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Grundsatzfragen

Mathematische Fragestellungen
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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 20. Mär 2019, 13:31

P.S.:
Ich empfehle dir auch einmal das hier zu lesen, vielleicht hilft es dir weiter:

Kategorienfehler
K. bestehen darin, dass an Leerstellen einer Aussageform, die nur durch Ausdrücke eines bestimmten Typs sinnvoll gefüllt werden können, Ausdrücke eines anderen semantischen Typs eingesetzt werden, so dass ein sinnloser Satz entsteht. Setzt man z.B. in die Aussageform »Acht ist ______ « in die Leerstelle »eine Primzahl« ein, so entsteht ein falscher Satz (kein K.), während die Einsetzung »nachdenklich« einen sinnlosen Satz ergibt. Ontologisch interpretiert besteht ein K. darin, einem bestimmten Ding (z.B. der Acht) eine Eigenschaft (im Bsp. nachdenklich sein) zuzusprechen, die Dingen von dieser Art generell nicht zukommt.
https://www.spektrum.de/lexikon/philoso ... ehler/1043

und

“Sowohl als auch” statt “entweder-oder” – oder: wie man Kategorienfehler vermeidet
https://harald-walach.de/2014/11/04/sow ... vermeidet/

und

Kategorienfehler
http://www.fb9.uni-bremen.de/fileadmin/ ... fehler.pdf
Grüße
seeker


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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von Pippen » 5. Apr 2019, 23:27

ME springt ihr zu schnell auf das "Kategorienfehler"-Pferd. Die Sache ist doch eigentlich ganz einfach: Wenn X überall und immer gilt und wenn Mathematik ~X annimmt, dann ist Mathematik widersprüchlich. Da ist kein Fehler bzw. ich sehe keinen. Wenn also z.B. Kausalität überall und immer gilt und wenn unsere Mathematik Kausalität negiert, dann wäre unsere Mathematik widersprüchlich. Die Frage ist dann, ob sich unsere math. Systeme zur Kausalität äußern, ich denke, Kausalität wäre dort gar keine wff, d.h. Mathematik wäre zwar in so einem Fall nicht falsch, aber unvollständig bzw. kein gutes Modell der Wirklichkeit mehr. Wenn aber z.B. Endlichkeit überall und immer gilt, dann wäre unsere Mathematik widersprüchlich, denn sie nimmt ausdrücklich das Gegenteil an. Wo konkret soll da ein Kategorienfehler liegen? (gern auch nur rot markieren, ich überlege dann selbst nochmal)

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 8. Apr 2019, 07:25

Deine Fragen wurden alle schon ausführlich beantwortet, es nützt nichts alles immer und immer wieder zu wiederholen.
Versuche das bisher Geschriebene zu verstehen, lies bitte erst noch einmal.

Und Mathematik beansprucht nicht ein "gutes Modell der Wirklichkeit" zu sein, darum geht es in der reinen Mathematik gar nicht.
Begreifst du das?
So lange es dir nicht gelingt deinen eingetretenen Denkpfad zu verlassen drehst du dich im Kreis.
Grüße
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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von Pippen » 13. Apr 2019, 21:47

seeker hat geschrieben:
8. Apr 2019, 07:25
Und Mathematik beansprucht nicht ein "gutes Modell der Wirklichkeit" zu sein, darum geht es in der reinen Mathematik gar nicht.
Begreifst du das?
Ja. Es geht der Mathematik darum, irgendwelche Vorstellungen zu konstruieren, die sich (Pflicht!) 1. nicht widersprechen und (optional) 2. interessant/strukturreich sind. Das ist alles, was Mathematik will, der Rest ist der glückliche Umstand, dass viele solcher Vorstellungen in der Natur da draußen funktionieren.

Mein Argument setzt nun an der ersten Wurzel der Mathematik an, nämlich dem Ziel, Vorstellungen zu konstruieren, die sich nicht widersprechen, indem ich frage: und was, wenn die Vorstellungen, die der Mathematiker sich denken will, gar nicht denkbar sind? Ist das ausgeschlossen? Und mE ist es das nicht. Es ist nicht ausgeschlossen, dass zB das Konzept 'unendlich' unmöglich ist, weil es gar nur Endliches gäbe. Dann wäre so eine Mathematik a priori widersprüchlich. Wir würden uns dann in diesem Fall schlicht darin irren, dass wir mit 'unendlich' nur sehr großes 'Endliches' meinen, so wie sich ein Anfänger der Mengenlehre darin irrte, mit der Allmenge die Menge aller Mengen zu meinen, was er nicht tut (weil's undenkbar ist).

Ich denke bis hierhin stimmst du mir zu?

Naja, und dann gehe ich einen Schritt weiter und sage: vllt. ist ja die Welt so durchgehend kausal, dass dieses Prinzip auch beim Denken immer notwendig wirkt. Auch das würde die Mathematik widersprüchlich machen, weil die moderne Axiomatik genaugenommen neben ihren Axiomen noch unendlich viele Negationsaxiome drin hat, zB "seeker's Hobbies sind kein ZFC-Axiom", "Borussia Dortmund ist kein ZFC-Axiom" usw. Darunter befände sich auch ein Axiom "Kausalität ist kein ZFC-Axiom", doch das wäre eben falsch, weil ja Kausalität nach Annahme überall mitspielt, also auch in ZFC.

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von tomS » 20. Apr 2019, 12:24

Pippen hat geschrieben:
13. Apr 2019, 21:47
... indem ich frage: „und was, wenn die Vorstellungen, die der Mathematiker sich denken will, gar nicht denkbar sind?“ Ist das ausgeschlossen?
Ja, es ist ausgeschlossen, weil die Mathematiker sie offensichtlich denken können.

Es ist natürlich nicht ausgeschlossen, dass man diese Vorstellungen nicht widerspruchsfrei denken kann. Andersherum: es ist möglich, dass dieses Denken widersprüchlich ist. Das wissen wir schon seit Gödel:

1. Jedes hinreichend mächtige, rekursiv aufzählbare formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.
2. Jedes hinreichend mächtige konsistente formale System kann die eigene Konsistenz nicht beweisen.

