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Einführung in die Quantenmechanik

Quantenmechanik, Unschärfenrelation, Welle-Teilchen-Dualismus, Rechenmethoden sowie Interpretation der Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 29. Nov 2016, 18:04

Ich verstehe nicht, wieso du immer noch behauptest, dass die Integrale nicht lösbar sind. Du benötigst lediglich die Zerlegung in ebene Wellen mit exp(ikx) und exp(-ikx). Damit sind alle Integrale explizit berechenbar.

Dann behauptest du, das freie Teilchen bzw. das Wellenpaket hätte einen Impuls; es hat definitiv keinen scharfen Impuls, bereits ein cos(kx) hat den nicht.

Du musst zumindest den Erwartungswert <k> berechnen; für cos(kx) ist dieser Erwartungswert Null; das Teilchen sitzt an einer Stelle, das Wellenpaket zerfließt. Und ja, das ist zulässig. Berechne doch für alle Kombinationen explizit < k(t) > und < x(t) >; das ist analytisch möglich.

Ich verstehe immer noch nicht, warum dir an psi'(0) so viel liegt; das ist lediglich ein einziger Punkt. Die Gesamtinformation ist in psi(x,t=0) kodiert; alternativ und äquivalent in A(k,t=0); siehe (*). Ich denke, das Ausgehen von einer Anfangsbedingung bei x=0 verwirrt dich nur; grundsätzlich ist jede Bedingung zulässig, die auf eine quadratintegrable Wellenfunktion führt; und erst damit siehst du, was physikalisch wirklich passiert.

Ich sehe zunächst (**) keine weiteren Einschränkungen an die Wellenfunktion, außer der Quadratintegrabilität. Ob du diese im Orts- oder im Impulsraum formulierst ist übrigens egal, da die Fouriertrf. normerhaltend ist; siehe (*) oben.

(**) pathologische Fälle später...
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 29. Nov 2016, 19:03

tomS hat geschrieben:Ich verstehe nicht, wieso du immer noch behauptest, dass die Integrale nicht lösbar sind. Du benötigst lediglich die Zerlegung in ebene Wellen mit exp(ikx) und exp(-ikx). Damit sind alle Integrale explizit berechenbar.
Ich sage nur, dass mir Mathematica kein Ergebnis dafür liefert. Manchmal werden Transformationen nicht durchgeführt, wenn diese zu lang dauern, aber ob das hier der Fall ist, kann ich nicht herausfinden.
tomS hat geschrieben:Dann behauptest du, das freie Teilchen bzw. das Wellenpaket hätte einen Impuls; es hat definitiv keinen scharfen Impuls, bereits ein cos(kx) hat den nicht.
Ja, OK, es hat keinen scharfen Impuls.
tomS hat geschrieben:Ich verstehe immer noch nicht, warum dir an psi'(0) so viel liegt; das ist lediglich ein einziger Punkt.
Weil ich gerne alle Basisfunktionen für ein gegebenes H kennen würde, und um die Lösungen der SG zu erhalten, brauche ich die Anfangsbedingungen psi(irgendwo) und psi'(irgendwo); andernfalls habe ich freie Parameter in den Wellenfunktionen. Es geht mir darum, etwas konkretes zum Analysieren zu haben.

Ich würde gerne darauf basierend etwas weiter arbeiten, um mir andere Fragen, vor allem zur Dynamik zu beantworten. Z.B. das: Du erklärst die Zeitentwicklung gerne als die Drehung eines Vektors im Hilbertraum. Anschaulich scheint das direkt einleuchtend zu sein, aber das Skalarprodukt der QM ist ja auch ein Raumintegral. Man darf sich meiner Vermutung nach nicht vorstellen, dass sich durch Zeitentwicklung der Zustand analog zu einem normalen Vektorraum verändert, also dass die Faktoren in einer Summe der Basisvektoren verändert würden. Vielmehr sehe ich das jetzt so, als wären diese konstant, und das würde ja dann in die Bereiche "Kollaps der Wellenfunktion" und "Quantensprung" hinein spielen. - Das ist für mich eigentlich der Hauptgrund, warum ich diese Frage hier gestellt habe, also als Grundlage, damit ich dafür überhaupt oder ein besseres Verständnis entwickeln kann.

