Counting

[tomS]

Bei unabhängigen und identischen Spielen ohne Gedächtnis bedeutet das gleichen Einsatz über eine zuvor festgelegte Anzahl Spiele Z. Dann betrachtet man die Wahrscheinlichkeiten p(n) sowie die Ausschüttungen A(n) je n, und berechnet daraus den Erwartungswert E[p*a] für den Gewinn über die Produkte p(n) * a(n) über Untermengen U von {n = 1,2,...,N}. Danach legt man eine Zielfunktion fest, die es zu maximieren gilt (üblicherweise die zu erwartende Ausschüttung, also das obige E. Man wählt schließlich die Untermenge, für die die Zielfunktion maximiert wird.

Wenn die erlaubten Untermengen mit den n identisch sind, also U(n) = {n}, dann ist genau hierüber das Maximum zu bestimmen. I.A. hat das wieder nichts mit einem Erwartungswert <n> zu tun, selbst wenn A(n) = A konstant ist, da i.A. <n> nicht ganzzahlig ist.

[tomS]

Hingegen der Maxima von Wahrscheinlichlichkeitsverteilungen muss ich mich korrigieren. Es macht nicht immer Sinn auf das absolute Maxima. Man stelle sich eine exotische Verteilung mit einem einsamen Peak vor. An einem anderen Bereich seien viele Maxima, alle nur etwas kleiner als das absolute, ein Wald von Maxima also, dicht gedrängt. Die Wahrscheinlichkeiten zwischen den dortigen Maxima sind auch nicht niedrig. Dann macht es Sinn in den "Wald zu gehen". Sich dort geschickt einen Schwerpunkt zu suchen der die Wahrscheinlichkeiten gut repräsentiert.

Warum sollte man das tun?

[Analytiker]

Weil dann die Wahrscheinlichkeit höher ist, dem tatsächlich auftretenden Wert näher zu kommen. Wenn der beschriebene Wald 95% der Möglichkeiten abdeckt und der Peak sagen wir nur 0,01%, dann ist zu erwarten, dass es mehr Sinn macht einen hohen Wert aus dem Wald zu wählen als diesen einmaligen statistischen Ausrutscher.

Gruß
Analytiker

[Analytiker]

Wenn es um einen genauen Wert geht, ist der Peak die bessere Wahl. Bei großen n in der Wahrscheinlichkeitsverteilung hat man jedoch das Problem der geringen Wahrscheinlichkeit für beliebige n.

Man werfe 1000mal eine Münze. Dann genau auf den Erwartungswert von 500 für Kopf zu setzen führt nur auf eine Erfolgswahrscheinlichkeit von etwa 2,5%.

Gruß
Analytiker

[tomS]

Du schmeißt da jetzt irgendwas durcheinander. Reden wir von der selben Fragestellungen?

[Pippen]

Weitere Verständnisfrage zu stat. Tests: Wir haben ein Lottospiel 6 aus 49 und sollen testen, ob das Spiel gezinkt ist. Wir gehen davon aus (Nullhypothese), dass das Lottospiel fair ist. Wir legen die Alpha-Fehlerwahrscheinlichkeit auf 0,01 fest. Wir lassen einen Spieler spielen und der kommt auf 6 Richtige. Die Wahrscheinlichkeit dafür liegt sehr weit unter der Alpha-Fehlerwahrscheinlichkeit, weshalb wir die Nullhypothese verwerfen und das Lottospiel als gezinkt ansehen. Formal scheint der Test korrekt zu sein, doch irgendwie "fühlt" er sich schlecht an, man würde gerne 1.000 solcher Tippreihen machen, dann dafür die Verteilung aufstellen und entscheiden. Ein solches Testergebnis wäre "besser" als das mit einem Tipp. Kann man math. erklären, warum es besser wäre? Hat das was mit dem Gesetz der großen Zahlen und dem Grenzwertsatz zu tun oder basiert das letztlich auf ganz banalen empirischen Pi-mal-Daumenregeln "mehr Daten, bessere Ergebnisse, so ist halt unsere Erfahrung"?

[Analytiker]

Du schmeißt da jetzt irgendwas durcheinander. Reden wir von der selben Fragestellungen?

