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Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

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Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Pippen » 9. Jun 2016, 10:06

Ich verstehe mal wieder etwas Grundsätzliches nicht: Eine Linie hat keine Ausdehnung, ein Dreieck besteht aus drei Begrenzungslinien und unendlich vielen Linien im Inneren des Dreiecks, die zwischen den Begrenzungslinien verlaufen. Wie kann ein Dreieck einen Flächeninhalt haben, wenn dessen "Elemente" - die Linien - jeweils keine Ausdehnung haben? Wenn ich 0 noch so oft mit 0 addiere/multipliziere kommt trotzdem 0 raus?!?

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Stephen » 9. Jun 2016, 10:46

Also diese Frage verstehe ich überhaupt nicht.
Seit wann sind die "Elemente" eines Dreiecks Linien?
Da eine Linie - wie richtig bemerkt - keinen Flächeninhalt hat, kriegst du damit ein Dreieck niemals voll, weil jede neu hinzugefügte Linie nur punktgenau auf einer der drei bereits vorhandenen Seitenlinien landen würde. In dem Fall reichen auch unendlich viele Linien nicht aus. :wink:
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Pippen » 9. Jun 2016, 11:36

Da ist was dran^^. Aber wir sind uns ja sicherlich einig, dass in der Fläche eines 3ecks alle Punkte x,y sind, welche nicht außerhalb des 3ecks liegen, d.h. der Flächeninhalt eines 3ecks wird durch alle darin liegenden Punkte gebildet. Wie kann eine solche Fläche aus ausdehnungslosen Punkten einen Wert jenseits von Null haben? Ich kann mir das vorläufig nur so erklären, dass meine (unterstrichene) Vorstellung von einem Flächeninhalt nicht stimmt, evtl. definiert der Mathematiker den Flächeninhalt einfach mit g*h/2, ohne dass ihn Weiteres interessiert, insbesondere wie das mit den Punkten in der Fläche so ist.

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Stephen » 9. Jun 2016, 12:19

Pippen hat geschrieben:Wie kann eine solche Fläche aus ausdehnungslosen Punkten einen Wert jenseits von Null haben?
Genau da liegt wohl dein Denkfehler. Ob Linie oder Punkt - damit kann man einfach keine Fläche(n) füllen.
Denn wenn du davon ausgehst, einen Punkt neben den anderen zu setzen, unterstellst du ihm damit unterschwellig eine Ausdehnung (und sei sie noch so winzig).
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von seeker » 9. Jun 2016, 15:04

Wegen solchen Problemen definert man Flächen auch so nicht.
Außerdem besteht dein Problem nicht erst bei Flächen, sondern schon bei Strecken oder Geraden und eine Strecke beinhaltet genauso viele Punkte wie dein Dreieck, nämlich überabzählbar unendlich viele.

Außerdem kann man, wenn man es geschickt macht/je nach dem wie man es macht, eine Fläche oder ein Volumen, etc. vollständig mit einer Kurve ausfüllen (FASS-Kurven), z.B. so:
https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbert-Kurve

Gleichzeitig kann man aber eine unendlich lange Kurve auch so in eine Fläche reinlegen, dass sie die Fläche nicht ausfüllt...

Man findet noch das hier als Definition für Flächen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4c ... Definition


Gruß
seeker
Grüße
seeker


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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Pippen » 9. Jun 2016, 15:23

seeker hat geschrieben:
Man findet noch das hier als Definition für Flächen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4c ... Definition


Gruß
seeker
Kann das jemand in Alltagsdeutsch übersetzen?

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 9. Jun 2016, 15:48

Man darf ganz grundsätzlich nicht von der niedrigeren zur höheren Dimension übergehen. Man muss stattdessen die niedrigere Dimension aus Sicht der höheren betrachten.

Dann hat eine Fläche z.B. ein bestimmtest Flächenmaß A > 0, eine Linie oder ein Punkt das Flächenmaß A = 0.