Insofern wissen die Mathematiker seit Jahrzehnten darum, dass der Gegenstand ihrer Betrachtungen in Teilen widersprüchlich sein könnte. Sie wissen jedoch auch, dass Teilbereiche beweisbar widerspruchsfrei sind.
Gruß
Tom

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 21. Apr 2019, 10:31

Pippen, ich denke die richtige Frage lautet hier nicht mehr: "Ist dieses oder jenes Konstrukt konsistent?" oder: "Ist dieses oder jenes Konstrukt sicher richtig?" sondern:
"Ist dieses oder jenes Konstrukt sinnvoll?"

Beispiel "Unendlichkeit":
Die richtige Frage lautet nicht: "Sind mathematische Unendlichkeiten konsistent formulierbar?", sondern:
"Ist es sinnvoll mathematische Unendlichkeiten zu konstruieren? Inwiefern, inwiefern nicht? Können wir sie so sinnvoll erfassen? Inwieweit, inwieweit nicht? Können wir sie denken? Haben solche Konstrukte/Begriffe also einen sinnvollen Inhalt oder sind sie in Wahrheit inhaltsleer? Inwieweit, inwieweit nicht?"

Beispiel "Nichts": siehe den anderen Thread

Beispiel "Alles": dito!

Daher:
Pippen hat geschrieben:
13. Apr 2019, 21:47
und was, wenn die Vorstellungen, die der Mathematiker sich denken will, gar nicht denkbar sind?
Stattdessen muss man fragen:
Und was, wenn Vorstellungen, die der Mathematiker sich denkt, gar nicht sinnvoll, inhaltsleer, leere Hülsen sind?
Was, wenn sie einfach etwas einen Namen und eine axiomatische Struktur geben, das gar nicht existiert (gerade auch nicht in den Gedanken des Mathematikers), also nichts einen Namen geben und so eine Existenz vortäuschen, die gar nicht gegeben ist, jedenfalls nicht in sinnvoller Weise?
Grüße
seeker


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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von tomS » 21. Apr 2019, 15:48

seeker hat geschrieben:
21. Apr 2019, 10:31
Pippen, ich denke die richtige Frage lautet hier nicht mehr: "Ist dieses oder jenes Konstrukt konsistent?" oder: "Ist dieses oder jenes Konstrukt sicher richtig?" sondern:
"Ist dieses oder jenes Konstrukt sinnvoll?"
Nun, die erste Frage der Mathematik lautet schon, ob eine mathematische Entität konsistent definierbar oder konstruierbar ist. Erst die zweite Frage wäre dann, ob es sinnvoll oder nützlich ist; letzteres kann, muss aber nicht, Gegenstand der Mathematik sein
seeker hat geschrieben:
21. Apr 2019, 10:31
Die richtige Frage lautet nicht: "Sind mathematische Unendlichkeiten konsistent formulierbar?"
Doch, das ist schon eine mathematisch sinnvolle Frage. Sie wird üblicherweise innerhalb eines bestimmten mathematischen Systems und unter bestimmten Voraussetzungen beantwortet.
seeker hat geschrieben:
21. Apr 2019, 10:31
Stattdessen muss man fragen: Und was, wenn Vorstellungen, die der Mathematiker sich denkt, gar nicht sinnvoll, inhaltsleer, leere Hülsen sind?
dito
seeker hat geschrieben:
21. Apr 2019, 10:31
Was, wenn sie einfach etwas einen Namen und eine axiomatische Struktur geben, das gar nicht existiert (gerade auch nicht in den Gedanken des Mathematikers) ...
Das ist nun die spannende Frage.

Ob dieses Etwas außerhalb der Mathematik existiert, ist extrem unklar. Existiert die Zahl 163? Existiert die Klassenzahl eine algebraischen Zahlkörpers? Existiert der Zahlkörper selbst? Außerhalb der Mathematik? Wo? In welcher Form?

Die Definition bzw. Konstruktion stellt zumindest sicher, dass dieses Etwas im Rahmen der Mathematik existiert - vorausgesetzt, es ist widerspruchsfrei
Gruß
Tom

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 22. Apr 2019, 10:18

tomS hat geschrieben:
21. Apr 2019, 15:48
Nun, die erste Frage der Mathematik lautet schon, ob eine mathematische Entität konsistent definierbar oder konstruierbar ist. Erst die zweite Frage wäre dann, ob es sinnvoll oder nützlich ist; letzteres kann, muss aber nicht, Gegenstand der Mathematik sein
Ich denke das ist Ansichtssache. Das Eine ist die Frage nach der reinen Machbarkeit (1), das Andere die Frage nach der Sinnhaftigkeit (2) des Tuns ("Mathematik" ist -soweit wir das erkennen können- sowohl ein Ding als auch eine Tätigkeit, wir haben hier eine Art Dualismus vorliegen).
Man muss die Sinnfrage nicht zwingend stellen, nur: Tut man es nicht, ist das eigene Treiben eben evtl. sinnlos, wenn auch evtl. machbar.
Und man muss auch die Machbarkeitsfrage eigentlich genausowenig zwingend stellen; wenn man es tut, dass man es tut, hat einen Zweck und ein Ziel, nämlich (2) sicherzustellen.
Daher ist es nicht wirklich möglich hier eine klare Reihenfolge festzulegen oder (1) und (2) wirklich voneinander zu trennen, immerhin ist Mathematik immer unsere Mathematik, der Mensch als "Täter" kann daher hier nicht herausextrahiert werden.
Problematisch ist m.E. noch, dass die Erfüllung von (1) immer notwendig aber nicht immer hinreichend scheint, um auch (2) sicherzustellen.
Und das ist eine Lücke, ein blinder Fleck.

Ich bezog mich hier aber auch weniger auf den Mathematiker sondern eher auf Pippens Gedanken:
Ich glaube eben, Pippen, dass die Frage nach dem Sinn die für dich wichtigere Frage ist, es ist deine eigentliche Frage.

tomS hat geschrieben:
21. Apr 2019, 15:48
Was, wenn sie einfach etwas einen Namen und eine axiomatische Struktur geben, das gar nicht existiert (gerade auch nicht in den Gedanken des Mathematikers) ...
Das ist nun die spannende Frage.

