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Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Mathematische Fragestellungen
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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von tomS » 18. Jan 2016, 22:29

Bevor wir endlos diskutieren, was nicht geht und warum nicht - wobei wir uns alle einig sind - könnten wir mal ein praktisches und funktionierendes Beispiel wie die Poisson-Verteilung diskutieren ...
Gruß
Tom

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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von Alberich » 18. Jan 2016, 23:08

Auch die verallgemeinerte Binomialverteilung kann für große Stichproben und kleine Erfolgswahrscheinlichkeiten mittels der Poisson-Approximation angenähert werden.
https://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung
Warum nicht die Binomialverteilung?
Alberich
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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von tomS » 18. Jan 2016, 23:32

Gerne auch die Binomialverteilung.

Es geht mir nur darum, dass Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf unendlichen Mengen durchaus konsistent definiert werden können.
Gruß
Tom

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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von Skeltek » 19. Jan 2016, 15:16

Wir haben 4 Würfel, 3 Kugeln und 2 Pyramiden.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Pyramide zu wählen?
1/3 oder 2/9?
Die Anzahl der Objekte sagt ja nichts darüber aus, welches Verfahren zum Wählen verwendet wird.
Zufall ist, wenn aus dem zu Grunde liegenden Auswahlalgorithmus für uns nicht zum Wahrscheinlichkeitsfestlegungs-Zeitpunkt feststeht, welches Ergebnis ermittelt werden wird.
eine Wahrscheinlichkeitsaussage ist nur möglich, wenn es gelingt eine grobe unvollständige Aussage über die kategorische Wirkungsweise des Auswahlverfahrens zu treffen.
Wenn man eine Zahl "zufällig zieht" ist das kein passiver sondern ein aktiver Vorgang, dessen Ausgang wir vorher nicht determinieren können.
Das "Auswählen" einer Zahl ist zwangsläufig ein deterministischer Vorgang ohne zwangsläufig den ausgang vorher zu kennen.
Ein solcher deterministischer Vorgang hat immer eine endliche Laufzeit oder Komplexität.
Die Zahlen über N können daher einfach nicht gleichverteilt sein, da es keinen existierenden Algorithmus gibt der bei endlicher Länge eine Gleichverteilung herstellt.
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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von tomS » 19. Jan 2016, 16:39

Der Beitrag bringt uns nicht wirklich weiter.

Das Auswahlaxiom damit nichts zu tun.

In der Stochastik spricht man von "Ziehen", nicht von "Auswählen". Insbs. meint man nie ein deterministisches Auswählen, sondern zufälliges Auswählen.

Allein dass eine Grundmenge mit 9 Elementen vorliegt, wovon 2 Pyramiden sind, bedeutet nicht, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Pyramide zu ziehen, 2/9 ist. Man muss erst noch ein Wahrscheinlichkeitsmaß angeben.

Allein der Begriff "zufällig" besagt noch nichts über das Wahrscheinlichkeitsmaß; es müsste z.B. "gleichverteilt zufällig" angegeben sein; oder eben etwas anderes.
Gruß
Tom

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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von Pippen » 19. Jan 2016, 16:47

tomS hat geschrieben:Gerne auch die Binomialverteilung.

Es geht mir nur darum, dass Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf unendlichen Mengen durchaus konsistent definiert werden können.
Wie soll das denn funktionieren, wenn es unendlich viele Fälle gibt? Jede Normal-, Binomial- oder Whatever-Verteilung wäre doch hochgradig fehlergefährdet, weil sie praktisch nur einen winzigen Teil der Datenmenge modellieren könnte. MaW: Die Aufstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung bei unendlichen Mengen wäre in etwa so, wie wenn man von 80 Mio. Bundesbürgern 100 nach ihrer Parteiwahl fragt - kann man machen und formal dann eine W-Verteilung aufstellen, aber ist doch praktisch irgendwie für die Katz oder? Was letztlich passiert ist doch wohl, dass man die Frage manipuliert und nicht mehr P(455) aus IN beantwortet, sondern P(455) aus den uns technisch zugänglichen nat. Zahlen.