Wie würdest Du vorgehen, wenn Du einen Satz Basisfunktionen ermitteln wollen würdest? Würdest Du auf weniger konkrete Funktionen setzen?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 29. Nov 2016, 21:04

positronium hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:Ich verstehe immer noch nicht, warum dir an psi'(0) so viel liegt; das ist lediglich ein einziger Punkt.
Weil ich gerne alle Basisfunktionen für ein gegebenes H kennen würde, und um die Lösungen der SG zu erhalten, brauche ich die Anfangsbedingungen psi(irgendwo) und psi'(irgendwo); andernfalls habe ich freie Parameter in den Wellenfunktionen. Es geht mir darum, etwas konkretes zum Analysieren zu haben.
Du benötigst ein VONS; {exp(ikx)} ist ein solches; {cos(kx),sin(kx)} auch (wenn k alle reellen bzw. nicht-negativen Werte durchläuft).
positronium hat geschrieben:Du erklärst die Zeitentwicklung gerne als die Drehung eines Vektors im Hilbertraum. Anschaulich scheint das direkt einleuchtend zu sein, aber das Skalarprodukt der QM ist ja auch ein Raumintegral. Man darf sich meiner Vermutung nach nicht vorstellen, dass sich durch Zeitentwicklung der Zustand analog zu einem normalen Vektorraum verändert, also dass die Faktoren in einer Summe der Basisvektoren verändert würden.
Doch, darf man.

exp(ikx) bezeichnet die kontinuierliche Basis;
A(k) bezeichnet die Koeffizienten bzgl. dieser Basis;
exp(-ik2t) "rotiert" die Basis exp(ikx) um eine räumlich konstante Phase; alternativ "rotiert" es die Komponenten A(k)
das Integral entspricht der Summe über alle mit k indizierten Basisvektoren
positronium hat geschrieben:... und das würde ja dann in die Bereiche "Kollaps der Wellenfunktion" und "Quantensprung" hinein spielen.
Wir reden hier ausschließlich über unitäre Zeitentwicklung. Da gibt es keinen Kollaps.
positronium hat geschrieben:Wie würdest Du vorgehen, wenn Du einen Satz Basisfunktionen ermitteln wollen würdest? Würdest Du auf weniger konkrete Funktionen setzen?
Ich würde das Eigenwertproblem analytisch lösen.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 29. Nov 2016, 22:13

tomS hat geschrieben:exp(ikx) bezeichnet die kontinuierliche Basis;
A(k) bezeichnet die Koeffizienten bzgl. dieser Basis;
exp(-ik2t) "rotiert" die Basis exp(ikx) um eine räumlich konstante Phase; alternativ "rotiert" es die Komponenten A(k)
das Integral entspricht der Summe über alle mit k indizierten Basisvektoren
Ich kann jetzt nicht nachvollziehen, wie etwa die Amplitude einer freien Welle zu der eines gebundenen Zustands übergehen kann - ich sehe schon, dass ich da noch nachlesen muss.

Vielen Dank für Deine Mühe!

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 29. Nov 2016, 22:17

Ich zeige im Folgenden mal, wie ich das mit der Rotation meine.
IMG_3003.PNG
Unitäre Zeitentwicklung
IMG_3003.PNG (5.45 KiB) 8949 mal betrachtet
Die unitäre Zeitentwicklung wirkt auf den ket |psi>. Führt man dies auf das bekannte Fourierintegral zurück, so resultiert der Faktor, der die Zeitentwicklung beinhaltet, aus der Projektion auf den bra <k|. Bzgl. der festen Basis exp(ikx) enthält dieser Faktor also die Wirkung der unitären Zeitentwicklung auf die Koeffizienten psi(k). Dies resultiert, wenn ich |k><k| links vom Zeitentwicklungsoperator einschiebe.

