hier meine Vorstellungskraft zu Ende ist und ehrlich gesagt finde ich das sogar beruhigend. Es wäre für mich eine verstörende Vorstellung, wenn wir eines Tages wirklich einmal alles verstehen würden. So bleibt uns der Glaube weiterhin erhalten und unser Forschen nimmt kein Ende.

Und es scheint bisher so zu sein, dass mit jeder neuen Erkenntnis zwar die alten Rätsel weniger werden, dafür aber neue, noch größere Rätsel zum Vorschein kommen. Ich selbst finde das aber nicht frustrierend, sondern faszinierend.

Viele Grüße
Job
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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 21. Mai 2019, 00:38

Du holst weit aus Job... :)

Ein paar Anmerkungen und Gedanken dazu:
Job hat geschrieben:
28. Apr 2019, 10:52
Die Tatsache, dass es den Physikern damit in beeindruckender Weise gelungen ist, viele Prozesse in der Natur zu verstehen, ja sogar vorherzusagen, zeigt für mich, dass die Mathematik auch etwas mit der Realität zu tun haben muss.
Zeigt es vielleicht nicht vielmehr, dass unsere heutige Mathematik etwas damit zu tun haben muss, wie wir heute denken und verstehen - und was wir darunter heute verstehen?
Was ist Verständnis, was Vorhersage? Sind das nicht Dinge in unseren Köpfen?
Wir sind und bleiben stets auf uns selbst zurückgeworfen.
Job hat geschrieben:
19. Mai 2019, 10:47
Der Mensch ist in der Lage, in seinen Gedanken weit über den eigenen physikalischen Horizont hinaus zu blicken und eigentlich alle Grenzen zu überwinden. Dies ist für mich eine ganz erstaunliche Gabe.
Aber bleibt er dabei nicht stets in den Grenzen seiner eigenen Gedanken gefangen?
Job hat geschrieben:
19. Mai 2019, 10:47
Kann die Zukunft von uns vorhergesagt werden? —> nein, selbst das Universum weiß heute nicht, in welchem Zustand es morgen sein wird.
Können wir jemals den aktuellen Gesamtzustand kennen? —> nein
Können wir die Zustände in der Vergangenheit berechnen? —> nein, weil wir zum einen den aktuellen Zustand nicht abbilden können und zum anderen der Vorgängerzustand nicht eindeutig sein muss, d.h. zwei unterschiedliche Zustände können zum gleichen Folgezustand führen.
Kann das Universum überhaupt von uns erkannt werden? Und kann es verstanden werden, ist es verständlich? Und falls, kann es dann auch noch formuliert werden? Wie weit, bis zu welcher Grenze?
Gibt es eine? Dürfen wir behaupten, wir hätten das Universum verstanden? Jemals? Was wissen wir?
Und wie weit können wir uns von uns selbst abstrahieren, wie weit dürfen wir? Gibt es 'Objektivität'?
Job hat geschrieben:
28. Apr 2019, 10:52
Es liegt nahe, dass die Mathematik nur dann etwas mit der Realität gemeinsam haben kann, wenn auch die grundlegenden Fundamente der Mathematik bereits etwas mit der Realität zu tun haben.
Welche Realität? Die postulierte "da draußen" oder die in unseren Köpfen?
Job hat geschrieben:
28. Apr 2019, 10:52
Zum einen: Es existiert überhaupt eine Menge. Das hört sich vielleicht etwas banal an, aber im Prinzip macht es in der Mathematik von vornherein alle Diskussionen überflüssig, ob etwas aus dem „Nichts“ entstehen kann. Die Mathematik setzt die Existenz von „Etwas“ einfach voraus. Manch einer könnte vielleicht argumentieren, dass die leere Menge, aus der sich dann weitere Mengen konstruieren lassen, ja mit dem Nichts vergleichbar wäre. Aber das ist nicht richtig. Die leere Menge ist nicht „nichts“, sondern ein „etwas", in diesem Fall eine Menge.

Zum anderen: Die zweite Aussage des Unendlichkeitsaxioms ist im Grunde genommen von fundamentaler Bedeutung sowohl für die Mathematik als auch, wenn wir es auf die Realität übertragen, für die Natur. Es postuliert die Existenz von abzählbar unendlich großen Mengen. Dies bedeutet in die Realität übertragen, dass es in der Natur aktual Unendlichkeiten gibt, die einen diskreten (abzählbaren) Charakter haben. Es existieren dann abzählbar unendlich viele verschiedene Elemente.
Nun, s.o. ... Welche Realität, welche Natur, die 'da draußen' oder die 'hier drinnen'?
Wir wissen es nicht. Es scheint nur absurd zu sein von zwei Realitäten zu sprechen, es sollte nur eine geben, so sagt das Denken im Denken.