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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von tomS » 19. Jan 2016, 22:34

Pippen hat geschrieben:Wie soll das [= eine konsistente Definition von Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf unendlichen Mengen]
denn funktionieren, wenn es unendlich viele Fälle gibt?
Ganz einfach (am Beispiel der Poisson-Verteilung)

Gegeben ist die Grundmenge der natürlichen Zahlen N = {0,1,2,...} sowie ein Parameter a > 0.

Jeder Zahl n aus N wird eine Wahrscheinlichkeit p(n) = e-a an/n! zugeordnet.

Außerdem ist 0 < p(n) < 1 sowie ∑N p(n) = 1; damit erfüllt p(n) alle notwendigen Bedingungen für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.Ä

Die Poisson-Verteilung tritt in wichtigen Fällen auch praktisch auf, z.B. bei der Wahrscheinlichkeit p(n) für n radioaktive Zerfälle innerhalb eines festen Zeitintervalls (unter der Voraussetzung, dass die Halbwertszeit groß ggü. der Dauer der Messung ist)

Pippen hat geschrieben:Jede Verteilung wäre doch hochgradig fehlergefährdet, weil sie praktisch nur einen winzigen Teil der Datenmenge modellieren könnte.
Die Verteilung ist ein mathematisches Konstrukt und damit exakt bekannt.

Wie man praktisch überprüfen kann, ob die relativen Häufigkeiten einer realen Zufallsgröße der idealisierten Verteilung entsprechen, ist eine andere Frage (um die es hier aber nicht geht).
Gruß
Tom

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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von Alberich » 19. Jan 2016, 23:41

Wie ist das bei einer schlichten Gauss-Verteilung, wo die Integration von - bis +Unendlich läuft?

Nehmen wir einen Erwartungswert x, so ist die Gausskurve fixiert. Sigma soll beliebig sein. Da nur die ganzen Zahlen N interessieren, die aber von 1 bis unendlich laufen, berechnet man das Integral von F(x) von (- Unendlich) bis 0. Um diesen Betrag wird die Normierung, die ja 1 ist, reduziert. Das zweite Integral hat die Grenzen 1 bis +Unendlich und entspricht dann dieser Differenzgröße. Nun sind die n zwar abzählbar, aber es gibt unendlich viele. D.h., genau den Erwartungswert zu treffen, mag maximal sein, aber die Zahl möglicher Ergebnisse ist unendlich. Damit wird dann p(455)/Unendlich Null.

Das gilt aber für jede aktual unendliche Verteilung.

Ich bin nicht Mathematiker. Aber sollte Poincare' (wie oben zitiert) recht haben?

Nachtrag: Es soll in St.Petersburg zwischen Fermat(?) und Diderot eine Diskussion über die Existenz Gottes gegeben haben. Abschließend soll Fermat gesagt haben: e^(a*b) -1 = c. Also existiert Gott.
Darauf gab sich mathematisch unkundige Diderot geschlagen.

MfG
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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von tomS » 19. Jan 2016, 23:50

Was du zur Gauß-Verteilung schreibst ist mit nicht ganz klar. Sie ist diesem Kontext auch nicht gerade passend (Threadtitel: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen).

Bei derartigen Verteilungen ist es nicht möglich, einer Zahl x eine Wahrscheinlichkeit p(x) zuzuordnen; bzw. besser gesagt, diese wäre exakt Null. Es liegt nämlich eine Wahrscheinlichkeitsdichte u(x) vor, d.h. man muss von einer Wahrscheinlichkeit eines Intervalles p(x,x+dx) sprechen, die sich durch Integration ergibt.