Schiebe ich |k><k| rechts vom Zeitentwicklungsoperator in, so resultiert die Wirkung der Zeitentwicklung aus ihrem Matrixelement <x|...|k>.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 29. Nov 2016, 22:19

positronium hat geschrieben:Ich kann jetzt nicht nachvollziehen, wie etwa die Amplitude einer freien Welle zu der eines gebundenen Zustands übergehen kann - ich sehe schon, dass ich da noch nachlesen muss.
Was meinst du damit?
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 29. Nov 2016, 23:35

tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Ich kann jetzt nicht nachvollziehen, wie etwa die Amplitude einer freien Welle zu der eines gebundenen Zustands übergehen kann - ich sehe schon, dass ich da noch nachlesen muss.
Was meinst du damit?
Wenn man ein einfaches -1/r-Potential hat, bekommt man als Lösungen im positiven Energiebereich näherungsweise Wellen der Form exp(ikx) - also, die Störung durch das Potential unberücksichtigt -, und im negativen Energiebereich gebundene Zustände. Ein Zustand kann dann insgesamt aus Integral und Summe zusammengesetzt sein, also grob so:

Dann kann man hingehen, und ein Wellenpaket nur aus den Funktionen frei() konstruieren, und es in Richtung Potential laufen lassen. Dann kann man relativ einfach die Wahrscheinlichkeit für die Messung eines Zustands wie <n=3|U(t,t0)|freies Paket> ermitteln.
Dabei entwickelt sich |freies Paket> unbeeinflusst nach der Zeit.
Mit meinem obigen Zitat meinte ich, dass mir nicht klar ist, wie auf Grundlage der Schrödingergleichung jemals beispielsweise die Wellenfunktion von |n=3> eine positive Amplitude bekommt. Also, so in etwa 1/sqrt(2)|freies Paket nach Durchlauf durch das Potential>+1/sqrt(2)|n=3> für den Fall, dass das Teilchen einen gebundenen Zustand einnimmt. Man kann ja nicht mit 100% Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass das Wellenpaket ohne einen gebundenen Zustand einzugehen durch läuft, und wenn es einen eingeht, dann bleibt doch ein Teil der Amplitude in dem beispielhaften |n=3> "hängen".
Um das zu verstehen muss ich noch nachlesen, meinte ich oben.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 30. Nov 2016, 00:03

tomS hat geschrieben:Ich zeige im Folgenden mal, wie ich das mit der Rotation meine.

IMG_3003.PNG

Die unitäre Zeitentwicklung wirkt auf den ket |psi>. Führt man dies auf das bekannte Fourierintegral zurück, so resultiert der Faktor, der die Zeitentwicklung beinhaltet, aus der Projektion auf den bra <k|. Bzgl. der festen Basis exp(ikx) enthält dieser Faktor also die Wirkung der unitären Zeitentwicklung auf die Koeffizienten psi(k). Dies resultiert, wenn ich |k><k| links vom Zeitentwicklungsoperator einschiebe.

Schiebe ich |k><k| rechts vom Zeitentwicklungsoperator in, so resultiert die Wirkung der Zeitentwicklung aus ihrem Matrixelement <x|...|k>.
Das verstehe ich leider nur bruchstückhaft - mit der bra-ket Notation habe ich noch grössere Probleme was die Definitionen betrifft.
Was ist der mathematische Hintergrund der ersten beiden Zeilen?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von deltaxp » 30. Nov 2016, 12:25

ein quantenzustand wird allgemein als ein Vektor im hilbertraum dargestellt , der wird als |psi>.
Hilbertraum ist im Prinzip ein unendlichdimensionaler raum. also statt kordinaten x1,x2,x3 eben bis xunendlich.