Was ich dir aber eigentlich sagen will: Du lehnst dich auf diesem gedanklichen Pfad weit und mutig aus dem Fenster, m. E. noch zu wenig beachtend, in welchen Zirkeln du dich dabei verstrickst.
Job hat geschrieben:
28. Apr 2019, 10:52
Einen leeren und statischen Raum gibt es also nicht.
Ich glaube, dass es überhaupt nichts Statisches gibt und dass es auch nichts gibt, das abgrenzbar-identifizierbar von allem anderen wäre, so ist der Raum nicht von der Zeit trennbar, ebensowenig von Materie, Energie, usw. Es ist alles eine untrennbare Einheit. Nur in unseren Gedanken und dann folgerichtig auch in unseren Formulierungen wird es aufgetrennt, damit wir überhaupt irgendetwas begreifen können oder wenigstens das Gefühl bekommen etwas begriffen zu haben.
Das hat aber direkt nichts mit der Natur zu tun, sondern mit der Art und Weise wie wir denken und begreifen (können).
Job hat geschrieben:
28. Apr 2019, 10:52
3. Das Auswahlaxiom


Dieses Axiom ist im Gegensatz zu den beiden anderen Axiomen durchaus nicht unumstritten. Zu Recht, wie ich meine. Der Grund dafür liegt zum einen darin begründet, dass dieses Axiom eine reine Existenzbehauptung beinhaltet und keinerlei Konstruktionsansätze enthält. Das wird allgemein als unschön empfunden. Zum anderen ergeben sich daraus zum Teil sehr merkwürdige Konsequenzen wie zum Beispiel das Banach-Tarski Theorem, die eigentlich jedem Physiker die Haare zu Berge stehen lassen sollten.
Andererseits kann sich die Raumzeit auch einfach so dehnen, also in gewisser Weise auch einfach so 'mehr' werden...
Job hat geschrieben:
28. Apr 2019, 10:52
Wir müssen meiner Meinung nach diese Unendlichkeiten wirklich ernst nehmen und sie auch als grundlegendes Konstruktionsprinzip der realen Natur begreifen.
Vielleicht. Was sind Unendlichkeiten? Haben wir sie schon verstanden, wenn wir ein paar Axiome hinschreiben und daraus schlussfolgernd ein paar uns gerade interessierende Eigenschaften identifiziert haben?
Was steckt da eigentlich dahinter? Wie kamen wir überhaupt auf den Gedanken, etwas könne 'unendlich' sein? Was meinten wir damit?
Und haben wir die o.g. Axiome aus tieferem Grund eingeführt als dem profanen, dass sie uns für bestimmte Zwecke nützlich waren oder erschienen?
Falls ja, was ist dieser Grund genau? Was wollten wir eigentlich zu fassen bekommen? Was ist das Wesen, das Wesentliche dabei? Wie lautet der Gedanke dahinter?
Job hat geschrieben:
28. Apr 2019, 10:52
Aus dieser Sichtweise heraus könnte man die Axiome von ZFC etwas strenger formulieren, wenn man nur das Ziel hat, damit auch „naturverbunden“ zu sein.

Dies würde das Potenzmengenaxiom betreffen: Es würde reichen, dies auf die Menge der natürlichen Zahlen zu beschränken, um die Existenz eines Kontinuums und seine Konstruktion sicherzustellen.

Statt des Auswahlaxioms könnte man das Axiom der Determiniertheit nehmen, das Theoreme wie Banach-Tarski nicht zulässt, trotzdem aber all die schönen Ergebnisse der Mathematik erlaubt, auf die sich maßgeblich auch die Physik bezieht.
Gut. Einen Gedanken in der Richtung hatte ich auch schon einmal: Was wäre, wenn unsere Mathematik - so wie sie heute per Konsens üblicherweise konstruiert und verwendet wird - in ihrer Grundstruktur der Welt sozusagen 'nicht recht angemessen wäre' und uns dadurch ab einem gewissen Punkt in die Irre oder Sackgasse führte, gerade auch in ihrer Anwendung in der Physik, da wir ja zu einem guten Teil in eben jenen festgelegten Strukturen denken und arbeiten, also auch in ihnen gefangen sind?

Zu deinen Gedanken zur Zeit:
Ich glaube, man muss es allgemeiner sehen. Zeit ist schon etwas speziell Geordnetes, da ein Zeitpfeil vorhanden ist. Zeit ist wahrscheinlich selbst schon etwas, das aus etwas anderem emergiert (der Raum ebenso).
Als grundlegender anzusehen sollte m. E. daher etwas anderes sein, eine Abstraktionsebene tiefer, dort noch ohne Zeitpfeil: Bewegung, Veränderung, Potential

Wie man es auch dreht und wendet, man kommt m. E. immer zu der Einsicht, dass es grundlegend zweierlei geben muss, das eines ist:
Das Bewegte und das, das bewegt: Potentialität. Alles andere, alle Struktur kann erst später kommen, muss daraus hervorgehen.
In dem Bereich gehen einem dann allerdings tatsächlich die Worte aus und man ahnt mehr, als dass man wissen oder sagen kann.
Grüße
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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 21. Mai 2019, 09:09

Und noch ein kurzer Gedanke zum Nichts:

Das absolute Nichts kann es nicht geben, es ist widersprüchlich.