Die mathematische Disziplin heißt Maßtheorie
Gruß
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 9. Jun 2016, 15:52

Die Maßtheorie nimmt starke Einschränkungen bzgl. der zulässigen und Operationen vor, da sie andernfalls nicht funktioniert.

Z.B. sind ein Intervall [0,1] und ein Quadrat [0,1] * [0,1] bzgl. der Maßtheorie unterschiedlich, insbs. ist A(Intervall [0,1]) = 0, jedoch Quadrat [0,1] * [0,1] = 1.

Dennoch existiert eine Bijektion, d.h. eine Abbildung, die jedem Punkt des Intervalls [0,1] genau einen Punkt des Quadrats [0,1] * [0,1] zuordnet. Diese Abbildung ist jedoch nicht maß-erhaltend.
Gruß
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Skeltek » 9. Jun 2016, 21:38

Verstehe ich jetzt nicht ganz. Punkt, Linie, Fläche oder Würfel haben doch alle denselben Inhalt?
Außerdem besteht eine Fläche nicht aus Punkten, sondern enthält diese nur.

Selbst wenn man eine Fläche hat, sind deren Größen nicht vergleichbar. Erst eine Arithmetik usw spannt hier eine vergleichendes Maß auf; man konstruiert einen Wert durch einen anderen...

Nehmen wir einfach die Oberfläche einer 13-dimensionalenKugel:

Egal wieviele 2-dimensionalen Flächen man aneinander reiht, man schafft den Durchbruch in die höhere Dimension nicht. man bekommt höchstens eine ebene Fläche zustande - keinerlei Krümmung erkennbar.
So ist es auch nicht möglich durch aneinanderreihen von Punkten eine Linie zu bilden.
Punkte, Linien oder Flächen können aus eigener Kraft einfach keine zusätzlichen Dimensionen aufspannen oder Strecken definieren.
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 9. Jun 2016, 21:53

Skeltek hat geschrieben:Verstehe ich jetzt nicht ganz. Punkt, Linie, Fläche oder Würfel haben doch alle denselben Inhalt?
Ich bezeichne mit L die Länge, mit F die Fläche und mit V das Volumen. Dann ist doch

L[Punkt] = 0
F[Punkt] = 0
V[Punkt] = 0

L[Einheitsstrecke] = 1
F[Einheitsstrecke] = 0
V[Einheitsstrecke] = 0

L[Einheitsfläche] nicht definiert
F[Einheitsfläche] = 1
V[Einheitsfläche] = 0

L[Einheitsvolumen] = nicht definiert
F[Einheitsvolumen] = nicht definiert
V[Einheitsvolumen] = 1
Gruß
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Pippen » 10. Jun 2016, 01:17

Halten wir fest: Flächeninhalt eines 3ecks meint: wir weisen dem 3eck mittels irgendeines Verfahrens irgendeine Zahl und dieser den Namen "Flächeninhalt" zu. Richtig?

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 10. Jun 2016, 08:14

Pippen hat geschrieben:Halten wir fest: Flächeninhalt eines 3ecks meint: wir weisen dem 3eck mittels irgendeines Verfahrens irgendeine Zahl und dieser den Namen "Flächeninhalt" zu. Richtig?
Richtig.

Und dieses Verfahren stammt aus der Maßtheorie
Gruß
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Pippen » 10. Jun 2016, 11:20

@toms: Der Unlösbarkeitsbeweis des Maßproblems von Vitali (wikipedia: Maßproblem) hat mich fasziniert, obwohl ich ihn nur halb verstehe.

Wäre nicht folgender Beweis intuitiver & einfacher:

Wir stellen die Frage, ob man einer beliebigen Teilmenge von IR ein Maß zuordnen kann (Maßproblem). Gegeben sei IR. Jetzt bilden wir (mittels AC?) alle Teilmengen T1, T2, ... von IR mit nur einem Element, wobei keine Teilmenge zwei gleiche Elemente enthalten soll. Wir ordnen nun jeder Teilmenge eine Maßzahl zu. Wegen der Überabzählbarkeit von IR können wir aber keine Maßzahl für alle Teilmengen zusammen bestimmen, d.h. für die Teilmenge IR von IR, denn welches Verfahren wir auch verwenden, immer werden wir mind. eine Maßzahl vergessen und damit nie die Maßzahl für alle Teilmengen erhalten können. Damit gibt es mind. einen Fall, wo für eine Menge aus IR kein Maß festgelegt werden kann (für IRx gilt das erst recht).