aber es sind Bedingungen geknüpft. die physikalischen Vektoren muessen eine endliche länge haben. insbesondere sind die Vektoren |psi> auf 1 normiert. wierechnet man die länge aus, richtig, durch ein skalar Produkt. ein hilbertraum ist nur dann ein hilbertraum wenn ein skalarprodukt und damit eine Metrik definiert (wenn nur ne Metrik aber kein skp definiert ist nennt man es glaub ich banachraum)

im normalen kartesischen endlichen rell-wertigen Koordinatensystem (mit einheitsmetrik) ist das skalarprodikt des Vektors x mit dem transponierten vector xT, also xT*x=x1^2+x^2+x^3 (bei 3 Koordinaten.
|psi> entspricht im Prinzip x und <psi| entspricht xT. mit einem unterschied. da die Vektoren im hilbertraum komplexwertige Komponenten haben ist <psi| nicht nur transponiert, sondern auch konjugiert also ne komponente z geht über in z*.
und dann ist <psi|psi>=1 also erstmal reellwertig und normiert auf länge 1.

nun willst du aber ne wellenfunktion im ortsraum haben un nicht irgendsonen ding im hilbertraum. dann musst du ihn dorthin abbilden. über das skalarprodukt mit dem abstrakten ket Vektor also psi(x)=<x|psi>. das is dann ne komplexe Funktion i.a. |x> hat nur rellwertige Komponenten, |psi > aber nicht

wenn du ihn im impulsraum darstellen willst dann braucht du das skalrprodukt psi(k)=<k|psi>

Da |psi> immer die länge 1 haben muss (gesamtwahrscheinlichkeit bleibt erhalten, irgendwo und irgendwann ist das Elektron immer -qm keine qft hier) muss die zeitliche Entwicklung durch einen unitäten Operator beschrieben , denn der lässt die längen invariant, wie z.b. eine Drehung eines Vektors im 3 d-raum. e^(iHt) ist der unitäre Operator. also im weiteren sinne, dreht sich der zustandsvektor |psi> nur im hilbertraum. und das kannst du dann zu jedem Zeitpunkt geren wenn du willst im orts oder im impulsraum ausdrücken durch dass kalarprodukt mit <x| oder <k|
aber das ist nur eine konkrete Darstellung. im ortsraum nennen wir das wellenfunktion. ich persönlich mag zustandsfunktion lieber, weil das ursprüngliche objekt ein zustandsvektor im hilbertraum ist. welche Darstellung man dann letzlich nimmt ist der Willkür überlassen. daher eben der ausdruck. das der zustandsvektor im hilbertraum "lebt".

achso,

achso, was du immer machen kannst ist eine Identitätsoperator einfügen. du kannst einen bei jedem Vektor A in nem normalen kartesischem endlichen koordinaten immer auch schreiben A=E*A, wobei E die einheitsmatrix, bzw der Identitätsoperator.
insbesonder kannst du bei einem Skalarprodukt von 2 Vektoren A und B als B^T*A auch schreiben B^T*E*A, das ergebnis bleibt gleich.

solche identitätsoperatoren gibt es auch im hilbertraum. nu is der hilberraum i.a. unendlichdimensional mit eben den randbedingungen das, daher wird das etwas größer und du kannst die eben zusammenbauen für verschiedene basen im hilbertraum. die kannst du ja frei wählen. |psi> an sich hat noch keine Basis. der gleiche Vektor A hat in verschiednen basen eines kartesischen korrdinatensystems nur verschiedne Komponenten, ist aber der gleiche Vektor.

nehmen wir an due hast |psi>. jetzt willst du die Projektion auf einen gegbenen basisvektor impuls k haben, aber es ist mmer noch nen Vektor
|k><k|psi>=psi(k)|k> psi(k) ist dann die Amplitude von |psi>, also komponente für den impuls k.

wenn du jetzt den kompletten Vektor |psi> in eiinr impulsbasis im hilbertraum darstellein wills, musst du alle Komponenten mitnehmen
musst du alle Projektionen mitnehmen |psi>=S |k><k|psi>, S |k><k| ist dabei eine identät (S meint integral), und die kannst du überall einfügen

also kannst du schreiben psi(x)=<x|psi>= <x| S<k><k|psi>=S <x|k><k|psi> <x|k> ist e^(ikx)
und wenn du den zeitentwicklunksoperator noch mitnimmst wie Tom, dann kommt da eeben das raus.