Denn:
Versuchen wir uns das Nichts zu denken, nehmen wir gedanklich alle Energie, Materie und schließlich auch noch Raum und Zeit weg.
Sind wir nun beim absoluten Nichts? Noch nicht! Wir müssen nun auch noch alle Regeln wegnehmen.
Wenn es nun aber auch keine Regeln mehr gibt, dann ist sozusagen 'alles erlaubt', alles möglich, da Regeln Einschränkungen darstellen: Sie legen fest, was nicht geschehen und sein kann, sodass nur geschehen und sein kann, was geschehen und sein darf.
Ohne Regeln wäre der angestrebte Zustand "absolutes Nichts" daher zwangsläufig voller Potentialität: Alles wäre dann möglich.

Potentialität ist aber nur dann vorhanden, wenn sich auch tatsächlich etwas davon verwirklicht, denn es wäre widersprüchlich davon zu sprechen, dass Möglichkeit bestünde, ohne dass zumindest irgendeine der Möglichkeiten je verwirklicht würde.
[Denn das wäre in etwa so, wie wenn man einen Würfel betrachtet und sagt, dass die Möglichkeit bestünde, dass eine Zahl zwischen 1 und 6 gewürfelt würde. Dieses Potential kann nur existieren, wenn wenigstens 1x auch gewürfelt wird. Wenn würfeln per Regel verboten oder unmöglich wäre, dann bestünde auch die o.g. Möglichkeit nicht.]
Also muss in dem von uns erreichten "Nichts" voller Potentialität zwangsläufig auch wirklich etwas geschehen und damit wäre es eben kein Nichts, sondern in gewissem Sinne gerade das Gegenteil: ein regelloses, allumfassendes Meer der Möglichkeiten, die sich verwirklichen und entwickeln.

Ergo: Das absolute Nichts ist widersprüchlich und gibt es somit nicht, nie, nirgends. Es gibt zwangsläufig immer nur das Sein und das was sein kann.



Und noch ein Gedanke zur Unendlichkeit:

Unendlichkeit ergibt sich nicht, indem man sich denkt, dass zu irgendetwas immerdar etwas hinzugefügt wird oder schon wurde, sondern umgekehrt, indem man eine grenzbildende Regel weglässt. Eine Unendlichkeit ist daher nicht "mehr" als eine entsprechende Endlichkeit, sondern "weniger", ein Weniger an Regeln, an Struktur(begrenzung) - und somit immer auch einfacher als die entsprechende Endlichkeit.
Grüße
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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von Skeltek » 22. Mai 2019, 17:35

Ich habe hier im Laufe der Woche 10 mal versucht hier was zu schreiben und jedes mal feststellen müssen, dass es mir nicht möglich ist das sprachlich auszudrücken was mir im Kopf vorschwebt. Deshalb nur kurz.
Zur Formalisierbarkeit:
Es ist vorstellbar, dass sich die kleinsten Grundbausteine des Universums top-down gebildet haben (das sei mal ohne Begründung einfach hingestellt, zumal die Begründung für den folgenden Teil völlig egal ist). Die Teilbarkeit von Teilchen 'nach unten hin' ins mikroskopischere könnte unendlich weit fortführbar sein (allerdings nicht messbar bzw experiementielle Anordnung oder Energie nicht erreichbar).
Kausal wäre nach unten hin (fraktalsmäßig) eine unendliche Kette an Teilchenwechselwirkungen(kleiner Placklänge) möglich, ohne dass diese unendlich viel Zeit benötigt.
Das wäre vollständig formalisierbar, jedoch nicht zwangsläufig berechenbar. Auch könnte man mit dem Ansatz interpretieren, dass das Universum intrinsisch nicht diskret sondern reel funktioniert. Ein Bottom-Up Aufbau steht für diskrete ganze Einheiten welche additiv größere Strukturen bilden. Ein Top-Down Ansatz ist eher mit dem Multiplikativen assoziiert, da sich hier kleinere Bausteien durch Teilung eines größeren Etwas und Agglomeration diverser Eigenschaften in den entstehenden Einzelteilen bilden.

Es tut mir leid, falls das etwas wirr erscheint, jedoch fehlen mir die Worte um das so auszudrücken wie ich es im Sinn habe.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von Pippen » 24. Mai 2019, 01:50

Die Frage ist halt, ob wir in einer durch-und-durch endlichen Welt (und einem endlichen Gehirn) ein unendliches Konzept überhaupt denken können oder ob wir dort nur nicht merken, dass wir mit 'unendlich' nur 'besonders viel Endliches' meinen (weil wir es meinen müssen). Dann wären zB auch Gödel's Unvollständigkeitsbeweise falsch, denn ohne echte Unendlichkeit keine Unvollständigkeit oder Unendscheidbarkeit.

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 24. Mai 2019, 08:00

Pippen hat geschrieben:
24. Mai 2019, 01:50
oder ob wir dort nur nicht merken, dass wir mit 'unendlich' nur 'besonders viel Endliches' meinen
So können wir 'unendlich' nicht wirklich denken, bzw. denkend wirklich erfassen, das wäre "additiv/aufbauend/direkt/implizit".

Wir können 'unendlich' aber "substraktiv/abbauend/indirekt/explizit" denken, indem wir eine Regel weglassen.

Beispiel:

1. Fange bei einem Anfang an, nimm die 1 als Anfang.
2. Fange dann an zu zählen, indem du 1 addierst.
3. Wiederhole 2.
4. Höre auf, sobald du bei der 10 angelangt bist.