Bevor wir die diskrete Grundmenge nicht verstanden haben, ist es m.E. nicht sinnvoll, diesen komplizierteren Fall anzugehen.
Gruß
Tom

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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von Skeltek » 20. Jan 2016, 01:13

tomS hat geschrieben: Das Auswahlaxiom damit nichts zu tun.
Wurde im Beitrag nicht erwähnt.
tomS hat geschrieben: In der Stochastik spricht man von "Ziehen", nicht von "Auswählen". Insbs. meint man nie ein deterministisches Auswählen, sondern zufälliges Auswählen.
Das sind Spitzfindigkeiten. In der Regel kennt man einfach das Argument der Funktion (z.B. die Flugbahn des Würfels) nicht genau genug, hat eine andere Startvariable (z.B. bei Pseudo-Zufallsalgorithmen) mit vorher nicht determiniertem Ergebniss oder der Algorithmus oder Verfahren welches die Zufallsvariable festlegt (black box magic) ist völlig unbekannt.
Irgendetwas verursacht immer das Zufallsergebniss, auch wenn uns Reactio mangels Kenntnis des Actio nicht bekannt ist.
Das driftet sonst noch ab hier in das Thema "Wirkung ohne Ursache".
tomS hat geschrieben: Allein dass eine Grundmenge mit 9 Elementen vorliegt, wovon 2 Pyramiden sind, bedeutet nicht, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Pyramide zu ziehen, 2/9 ist. Man muss erst noch ein Wahrscheinlichkeitsmaß angeben.
Was dachtest du was ich mit dem Beitrag sagen wollte? Eben genau das.

Das Problem mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über abzählbar unendlich viele Elemente ist die Mächtigkeit des Zufallsgenerators.
Es muss ein Verfahren sein, welches aus einem Satz aus Ausgangssituationen(Wurfstärke des Würfels reel oder wasauchimmer) eine Zuordnung aller Endsituationen(abzählbar unendlich viele Würfelergebnisse) sicher stellen kann.
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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von seeker » 20. Jan 2016, 03:02

Auch hier ist die Frage nicht, was unabhängig von uns Sache IST, sondern was sinnvoll und widerspruchsfrei von uns definierbar/sagbar ist.
Und eine Gleichverteilung auf N (als aktual-unendliche Menge) ist nicht widerspruchsfrei definierbar, manch andere Verteilung aber doch.
Alberich hat geschrieben:Damit wird dann p(455)/Unendlich Null.
Das stimmt doch nicht. Hast du meine Gegenargumentation nicht gelesen?
Ebenso könntest du behaupten, dass der Grenzwert der Summe jeder unendlichen Reihe, deren Einzelsummanden immer >0 sind, immer unendlich sein müsse, weil "unendlich mal xn, xn>0" eine unendlich große Summe geben müsse, dass also jede solche Reihe divergieren müsse.
Auch das ist nicht der Fall, z.B. konvergiert folgende Reihe gegen einen endlichen Wert:
S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ....

Gruß
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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von tomS » 20. Jan 2016, 07:07

Skeltek hat geschrieben:
tomS hat geschrieben:In der Stochastik spricht man von "Ziehen", nicht von "Auswählen". Insbs. meint man nie ein deterministisches Auswählen, sondern zufälliges Auswählen.
Das sind Spitzfindigkeiten.
Nein, sind es nicht.

Eine Auswahl suggeriert einen deterministischen Algorithmus, und genau um den geht es hier nicht.
Skeltek hat geschrieben:In der Regel kennt man einfach das Argument der Funktion (z.B. die Flugbahn des Würfels) nicht genau genug, hat eine andere Startvariable (z.B. bei Pseudo-Zufallsalgorithmen) mit vorher nicht determiniertem Ergebniss oder der Algorithmus oder Verfahren welches die Zufallsvariable festlegt (black box magic) ist völlig unbekannt.
Es geht nicht um einen (deterministischen) Prozess, den man modellieren möchte. Es geht rein mathematisch um den perfekten Zufall.
Skeltek hat geschrieben:Irgendetwas verursacht immer das Zufallsergebniss, auch wenn uns Reactio mangels Kenntnis des Actio nicht bekannt ist.
Wir reden über Mathematik; es geht nicht um einen physikalischen Prozess.
Skeltek hat geschrieben:Das Problem mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über abzählbar unendlich viele Elemente ist die Mächtigkeit des Zufallsgenerators.
Es muss ein Verfahren sein, welches aus einem Satz aus Ausgangssituationen(Wurfstärke des Würfels reel oder wasauchimmer) eine Zuordnung aller Endsituationen(abzählbar unendlich viele Würfelergebnisse) sicher stellen kann.
Es geht nicht um einen Zufallsgenerator, einen realen Würfel, ein Verfahren. Es geht um eine mathematische Axiomatisierung und ideale Modellierung von Zufall, und dazu benötigt man gerade kein Verfahren.
Gruß
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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von Alberich » 20. Jan 2016, 08:49