ich hoffe das icmich halbwegs richtig erinnere, ist schon mehr als nen viertel jahrhundert her bei mir. Tom kann jes ja berichtigen

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 30. Nov 2016, 13:26

Vielen Dank für die Erklärung, deltaxp!
Einiges davon war mir zwar klar, wie Umrechnung zwischen bra und ket, Dazwischenschieben von 1 etc., aber offenbar habe ich noch eine falsche Vorstellung vom mathematischen Inhalt des Hilbertraums.
deltaxp hat geschrieben:nun willst du aber ne wellenfunktion im ortsraum haben un nicht irgendsonen ding im hilbertraum. dann musst du ihn dorthin abbilden. über das skalarprodukt mit dem abstrakten ket Vektor also psi(x)=<x|psi>. das is dann ne komplexe Funktion i.a. |x> hat nur rellwertige Komponenten, |psi > aber nicht
Was steht denn in dem |x> oder auch |k> drin? Ist das immer gleich, oder ergibt sich das auch aus H? - Ich denke immer anschaulich nach der Schrödingergleichung, nicht so abstrakt wie es im Hilbertraum wohl sein muss.
deltaxp hat geschrieben:Da |psi> immer die länge 1 haben muss (gesamtwahrscheinlichkeit bleibt erhalten, irgendwo und irgendwann ist das Elektron immer -qm keine qft hier)
Ist das in der QFT anders?
deltaxp hat geschrieben:nehmen wir an due hast |psi>. jetzt willst du die Projektion auf einen gegbenen basisvektor impuls k haben, aber es ist mmer noch nen Vektor
|k><k|psi>=psi(k)|k> psi(k) ist dann die Amplitude von |psi>, also komponente für den impuls k.

wenn du jetzt den kompletten Vektor |psi> in eiinr impulsbasis im hilbertraum darstellein wills, musst du alle Komponenten mitnehmen
musst du alle Projektionen mitnehmen |psi>=S |k><k|psi>, S |k><k| ist dabei eine identät (S meint integral), und die kannst du überall einfügen

also kannst du schreiben psi(x)=<x|psi>= <x| S<k><k|psi>=S <x|k><k|psi> <x|k> ist e^(ikx)
und wenn du den zeitentwicklunksoperator noch mitnimmst wie Tom, dann kommt da eeben das raus.
Dem kann ich folgen, aber ich weiss echt nicht, was hinter den Kulissen passiert. Sicher, das Skalarprodukt, die Operationen sind mir klar, aber auf welche Formeln wird das angewandt? Wie kann ich mir die vorstellen? Was für Objekte sind diese abstrakten Zustände, damit das so funktionieren kann?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 30. Nov 2016, 14:28

positronium hat geschrieben:Wenn man ein einfaches -1/r-Potential hat, bekommt man als Lösungen im positiven Energiebereich näherungsweise Wellen der Form exp(ikx) - also, die Störung durch das Potential unberücksichtigt -, und im negativen Energiebereich gebundene Zustände. Ein Zustand kann dann insgesamt aus Integral und Summe zusammengesetzt sein ...
...
Mit meinem obigen Zitat meinte ich, dass mir nicht klar ist, wie auf Grundlage der Schrödingergleichung jemals beispielsweise die Wellenfunktion von |n=3> eine positive Amplitude bekommt.
Der Hamiltonoperator (und andere selbstadjungierte Operatoren) definieren eine sinnvolle Eigenbasis, in der ein allgemeier Zustand dargestellt werden kann.

Im Falle eines rotationssymmetrischen Problems wäre eine solche Basis die aus freien Kugelwellen * Kugelflächenfunktionen. Im Falle des Wasserstoffatoms müssen die gebunden Zustände explizit hinzugenommen werden.