Ob dieses Etwas außerhalb der Mathematik existiert, ist extrem unklar. Existiert die Zahl 163? Existiert die Klassenzahl eine algebraischen Zahlkörpers? Existiert der Zahlkörper selbst? Außerhalb der Mathematik? Wo? In welcher Form?
Genau. Und hier geht es um die Frage: "Existiert dieses Etwas in irgendeiner Form, als Ding "an sich"?
Oder kürzer formuliert: "Existiert das Ding?"

Und bei der Zahl 163 mag das noch einfach sein, sich einen klaren Standpunkt auszusuchen und zu vertreten, schwieriger wird es bei "Nichts", "Alles", "Unendlich", "aktuale Unendlichkeit", "nicht-konstruierte Zahlen", "überabzählbare Mengen", usw.
tomS hat geschrieben:
21. Apr 2019, 15:48
Die Definition bzw. Konstruktion stellt zumindest sicher, dass dieses Etwas im Rahmen der Mathematik existiert - vorausgesetzt, es ist widerspruchsfrei
Ja. Nur müssen wir hier sprachliche Verwirrungen vermeiden, denn diese Art von "Existenz" benutzt zwar dasselbe Wort, meint aber etwas völlig anderes, hier geht es um die Frage: "Ist irgendein Etwas widerspruchsfrei formulierbar, existiert eine (wiederspruchsfreie) Formulierung?"
Oder kürzer formuliert: "Existiert die Formulierung?"

Eine Formulierung von einem Ding und ein Ding an sich sind zwei völlig verschiedene paar Schuhe, genau wie eine real existierende Rose in deinem Garten etwas völlig anderes ist als das Wort bzw. der Begriff "Rose".
Grüße
seeker


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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von tomS » 22. Apr 2019, 11:03

seeker hat geschrieben:
22. Apr 2019, 10:18
tomS hat geschrieben:
21. Apr 2019, 15:48
Nun, die erste Frage der Mathematik lautet schon, ob eine mathematische Entität konsistent definierbar oder konstruierbar ist. Erst die zweite Frage wäre dann, ob es sinnvoll oder nützlich ist; letzteres kann, muss aber nicht, Gegenstand der Mathematik sein
Ich denke das ist Ansichtssache.
Also zumindest die reine Mathematik hat dazu eine sehr klare Meinung. Auch die Tätigkeit des reines Mathematikers wird nicht nach einem Sinn jenseits dieser Tätigkeit bewertet.
seeker hat geschrieben:
22. Apr 2019, 10:18
Man muss die Sinnfrage nicht zwingend stellen, nur: Tut man es nicht, ist das eigene Treiben eben evtl. sinnlos, wenn auch evtl. machbar.
Der Sinn der reinen Mathematik besteht in der Konstruktion und Erforschung sinnvoller (interessanter, reichhaltiger, ...) mathematischer Strukturen. Und ja, ich sehe den Zirkelschluss durchaus ;-)
seeker hat geschrieben:
22. Apr 2019, 10:18
Daher ist es nicht wirklich möglich hier eine klare Reihenfolge festzulegen oder (1) und (2) wirklich voneinander zu trennen, immerhin ist Mathematik immer unsere Mathematik, der Mensch als "Täter" kann daher hier nicht herausextrahiert werden.
Ich denke, du hast hier eher die Sichtweise eines Anwenders der Mathematik.
seeker hat geschrieben:
22. Apr 2019, 10:18
tomS hat geschrieben:
21. Apr 2019, 15:48
Was, wenn sie einfach etwas einen Namen und eine axiomatische Struktur geben, das gar nicht existiert (gerade auch nicht in den Gedanken des Mathematikers) ...
Das ist nun die spannende Frage.

Ob dieses Etwas außerhalb der Mathematik existiert, ist extrem unklar. Existiert die Zahl 163? Existiert die Klassenzahl eine algebraischen Zahlkörpers? Existiert der Zahlkörper selbst? Außerhalb der Mathematik? Wo? In welcher Form?
Genau. Und hier geht es um die Frage: "Existiert dieses Etwas in irgendeiner Form, als Ding "an sich"?
Oder kürzer formuliert: "Existiert das Ding?"

Und bei der Zahl 163 mag das noch einfach sein, sich einen klaren Standpunkt auszusuchen und zu vertreten ...
Es ist bei 163 nicht einfacher.
seeker hat geschrieben:
22. Apr 2019, 10:18
tomS hat geschrieben:
21. Apr 2019, 15:48
Die Definition bzw. Konstruktion stellt zumindest sicher, dass dieses Etwas im Rahmen der Mathematik existiert - vorausgesetzt, es ist widerspruchsfrei
Ja. Nur müssen wir hier sprachliche Verwirrungen vermeiden, denn diese Art von "Existenz" benutzt zwar dasselbe Wort, meint aber etwas völlig anderes, hier geht es um die Frage: "Ist irgendein Etwas widerspruchsfrei formulierbar, existiert eine (wiederspruchsfreie) Formulierung?"
Ja, das ist im Wesentlichen die mathematische Existenzweise.
seeker hat geschrieben:
22. Apr 2019, 10:18
Eine Formulierung von einem Ding und ein Ding an sich sind zwei völlig verschiedene paar Schuhe, genau wie eine real existierende Rose in deinem Garten etwas völlig anderes ist als das Wort bzw. der Begriff "Rose".
Verstehe ich in diesem Zusammenhang nicht. Die Existenzweise einer mathematischen Entität kommt ohne die Möglichkeit oder Notwendigkeit aus, diese Entität irgendetwas anderen zuzuordnen oder eine Beziehung herzustellen.