Das ergibt eine endliche Folge.

Hier kommt man zu einer Unendlichkeit, indem man Regel 4. streicht, also:

1. Fange bei einem Anfang an, nimm die 1 als Anfang.
2. Fange dann an zu zählen, indem du 1 addierst.
3. Wiederhole 2.
4. Höre auf, sobald du bei der 10 angelangt bist.

Der Punkt ist: Auch wenn die Elemente der Folgen in dem Beispiel unendlich sein mögen, die Regeln sind es nicht, sie sind endlich viele.
Da es in beiden Fällen endlich viele Regeln sind, können wir sicherstellen, dass wir diese auch denken können.
Und das ist offensichtlicher Fakt; keine postulierte Annahme über das Universum oder was wir merken und nicht merken oder sonstwas kann ein Faktum widerlegen.
Grüße
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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von tomS » 25. Mai 2019, 10:55

Pippen hat geschrieben:
24. Mai 2019, 01:50
Die Frage ist halt, ob wir in einer durch-und-durch endlichen Welt (und einem endlichen Gehirn) ein unendliches Konzept überhaupt denken können oder ob wir dort nur nicht merken, dass wir mit 'unendlich' nur 'besonders viel Endliches' meinen
Die abstrakte Denkvermögen ist autonom ggü. dem endlichen Gehirn. So kann man z.B. die Axiomatik unendlicher Systeme mit einem endlichen Gehirn denken und auf ein endliches Blatt Papier schreiben.

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Gruß
Tom

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von Pippen » 25. Mai 2019, 18:09

tomS hat geschrieben:
25. Mai 2019, 10:55
Die abstrakte Denkvermögen ist autonom ggü. dem endlichen Gehirn.
Das kann so sein, aber das muss nicht so sein - und wenn es nicht so ist, dann folgt logisch zwingend, dass unsere Unendlichkeit letztlich doch nur Endlichkeit ist, die uns gegenüber den bekannten Endlichkeiten so viel größer vorkommt, dass wir sie 'Unendlichkeit' nennen ohne zu merken, dass da keine andere Qualität vorliegt.

I.Ü. spricht aus informationstheoretischen Gründen viel dafür, dass ein endlicher Computer, d.h. eine Turingmaschine mit endlichem Band (Gehirn), keine unendlichen Symbolreihen (Zahlen) generieren kann. Da braucht es Märchen und Magie und es könnte sein, dass die heutige Mathematik diesen Fehler begeht und es nur nicht merkt, so wie vor 1.000 Jahren Gott sprichwörtliche Allmacht zugesprochen wurde, bis man merkte, dass das inkonsistent ist und es korrigierte.

@seeker: Nimm deine unendliche Zählregel von weiter oben. Das ist erstmal nur eine Regel, die einen Regelanwender braucht, der die Regeln dann auch unendlich oft anwenden kann, damit die unendliche Zahlenreihe entsteht. Dieser Regelanwender wird von Mathematikern fingiert (und nicht weiter thematisiert), aber die Frage ist, ob nicht diese Fiktion in sich widersprüchlich ist, denn zu jedem beliebigen Zeitpunkt t würde diese Regelanwender immer nur einen endlichen Zahlenstrahl produzieren. Da ist dann die Frage erlaubt, ob diese Fiktion nicht in die Richtung geht, viereckige Dreiecke zu fingieren, weil man es "einfach will und dem ersten Anschein nach auch kann" (aber eben nur inkonsistent).

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 27. Mai 2019, 07:17

Pippen hat geschrieben:
25. Mai 2019, 18:09
@seeker: Nimm deine unendliche Zählregel von weiter oben. Das ist erstmal nur eine Regel, die einen Regelanwender braucht, der die Regeln dann auch unendlich oft anwenden kann, damit die unendliche Zahlenreihe entsteht. Dieser Regelanwender wird von Mathematikern fingiert (und nicht weiter thematisiert), aber die Frage ist, ob nicht diese Fiktion in sich widersprüchlich ist, denn zu jedem beliebigen Zeitpunkt t würde diese Regelanwender immer nur einen endlichen Zahlenstrahl produzieren. Da ist dann die Frage erlaubt, ob diese Fiktion nicht in die Richtung geht, viereckige Dreiecke zu fingieren, weil man es "einfach will und dem ersten Anschein nach auch kann" (aber eben nur inkonsistent).
Die Frage, die zunächst einmal zu klären ist, ist, ob die Regeln selbst widersprüchlich sind, wenn man sie alleine, so wie sie dastehen betrachtet.
Und das sehe ich hier nicht, gleich in welcher Welt.

Anderes Beispiel:

10 x = 1
20 x = x+1
30 Goto 20

Was zum Teufel soll da irgendwie widersprüchlich/inkonsistent sein können, welche der Zeilen 10, 20, 30 soll da abhängig vom Universum einer der anderen beiden Zeilen widersprechen können?

Die andere Frage - und das ist eben eine andere Frage, das ist wichtig - ist, ob solche Regelsätze real ausgeführt werden können und ob sich in der sog. "realen" Ausführung bzw. Anwendung irgendwelche Probleme oder Widersprüche ergeben können oder nicht.