Einen nicht-verschwindenden Übergang in solche neuen Zustände hinaun produziert der Hamiltonoperator H in exp(-iHt). D.h. dass du neue Basisvektoren (Wellenfunktionen) erhältst und dass insbs. exp(-k²/2m * t) nicht mehr zutreffend ist!
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 30. Nov 2016, 16:45

tomS hat geschrieben:Einen nicht-verschwindenden Übergang in solche neuen Zustände hinaun produziert der Hamiltonoperator H in exp(-iHt).
OK. Danke!
Ich kann mir das zwar nicht selbst erschliessen, aber glaube Dir natürlich.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 30. Nov 2016, 18:47

Das ist letztlich recht einfach.

Wenn der freie Hamiltonian H einen Eigenzustand |E> hat, dann gilt exp(-iHt) |E> = exp(-iEt) |E>.

Wenn der Hamiltonian zu H' = H + V geändert wird, dann ändern sich auch die Eigenzustände.

Wenn du nun zur Darstellung weiter die originalen Zustände |E> nutzt, dann gilt für die Zeitentwicklung

exp(-iH't) |E> = ...

und ... ist sicher nicht mehr einfach proportional zu |E>; das zusätzliche V in H' erzeugt Übergänge in andere Zustände.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 30. Nov 2016, 18:49

Was für ein Buch benutzt du denn?
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 30. Nov 2016, 19:30

tomS hat geschrieben:das zusätzliche V in H' erzeugt Übergänge in andere Zustände.
Jetzt bin ich mir nicht mehr sicher, ob ich Dich vielleicht nur falsch verstanden habe.
Ich schreibe das 'mal mit Wellenfunktionen, weil mir das abstrakte der Diracschen Formulierung irgendwie fremd ist.
Angenommen es gibt in einem Problem nur drei Basisvektoren/-funktionen, und ich habe einen Zustand
psi=A*psi1+B*psi2+0*psi3
Am Zustand sind also nur psi1 und psi2 beteiligt.
Wenn ich dafür die Zeitentwicklung betrachten will, schreibe ich:
exp(-i H t)psi
Und das schreibt man doch aus, als:
A exp(-i H psi1 t) + B exp(-i H psi2 t) + 0 exp(-i H psi3 t)
psi1, psi2 und psi3 werden offensichtlich durch die Exponentialfunktion geändert, aber ich weiss nicht, wie je aus der 0 etwas anderes werden kann.
tomS hat geschrieben:Was für ein Buch benutzt du denn?
"Quantenmechanik Band 1 und 2" von Claude Cohen-Tannoudji.
Meine Probleme liegen aber weniger in dem/den Büchern, die mich zwar erschlagen, doch vielmehr in der Mathematik. Mir fehlen da einfach die Grundlagen, und das macht alles sehr zäh. Ich habe nur einen Realschulabschluss; dort lernt man nichts. Das endet bei einfachsten linearen Gleichungssystemen, und ein bisschen Vektor- und Matrizenrechnung; keine Infinitesimalrechnung, keine Operatoren, keine Gruppentheorie, noch nicht einmal komplexe Zahlen. Eigentlich lernt man dort gar nichts, was man in der QM braucht, habe mir da nur manches der mathematischen Grundlagen selbst erarbeitet.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 30. Nov 2016, 23:23

positronium hat geschrieben:Angenommen es gibt in einem Problem nur drei Basisvektoren/-funktionen, und ich habe einen Zustand
psi=A*psi1+B*psi2+0*psi3
Am Zustand sind also nur psi1 und psi2 beteiligt.
Wenn ich dafür die Zeitentwicklung betrachten will, schreibe ich:
exp(-i H t)psi
OK bis hierher.
positronium hat geschrieben:Und das schreibt man doch aus, als:
A exp(-i H psi1 t) + B exp(-i H psi2 t) + 0 exp(-i H psi3 t)
Stell' dir phi sowie psi1, psi2, psi3 besser als 3-dim. Vektoren vor. Dann wird klar, dass die nicht in den Exponenten rutschen können.