Insofern existiert auch die Zahl 163 rein mathematisch, nicht erst dadurch, dass es beim Metzger 163 Bratwürste gibt. Deswegen ist auch die Frage nach der Existenz der Zahl 163 nicht einfach: entweder man akzeptiert ihre rein mathematische Existenz, oder man läuft in das Problem, ihr erst durch die Existenz von 163 Bratwürsten zu einer eigenständigen Existenz zu verhelfen. Letzteres kann aber nicht wirklich funktionieren; man gelangt nie dahin, dass 163 an sich existiert, wenn man immer an einer konkreten Realisierung hängen bleibt (beide Sichtweisen sind möglich, aber letztlich unvereinbar).
Gruß
Tom

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 22. Apr 2019, 23:59

tomS hat geschrieben:
22. Apr 2019, 11:03
Daher ist es nicht wirklich möglich hier eine klare Reihenfolge festzulegen oder (1) und (2) wirklich voneinander zu trennen, immerhin ist Mathematik immer unsere Mathematik, der Mensch als "Täter" kann daher hier nicht herausextrahiert werden.
Ich denke, du hast hier eher die Sichtweise eines Anwenders der Mathematik.
Dann verstehst du mich noch nicht ganz. Ich nehme hier ganz einfach eine strikte Haltung ein und frage: Was wissen wir sicher?
Antwort: Wir wissen sicher, dass die Mathematik -soweit wir sie kennen (und kennen können), also darüber reden können- eine menschliche Tätigkeit ist und zu exakten, unseren Voraus-Forderungen (Konsistenz, ...) genügenden Formulierungen führt (im Erfolgsfall), also formalen, symbolhaften Strukturen.
Was wir nicht sicher wissen, ist das Meiste was darüber hinausgeht, z.B. ob eine platonische Welt existiert oder nicht existiert.
Realtiv sicher (empirisch, aus der Erfahrung heraus) ist noch, dass unsere Mathematik erfolgreich auf die Welt angewendet werden kann.
Viele halten das für selbstverständlich, aber das ist es nicht, es ist eigentlich sehr bemerkenswert.
tomS hat geschrieben:
22. Apr 2019, 11:03
Der Sinn der reinen Mathematik besteht in der Konstruktion und Erforschung sinnvoller (interessanter, reichhaltiger, ...) mathematischer Strukturen. Und ja, ich sehe den Zirkelschluss durchaus ;-)
Ich denke es ist nicht ganz ein Zirkel. Der Sinn (eben die "Konstruktion und Erforschung sinnvoller (interessanter, reichhaltiger, ...) mathematischer Strukturen") kommt von außen, wird von uns hineingegeben. Das ist notwendig - und ich weise eben darauf hin. Wäre das nicht gegeben, würde niemand Mathematik betreiben - und dann gäbe es auch keine Mathematik, die wir kennen würden und über die wir reden könnten.
tomS hat geschrieben:
22. Apr 2019, 11:03
Eine Formulierung von einem Ding und ein Ding an sich sind zwei völlig verschiedene paar Schuhe, genau wie eine real existierende Rose in deinem Garten etwas völlig anderes ist als das Wort bzw. der Begriff "Rose".
Verstehe ich in diesem Zusammenhang nicht. Die Existenzweise einer mathematischen Entität kommt ohne die Möglichkeit oder Notwendigkeit aus, diese Entität irgendetwas anderen zuzuordnen oder eine Beziehung herzustellen.
Nun, wichtig ist hier, dass diese Existenzweise eine Formulierung ist, im Gegensatz zu einer realen Blume, diese existiert nicht als Formulierung, sondern als physikalisches Objekt. Also ist (nur) sichergestellt, dass beim einen eine Formulierung existiert und beim anderen ein Ding.
Das sind unterschiedliche Seinsweisen.
tomS hat geschrieben:
22. Apr 2019, 11:03
Insofern existiert auch die Zahl 163 rein mathematisch, nicht erst dadurch, dass es beim Metzger 163 Bratwürste gibt.
Ja, natürlich. Wichtig ist hier, dass nur sichergestellt ist, dass die 163 als Formulierung existiert, ob sie zusätzlich noch als abstraktes Ding "an sich" existiert (z.B. in einer platonischen Welt) ist nicht sicher.
Grüße
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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von tomS » 23. Apr 2019, 02:07

Ok, verstanden, gebe ich in vielen Aspekten mit.
seeker hat geschrieben:
22. Apr 2019, 23:59
Realtiv sicher (empirisch, aus der Erfahrung heraus) ist noch, dass unsere Mathematik erfolgreich auf die Welt angewendet werden kann.
Viele halten das für selbstverständlich, aber das ist es nicht, es ist eigentlich sehr bemerkenswert.
Es ist absolut nicht selbstverständlich!
Gruß
Tom

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von Pippen » 24. Apr 2019, 01:10

tomS hat geschrieben:
20. Apr 2019, 12:24
Es ist natürlich nicht ausgeschlossen, dass man diese Vorstellungen nicht widerspruchsfrei denken kann. Andersherum: es ist möglich, dass dieses Denken widersprüchlich ist. Das wissen wir schon seit Gödel:
Ja, das sowieso, aber was ist mit Vorstellungen, die man überhaupt nicht denken kann, nichtmal widersprüchlich? Bsp.: wenn jede beliebige Struktur des U. endlich wäre (und Logik gilt), dann stünde fest, dass wir immer nur (E)ndliches denken können, d.h. wir könnten Unendliches (~E) gar nicht denken, so sehr wir auch vollster Inbrunst meinen, Unendliches (~E) zu denken, ein Widerspruch ergäbe sich gar nicht, es gäbe nur E und unsere merkwürdigen Wirrungen um E, Punkt. Das wäre ein schlimmerer blinder Fleck als Widersprüche, denn bei Widersprüchen sehen wir das Problem in Form des Widerspruchs und wissen: ohje, da muss was faul sein; wenn wir dagegen meinen, etwas zu denken, was wir eigentlich gar nicht denken (können) - zB Unendlichkeit - dann stünden wir komplett im Dunkeln und unsere Falschheit des Denkens fällt uns gar nicht auf.