Die Ausschüttungen habe ich nicht mit p(n) in Beziehung gesetzt. Daraus das Produkt zu bilden ist nicht rechenaufwändig. Da wo das Produkt das absolute Maximum aufweist, ist die Wahrscheinlichkeit auf einen Gewinn am größten. Das ist der Kern. Es würde auch ausufern alle möglichen Fälle, hier durchzudeklinieren. Wir wollen ja an dieser Stelle auch kein Buch schreiben.

[Analytiker]

Weitere Verständnisfrage zu stat. Tests: Wir haben ein Lottospiel 6 aus 49 und sollen testen, ob das Spiel gezinkt ist. Wir gehen davon aus (Nullhypothese), dass das Lottospiel fair ist. Wir legen die Alpha-Fehlerwahrscheinlichkeit auf 0,01 fest. Wir lassen einen Spieler spielen und der kommt auf 6 Richtige. Die Wahrscheinlichkeit dafür liegt sehr weit unter der Alpha-Fehlerwahrscheinlichkeit, weshalb wir die Nullhypothese verwerfen und das Lottospiel als gezinkt ansehen. Formal scheint der Test korrekt zu sein, doch irgendwie "fühlt" er sich schlecht an, man würde gerne 1.000 solcher Tippreihen machen, dann dafür die Verteilung aufstellen und entscheiden. Ein solches Testergebnis wäre "besser" als das mit einem Tipp. Kann man math. erklären, warum es besser wäre? Hat das was mit dem Gesetz der großen Zahlen und dem Grenzwertsatz zu tun oder basiert das letztlich auf ganz banalen empirischen Pi-mal-Daumenregeln "mehr Daten, bessere Ergebnisse, so ist halt unsere Erfahrung"?

Klar, wenn man mehr Daten hat, sind die Ergebnisse belastbarer. Begründen lässt sich das mit den Grenzwertsätzen der Stochastik. Einen Überblick verschafft folgender Link:

https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert ... Stochastik

[Pippen]

Nochmal zur groben Modellierung eines Fußballspiels: Sagen wir ein Spielfeld besteht aus 5.000 m²-Stücken. Sagen wir weiter, es gibt 2300 Zustände, die sich folgendermaßen zusammensetzen könnten: es gibt 22 Spieler und jeder hat 100 Eigenschaften (rennt, steht, köpft, liegt am Boden, mit Ball, ...) und dann gibt's noch 80 andere Zustände wie Ball_allein, Schiedrichter usw. Wir wollen nun wissen, wieviele Kombinationen es zwischen den Spielfeldern (5000) und den Zuständen (2300) geben kann, gleichzeitig wollen wir dabei aber das Spiel von Anfang bis Ende modellieren, es soll also die Reihenfolge wichtig sein, denn so ein Spiel besteht ja darin, dass Spieler A zuerst auf X ist und dann auf Y und dann auf Z usw. Wir nutzen nun folgende Formel: n!/(n-k)!, um ein ganzes Spiel über 90 min. zu modellieren. Das ergibt 5000!(2700)! = 2.6 * 10⁸²³¹. Kann man jetzt sagen, dass - unter Vorbehalt der massiven Vereinfachungen - der komplette Entscheidungsbaum eines Fußballspiels aufgestellt wurde und dieser Baum am Ende die 10⁸²³¹ Möglichkeiten enthält, wie so ein Fußballspiel ablaufen kann?

[Analytiker]

Nochmal zur groben Modellierung eines Fußballspiels: Sagen wir ein Spielfeld besteht aus 5.000 m²-Stücken. Sagen wir weiter, es gibt 2300 Zustände, die sich folgendermaßen zusammensetzen könnten: es gibt 22 Spieler und jeder hat 100 Eigenschaften (rennt, steht, köpft, liegt am Boden, mit Ball, ...) und dann gibt's noch 80 andere Zustände wie Ball_allein, Schiedrichter usw. Wir wollen nun wissen, wieviele Kombinationen es zwischen den Spielfeldern (5000) und den Zuständen (2300) geben kann, gleichzeitig wollen wir dabei aber das Spiel von Anfang bis Ende modellieren, es soll also die Reihenfolge wichtig sein, denn so ein Spiel besteht ja darin, dass Spieler A zuerst auf X ist und dann auf Y und dann auf Z usw. Wir nutzen nun folgende Formel: n!/(n-k)!, um ein ganzes Spiel über 90 min. zu modellieren. Das ergibt 5000!(2700)! = 2.6 * 10⁸²³¹. Kann man jetzt sagen, dass - unter Vorbehalt der massiven Vereinfachungen - der komplette Entscheidungsbaum eines Fußballspiels aufgestellt wurde und dieser Baum am Ende die 10⁸²³¹ Möglichkeiten enthält, wie so ein Fußballspiel ablaufen kann?