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 10. Jun 2016, 12:03

Pippen hat geschrieben:Wir stellen die Frage, ob man einer beliebigen Teilmenge von IR ein Maß zuordnen kann (Maßproblem). Gegeben sei IR. Jetzt bilden wir (mittels AC?) alle Teilmengen T1, T2, ... von IR mit nur einem Element, wobei keine Teilmenge zwei gleiche Elemente enthalten soll. Wir ordnen nun jeder Teilmenge eine Maßzahl zu.
Diese Maßzahl muss Null sein.

Nimm an, sie wäre größer Null. Dann wäre das Maß eines endlichen Intervalls als Vereinigung unendlich vieler einelementiger Mengen unendlich (folgt aus der Additivität des Maßes). Und das liefert offensichtlich sinnlose Ergebnisse.
Gruß
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Skeltek » 11. Jun 2016, 03:13

@tomS: Ich verstehe es eher so, dass die "Einheitsrepräsentanten" der verschiedenen Dimensionalitäten alle einen Inhalt der Größe 1 haben.
Von diesen "Einheitsentitäten" rechnet man dann runter z.B. halbe Strecke viertelt die Fläche, achtelt das Volumen usw

Selbst Integrale kommen nicht ohne den Ansatz aus, dass die Fläche nur in Kombination mit dem infinitesimal werdenden Differential zusammen überhaupt ein Volumen aufspannen können. Ein Integral reiht nicht Flächen aneinander - es addiert lediglich infinitesimale Volumina, welche bereits die Fähigkeit zur Volumenbildung mitbringen. Im Gegensatz dazu können das Flächen nunmal nicht.
Die Vorstellung es würden Flächen aneinander gereiht um ein Volumen zu bilden ist einfach falsch. Die Fähigkeit Volumen zu bilden muss durch das Produkt mit dem zwar infinitesimalen aber vorhandenen Differential gegeben sein.
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 11. Jun 2016, 09:39

Skeltek hat geschrieben:Ein Integral [über ein Volumen - TomS] reiht nicht Flächen aneinander - es addiert lediglich infinitesimale Volumina, welche bereits die Fähigkeit zur Volumenbildung mitbringen. Im Gegensatz dazu können das Flächen nunmal nicht.
Richtig.
Skeltek hat geschrieben:Die Vorstellung es würden Flächen aneinander gereiht um ein Volumen zu bilden ist einfach falsch. Die Fähigkeit Volumen zu bilden muss durch das Produkt mit dem zwar infinitesimalen aber vorhandenen Differential gegeben sein.
Richtig.

Habe ich je etwas anderes behauptet?
Gruß
Tom

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Pippen » 11. Jun 2016, 11:21

tomS hat geschrieben:
Pippen hat geschrieben:Wir stellen die Frage, ob man einer beliebigen Teilmenge von IR ein Maß zuordnen kann (Maßproblem). Gegeben sei IR. Jetzt bilden wir (mittels AC?) alle Teilmengen T1, T2, ... von IR mit nur einem Element, wobei keine Teilmenge zwei gleiche Elemente enthalten soll. Wir ordnen nun jeder Teilmenge eine Maßzahl zu.
Diese Maßzahl muss Null sein.