Ich habe dafür ein schönes Bsp., aber nicht aus der Mathematik, was aber nochmal verdeutlicht worum es geht. Da sei ein Mann ohne jedes Gedächtnis, der sagt: 'Ich denke gerade nicht.' Aus der Sicht des Mannes gibt's keinen Widerspruch, denn dazu bräuchte er sein Gedächtnis, womit er den Widerspruch merken würde, dass er ja während des Ausspruchs doch gerade denkt, so aber wird er nie wissen können, dass seine Aussage schlicht falsch ist. Könnte es uns als Mathematiker nicht genauso gehen? Oder verzettle ich mich hier nur?
Insofern wissen die Mathematiker seit Jahrzehnten darum, dass der Gegenstand ihrer Betrachtungen in Teilen widersprüchlich sein könnte. Sie wissen jedoch auch, dass Teilbereiche beweisbar widerspruchsfrei sind.
...wobei oft übersehen wird, dass alle diese Teilbereiche immer nur relativ konsistent beweisbar sind, also auch da weiterhin Widersprüche drohen.

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 24. Apr 2019, 08:45

Pippen hat geschrieben:
24. Apr 2019, 01:10
Ja, das sowieso, aber was ist mit Vorstellungen, die man überhaupt nicht denken kann, nichtmal widersprüchlich?
"DAS Nichts" ist so ein Fall. Siehe den anderen Thread, wie es dort ausschaut.
"Unendlich" ist ein weiterer Fall.
Die reellen Zahlen sind ein weiterer Fall.
Der Punkt ist: Man kann vieles irgendwie symbolhaft-formal darstellen. Man kann auch ggf. sicherstellen, dass sich keine Widersprüche daraus ergeben.
Damit ist auch sichergestellt, dass das erhaltene Konstrukt in der Seinsweise "Formulierung" existiert. Aber damit ist noch nicht in jedem Fall sichergestellt, dass die Formulierung auch darüber hinaus noch in irgendeiner anderen Seinsweise existiert oder eine solche sinnvoll abbildet, also dass die Formulierung außerhalb von sich selbst (als reine Formel) sinnvoll ist, im Sinne von "Sie stellt in sinnvoller Weise das dar, was sie zweckgemäß darstellen soll, nämlich etwas, das wir denken/gedanklich erfassen können."

Kurz: Man kann mehr Dinge formulieren als man denken kann, man kann Dinge formulieren, die man nicht oder nur in Ansätzen denken kann.
Und wenn man das tut, kann man dem Trugschluss erliegen, dass man sie doch denken könne, da man sie ja formuliert hat, da ja ein Etikett (= die Formulierung) da ist.

Widersprüchlichkeit im Sinne von "innerer Konsistenz" hat damit nichts zu tun.
Widersprüchlichkeit im Sinne von "äußerer Konsistenz" hat etwas damit zu tun.
Grüße
seeker


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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von tomS » 24. Apr 2019, 08:53

seeker hat geschrieben:
24. Apr 2019, 08:45
Pippen hat geschrieben:
24. Apr 2019, 01:10
Ja, das sowieso, aber was ist mit Vorstellungen, die man überhaupt nicht denken kann, nichtmal widersprüchlich?
"Unendlich" ist ein weiterer Fall.
Die reellen Zahlen sind ein weiterer Fall.
Jeder Mathematiker würde behaupten, dass er „reelle Zahlen“ denken kann. Nicht vollumfassend, nicht für jede einzelne Zahl, jedoch mit den wesentlichen Strukturen - soweit bekannt.

Wenn du mit „denken“ meinst, „vollumfänglich erfassen“, dann kannst du in diesem Sinne gar nichts „denken“, nicht mal „ein Glas Bier“.
Gruß
Tom

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von tomS » 24. Apr 2019, 09:02

Pippen hat geschrieben:
24. Apr 2019, 01:10
Ja, das sowieso, aber was ist mit Vorstellungen, die man überhaupt nicht denken kann, nichtmal widersprüchlich? Bsp.: wenn jede beliebige Struktur des U. endlich wäre (und Logik gilt), dann stünde fest, dass wir immer nur (E)ndliches denken können, d.h. wir könnten Unendliches (~E) gar nicht denken, so sehr wir auch vollster Inbrunst meinen, Unendliches (~E) zu denken, ein Widerspruch ergäbe sich gar nicht, es gäbe nur E und unsere merkwürdigen Wirrungen um E, Punkt. Das wäre ein schlimmerer blinder Fleck als Widersprüche, denn bei Widersprüchen sehen wir das Problem in Form des Widerspruchs ...
Diese Unterscheidung trifft nicht zu.

Nicht jeder Widerspruch ist offensichtlich, und für genügend komplizierte Konstrukte mag ein Widerspruch vorliegen, ohne dass man ihn beweisbar belegen kann.

Insofern kann es durchaus sein, dass die Unendlichkeiten der Mengenlehre, die die Mathematiker zu denken meinen, einen Widerspruch beinhalten, den die Mathematiker jedoch nicht erkennen können. D.h. sie würden diese Unendlichkeiten denken, wobei dieses Denken widersprüchlich wäre und der Gegenstand ihres Denkens letztlich - im mathematisch/logischen Sinn - nicht existieren würde.

Wie gesagt, das ist jedoch ein alter Hut, Cantor u.a. haben sich damit befasst, Hilbert, Russell, ... später Gödel und Cohen, andere Logiker, ...
Gruß
Tom

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 24. Apr 2019, 13:17

tomS hat geschrieben:
24. Apr 2019, 08:53
Jeder Mathematiker würde behaupten, dass er „reelle Zahlen“ denken kann. Nicht vollumfassend, nicht für jede einzelne Zahl, jedoch mit den wesentlichen Strukturen - soweit bekannt.