22*100+80=2280

Wie ergeben sich 2300 Zustände?

Den Schiedsrichter mit eingerechnet können nur 23 Felder besetzt werden, wenn man grob vereinfacht und das instantane Besetzen mehrerer Felder außer Acht lässt. Also haben wir bei Unterscheidbarkeit der Akteure 5000!/4977! Möglichkeiten der Feldbesetzung. Bei den Eigenschaften fehlt die Differenzierung, kann man alles auf mal oder nur eine Sache zur Zeit an Zuständen repräsentieren. Es fehlt auch in der oben aufgemachten Modellierung die zeitliche Dynamik. Ohne Nachspielzeit hat ein Spiel 5400 Sekunden. Es finden also 5399 Zustandsübergänge statt, die aber von einem zum anderen nicht beliebig sein können, wegen begrenzter Sprintfähigkeiten der Ahtleten, sowie der Dynamik des Balls.

Vereinfachen wir folgendermaßen: Jeder der Akteure möge 100 verschiedene Zustände einnehmen können, wobei er nur einen zur Zeit einnehmen kann. Eine Momentaufnahme des Spiels ohne Berücksichtigung der Feldposition liefert dann schon 100^(23) Möglichkeiten. Weiterhin gibt es 5000!/4977! verschiedene Feldkonfigurationen von Akteuren. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass diese sich von Sekunde zu Sekunde beliebig ändern können, dann haben wir schon
(5000!/4977!)^(5400) verschiedene Konstellationen während des ganzen Spiels. Die Zustände der Akteure sind aber noch nicht eingerechnet, also müssen wir noch mit 100^(23*5400) multiplizieren.

Das liefert dann ungefähr eine 1 mit mehreren 100000 Nullen.

Gruß
Analytiker

[Pippen]

Die 2300 Zustände (k) der 5.000 Felder (n) des Spielfelds sind letztlich willkürich, so etwa:

1. Zustand: Spieler 1, steht.
2. Zustand: Spieler 1, rennt.
3. Zustand: Spieler 1, liegt am Boden.
...
11. Zustand: Spieler 2, steht.
...
2250. Zustand: Schiedsrichter, steht.
...
2260. Zustand: Ball drin.
2261. Zustand: kein Ball.

Durch n!/(n-k)! bekomme ich jetzt mE alle Möglichkeiten, wie ein Spiel über die Distanz aussehen kann, ich brauche also deine zeitliche Komponente mE nicht. Würde man alle Varianten, die sich durch n!/(n-k)! ergeben hinschreiben und daraus einen Entscheidungsbaum basteln, dann würde jedes Spiel daran abgebildet.

[Analytiker]

n!/(n-k)! steht für eine Variation ohne Wiederholung. In einem Spiel können sich Situationen aber wiederholen. Wodurch soll die zeitliche Entwicklung eines Spiels repräsentiert werden?

5000 Felder stehen zur Verfügung, das ist die örtliche Komponente. Die aufgeführten Zustände können sind grob betrachtet zeitlich unabhängig. Man sollte das Spiel schon zeitlich diskretisieren oder einen zeitlichen Verlauf einbauen.

22 Spieler, ein Schiedsrichter und ein Ball sind im Spiel. Die können zu verschiedenen Zeitpunkten unterschiedliche Positionen einnehmen. Dass der Ball im Aus sein kann, sei vernachlässigt. Es macht Sinn mit Vereinfachungen anzufangen.

Nehmen wir an der Ball kann alle 5000 Positionen einnehmen ohne Berücksichtigung ob ein Akteur ein Feld besetzt. Ein Akteur möge nur ein bestimmtes Feld besetzen. Für eine Momentaufnahme gibt es dann schon 5000*5000!/4977! Möglichkeiten. Unterteilen wir das Spiel als Näherung in 1000 Zeiteinheiten, dann haben wir eben

(5000*5000!/4977!)^(1000) Möglichkeiten. Dabei sind die Zustände der Spieler noch nicht eingerechnet.