Es heißt
A exp(-i H t) psi1 + B exp(-i H t) psi2 + 0 exp(-i H t) psi3
positronium hat geschrieben:psi1, psi2 und psi3 werden offensichtlich durch die Exponentialfunktion geändert ...
Doch, das werden sie.

exp(-iHt) wäre eine 3*3 Matrix. Und die dreht psi1 und psi2 eben evtl. auch in psi3-Richtung.
positronium hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:Was für ein Buch benutzt du denn?
"Quantenmechanik Band 1 und 2" von Claude Cohen-Tannoudji.
m.E. zu kompliziert.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von deltaxp » 30. Nov 2016, 23:33

seeker hat geschrieben: Ist das in der QFT anders?
in der qft gibt es keine teilchenzahl Erhaltung, Annihilation und Erzeugung sind möglich. (z.B. e+ + e- -> 2 Gamma). um das abzuilden braucht man ein noch dickeren raum. den Fock raum, der die summe aus 1 Teilchen hilberträume + 2 Teilchen hilberträume + ....
aber was dort gilt dann im Fock raum ist die unitarität der streumatrix. was gerne auch als informationserhaltung bezeichnet wird
Zuletzt geändert von deltaxp am 30. Nov 2016, 23:49, insgesamt 2-mal geändert.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von deltaxp » 30. Nov 2016, 23:44

positronium hat geschrieben: Ich schreibe das 'mal mit Wellenfunktionen, weil mir das abstrakte der Diracschen Formulierung irgendwie fremd ist.
nicht gut, damit schränkst du dich ein. ist besser abstrakt zu bleiben. stelle dir lieber nen Vektor in einem unendlich dimensionalen raum vor. wie nen Vektor im normalen 3d raum und stelle dir ort und impuls oder was auch immer als ne Wahl einer Basis vor und psi(x) oder psi(k) als Komponenten der Basis |x> oder |k> oder was auch immer. so wie du nen vector in verschiedenen gegeneinander verdrehten basen in Komponenten darstellen kannst. kostet etwas mühe, aber es lohnt sich. vieles wird dann einfacher.

ist im Prinzip wie ein gedicht.
dasselbe gedicht |psi> kannst du in deutsch (ort |x>) englisch (impuls |k>) oder was auch immer darstellen. der Inhalt |psi> bleibt immer gleich, egal welche Basis (sprache) du wählst. klar hinkt das, reime und so, aber du weisst, was ich mein.

p.s. wir hatten sehr gute dozenten, besser als alle Lehrbücher. aber was ich gut fand war Greiner band 5 (Symmetrien) und band 9 glaub ich, Thermodynamik.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von Struktron » 1. Dez 2016, 13:14

Hallo,
für Literatur empfiehlt sich, vor dem Kauf eines Buches, Alternativen mal online zu sichten:
Online Bibliothek Quantenmechanik
http://uratom.de und http://uratom.de/SM.pdf
Szenario der Entwicklung des Universums

positronium
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 1. Dez 2016, 13:20

tomS hat geschrieben:exp(-iHt) wäre eine 3*3 Matrix. Und die dreht psi1 und psi2 eben evtl. auch in psi3-Richtung.
Ich glaube, jetzt habe ich es verstanden. Irgendwo hatte ich nämlich einmal sinngemäss gelesen, die Phase eines Basiszustands müsse man sich als Erweiterung des Hilbertraums vorstellen, aber das muss doch falsch sein. Die Phase müsste einem Kreis entsprechen, der sich in einer "schräg" im Hilbertraum liegenden Ebene befindet, und mit der Zeit wandert z.B. U psi1 auf dem "psi1-Kreis". Dann ist es selbstverständlich, dass obiger Zustand auch einmal einen grösseren Anteil an psi3 bekommen kann. Nur die Faktoren A, B und 0 ändern sich nicht, aber man kann diese Amplituden transformieren, sodass man beispielsweise einen maximalen Wert für psi3 bekommt. Richtig so?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 1. Dez 2016, 13:38