Wenn du mit „denken“ meinst, „vollumfänglich erfassen“, dann kannst du in diesem Sinne gar nichts „denken“, nicht mal „ein Glas Bier“.
Ich meine mit "denken" etwas "geistig erfassen".
Und es gibt etwas, das man vollumfänglich geistig erfassen kann, nämlich das eigene Bewusstsein: Es ist immer genau das, was es ist, weder ist es mehr, noch ist es weniger, noch ist es anders.
Ansonsten hast du natürlich Recht, dass es hier ansonsten in allen anderen Fällen ein grundsätzliches Problem gibt: Man kann auch alltägliche Begriffe wie "ein Glas Bier" oder "Mensch" oder was auch immer nicht vollumfänglich erfassen.
Das ändert aber nichts daran, dass auch die Mathematik davon betroffen ist, dass kein Formalismus etwas daran ändert und dass das in der Ausprägung je nach Fall unterschiedlich stark ist.
Ein Mathematiker (oder allgemein ein Mensch) wird z.B. keine Probleme haben die Zahl "2" geistig zu erfassen, aber es ist uns unmöglich irgendeine einzige irrationale Zahl mit all ihren unendlich vielen Nachkommastellen geistig wirklich zu erfassen (deshalb heißen sie ja "irrational" ;-)), jedenfalls nicht direkt, nur über Umwege, über Rand-Aspekte geht das einigermaßen, teilweise. Und es können formal-mathematische Strukturen geschaffen werden, wo gar niemand mehr durchblickt.

Wichtig ist mir die Feststellung, dass man Sachen formulieren kann -und dabei sogar wissen kann, dass die Formulierung in sich widerspruchsfrei ist- ohne wirklich tiefer begreifen zu müssen, was man da eigentlich tut bzw. formuliert hat (weil man das ja eben rein formal alles durchnudeln kann: rein formales, schemahaftes Vorgehen benötigt kein Verständnis). Und hinterher bekommt das Konstrukt dann ein Etikett, wo ein Name dafür draufsteht, z.B. "Unendlichkeit". Das heißt dann aber noch lange nicht, dass das Ding mit diesem Etikett sinnvoll auf irgendetwas in der Welt (z.B. irgendeine postulierte reale "Unendlichkeit", gleiches Etikett bedeutet nicht, dass es dasselbe ist) angewendet werden kann, selbst innerhalb der reinen Mathematik muss sich das erst noch zeigen und von uns bewertet werden (was dann wirkliches Verständnis erfordert).

Deshalb sollte man auch Formalismen nicht allzu sehr vertrauen.
Jenseits von aller Logik und allen Formalismen steht die Frage, ob es sinnvoll und zweckmäßig ist etwas so tun zu wollen oder beweisen zu wollen.
Selbst wenn man etwas widerspruchsfrei denken kann, ist damit nicht sichergestellt, dass es sinnvoll ist solches zu denken.
Hier stellt sich die Frage: Ist es überhaupt möglich, dass Pippens Ansatz in der Form sinnvoll ist?
Das ist Voraussetzung! Wenn das geklärt ist, kann man sich immer noch über Konsistenzfragen den Kopf zerbrechen.
Ich meine, die Konsistenzfrage ist eh nur Mittel zum Zweck, denn: Wenn inkonsistent -> dann auch nicht sinnvoll.
D.h., man kann, muss aber diese Frage nicht sklavisch zuerst stellen.
Grüße
seeker


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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von tomS » 24. Apr 2019, 14:36

seeker hat geschrieben:
24. Apr 2019, 13:17
tomS hat geschrieben:
24. Apr 2019, 08:53
Jeder Mathematiker würde behaupten, dass er „reelle Zahlen“ denken kann. Nicht vollumfassend, nicht für jede einzelne Zahl, jedoch mit den wesentlichen Strukturen - soweit bekannt.

Wenn du mit „denken“ meinst, „vollumfänglich erfassen“, dann kannst du in diesem Sinne gar nichts „denken“, nicht mal „ein Glas Bier“.
Ich meine mit "denken" etwas "geistig erfassen".
Und es gibt etwas, das man vollumfänglich geistig erfassen kann, nämlich das eigene Bewusstsein: Es ist immer genau das, was es ist, weder ist es mehr, noch ist es weniger, noch ist es anders.
Damit ist das vollumfänglich erfassbare eigene Bewusstsein nur die erfassbare Oberfläche unseres für uns selbst unergründlichen Geistes / Gehirns / ...

seeker hat geschrieben:
24. Apr 2019, 13:17
Und es können formal-mathematische Strukturen geschaffen werden, wo gar niemand mehr durchblickt.
Das ist bereits bei den natürlichen Zahlen inkl. der Arithmetik beweisbar der Fall.

Diese Struktur ist entweder widerspruchsfrei oder widersprüchlich. Ersteres ist beweisbar unbeweisbar. Falls ersteres zutrifft, ist beweisbar, dass unbeweisbare jedoch wahre Sätze über die natürlichen Zahlen existieren.

Wenn unser Geist in der Lage ist, Sätze und Algorithmen zu natürlichen Zahlen zu formulieren, dann unterliegt zumindest diese Fähigkeit des Geistes den selben Einschränkungen.
Gruß
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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 24. Apr 2019, 17:09

tomS hat geschrieben:
24. Apr 2019, 14:36
Damit ist das vollumfänglich erfassbare eigene Bewusstsein nur die erfassbare Oberfläche unseres für uns selbst unergründlichen Geistes / Gehirns / ...
Vielleicht, wahrscheinlich. Und falls, ist das eben Nicht-Bewusstsein, mindestens Nicht-Unser-Bewusstsein. Und von "nur" sollte man vorsichtigerweise nicht sprechen.
Das andere, dass sich das Bewusstsein vollumfänglich selbst erfasst, ist sicher, da es spezifische Grundeigenschaft des Bewusstseins ist, eine notwendige Bedingung.
tomS hat geschrieben:
24. Apr 2019, 14:36
Und es können formal-mathematische Strukturen geschaffen werden, wo gar niemand mehr durchblickt.
Das ist bereits bei den natürlichen Zahlen inkl. der Arithmetik beweisbar der Fall.

Diese Struktur ist entweder widerspruchsfrei oder widersprüchlich. Ersteres ist beweisbar unbeweisbar. Falls ersteres zutrifft, ist beweisbar, dass unbeweisbare jedoch wahre Sätze über die natürlichen Zahlen existieren.

