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kleines Rätsel mit Quadraten für zwischendurch

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seeker
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kleines Rätsel mit Quadraten für zwischendurch

Beitrag von seeker » 12. Mai 2018, 12:39

Folgende Aufgabe:

In wie viele Quadrate kann man ein gegebenes Quadrat zerlegen, bei völlständiger Zerlegung?
Ihr habt ein Quadrat. Dieses Quadrat soll so zerschnitten werden, dass aus der gegebenen Fläche restlos und ausschließlich neue, kleinere Quadrate entstehen (diese dürfen auch unterschiedlich groß sein), diese so erhaltenen Quadrate sollen nach dem Zerschneiden gezählt werden: man erhält dadurch eine natürliche Zahl. Es sind beliebig viele Schnitte erlaubt. Zusammensetzen von Teilflächen (z.B. durch Erzeugung von Dreiecken) ist nicht erlaubt.
Z.B. kann man das ursprüngliche Quadrat durch zwei mittige Schnitte in vier Quadrate zerlegen, man erhält die Zahl 4.

Fragen:
Welche Zahlen (an Quadraten) kann man so durch Zerlegen erzeugen? (Beweis?)
Wie geht man am besten vor?
Welche Zahlen kann man nicht erzeugen?

Es ist glaube ich nicht wirklich schwierig, viel Spaß dabei!
Grüße
seeker


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Re: kleines Rätsel mit Quadraten für zwischendurch

Beitrag von tomS » 12. Mai 2018, 14:05

Es ist immer dann recht einfach, wenn man beliebig viele Quadrate der Größe Eins verwenden darf. Man muss noch irgendwelche Zusatzforderungen stellen, damit es schwierig wird.

Noch eine Frage: meinst du Quadrate oder Quadratzahlen?
Gruß
Tom

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Re: kleines Rätsel mit Quadraten für zwischendurch

Beitrag von seeker » 12. Mai 2018, 14:48

Ich meine ein Quadrat, als geometrische Fläche, als Ausgangsfläche, die zerschnitten werden soll, sodass alle resultierenden Flächen wieder Quadrate sind.
Die Frage lautet u.a. wie man am geschicktesten zerschneiden soll (Strategie).
Grüße
seeker


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Re: kleines Rätsel mit Quadraten für zwischendurch

Beitrag von tomS » 12. Mai 2018, 15:41

Was meinst du mit geschickt?

Ich kann ein n*n Quadrat in n² 1*1 Quadrate zerschneiden. Das halte ich für geschickt. Du hast aber etwas anderes im Sinn, oder? Möglichst große oder wenige Quadrate zum Beispiel.

Noch etwas: ich bin implizit davon ausgegangen, dass die Seiten ganzzahlig sein sollen. Stimmt das?
Gruß
Tom

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Re: kleines Rätsel mit Quadraten für zwischendurch

Beitrag von seeker » 12. Mai 2018, 17:53

Ich glaub das ist zu einfach für dich. :)

Es geht ganz einfach um die Frage in wie viele Quadrate Z man das Ausgangsquadrat zerschneiden kann.
Kann die Anzahl Z der erhaltenen Quadrate jede beliebige Zahl aus N sein oder gibt es auch Zahlen, die du nicht erzeugen kannst (mit Beweisführung)?
(Beim Zerschneiden dürfen nur Quadrate entstehen, nichts anderes, es darf auch nichts übrig bleiben.)

Kannst du das Ausgangsquadrat z.B. in genau 20 Quadrate zerschneiden (usw.)?
Grüße
seeker


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Re: kleines Rätsel mit Quadraten für zwischendurch

Beitrag von Analytiker » 12. Mai 2018, 18:16

Die Anzahl der zerschnittenen Quadrate kann alle ganzen Zahlen größer gleich 4 mit der Ausnahme 5 annehmen.

Zu zeigen, dass es für alle geraden Zahlen größer gleich 4 zutrifft, ist einfach, siehe

http://www.spiegel.de/wissenschaft/mens ... 803-2.html

Damit ist schon mal bewiesen, dass es für 4, 6, 8,... die geforderten Zerlegungen gibt.

Habe ich 4 Quadrate, kann ich ein Teilquadrat in vier kleinere Teilquadrate zerlegen und hätte insgesamt 7. Um die 9 zu erhalten, zerteile ich eines von 6 in 4 und komme dann auf 9. Mit dem Zerschneiden eines Teilquadrats kann ich somit alle ungeraden Zahlen größer gleich 7 bedienen.

Weniger als 4 Teilquadrate kann ich mit Zerschneidung nicht herstellen. Ohne Zerschneidung bleibt es bei einem Quadrat.

Die Lösungsmenge ist somit für die Zerschneidung:

L=N\{2, 3, 5}

Es sind somit alle natürlichen Zahlen, außer den ersten 3 Primzahlen. Die 0 kann je nach Definition zu den natürlichen Zahlen gerechnet werden, sie spielt hier jedoch keine Rolle.

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Re: kleines Rätsel mit Quadraten für zwischendurch

Beitrag von seeker » 12. Mai 2018, 18:25

Genau so ist es! :well:

Ich hoffe du hast dir den Spaß des Selber-Knobelns gegönnt und nicht einfach abgespickt. :wink:
Grüße
seeker


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Re: kleines Rätsel mit Quadraten für zwischendurch

Beitrag von Analytiker » 12. Mai 2018, 18:30

Dass mit den geraden Zahlen habe ich abgespickt. Dass mit den ungeraden habe ich selbst herausgefunden, weil ich von den geraden Zahlen ausgehen konnte.

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Re: kleines Rätsel mit Quadraten für zwischendurch

Beitrag von seeker » 13. Mai 2018, 09:15

Die dargestellte im Strategie bei der Zerlegung zur Erhaltung von Z = gerade Anzahl an Quadraten (diese hier: http://www.spiegel.de/wissenschaft/mens ... 75651.html) beruht algebraisch gesehen interessanterweise auf folgendem:

Wenn ich eine beliebige Quadratzahl habe und davon die nächstkleinere Quadratzahl abziehe und dann 1 addiere, erreiche ich dann so alle geraden natürlichen Zahlen?
(Deshalb, weil man sich das große Teil-Quadrat im verlinkten Bild als wieder zu einem Quadrat zusammengesetzt denken kann, aus ebenso großen Quadraten wie die dort abgebildeten kleinen Quadrate. In dem verlinkten Beispielbild besteht die große weiße Fläche sozusagen aus 25 kleinen weißen Quadraten, die man nicht sieht bzw. als nur 1 Quadrat sieht, das Gesamtquadrat besteht aus 36 Teil-Quadraten.)

Ja, das ist so:

n e N

Z = n^2 - (n-1)^2 + 1

ezeugt alle geraden nat. Zahlen

n=1: Z = 1 - 0 + 1 = 2
n=2: Z = 4 - 2 + 1 = 4
n=3: Z = 9 - 4 + 1 = 6
usw.

Der Fall n = 1 / Z = 2 fällt beim geometrischen Quadrat nur deshalb weg, weil wir Nullflächen geometrisch nicht mitzählen: Das Ursprungsquadrat mit Seitenlänge 1 müsste in dem Fall in ein Quadrat mit Fläche 1 plus ein Quadrat mit Fläche Null zerschnitten sein, wir würden das aber nicht als zwei Quadrate ansehen, sondern als eines.
Grüße
seeker


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