Gruß
Analytiker

[Pippen]

Wodurch soll die zeitliche Entwicklung eines Spiels repräsentiert werden?

Durch n!/(n-k)!, denn wenn du alle Varianten in einer Liste nummerierst, dann müsste sich anschließend jedes Spiel durch eine Kette an Nummern exakt nachbauen lassen. Mal als vereinfachendes Bsp.: Wir wollen ein Lotto modellieren, wo man aus den Zahlen 1, 2 und 3 zwei Zahlen rät. Es gibt überhaupt nur folgende Möglichkeiten: 12, 13, 23, 21, 31, 32, also 6 Möglichkeiten. Wir haben damit den gesamten Zustandsraum des Spieles, jedes mögliche Spiel steckte da drin und das geht nur mit n!(n-k)! Genauso stelle ich mir das analog dann beim Fußball vor, nur dass es dort nicht nur um 3 Zahlen, sondern eben viele andere Merkmale geht, wie Spieler- und Ballpositionen.

[Analytiker]

Bei n!/(n-k)! wählt man aus n verschiedenen Zuständen k Zustände aus, wobei jeder Zustand maximal einmal auftreten darf. n!/(n-k)! schließt aus, dass sich Spielsituationen wiederholen dürfen. Das wäre dann eine spezielle Zusatzannahme. Es gibt jedoch keine Spielregel, die das verbietet. Mit n^k zu rechnen wäre nicht nur einfacher, sondern auch sinnvoller.

Gruß
Analytiker

[Analytiker]

Bei n!/(n-k)! wählt man aus n verschiedenen Zuständen k Zustände aus, wobei jeder Zustand maximal einmal auftreten darf. n!/(n-k)! schließt aus, dass sich Spielsituationen wiederholen dürfen. Das wäre dann eine spezielle Zusatzannahme. Es gibt jedoch keine Spielregel, die das verbietet. Mit n^k zu rechnen wäre nicht nur einfacher, sondern auch sinnvoller, wenn es darum geht alle möglichen Situationen abzubilden. Gut, einschränkend kann man sagen, dass es selten ist, dass sich Spielsituationen wiederholen. n wird sicherlich groß sein und k wesentlich kleiner als n wegen der Zeitbegrenzung. Natürlich spielt es auch eine Rolle in wieviele Zeiteinheiten man ein Spiel unterteilt.

Gruß
Analytiker

[Pippen]

Gut, einschränkend kann man sagen, dass es selten ist, dass sich Spielsituationen wiederholen.

Das ist unmöglich. Lass uns das 2er-Lotto (Ziehung von 2 Zahlen aus 3 Zahlen) als vereinfachendes Modell hernehmen: Es gibt da keine Wiederholungen, das erkennt man am Zustandsraum: 12, 13, 23, 21, 31, 32. Genauso wäre es auch beim Fußball, nur dass wir da k=2300 (Spielermodi) aus n=5000 (Felder) ziehen. Damit hätten wir 5000!/2700! Möglichkeiten, wie sich so ein komplettes (wiederholungsfreies) Spiel aufbaut, wobei du Recht hast: wir müßten da nochmal einschränken, um die 90min. Spieldauer zu simulieren, denn in den 5000!/2700! Möglichkeiten wären ja auch Abläufe, die Tage dauern würden.

Ganz grdsl.: Warum berechnen Mathematiker keine Zustandsräume für solche realen Spiele mit entsprechenden Vereinfachungen, während sie bei Brettspielen & Co. ganz versessen darauf sind. Das würde nämlich mE zeigen, dass reale Spiele viel komplexer sind als Brettspiele und damit für die AI viel schwieriger.

[Analytiker]

Gut, einschränkend kann man sagen, dass es selten ist, dass sich Spielsituationen wiederholen.

Das ist unmöglich. Lass uns das 2er-Lotto (Ziehung von 2 Zahlen aus 3 Zahlen) als vereinfachendes Modell hernehmen: Es gibt da keine Wiederholungen, das erkennt man am Zustandsraum: 12, 13, 23, 21, 31, 32.

Warum soll es im Spiel keine Wiederholung von Spielsituationen geben? Wenn es keine geben soll, dann ist das eine einschränkende Zusatzannahme. Man kann auch ein anderes 2er-Lotto spielen und zwar mit Zurücklegen, dann hat man 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33 als Ziehungskombinationen.

