Pippen hat geschrieben: ↑5. Jan 2018, 01:05
Zu deinem Beispiel: A hat ein Komplement A
c. In A
c ist auch B als Teilmenge. Jetzt bilden wir die Menge B\A
c. Der Rand zwischen A und B\A
c wäre A
c, weil A
c weder in A noch B\A
c wäre. Klingt komisch, entspricht aber der Mengentheorie.
Ich sehe nicht, auf welches Beispiel du dich beziehst. Erklär' mir das doch bitte nochmal.
Pippen hat geschrieben: ↑5. Jan 2018, 01:05
Der eigentlich interessante Fall beim Universum ist ja aber, dass in der Topologie des U. dessen Komplement (das Außen) die leere Menge ist und das ist ein zwar leerer, aber doch existenter, "Beutel".
Machen wir mal ein ganz einfaches Beispiel. Die Mengen (Umgebungen U,V, ...) der Topologie übersetzen wir in Münzen m,n, ... sowie die Mengensysteme in Beutel. Ränder zwischen Mengen übersetzen wir in Verbindungslinien l(m,n) zwischen Münzen m,n.
Zu den Rändern: hier gibt es zwei Sorten, nämlich
A) Zwei Mengen U,V haben also einen gemeinsamen Rand, wenn die entsprechenden Münzen m,n miteinander durch l(m,n) verbunden sind.
B) Eine Menge U kann für sich alleine ebenfalls einen Rand haben, ohne dass dabei eine benachbarte Menge vorliegt.
Das sind die Ränder, die uns hier interessieren. Übersetzt in die Münzen wäre das eine Linie l(m,.), die an einer Münze m angeheftet ist, deren anderes Ende "." jedoch frei bleibt; "." ist lediglich ein Symbol, da ist nichts konkretes. "." entspräche der nicht existenten Münze, die die
nicht-existente Menge V repräsentiert, die in der leeren Menge = dem leeren Beutel enthalten ist.
Im Falle von (B) besteht die Eigenschaft einer Menge U, einen Rand zu haben, ausschließlich darin, dass die Linie, die an der Münze m(U) beginnt, ein zweites offenes Ende "." hat, das an keiner weiteren Münze endet. Die Eigenschaft von U, einen Rand zu haben, wird durch diese Linie symbolisiert.
Nun müssen wir feststellen, ob für ein gegebenes U der Fall (B) vorliegt. Der Fall (B) muss alleine mittels U betrachtet werden, denn es gibt letztlich nichts, insbs. kein V, anhand dessen man ihn sonst prüfen könnte.
Da wir ganz konkret Physik (ART) betreiben wollen und wir daher von
Mannigfaltigkeiten ausgehen dürfen, führen wir folgende sehr anschauliche Prüfung durch:
wir betrachten
alle Punkte p einer Mannigfaltigkeit
wir betrachten kleine Umgebungen u(p)
das Innere jeder kleine Umgebung u(p) sieht so aus wie eine Teilmenge des n-dim. euklidschen Raumes
wir betrachten für jedes p alle möglichen Richtungen
und gehen ein Stückchen in jede möglichen Richtungen (Dim. n=2: links, rechts, oben, unten)
wir prüfen, ob wir das
innerhalb von u(p) tun können, d.h. ob die jeweilige Richtung
innerhalb von u zulässig ist
wenn nein, dann haben für ein p gefunden, für das der Fall (B) vorliegt
Führe diese Prüfung für die Oberfläche einer Kugel durch: du findest keinen Punkt p, von dem ausgehend du die Kugeloberfläche verlassen könntest; führe diese Prüfung für den 3-dim. Raum aus. Wiederum existiert kein Punkt und keine Richtung, wie du den 3-dim. Raum verlassen könntest. Demzufolge liegt für diese Beispiele kein Rand vor.
Übersetzt auf das o.g. Beispiel handelt es sich um Münzen m,n,... mit Verbindungen l(m,n)
sowie vollständig ohne offene Verbindungen l(m,.). Genauso wie ein derartiger Graph erlaubt und sinnvoll ist, ist dies auch für die Topologie erlaubt.