Fazit:
Ein Problem kann sich überhaupt nur dann denkbar ergeben, wenn man solche Regelwerke als irgendwie "real" oder "real auzuführend" betrachtet; so lange man sie als rein fiktiv betrachtet, ergibt sich kein Problem. Sollte man das tun, ist man gezwungen erst einmal festzulegen, was denn "real" bedeuten soll - und landet dann unausweichlich in einem logischen Zirkel bzw. im Münchhausen-Trilemma, weil diese Festlegung einen Bezug auf etwas anderes erfordert: einen Bezug auf das Universum oder das eigene Denken oder sonstwas.
Die eigentliche Frage dabei ist aber: Warum zum Teufel sollte man so einen Bezug überhaupt festlegen müssen?
Ist das notwendig, um Mathematik betreiben zu können?
Ein "kann" oder "soll" wäre hier kein Problem, aber für ein "muss" gibt es keinen vernünftigen Grund.
Und darin sehe ich den eigentlichen Knackpunkt, der bei der ganzen Geschichte zu begreifen wäre.
Grüße
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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von tomS » 27. Mai 2019, 07:35

Pippen hat geschrieben:
25. Mai 2019, 18:09
tomS hat geschrieben:
25. Mai 2019, 10:55
Die abstrakte Denkvermögen ist autonom ggü. dem endlichen Gehirn.
Das kann so sein, aber das muss nicht so sein ...
In einigen Bereichen ist es offensichtlich, dass so ist.

Z.B. ist mein Gehirn nicht grün, ich kann jedoch “grün” denken; ebenso verhält es sich mit “magnetisch”, “Universum” und “Luke Skywalker”
Gruß
Tom

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 27. Mai 2019, 07:54

tomS hat geschrieben:
27. Mai 2019, 07:35
Z.B. ist mein Gehirn nicht grün, ich kann jedoch “grün” denken; ebenso verhält es sich mit “magnetisch”, “Universum” und “Luke Skywalker”
Das ist genau das...
Das Eine ist nämlich der Gedanke (oder das Regelwerk, ...) an und für sich, so wie er ist: "Gedanke grün", "Gedanke magnetisch", "Gedanke Universum"... und das Andere ist der Bezug auf etwas anderes: "Gedanke grün -> reales grün", "Gedanke Universum -> reales Universum", ...
Das Eine und das Andere hier sind offensichtlich nicht identisch.
Die Frage ist wie gesagt: Ist es zwingend notwendig diesen Bezug herzustellen? Wofür?
Grüße
seeker


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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von tomS » 27. Mai 2019, 08:25

Bingo!
seeker hat geschrieben:
27. Mai 2019, 07:54
Das Eine und das Andere hier sind offensichtlich nicht identisch.
Die Frage ist wie gesagt: Ist es zwingend notwendig diesen Bezug herzustellen? Wofür?
Das Eine und das Andere sind offensichtlich nie identisch.

Und nein, den Bezug muss man nicht herstellen.


B53A1255-B344-4B83-85A8-E7E29938CB1A.jpeg
Das ist keine Pfeife
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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 27. Mai 2019, 09:38

Genau!
Grüße
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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von Pippen » 18. Jun 2019, 19:05

seeker hat geschrieben:
27. Mai 2019, 07:17
Die Frage, die zunächst einmal zu klären ist, ist, ob die Regeln selbst widersprüchlich sind, wenn man sie alleine, so wie sie dastehen betrachtet.
Das geht nicht. Jede Regel braucht einen Regelanwender, so wie jede Aussage einen Aussagenden braucht. Das kann man nicht wegreduzieren, auch nicht durch Fiktionen. Wenn zB in der Aussagenlogik nur Aussagen der Form p,q,r zugelassen werden, dann liegt da ein inhärenter Widerspruch, weil p,q,r eben nicht aus dem "luftleeren Raum" heraus vorstellbar sind. Da lügt man sich was in die Tasche, d.h. das kann man gern wollen, aber es funktioniert nicht, wenn man ehrlich ist. Das ist mE weder zu den Logikern noch zu den Mathematikern durchgedrungen.
Anderes Beispiel:

10 x = 1
20 x = x+1
30 Goto 20

Was zum Teufel soll da irgendwie widersprüchlich/inkonsistent sein können
Diese Folge der natürlichen Zahlen ist nur endlich, denn kein vorstellbarer Regelanwender kann die Folge durchexerzieren, nichtmal Gott, denn die Folge ist ja so angelegt, dass niemand je sagen könnte: 'fertig'. Genau das fingiert aber die Mathematik, sie tut so als ob das möglich wäre, sei es indem sie den Regelanwender ausblendet (was nicht klappt, s.o.), sei es indem sie so tut als ob es so einen Superregelanwender gäbe, was aber ebenfalls unmöglich ist (siehe eben). Da haben wir also einen Widerspruch.

