Ich habe deine Notation angepasst:
1)
A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
"Da wäre leere Menge mit sich selbst geschnitten schlicht leere Menge."
2)
A ∈ M: ∩A = {x|∀ A ∈ M ⇒ x ∈ A}
"Wenn jetzt die leere Menge M wäre, dann wäre "x ∈ A" für beliebige x und A immer wahr, d.h. das wäre die Allmenge, die es aber nicht geben kann, deshalb wird das verboten."
Zu 1) das ist OK
Zu 2) das hast du falsch verstanden: in (2) ist
M eine Familie von Mengen
M = {A₁, A₂, A₃, ...}; ich verwende hier der Einfachheit die Notation für eine abzählbare Familie, aber das stört das Argument im Folgenden nicht;
der Durchschnitt
∩ wird über alle Mengen in
M, also über alle A₁, A₂, A₃, ... gebildet;
jedes einzelne A₁, A₂, A₃, ... darf durchaus die leere Menge sein, aber
M selbst darf
nicht die leere Menge sein, weil andernfalls der Durchschnitt
∩ über
keine Menge gebildet werden müsste, und das ist sinnlos;
M muss also mindestens
eine Menge A₁ enthalten, und in diesem Fall wäre
∩A = A₁;
im Falle von zwei Mengen A₁, A₂ landest du wieder beim bekannten Fall (1), d.h. A₁ ∩ A₂;
und im allgemeinen Fall folgt
∩A = A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ ...;
wenn nun mindestens eine der Mengen in
M, d.h. eine oder mehrere, gleich der leeren Menge ist, dann folgt
A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ ... ∩ ∅ ∩ ... = ∅
Pippen hat geschrieben: ↑20. Feb 2018, 20:48
Jetzt lese ich aber, dass der Durchschnitt zweier leerer Mengen nicht definiert sei.
Der Durchschnitt zweier leerer Mengen A = ∅ und B = ∅ ist also sehr wohl definiert: A ∩ B = ∅ ∩ ∅ = ∅.
Aber wenn A und B Elemente einer Familie
M sein sollen, also A, B ∈
M,
dann ist M = ∅ verboten, d.h. es muss zwingend
M ≠ ∅ gelten.
Stimmt das und wo ist da mein Argument falsch?