Wenn man etwas durchzählen will, dann muss man alle Möglichkeiten in Betracht ziehen unabhängig von ihrer Wahrscheinlichkeit.

Wenn man Kombinatorik mit einem Fußballspiel betreiben will, stellt sich die Frage bis zu welchem Grad man das Spiel diskretisieren will. Nimmt man das Fußballspiel als kontinuierlich an, dann gibt es überabzählbar viele Möglichkeiten, weil man infinitesimale Veränderungen mit berücksichtigen muss.

Bei einer Diskretisierung kommt es auf die Dichte des Rasters an, mit dem man ein Spiel räumlich und zeitlich überzieht. Geht man stark ins Detail erkennt man schnell, dass es weitaus mehr Möglichkeiten gibt als das beobachtbare Universum Atome hat.

Bei RoboCup 2050 wurde sich zum Ziel gesetzt, im Jahre 2050 in der Lage zu sein, mit Robotern den amtierenden FIFA-Weltmeister zu schlagen. Mittlerweile ist man da realistischer geworden, aber es wird daran gearbeitet.

http://kotay.net/keith/opinions/robocup2050.shtml
http://www.robocup.org/
https://www.onlinekosten.de/news/robocu ... 78625.html

Dass bei diesem Vorhaben Spielsituationen durchsimuliert werden, liegt auf der Hand.

Gruß
Analytiker

[Pippen]

Ok, mit Wiederholungen gäbe es beim 2er Lotto also 3² = 9 Möglichkeiten. Beim Fußball wären es dann 5000^2300, wenn wir das Spielfeld in 5.000 Quadratmenter aufteilen und insgesamt 2300 Aktionen (zB Spieler Nr. 1 rennt, Spieler Nr. 7 steht,...) zulassen? Wie schränkt man das Ganze dann auf 90min. ein? Vllt. gehen wir davon aus, dass 90min = 90 *60 = 5.400s und pro Sekunde kann ja 5000^2300 passieren, also 5400*5000^2300 Möglichkeiten, wie ein Fußballspiel so verläuft?

[Analytiker]

Ok, mit Wiederholungen gäbe es beim 2er Lotto also 3² = 9 Möglichkeiten. Beim Fußball wären es dann 5000^2300, wenn wir das Spielfeld in 5.000 Quadratmenter aufteilen und insgesamt 2300 Aktionen (zB Spieler Nr. 1 rennt, Spieler Nr. 7 steht,...) zulassen? Wie schränkt man das Ganze dann auf 90min. ein? Vllt. gehen wir davon aus, dass 90min = 90 *60 = 5.400s und pro Sekunde kann ja 5000^2300 passieren, also 5400*5000^2300 Möglichkeiten, wie ein Fußballspiel so verläuft?

Nimmt man an, dass jedes Feld 2300 Aktionen belegen kann, dann hat man bei 5000 Feldern 2300^5000 Möglichkeiten. Unterteilt man daraufhin das Spiel in 5400 Zeiteinheiten, kommt man auf (2300^5000)^5400=2300^(5000*5400)=2300^2700000 Möglichkeiten.

Gruß
Analytiker

[Pippen]

Sehr cool. Irgendwie verwechsle ich bei n^k immer, was nun n und was k ist. Wie merkst du dir das? Wieso machst du nicht meinen Fehler und rechnest 5000^2300? Gibt's da eine Merkregel oder sowas?

Nochmal als Lernbeispiel: Wir haben beim Schachbrett 64 Felder. Jedes Feld kann 13 Belegungen haben (nix, bauer_weiß, turm_weiß, läufer_weiß, pferd_weiß, dame_weiß, könig_ weiß, könig_schwarz, dame_schwarz, läufer_schwarz, Pferd_schwarz, turm_schwarz, bauer_schwarz). Auf wieviele Arten kann man die 64 Felder mit den 13 Belegungen versehen? 13^64?

[Analytiker]

Sauber, Du hast richtig gerechnet!

n ist die Zahl der Zustände oder der Elemente. Damit fange ich an. k ist dann die Anzahl der Ziehungen oder die Anzahl wie oft ein Vorgang ausgeführt wird. Damit kommt man auf n^k, der Anzahl der Variationen mit Wiederholung. In von mir zuletzt gerechneten Fall kommt noch die Zeit hinzu und dadurch ist das Ganze verschachtelt.