@toms: Wir müssen annehmen, dass alles was wir denken, d.h. sämtliche unserer Bewußtseinsinhalte - und dazu zählen zB auch Zahlkonzepte wie IN oder IR - von unserem Gehirn generiert werden, d.h. Bewußtseinsinhalte sind Teilmenge unseres Gehirns. Wenn unser Gehirn nur endlich ist, dann kann danach keiner unserer Bewußtseinsinhalte irgendwas mit Unendlichkeit "am Hut" haben...auch nicht axiomatisch. Das merken wir evtl. nur nicht, weil wir keinen Zugang zu unserem Gehirn haben, sondern immer nur in unseren Bewußtseinsinhalten rumstöbern können, daher sind wir diesbzgl. völlig blind...und gerade bei der Unendlichkeit fällt eine Erprobung an der Erfahrung weg, was eigentlich alle Alarmglocken schrillen lassen sollte, noch dazu seit wir wissen, dass mit Unendlichkeitsannahme Gödel's Unvollständigkeiten und eine Menge Paradoxien auftreten.

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von tomS » 20. Jun 2019, 02:08

Pippen hat geschrieben:
18. Jun 2019, 19:05
Jede Regel braucht einen Regelanwender, so wie jede Aussage einen Aussagenden braucht ... Das ist mE weder zu den Logikern noch zu den Mathematikern durchgedrungen.
Wozu einen Regelanwender?

Man benötigt einen Kontext, also z.B. ein Axiomensystem.

Die Aussage „n = n+1“ ist im Kontext der natürlichen Zahlen falsch. Die Aussagen „m > n“ und „m < n“ sind widersprüchlich.

Pippen hat geschrieben:
18. Jun 2019, 19:05
Wir müssen annehmen, dass alles was wir denken, d.h. sämtliche unserer Bewußtseinsinhalte - und dazu zählen zB auch Zahlkonzepte wie IN oder IR - von unserem Gehirn generiert werden, d.h. Bewußtseinsinhalte sind Teilmenge unseres Gehirns.
Müssen tun wir das sicher nicht.

Der zweite Teil der Aussage enthält einen klassischen Kategoriefehler. Der Gedanke „ich denke an X“ ist ein Inhalt unseres Bewusstseins. Damit ist jedoch X selbst nicht notwendigerweise auch ein Inhalt unseres Bewusstseins. Wenn X z.B. für mein Auto steht, ist X selbst sicher nicht Inhalt meines Bewusstseins. Ähnliches gilt für eine abstrakte mathematische Entität X; dass X selbst nur ein Inhalt meines Bewusstseins ist, ist nicht logisch ableitbar.

Auch aus dem Satz „ich baue X“ geht nicht hervor, dass X ein physischer Teil von mir ist.
Pippen hat geschrieben:
18. Jun 2019, 19:05
Wenn unser Gehirn nur endlich ist, dann kann danach keiner unserer Bewußtseinsinhalte irgendwas mit Unendlichkeit "am Hut" haben...auch nicht axiomatisch.
Doch. Die Axiome der Mathematik sind Gegenstnd unserer Gedanken und sie konstituieren unendliche Strukturen.
Pippen hat geschrieben:
18. Jun 2019, 19:05
... dass mit Unendlichkeitsannahme Gödel's Unvollständigkeiten und eine Menge Paradoxien auftreten.
Zunächst mal sehe ich nicht, welche Paradoxien das sein sollen.

Dann kann man Axiomensysteme konstruieren, die unendliche Strukturen beschreiben, jedoch beweisbar konsistent sind, und auf die Gödel's Unvollständigkeitssätze nicht zutreffen, z.B. die natürlichen Zahlen ohne die Operation der Multiplikation.
Gruß
Tom

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 20. Jun 2019, 08:53

Das mit dem Kategorienfehler hat Tom ja schon gesagt.

Ansonsten ist ein wichtiger Punkt, dass wir z.B. "Unendlich" zwar nicht vorstellend-denkend erfassen können, aber abstrakt-denkend.
Und abstrakt-denkend ist nunmal auch Denken. Auch deshalb, "weil wir schon damit etwas anfangen können".
Pippen hat geschrieben:
18. Jun 2019, 19:05
Das geht nicht. Jede Regel braucht einen Regelanwender, so wie jede Aussage einen Aussagenden braucht.
Im Abstrakten reicht es, wenn es einen Regelanwender prinzipiell geben könnte, ohne dass sich bei der Anwendung daraus direkt Widersprüche ergeben würden.
Es ist aber nicht erforderlich, dass von vorne herein sichergestellt sein muss, dass der Regelanwender dabei zu einem Ende käme.
Pippen hat geschrieben:
18. Jun 2019, 19:05
dann liegt da ein inhärenter Widerspruch, weil p,q,r eben nicht aus dem "luftleeren Raum" heraus vorstellbar sind.
Vorstellbarkeit muss nicht notwendig gegeben sein, warum auch?
Es kommt eben auf die Fragen an, die man stellt. Warum sollte ich mir etwas zwingend (bildlich) vorstellen können müssen, wenn meine Frage nur lautet: "Ist das Abstrakte das da steht in sich konsistent?"
Wenn ich natürlich stattdessen die Frage stelle "Kann ich mir das bildlich vorstellen?", dann lautet die Antwort "Nein".
Pippen hat geschrieben:
18. Jun 2019, 19:05
seeker hat geschrieben:Anderes Beispiel:

10 x = 1
20 x = x+1
30 Goto 20

Was zum Teufel soll da irgendwie widersprüchlich/inkonsistent sein können
Diese Folge der natürlichen Zahlen ist nur endlich...
Der Punkt ist: Das ist zunächst gar keine Folge (oben stehen nur drei Programmzeilen, dort steht keine Folge), sondern ein Satz von Regeln/Anweisungen, der -nur wenn man so will, das so versteht- eine Folge darstellt bzw. für uns darstellen soll.
Beides wird nur oft gerne sprachlich oder gedanklich in einen Topf geworfen.
Pippen hat geschrieben:
18. Jun 2019, 19:05
...denn kein vorstellbarer Regelanwender kann die Folge durchexerzieren, nichtmal Gott, denn die Folge ist ja so angelegt, dass niemand je sagen könnte: 'fertig'.
Aber anfangen könnte damit ein jeder, ohne dass sich Widersprüche ergeben. Genau deshalb sagen wir, dass das, was explizit (bei Ausführung) aus den o.g. Regeln herauskommt, "unendlich", also etwas ohne Ende sei.
Es reicht sogar schon aus, wenn wir nur sagen, dass das was explizit aus den o.g. Regeln herauskäme, unendlich sei.
Denn wir können beweisen, dass das so ist, ohne die Regeln durchexerzieren zu müssen.
Und das reicht schon, um damit arbeiten und darauf weiteres aufbauen zu können. Und ob es das dann in der physischen Natur im Allgemeinen oder in unserem Gehirn im Speziellen gibt oder nicht gibt spielt dabei überhaupt keine Rolle, schon weil das gar nicht die Fragestellung ist.
Und: "Unendlich" ist nicht notwendigerweise ein Ding!
Grüße
seeker


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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von Pippen » 4. Jul 2019, 21:17

tomS hat geschrieben:
20. Jun 2019, 02:08
Wozu einen Regelanwender?
Nimm dir ein beliebiges System und ziehe davon jedweden Systemanwender ab. Dann bleiben nur bedeutungslose Zeichen übrig, die niemand liest (und erst recht nicht anwendet). Jedes System braucht immer mind. einen (wirklichen oder gedachten) Systemadministrator, der dem System "Leben" einhauchen kann, in dem er es anwendet oder wenigstens anwenden könnte. Logik und Mathematik verweigern sich dieser Einsicht, die sich dennoch tief in den Axiomen als Hintergrundannahme versteckt, denn es kann kein Zweifel bestehen: wenn morgen alle Menschen verschwinden, dann ist ab morgen ZFC nichts mehr bzw. nur bedeutungslose Zeichen.

Was ist nun, wenn jedes System immer mind. einen Menschen als Systemanwender braucht, damit es überhaupt ein System ist? Das liegt nahe, ja ist überhaupt ein System ohne menschlichen System-Leser denkbar, wenn wir ehrlich sind? Nein, s.o. Zugleich würde damit das System auf den Menschen und seine Kapazitäten reduziert, mit fatalen Folgen für die Unendlichkeit, die wir nunmal einfach nicht denken können, wir können nur endliche Folgen mit einem "usw" denken, aber ist das Unendlichkeit oder nur eine große Endlichkeit, die wir nicht überblicken und mit "usw" abkürzen?. Logik und Mathematik beachten dieses Szenario gar nicht, obwohl es augenscheinlich relevant ist.
Der Gedanke „ich denke an X“ ist ein Inhalt unseres Bewusstseins. Damit ist jedoch X selbst nicht notwendigerweise auch ein Inhalt unseres Bewusstseins.
Doch, per definition sind alle Bewußtseinsinhalte vom Gehirn generiert, also auch X. Stünde X für dein Auto, dann wäre das also die Autovorstellung und die ist ziemlich sicher in deinem Gehirn (als Neuronenfeuermuster) enthalten. Das (körperliche) Auto was du wohl meinst ist für uns unzugänglich, ja sogar undenkbar (was wir nicht merken, weil wir unsere Auto-Vorstellung idR als 'Auto' assoziieren, der klassische Laienfehler, dem unerkannt bleibt, dass unsere Realität nichts weiter als unsere Realitätsvorstellung ist, wir kommen aus unseren Vorstellungen nie heraus, können insbesondere nur auf andere Vorstellungen referieren, nicht auf Jenseitiges davon).

Meine Grundannahme kannst du natürlich bestreiten, zB als Platoniker gäbe es math. Dinge zwischen Bewußtsein und Gehirn. Auf dieser Grundlage kannst du dann zB ZFC entwerfen, aber wenn diese Grundlage falsch ist, dann kann's leicht auch ZFC und damit die gesamte Mathematik sein. Das ist eben genau der Punkt wo ich sage: wir können uns nichtmal über unsere math. Kalküle gewiss sein (selbst mit Konsistenzbeweisen), die könnten alle inkonsistent sein und wir merken es nicht, weil die Ursache unser Denken übersteigt.