seeker hat geschrieben: Auch das ist nicht der Fall, z.B. konvergiert folgende Reihe gegen einen endlichen Wert:
S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ....
Und die harmonische Reihe?
Kann man die geometrische Reihe mit der Exponentialfunktion vergleichen?
Fragen über Fragen. Doch hier noch eine weiterer Beitrag von E.Kästner:

Kleine Rechenaufgabe

Allein ging jedem Alles schief.
Da packte sie die Wut.
Sie bildeten ein Kollektiv
und glaubten, nun sei´s gut.
Sie blinzelten mit viel Geduld
der Zukunft ins Gesicht.
Es blieb, wie´s war. Was war dran schuld?
Die Rechnung stimmte nicht.
Addiert die Null zehntausend Mal!
Rechnet´s nur gründlich aus!
Multipliziert´s mit jeder Zahl!
Steht Kopf! Es bleibt euch keine Wahl:
Zum Schluß kommt Null heraus.


Guten Morgen
MfG
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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von Skeltek » 20. Jan 2016, 15:34

@tomS: Du gehst von der mathematischen Betrachtung der Ergebisses der mathematischen Axiomatisierung aus.
Konzeptionell wird als Grundlage der mathematischen Betrachtung von einem Zufallsvorgang oder Zufallsexperiment ausgegangen.
Grundsätzlich würde ich dir empfehlen, beim Wort "Auswahl" nicht gleich das Auswahlaxiom hinein zu interpretieren.
Außerdem haben lateinische Begriffe nicht grundsätzlich etwas mit Physik oder Medizin zu tun.
Du benutzt das Wort "Ziehen" (bin mir jetzt nicht sicher ob du da Statistik, Stochastik und Wahrscheinlichkeitstheorie etwas durcheinander bringst), dann müsstest du wissen, das das Wort "Ziehen" sich aus der Vorstellung von "blind Auswählen" entwickelt hat.

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu ermitteln bedeutet für mich Ordnung, Relationen und Verteilung über den Wahrscheinlichkeitsraum zu analysieren.
Du torpedierst meine Begrüdung, dass eine Wahrscheinlicheitsverteilung über die Struktur des Ereignissraums (aus dem durch Ziehen blind eine Elementarereignissmenge ausgewählt wird) begründet ist und sagst stattdessen, dass man die Struktur des Ereignissraumes vorher festlegen muss - was sich jetzt zwar in keinerlei Weise widerspricht, aber die Diskussion von dem Inhalt auf eine unnötige Streitfrage über die Wortwahl umlenkt.

Es gibt im Überbegriff der Stochastik noch ein wenig mehr Inhalte als in der Wahrscheinlichkeitstheorie oder Statistik.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch die Struktur des Ereignisraumes bestimmt.
Deine gemutmaßte Notwendigkeit die Wahrscheinlichkeiten selbst festzusetzen ändert nichts daran, dass eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Ermitteln der Einzelwahrscheinlichkeiten feststehen muss.
Man kann selbstverständlich die Wahrscheinlichkeiten in einer Menge für ein hypotetische Wahrscheinlichkeitsverteilung manuel festlegen, da hast du völlig recht.