Gruß
Analytiker

[Pippen]

Ein anderes Problem: das Paradox des Lebens.

Es war 1925 ziemlich unwahrscheinlich, das ein Helmut Kohl 1930 geboren wurde, denn dazu mussten sich A) die beiden Eltern Kohl's x und y zusammenfinden und es durfte B) nichts schiefgehen (die Eltern mussten ihrerseits geboren werden, keine Krankheit bei der Schwangerschaft, Zeitfenster 1930 für die Schwangerschaft). Nehmen wir mal den Raum, in dem Kohl geboren wurde und nehmen an, da gab's 1 Millionen Männer und Frauen im gebärfähigem Alter. Dann hätten wir 1.000.000^2 Paarungen. Die Chance für genau die Paarung x und y wäre also 1/1.000.000^2. Doch damit nicht genug. Die Chance, dass aus dieser Paarung wiederum Kohl hervorging war wiederum deutlich kleiner, zB wegen Unfruchtbarkeit, Krankheit, Zerwürfnis usw. Gehen wir nur mal davon aus, dass die Chance, dass x und y um 1930 Kohl gebähren würden 1/10 war. Dann wäre die Chance, dass Kohl durch x und y um 1930 geboren würde: 1/1.000.000^2 * 1/10 und dieses Ergebnis wäre noch viel zu hoch, weil wir dort noch nicht die Wahrscheinlichkeiten, dass wiederum x und y geboren wurden, hineingerechnet hätten. Die echte Wahrscheinlichkeit wäre noch VIEL geringer. Aber der Punkt ist der, dass die Wahrscheinlichkeit für ~Kohl im Jahre 1925 ungefähr 0,9999999999999 gewesen wäre. Jedes statistische Modell des Jahres 1925 hätte also Kohl's Geburt praktisch ausschließen müssen und doch wurde er geboren...und das gilt für jeden Menschen - jeder geborene Mensch ist eigentlich ein statistisches Wunder, ein mehrfacher 6er im Lotto. Zeigt das nicht, dass unsere statistischen Modelle fehlerhaft sind, wenn - entgegen ihren Voraussagen - statistsch praktisch Unmögliches doch immer und immer wieder geschieht? Was entgegnet da die Statistik?

[Herr5Senf]

... - statistsch praktisch Unmögliches doch immer und immer wieder geschieht? Was entgegnet da die Statistik?

Hinterher ist man immer schlauer

Grüße Dip

[Analytiker]

Die Statistik ist sehr erfolgreich, wenn es darum geht aufgrund von Daten Prognosen und Hochrechnungen zu erstellen, sonst liefen z. B. Versicherungen Gefahr reihenweise pleite gehen. Es geht nicht darum den Einzelfall zu berechnen, sondern über viele Ereignisse eine Aussage zu treffen, z. B. wieviele Schadensereignisse treten in einem Jahr ein und wie hoch ist der zu erwartende Gesamtschaden. Es ist einfacher über eine Gesamtheit Aussagen zu treffen als über ein Einzelereignis.

Gruß
Analytiker

[Pippen]

https://www.youtube.com/watch?v=lSutXXevSAQ ...mit etwas mehr Kalkulation.

Ich verstehe nicht, warum kein Mathematiker da ein Problem sieht, wenn seine W-Theorie völlig falsche Voraussagen macht, nämlich für jeden konkreten Menschen, der je lebte und leben wird sagt sie dessen Nicht-Existenz voraus. Man könnte das auch auf Versicherungen anwenden: Die schauen sich alle bisherigen Versicherungsfälle an und fantasieren nochmal doppelt soviele konkrete Fantasiefälle hinzu, um alle Erdenkliche abzudecken. Dann schauen sie sich die Wahrscheinlichkeit für jeden konkreten Versicherungsfall im Voraus an: da er extrem klein ist, wird auch die Addition aller Fälle zusammen nichts bringen und am Ende stände für praktisch alle möglichen Versicherungsfälle eine Null-Wahrscheinlichkeit und doch gibt's Versicherungsfälle.

Für mich sieht das analog nach reeller W-Theorie aus, wo Einzeldinge Null-Wahrscheinlichkeiten haben, die sich nicht zu 1 addieren. Aber das ist eben keine reeller Raum oben, alles diskret und dennoch kommt nur Grütze raus, wenn man für die Ereignisse nah reinzoomt.