Wenn unser Geist in der Lage ist, Sätze und Algorithmen zu natürlichen Zahlen zu formulieren, dann unterliegt zumindest diese Fähigkeit des Geistes den selben Einschränkungen.
Einverstanden!
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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von Pippen » 27. Apr 2019, 00:23

seeker hat geschrieben:
24. Apr 2019, 08:45
Der Punkt ist: Man kann vieles irgendwie symbolhaft-formal darstellen. Man kann auch ggf. sicherstellen, dass sich keine Widersprüche daraus ergeben.
Damit ist auch sichergestellt, dass das erhaltene Konstrukt in der Seinsweise "Formulierung" existiert. Aber damit ist noch nicht in jedem Fall sichergestellt, dass die Formulierung auch darüber hinaus noch in irgendeiner anderen Seinsweise existiert oder eine solche sinnvoll abbildet, also dass die Formulierung außerhalb von sich selbst (als reine Formel) sinnvoll ist, im Sinne von "Sie stellt in sinnvoller Weise das dar, was sie zweckgemäß darstellen soll, nämlich etwas, das wir denken/gedanklich erfassen können."
Mein Punkt ist, dass Mathematik (formales System (Kalkül) mit Modell, zB IN, IR, ...) falsch sein könnte, obwohl sich keine Widersprüche zeigen, ja wir sie sogar als konsistent beweisen könnten.

Beweis an einem Beispiel:

1. Nehmen wir an, es gäbe in der Welt in jedweder Art und Weise kein IN, so wie wir uns sie vorstellen (ohne Arithmetik, nur die Zahlenreihe).
2. Daraus folgt, dass es auch für uns kein IN gäbe.
3. Es scheint für uns aber natürliche Zahlen zu geben (ja, IN ohne Arithemtik ist sogar beweisbar vollständig und konsistent).
4. IN wäre wg. 2. ein falsches (weil zur Welt widersprüchliches) Modell.
5. Wir können 1. nicht ausschließen, weil wir nicht allwissend sind, so dass 2.-4. möglich wären.

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von tomS » 27. Apr 2019, 09:13

Wenn es für mich entsprechend (3) ein X gibt, dann gibt es für mich ein X; die Aussage (2), es gäbe kein X, ist dann trivialerweise falsch. Dass X irgendein Modell für irgendwas anderes in der Welt sein soll, steht überhaupt nicht zur Diskussion.
Gruß
Tom

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 27. Apr 2019, 10:13

Pippen hat geschrieben:
27. Apr 2019, 00:23
Beweis an einem Beispiel:

1. Nehmen wir an, es gäbe in der Welt in jedweder Art und Weise kein IN, so wie wir uns sie vorstellen (ohne Arithmetik, nur die Zahlenreihe).
2. Daraus folgt, dass es auch für uns kein IN gäbe.
3. Es scheint für uns aber natürliche Zahlen zu geben (ja, IN ohne Arithemtik ist sogar beweisbar vollständig und konsistent).
4. IN wäre wg. 2. ein falsches (weil zur Welt widersprüchliches) Modell.
5. Wir können 1. nicht ausschließen, weil wir nicht allwissend sind, so dass 2.-4. möglich wären.
Du wirfst da immer noch Dinge durcheinander, Pippen. Und eigentlich haben wir das auch schon 100x durchgekaut...

Du wirfst folgendes durcheinander:
Eine Seinsweise als Formulierung und andere Seinsweisen (physikalisch, usw.)
Und genau darin liegt der Kategorienfehler, auf den wir schon häufig hingewiesen haben.
Das versuchst du wohl irgendwo zu lösen, indem du eine Kategorie, die "über allem schwebt" und alles beinhaltet einzuführen versuchst. Und über die du dann versuchst Aussagen zu tätigen. Das tust du in 1., mit "DIE Welt"

Das funktioniert aber nicht, weil:
Jede Aussage A zu "Die Welt" ein Teil von der Welt W wäre und sich dadurch ein logischer Zirkel ergibt: Eine Aussage A -> W kann nicht gleichzeitig Nicht-Teil von W sein und Teil von W sein. Sie muss aber außerhalb von W stehen, weil es sonst keine (vollumfassende) Aussage über W ist und sie muss gleichzeitig innerhalb von W sein, weil ja "Die Welt" wirklich alles beinhalten muss, also auch A.
Daraus folgt zwingend: Du kannst keine sinnvollen Aussagen oder Annahmen über W (Die Welt) formulieren!
D.h.: In deinem obigen Beispiel ist dein Punkt 1. daher nichts wert, keine sinnvolle Aussage, da nicht zirkelfrei, man kann diese Aussage nicht tätigen.
Zusätzlich, bzw. eigentlich damit zusammenhängend muss man feststellen, dass du "DIE Welt" nicht klar definieren kannst, weil auch jede Definition außerhalb von dem stehen muss, das sie definieren soll, sie kann nicht Teil dessen sein, müsste sie aber, wenn "Die Welt" absolut alles beinhalten soll. Also ist gar nicht klar worüber in deinem 1. mit "Die Welt" überhaupt die Rede sein soll. Da das ist nicht klar ist, ist dein 1. nichts wert und nicht sinnvoll: Worüber man nicht reden kann, darüber muss man schweigen!

Du kannst das jetzt weiter ignorieren oder irgendwann einmal halt schlucken...
...mir wird es langsam gleich. :wink:

Fakt ist auch immer noch:

IN existiert gesichert als Formulierung, in der Seinsweise "Formulierung", rein formal - und in dieser Seinsweise in konsistenter Form. Daran zu zweifeln ist schlecht möglich ohne uns alle für verrückt zu erklären (= die Annahme L: "wir können nicht logisch denken, unsere Logik ist nicht logisch"). Wenn man aber das annehmen würde, dann könnte man überhaupt keine logisch-sinnvolle Aussage mehr tätigen, auch nicht, dass wir alle verrückt seien: Ein Zirkel!
Und ja, dass es tatsächlich so ist, kann man tatsächlich nicht ausschließen, auch nicht, dass das von uns unbemerkt bliebe, aber wenn das der Fall wäre, dann sollte man besser nur noch schweigen, weil man sowieso nur Blödsinn reden kann. Wenn man nur noch schweigt, kann man auch L nicht mehr sagen, sagt man es doch, ist es Blödsinn, weil alles Blödsinn ist.
Auch das ist ein Zirkel.