deltaxp hat geschrieben:
seeker hat geschrieben: Ist das in der QFT anders?
in der qft gibt es keine teilchenzahl Erhaltung, ...
Ja, natürlich. :oops:
deltaxp hat geschrieben:stelle dir ort und impuls oder was auch immer als ne Wahl einer Basis vor und psi(x) oder psi(k) als Komponenten der Basis |x> oder |k> oder was auch immer.
Also, Du meinst damit, man ermittelt erst aus H die Eigenzustände, und konstruiert seinen Zustand als Amplitudenfunktion über diesen Eigenzuständen? In etwa so A(n)|n>? Aber dann besteht doch der Hilbertraum nur aus den |n>, aber kein |x> oder |k>. Wie kommt dann diese |x>- und/oder |k>-Basis hinein?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von deltaxp » 2. Dez 2016, 11:27

Na du fragst mich Sachen, das is alles schon Jahrzehnte her bei mir. aber letzlich ist es so, um überhaupt zahlen was auszurechnen, musst du ja schon irgendeine Darstellung für den hamilton-operator wählen, entweder im impuls oder ortsraum. wenn du da dann deine eigenwertbasis und eigenwert-funktionensystem bestimmt hast kannst rumtransformieren.

wenn du einen vector rotieren willst machst du das mit der einem rotations-operator. aber wie der konkret aussieht hängt eben auch von dessen Darstellung ab. nimmst du polarkoordinaten oder kartesische ? je nach Wahl sieht dein drehoperator und dein vector anders aus, aber letzlich egal was du nimmst als absis, es bleibt ein Drehung. um sie zu berechnen musst du wählen, möglichst eine in der du deinen Operator einfach darstellen kannst. mit onkel hamilton-operator ist das nicht anders. aber verifizier das lieber noch mal in deinen Lehrbüchern. ist wirklich lange her bei mir

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 2. Dez 2016, 11:38

Ja, gut. Vielen Dank!

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 2. Dez 2016, 11:57

positronium hat geschrieben:... man ermittelt erst aus H die Eigenzustände, und konstruiert seinen Zustand als Amplitudenfunktion über diesen Eigenzuständen? In etwa so A(n)|n>? Aber dann besteht doch der Hilbertraum nur aus den |n>, aber kein |x> oder |k>. Wie kommt dann diese |x>- und/oder |k>-Basis hinein?
Die Eigenzustände |n> von H definieren ein VONS. Weitere Zustände definiert man mittels Superpositionen über A(n) |n>. Aufgrund der Vollständigkeit (VONS) funktioniert dies für alle Zustände im Hilbertraum.

|x> und |k> sind etwas speziell, da sie nicht normierbar sind. Aber sie sind im Abschluss des Hilbertraumes enthalten, d.h. mittels eines Grenzprozesses darstellbar.
Gruß
Tom

Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 2. Dez 2016, 12:21

tomS hat geschrieben:Die Eigenzustände |n> von H definieren ein VONS. Weitere Zustände definiert man mittels Superpositionen über A(n) |n>. Aufgrund der Vollständigkeit (VONS) funktioniert dies für alle Zustände im Hilbertraum.
Ja. Werden die Eigenfunktionen aus dem Hamiltonoperator 1:1 in den Hilbertraum übernommen, oder müssen diese erst noch "abstrahiert" werden? - Wenn man H in der Form, wie er in der Schrödingergleichung steht, verwendet, wäre ja sonst die Projektion auf <x| eigentlich gar keine Rechnung - ich habe aber etwas mit einer Dirac-Delta-Funktion in Erinnerung.
tomS hat geschrieben:|x> und |k> sind etwas speziell, da sie nicht normierbar sind. Aber sie sind im Abschluss des Hilbertraumes enthalten, d.h. mittels eines Grenzprozesses darstellbar.
Das verstehe ich leider nicht. Meinst Du eine Art Funktion über alle Basisfunktionen?

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