Nimm an, sie wäre größer Null. Dann wäre das Maß eines endlichen Intervalls als Vereinigung unendlich vieler einelementiger Mengen unendlich (folgt aus der Additivität des Maßes). Und das liefert offensichtlich sinnlose Ergebnisse.
Ich hatte gedacht, das sog. Sigma-Additionsaxiom der Maßtheorie gilt nur für abzählbare Mengen (steht so bei wikipedia). Da IR nicht abzählbar ist, gilt es mE nicht. Deshalb habe ich auch nicht "Addition", sondern "Verfahren" geschrieben. Wie auch immer man die Maßzahl aller Maßzahlen aller Einer-Teilmengen von IR bestimmen will, man wird es nicht schaffen.

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 11. Jun 2016, 11:57

Das ist schon richtig.

Aber mein Einwand würde bereits für abzählbare Mengen gelten.
Gruß
Tom

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Pippen » 11. Jun 2016, 15:54

Hm...aber die Frage war: Kann man einer beliebigen Teilmenge von IR ein Maß zuordnen? (Maßproblem) Und weil IR überabzählbar ist, gilt kein Additionspostulat und damit kannst du nicht dahingehend einwenden, die Maßzahl aller Teilmengen von IR müsse Null sein, weil sich sonst aufgrund irgendwelcher Additionen irgendwas Sinnloses ergibt. Es ergibt sich dann vielmehr, dass die Maßzahl aller Teilmengen von IR unbestimmt sein muss, denn wenn man sie nicht durch (eine bei IR unmögliche) Addition herausfinden will, wie dann? Deshalb wundere ich mich ja auch über den doch recht komplizierten Beweis von Vitali zu diesem Thema.

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 11. Jun 2016, 18:20

Pippen hat geschrieben:Und weil IR überabzählbar ist, gilt kein Additionspostulat und damit kannst du nicht dahingehend einwenden, die Maßzahl aller Teilmengen von IR müsse Null sein, weil sich sonst aufgrund irgendwelcher Additionen irgendwas Sinnloses ergibt.
Pippen hat geschrieben: Jetzt bilden wir ... [einelementige] Teilmengen T1, T2. Wir ordnen nun jeder Teilmenge eine Maßzahl zu. Wegen der Überabzählbarkeit von IR können wir aber keine Maßzahl für alle Teilmengen zusammen bestimmen ...
Deine Argumentation mittels Überabzählbarkeit ist sinnlos. Ich benutze es auch gar nicht.

Es ist egal, ob die Anzahl dieser Teilmengen abzählbar oder überabzählbar ist. Bereits wenn Sie abzählbar unendlich ist, kannst du einer einelementigen Teilmenge kein Maß > 0 zuordnen, da bereits die Vereinigung dieser abzählbar vielen Teilmengen ein unendliches Maß hätte.

Nimm von den o.g. Teilmengen nur die, die ins Intervall [0,1] fallen. Wenn es davon abzählbar viele gibt, dann wäre das Maß der Vereinigung unendlich, während das Maß von [0,1] nur Eins wäre.

Dein Ansatz mit einelementige Teilmengen funktioniert also grundsätzlich überhaupt nicht.
Gruß
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Skeltek » 12. Jun 2016, 07:24

tomS hat geschrieben: Habe ich je etwas anderes behauptet?
Wir sind uns in diesem Punkt schon einig.
Wo wir divergieren ist wohl, dass ich den Begriff Volumen am liebsten auch bei Strecken,Terrerakten und beliebig-dimensionalen Körpern verwenden würde.
Der einzige Grund, weshalb man 2-dimensionalen Objekten kein Volumen zuteilen kann ist, weil man es bei ihnen schlicht anders nennt und klassifiziert.
Der Begriff "Volumen" beschränkt sich in der Alltags-Sprache nunmal leider nur auf die 3-dimensionalen Körper; bei 2-dimensionalen benutzt man dann eher das Wort "Länge"

Mir ist übrigens nicht ganz klar ob die Frage hier lautet wieviele "Linien" in ein Quadrat passen, oder ob sie lautet wieviele "Längen" in eine Fläche passen. Letzteres macht keinen Sinn, ersteres hat mit Flächenmessung nichts zu tun.