Letztlich ist folgende Vorstellung völlig legitim:
Man zieht ein zufälliges Element aus dem Intervall [0,1]. Dieses Argument wählt dann stellvertretend für seine Äquivalenzklasse als Argument einer Abbildung ein Zufallsereignis aus.
Trotzdem muss zunächst sicher gestellt sein, dass eine Abbildung von [0,1] in den Ereignisraum überhaupt existiert.
Das Element aus [0,1] wird gezogen, dieses Element wählt dann das zugehörige Zufallsereignis aus.

ps: Ich denke übrigens dass wir uns oft beide so fühlen als würden wir gegen Windmühlen kämpfen. Egal wie oft und intensiv man solch strittige Punkte durchdiskutiert kommt irgendwann ohnehin ein Punkt, wo man genau dasselbe nochmal mit einem anderen durchkauen muss. Also breche ich das am besten hier jetzt ab.
Zuletzt geändert von Skeltek am 20. Jan 2016, 20:10, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von seeker » 20. Jan 2016, 18:06

Alberich hat geschrieben:Und die harmonische Reihe?
Kann man die geometrische Reihe mit der Exponentialfunktion vergleichen?
Fragen über Fragen.
Man muss halt jedesmal extra nachschauen.
Hier haben wir ja von vorneherein gemerkt und festgehalten, dass wir eine Wahrscheinlichkeitsverteilung brauchen, deren Summe aus den Einzelwahrscheinlichkeiten genau 1 ergibt. Also suchen wir eine Reihe, deren Summe gegen 1 konvergiert (bzw. zunächst gegen irgendeinen endlichen Wert ungleich Null, den Rest kann man dann per Normierung auf 1 einfach anpassen).
Und wir brauchen eine Reihe, deren Einzelglieder ungleich Null sind.
Beides ist mit der Normalverteilungsfunktion (und vielen anderen Funktionen, wo man dann halt jedesmal extra nachschauen muss) gegeben (zumindest in Z, in N ist's wohl etwas komlizierter, weil N links bei der 1 einen Rand hat).

Umkehrschlusss:
Nicht nur die Gleichverteilung lässt sich nicht widerspruchsfrei auf N definieren, sondern alle Verteilungen, deren Summe aus den Einzelwahrscheinlichkeiten divergiert (wie z.B. die harmonische Reihe) oder gegen Null konvergiert und alle Verteilungen, die eine oder mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten = 0 enthalten (so man ganz N abdecken will, im Sinne von: "Ich will bei einer Ziehung prinzipiell jede Zahl aus N erwischen können!").

Sind wir uns einig?

P.S.: Schönes Gedicht! :)

Gruß
seeker
Grüße
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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von Skeltek » 20. Jan 2016, 20:05

Wie Seeker gesagt hat, ist eine Möglichkeit einer bijektiven oder injektiven (je nach Anschauung) Abbildung vom Intervall [0,1] auf den Wahrscheinlichkeitsraum unumgänglich (es ist eigentlich etwas komplizierter, aber belassen wir es dabei einfachheitshalber).
Später kann das Ziehen eines zufälligen Elementes aus dem Interval [0,1] stellvertretend für das Auswählen eines Zufallsereignisses aus dem Wahrscheinlichkeitsraum durch dieses Element stehen.
Einfach gesprochen: Man zieht ein zufälliges Element aus [0,1], welches dann als Argument der Abbildung ein mögliches Ereigniss auswählt.

Manchmal ist es auch notwendig, die Elemente aus dem Intervall [0,1] in Äquivalenzklassen(oft reichen schon einfache Intervalle) zu unterteilen und nachdem Ziehen die Äquivalenzklasse in die Abbildung einzusetzen. Die Länge des Intervalls symbolisiert hierbei dann die Wahrscheinlichkeit des Eintretens der mit der Äquivalenzklasse assoziierten Elementarereignissmegen.
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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von tomS » 20. Jan 2016, 22:32

@Skeltek: Sorry, ich wollte deine Überlegungen keinesfalls irgendwie herabwürdigen; an einigen Stellen sind wir eben unterschiedlicher Meinung oder gaben eine unterschiedliche Herangehensweise.

Zu den einzelnen Punkten (wenn ich im folgenden etwas nicht anspreche, dann stimme ich im wesentlichen zu :-)

Bei "Auswahlaxiom" hatte ich zu flüchtig gelesen und dieses noch aus einem früheren Beitrag im Kopf; sorry!