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 5. Jul 2019, 09:17

In der ungefähren Richtung existiert dann eine Grenze Pippen, ja.
Pippen hat geschrieben:
4. Jul 2019, 21:17
Nimm dir ein beliebiges System und ziehe davon jedweden Systemanwender ab. Dann bleiben nur bedeutungslose Zeichen übrig,
Es ist in dem Fall nicht sichergestellt, ob überhaupt irgendetwas übrig bleibt, denn so etwas wie "bedeutungslose Zeichen" existiert nicht, bedeutungslose Zeichen sind Nicht-Zeichen.
Pippen hat geschrieben:
4. Jul 2019, 21:17
Was ist nun, wenn jedes System immer mind. einen Menschen als Systemanwender braucht, damit es überhaupt ein System ist? Das liegt nahe, ja ist überhaupt ein System ohne menschlichen System-Leser denkbar, wenn wir ehrlich sind?
Hier müssen wir zwischen "denkbar" und "sichergestellt" unterscheiden, die Antwort ist:

Ja, denkbar sind Systeme ohne menschlichen System-Leser (z.B. natürliche Systeme wie z.B. mikrobielles Leben).
Nein, es ist (für uns) nicht absolut sichergestellt, dass es sie auch ohne uns gibt.
Nein, es ist (für uns) auch nicht absolut sichergestellt, dass es sie ohne uns nicht gibt.
Pippen hat geschrieben:
4. Jul 2019, 21:17
Doch, per definition sind alle Bewußtseinsinhalte vom Gehirn generiert, also auch X. Stünde X für dein Auto, dann wäre das also die Autovorstellung und die ist ziemlich sicher in deinem Gehirn (als Neuronenfeuermuster) enthalten. Das (körperliche) Auto was du wohl meinst ist für uns unzugänglich, ja sogar undenkbar (was wir nicht merken, weil wir unsere Auto-Vorstellung idR als 'Auto' assoziieren, der klassische Laienfehler, dem unerkannt bleibt, dass unsere Realität nichts weiter als unsere Realitätsvorstellung ist, wir kommen aus unseren Vorstellungen nie heraus, können insbesondere nur auf andere Vorstellungen referieren, nicht auf Jenseitiges davon).
Nicht per Definition, sondern per Fakt, aber ansonsten im Großen und Ganzen: Ja, etwas in der Richtung.

Nur:
Pippen hat geschrieben:
4. Jul 2019, 21:17
aber wenn diese Grundlage falsch ist, dann kann's leicht auch ZFC und damit die gesamte Mathematik sein.
"Falsch" kannst du hier nicht mehr sagen und damit etwas meinen, das sichergestellt sein soll oder kann, denn f a l s c h ist ebenso eine Zeichenfolge innerhalb eines Systems, wo nicht sichergestellt ist, ob ihre Bedeutung ohne uns existiert, noch das System.
Dasselbe gilt hierfür:
Pippen hat geschrieben:
4. Jul 2019, 21:17
die könnten alle inkonsistent sein und wir merken es nicht, weil die Ursache unser Denken übersteigt.
...auch für i n k o n s i s t e n t und U r s a c h e ist das nicht sichergestellt.

Ich denke, wir müssen hier versuchen die richtigen Fragen zu stellen.
Die richtige Frage ist hier nicht: "Ist Aussage oder System A ohne uns evtl. falsch?" sondern die Fragen:

1. Ist Aussage oder System A mit uns existent?
2. Ist sie/es mit uns auch konsistent?
3. Ist es für uns nützlich Aussage oder System A zu formulieren?

Wenn wir 1.-3. bejahen können, dann ist für uns alles i.O., mehr können wir nicht tun oder verlangen.
Was wann für uns noch nützlich ist und was nicht, darüber kann man trefflich streiten - aber man kann es, und man kann es auch sicher entscheiden bzw. beschließen, weil wir auf der Ebene stets bei uns bleiben (können).

Kurz:
Die Grenze, die da existiert, ist keine Grenze der Kategorie "richtig/falsch" oder "Ursache/Wirkung", sondern eine Grenze der (menschlichen) Erkenntnis, des menschlichen Wissen-Könnens an sich.


Der Mensch ist das Maß und die Voraussetzung aller Dinge, über die er spricht und überhaupt sprechen kann.
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von Pippen » 17. Jul 2019, 01:50

seeker hat geschrieben:
5. Jul 2019, 09:17
"Falsch" kannst du hier nicht mehr sagen
Wieso nicht? Hier ein einfaches Modell:

P: Unsere Welt sei Teilmenge der Welt.
P: Die Welt sei inkonsistent.
1. Daraus folgt für beliebige Aussagen p: p & ~p.
2. Daraus folgt, zB für ZFC: ~ZFC, also ist ZFC falsch. (Dass daneben auch ZFC folgt, spielt keine Rolle dafür, dass eben auch ~ZFC folgt!)

Das 'falsch' in 2. ist ein metalogisches Falsch, was über unser "übliches Wahr/Falsch" (zB bei '1+1=2' ist wahr), urteilt. Es würde also zB bedeuten,dass '1+1=2 ist wahr' falsch ist. In so einem Modell wie oben würde alles gelten, also auch, dass P1, P2, 1. und 2. wahr sind. Und damit wäre u.a. unsere Logik und Mathematik falsch - so richtig falsch (nicht etwa nur halb, weil ja P1, P2, 1. und 2. gleichzeitig auch falsch wären!...das ist dann nur ein (unlösbares) Problem für unseren Verstand, sich einen Reim darauf zu machen).

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