Deshalb ist für mich eine Differenzierung zwischen der "Größe" einer Länge, Fläche und Volumen nicht wirklich wichtig, da es nur die Assoziation mit der Dimensionalität des betrachteten Körpers miteinbezieht, wo sie eigentlich gar nicht nötig wäre. Hier mengt man dann eine Alltags-sprachliche Assoziation in die rein meßtechnische Betrachtung hinein, wo sie eigentlich nicht notwendig wäre.


Was man nicht vergessen darf ist, dass z.B. ein Quadrat überabzählbar viele Punkte enthält, aber dessen Fläche nicht aus diesen besteht.
Die Punkte sind im Quadrat und spannen dieses nicht auf. Die reine Menge, macht ohne die Operatoren und über die abzählbar vielen Relationen die bei der axiomatischen Konstruktion eines beliebig erweiterbaren abzählbaren Körpers entstehen gar keinen messtechnischen Sinn.
Beim Messen vergleicht man ja letztlich nur Relationen, welche bei der axiomatischen (Re-)Konstruktion des Körpers entstanden sind.

Wenn man bei einer Halbgerade zum Beispiel jeden Punkt um die Hälfte Richtung Ursprung(der Null) verschiebt, bleiben es gleich viele Punkte; die Gesamtlänge ändert sich dadurch auch mysteriöserweise nicht... der Abstand zwischen zwei Elementen bzw Punkten ist wenn man allein die reine Menge betrachtet gar nicht festlegbar...
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 12. Jun 2016, 10:28

Ich würde den Begriff "Volumen" schon für drei-dim. Körper reservieren. Allgemein würde ich "Maß" vwenden.

Doch, das Quadrat [0,1] * [0,1] besteht tatsächlich aus den Punkten. Das ist aber - wie du selbst sagst - nicht ausreichend, um maßtheoretische Begriffe zu definieren.

Hier noch ein nettes Beispiel: wir betrachten die Strecke [0,1] als Teilmenge des o.g. Quadrates und ordnen ihr das Längenmaß L([0,1]) = 1 zu. Nun definieren wir ausgehen von der Dezimaldarstellung r = 0.r1r2r3... eine Bijektion mit dem Quadrat, in dem wir die Punkte bzw. Koordinaten (x,y) definieren als x = 0.r1r3r5... und y = r2r4r6...

Diese Bijektion sagt offensichtlich nichts über das Maß aus. Das Banach-Tarski-Paradoxon verschärft dies für Bewegungen von Mengen ohne deren "Deformation".

Wie oben angemerkt kann die Maßfunktion nicht für beliebige Mengen definiert werden (Maßproblem). Schränkt man die Sigma-Additivität und auf die endliche Additivität ein, so gelangt man zum - i.A. wiederum nich lösbaren - Inhaltsproblem. Der einzige Ausweg ist also - leider - "vernünftige" Maße zu konstruieren, die "vernünftigen" Forderungen genügen bzw. "vernünftige" Anwendungsfälle haben und je Maß und Menge zu untersuchen, ob letztere messbar ist oder nicht; und falls letzteres, sie als unzulässig auszuschließen.

Das ist übrigens nicht so ungewöhnlich. Man betrachte die Funktion

D(x) = 1 wenn x rational; = 0 wenn x irrational

Die Funktion ist auf keinem endlichen Intervall [a,b] Riemann-integrierbar; sie ist jedoch Lebesgue-integrierbar mit dem Maß

µ(D, [a,b]) = 0

Man muss D also bzgl. des Riemannschen Integrals ausschließen, darf D jedoch bzgl. des "verbesserten" Lebesgue-Integrals verwenden.
Gruß
Tom