Ja, ich gehe "von der mathematischen Betrachtung der Ergebisses der mathematischen Axiomatisierung aus", weil wir hier über unendliche Grundmengen und idealisierte Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskutieren, die sich nicht praktisch mittels Zufallsgeneratoren o.a. Experimenten realisieren lassen; im Gegensatz zu den Häufigkeitsverteilungen, die jedoch allesamt nicht die o.g. Probleme zeigen.

Ich denke, nicht, dass ich deine "Begründung torpediere, dass eine Wahrscheinlicheitsverteilung über die Struktur des Ereignissraums begründet ist" indem ich "stattdessen sage, dass man die Struktur des Ereignissraumes vorher festlegen muss", sondern lediglich, dass im Falle unendlicher Grundmengen die Axiomatisierung Vorrang hat, weil eine reale Häufigkeitsverteilung nie die idealisierte Wahrscheinlicheitsverteilung ersetzen kann.

Deine Vorstellung "Man zieht ein zufälliges Element aus dem Intervall [0,1] ... " kann man so ansetzen. Mir geht es jedoch um folgendes: "ein zufälliges Element" besagt noch nichts über die Wahrscheinlicheitsverteilung; es suggeriert - nicht dir und nicht mit - dass eine Gleichverteilung vorliegt; dies ist i.A. jedoch nicht der Fall und bei unendlichen Grundmengen auch nicht zulässig; dennoch kann ich von nicht-gleichverteilten Zufallszahlen gem. einer Wahrscheinlicheitsverteilung p(n) sprechen, ohne p(n) durch ein Verfahren angeben zu müssen; es reicht, erlaubte p(n) axiomatisch einzugrenzen.

Da insbs. Pippen mit der unendlichen Grundmenge ein Problem hat, muss ich axiomatisch vorgehen, denn Pippens Problem verschwindet bei einer praktischen Herangehensweise, ohne dass die Lösung zum eigtl. Problem verstanden worden wäre.
Gruß
Tom

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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von Alberich » 20. Jan 2016, 23:57

Skeltek hat geschrieben:Sind wir uns einig?
Wahrscheinlich werden wir!

Ich zitiere kurzgefasst (Dallmann/Elster 1983): Bei diskreten Modellen mit nur endlich vielen möglichen Ausgängen sinnvoll, bei überabzählbare vielen Ausgängen Schwierigkeiten (Paradoxon von Bertrand).
Deswegen Übergang zu axiomatischenWahrscheinlichkeitsrechnung.

De Morgan und Boole kenne ich noch aus der Schaltalgebra. Sigma-Algebra und Borel ist ziemlich neu.
Das war eine Spezialvorlesung von Behnke/Ulm 1956, als ich als Physiker mit der Gauß-Kurve zufrieden war.
Ob ich die Zeit noch investiere? Wir werden sehen.
Vielen Dank für deine Mühen
MfG
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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von Skeltek » 21. Jan 2016, 00:20

Denke da hat sich die Mühe von dem Hin und Her dann doch gelohnt.
Solange du zugibst dass ich dir prinzipiel recht gebe verstehen wir uns :stan:

Didaktisch verfolgen wir zweierlei Argumentationen:
- Du versuchst den Widerspruch über die Wahrscheinlichkeitssumme=1 zu zeigen, und dass aus deren Verletzung eine Unmöglichkeit der Gleichverteilung entsteht; es muss vorher eine Wahrscheinlichkeitsverteilung festgelegt worden sein bei welcher die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten weder 0 ergibt noch gegen unendlich strebt.
- Meine zu dem Zeitpunkt noch nicht vollendete Ausführung wollte darauf hinaus, dass eine Abbildung von [0,1] auf die Ereignissmenge bei Gleichverteilung nicht möglich ist, da eine solche Abbildung nicht möglich ist.
(Bei Gleichverteilung wäre die Summe der Einzelintervalle =0 oder =unendlich, so gesehen laufen beide Argumentationen auf denselben Sachverhalt hinaus)
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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von seeker » 21. Jan 2016, 12:17