Und noch etwas:
Nur weil wir etwas nicht wissen bzw. nicht ausschließen können, ist damit noch lange nicht gesichert, dass es auch "an sich" (ohne uns) möglich ist, es ist damit nur gesichert, dass es aus unserer Sicht möglich sein könnte. Aus "wir wissen nix" folgt nur "wir wissen nix" und sonst gar nichts.
Grüße
seeker


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Re: Grundsatzfrageb

Beitrag von tomS » 27. Apr 2019, 10:47

seeker hat geschrieben:
27. Apr 2019, 10:13
Jede Aussage A zu "Die Welt" ein Teil von der Welt W wäre und sich dadurch ein logischer Zirkel ergibt: Eine Aussage A -> W kann nicht gleichzeitig Nicht-Teil von W sein und Teil von W sein. Sie muss aber außerhalb von W stehen, weil es sonst keine (vollumfassende) Aussage über W ist und sie muss gleichzeitig innerhalb von W sein, weil ja "Die Welt" wirklich alles beinhalten muss, also auch A.
Solange wir nichts besseres haben, können wir die Welt W als natürliche Zahlen N + Arithmetik „Peano“ + Algorithmus A (N, P, A) ansetzen. Damit meine ich nicht, dass (N, P, A) ein Modell von W ist, sondern dass sie identisch sind, also W = (N, P, A)

Dann wird alles wieder ganz einfach:

Die Konsistenz von W ist nach Gödel nicht beweisbar; wenn jedoch mathematische Existenz die Konsistenz voraussetzt, dann beweist die Existenz von W auch deren Konsistenz und somit die Konsistenz von (N, P, A). Innerhalb von W sind selbstbezügliche Aussagen S* über W grammatikalisch korrekt formulierbar. Es gibt in S* wahre Aussagen S sowie falsche Aussagen; Konsistenz vorausgesetzt sind falsche Aussagen nicht beweisbar. Es gibt in S* mehr wahre als beweisbar wahre Aussagen T, d.h. T ⊂ S.

Diese Welt W = (N, P, A) kann nicht ausschließlich innerhalb von W verstanden werden, insbs. da T ⊂ S.

Warum sollte das nicht für unsere Welt der Fall sein?
Gruß
Tom

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 27. Apr 2019, 12:02

tomS hat geschrieben:
27. Apr 2019, 10:47
Solange wir nichts besseres haben, können wir die Welt W als natürliche Zahlen N + Arithmetik „Peano“ + Algorithmus A (N, P, A) ansetzen. Damit meine ich nicht, dass (N, P, A) ein Modell von W ist, sondern dass sie identisch sind, also W = (N, P, A)

Dann wird alles wieder ganz einfach:
...
(mit Hervorhebungen)

Ja. Und das sowieso. Gödel gilt!
Insbesondere:
tomS hat geschrieben:
27. Apr 2019, 10:47
Diese Welt W = (N, P, A) kann nicht ausschließ(lich) innerhalb von W verstanden werden, insbs. da T ⊂ S.
Selbst/auch diese Welt W... (Du deckst hier nur noch eine zusätzliche Einschränkung auf, zusätzlich zur eh schon vorhandenen.)

Aber du kommst auch so schon ganz zu Anfang nicht aus dem Zirkel raus, da dürfen wir uns nichts vormachen:
Die Annahme (N, P, A) sei identisch zu W ist eine Annahme (oder Definition) unsererseits. Und eben diese Annahme müsste wiederum außerhalb von W stehen - und der, der die Annahme macht (wir), auch, was aber dem Inhalt der Annahme widerspricht (dem, was sie annehmen soll).
Also kann dieses W aus Konsistenzgründen nicht die ganze Welt umfassen, sondern nur das symbolhaft-formale (N, P, A), d.h. die Annahme einer Identität zur echten Gesamtwelt -als Aussage- ist uns auch hier nicht sinnvoll möglich.

Wie schon erwähnt muss man sich davor hüten Etiketten von formalen Strukturen mit ihrem (ja rein symbolhaft-formalen) Inhalt zu werwechseln.
Grüße
seeker


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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von tomS » 27. Apr 2019, 12:19

Deine Einwände sind berechtigt, jedoch keineswegs sicher richtig.

Gödel ist in der Lage, ein selbstbezügliches System zu konstruieren, das Aussagen über dich selbst macht. Es ist daher nicht sicher, dass meine o.g. Aussagen nicht ebenso aufgefasst werden können und demnach nicht außerhalb von W stehen, insbs. wenn W entsprechend Gödel gerade solche Aussagen zulässt.

Ich muss dazu einen Logiker fragen.
Gruß
Tom

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Re: Grundsatzfragen

Beitrag von seeker » 27. Apr 2019, 13:15

Ich denke, auch wenn ein System Aussagen über sich selbst machen kann, ist damit noch nicht sichergestellt, dass es die (von uns) gewünschten Aussagen über sich selbst machen kann. Sichergestellt sind nur die schon erwähnten Gödel-Einschränkungen für genügend mächtige Systeme.

Es ist außerdem schwierig (auch wenn man das sprachlich so sagt) davon zu sprechen, dass ein formales System "an sich" irgendweche Aussagen tätigen würde. Also ich habe die Menge N jedenfalls noch nie sprechen gehört... Aussagen tätigen und sehen/verstehen immer nur wir.

Außerdem müsste das formale Gödel-System nicht nur Aussagen über sich selbst machen, sondern ggf. Aussagen über sich selbst hinaus, nämlich über die Welt, denn es kann eben wie versucht zu zeigen nicht a priori zirkelfrei sichergestellt werden, dass gilt: formales System S ist identisch mit realer Welt W, S = W (eine dahingehende Aussage oder Definition reicht dafür nicht aus, es müsste tatsächlich so sein, das kann aber von uns nicht sichergestellt werden).
Und dann wird es ganz schwierig.
Grüße
seeker


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