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Pippen » 13. Jun 2016, 12:59

tomS hat geschrieben:Es ist egal, ob die Anzahl dieser Teilmengen abzählbar oder überabzählbar ist. Bereits wenn Sie abzählbar unendlich ist, kannst du einer einelementigen Teilmenge kein Maß > 0 zuordnen, da bereits die Vereinigung dieser abzählbar vielen Teilmengen ein unendliches Maß hätte.
Was kein Problem ist laut wikiepdia, dort unter: Maßproblem. Und selbst wenn: Dann wäre das Maß eben Null.
Nimm von den o.g. Teilmengen nur die, die ins Intervall [0,1] fallen. Wenn es davon abzählbar viele gibt, dann wäre das Maß der Vereinigung nendlich, während das Maß von [0,1] nur Eins wäre.
Ich sehe keinen Widerspruch darin, für das Intervall [0,1] das Maß 1 zu haben und für die in [0,1] liegenden (abzählbaren) Teilmengen ein anderes Maß, zB 0, denn beide Mengen sind nicht kongruent.

Allerdings sehe ich für meinen Beweis folgendes Problem: Das o.g. Intervall wird per Axiom mit dem Maß M = 1 postuliert. Nun sind alle (überabzählbaren) Einer-Teilmengen des Intervalls [0,1] gleich diesem Intervall, so dass auch dort die Maßzahl 1 wäre. Dann klappt der Beweis nur noch für R^1...hm.

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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von Skeltek » 15. Jun 2016, 01:56

tomS hat geschrieben: Doch, das Quadrat [0,1] * [0,1] besteht tatsächlich aus den Punkten. Das ist aber - wie du selbst sagst - nicht ausreichend, um maßtheoretische Begriffe zu definieren.
Es beinhaltet diese Punkte, besteht aber nicht aus diesen.
Die Punkte, Koordinaten und Linien sind eine Folge, nicht die Ursache der über der Menge der definierten Relationen der maßtheoretischen Festlegung.
Die Zuordnung des Quadrates zu einer Punktmenge ist injektiv, nicht bijektiv.
Du kannst nicht sagen:
Ich habe hier eine willkürliche abgeschlossene Menge bzw Fläche und eine Linie unbestimmter Form und behaupte es handelt sich um ein Quadrat.
->Allein bei der Behauptung, es handele sich um ein Quadrat machst du ja schon eine Maß-technische Festlegung und spannst da eine Arithmetik drüber.
Diese ist ja zunächst nicht vorhanden, die noch nicht zum Quadrat mit Flächeninhalt 1 deklarierte Fläche kann ja Inhalt haben soviel sie möchte - das "Maß" von der Linie und der Fläche unterscheidet sich ja zunächst gar nicht. Das kommt ja erst durch die Festlegung der Maß-Arithmetik zustande.
Dadurch bringst du selbst erst den Zusammenhang zwischen den Punkten der beiden ins Spiel.
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Re: Wieso hat ein 3eck einen Flächeninhalt?

Beitrag von tomS » 15. Jun 2016, 06:54

Skeltek hat geschrieben:Die Zuordnung des Quadrates zu einer Punktmenge ist injektiv, nicht bijektiv.
Doch, man kann diese Abbildung bijektiv vornehmen.

Es ist übrigens ein Kennzeichen überabzählbarer Mengen, dass zu echten Teilmengen eine bijektive Abbildung konstruiert werden kann.
Skeltek hat geschrieben:Du kannst nicht sagen:
Ich habe hier eine willkürliche abgeschlossene Menge bzw Fläche und eine Linie unbestimmter Form und behaupte es handelt sich um ein Quadrat.
Doch, denn die geometrische Form ist exakt bekannt, nämlich [0,1] und [0,1] * [0,1]
Skeltek hat geschrieben:Allein bei der Behauptung, es handele sich um ein Quadrat machst du ja schon eine Maß-technische Festlegung und spannst da eine Arithmetik drüber.
Nein, es handelt sich nicht um eine maßtheoretische sondern einzig um eine geometrische Aussage.

Es ist ganz einfach:
Gegeben sind zwei Mengen [0,1] und [0,1] * [0,1]
Zwischen beiden existiert eine Bijektion [0,1] ↔ [0,1] * [0,1]
Diese ist nicht maßerhaltend, d.h. μ([0,1]) = 0 ≠ 1 = μ([0,1] * [0,1])
Gruß
Tom

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