Um die Sache auch einmal geometrisch zu betrachten:

Ich zeichne einen Kreis mit Umfang 1.
Ich zeichne einen Punkt auf dem Umfang ein und nenne ihn "1".
Ich zeichne einen weiteren Punkt auf dem Umfang ein, genau gegenüberliegend zum ersten Punkt, so dass die beiden Punkte den Umfang genau halbieren und nenne diesen Punkt "2".
Ich zeichne zwei weitere Punkte ein, genau so, dass sie die beiden Umfangshälften wiederum genau halbieren und nenne diese Punkte "3" und "4".
Ich zeichne vier weitere Punkte ein, so dass sie die nun bestehenden vier Umfangsviertel genau halbieren und nenne diese Punkte "5, 6, 7 und 8".
Ich zeichne acht weitere Punkte ein, ...
usw.

Die Summe der eingezeichneten Punkte sieht so aus:
S = 1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...

Der Abstand zwischen den Punkten auf dem Kreisumfang ist:

A = Umfang/Anzahl der Punkte

also

A = 1/S

S läuft gegen unendlich, A läuft gegen Null:

lim (n->oo) S = oo
lim (n->oo) A = 0


Der Umfang beträgt dabei stets:

U = A * S = 1
lim (n->oo) A * S = lim (n->oo) 1/S * S = 1

Nun zeichne ich auf diese Weise Gesamt-N ein, also aktual-unendlich viele Punkte
Dabei wird A gleich Null, die Punkte liegen also dicht beieinander - und zwar gleich-dicht, denn die Situation ist stets völlig symmetrisch: Alle Abstände A zwischen zwei beliebigen nebeneinander liegenden Punkten sind stets gleich, für beliebig viele Schritte (Summanden) in der Reihe S.

Als nächstes zeichne ich vom Mittelpunkt des Kreises ausgehend eine Gerade, die den Kreisumfang schneidet - in einem zufälligen Winkel.

1. Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass meine Gerade den Punkt "3" schneidet?
2. Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Gerade irgendeinen Punkt des Kreisumfangs trifft?
3. Frage: Ist es möglich die "3" absichtlich zu treffen? Kann ich also eine Gerade vom Kreismittelpunkt zum Punkt "3" zeichnen?

Problem:

1. Hier liegt durch die Art der Konstruktion sicher eine Gleichverteilung vor.
2. Man kann sicher Geraden vom Mittelpunkt eines Kreises durch den Kreisumfang zeichnen, die dort sicher irgendeinen Punkt treffen.
3. Man kann auch sicher eine Gerade vom Mittelpunkt (z.B.) zum Punkt "3" zeichnen; wenn ich diese Gerade in die andere Richtung verlängere, treffe ich dort sicher den gegenüberliegenden "Nachbar-Punkt" "4"; ich treffe so immer einen (zähltechnischen) "Nachbar-Punkt".
4. Es spricht intuitiv nichts dagegen, dass man den Winkel der Geraden zufällig wählen kann (als idealisierte Annahme).


Folgerung:

Entweder kann man aktuale Unendlichkeiten nicht widerspruchsfrei annehmen oder man kann nicht widerspruchsfrei zufällig einen Winkel wählen oder man kann nicht widerspruchsfrei eine Gleichverteilung bei diesem Problem annehmen.


Ich tendiere an diesem Punkt dazu zu sagen:

Weil die Annahme einer Nicht-Gleichverteilung bei diesem Problem gegen jede Intuition/Logik spricht, muss eine der beiden anderen Annahmen fallen gelassen werden. Weil auch gegen das zufällige Wählen eines Winkels intuitiv nichts spricht, muss die Vorstellung der Existenz von aktualen Unendlichkeiten aufgegeben werden.

Alternative:
Man nimmt alle drei Punkte an, akzeptiert dann aber, dass (salopp) im aktual Unendlichen hier bei diesem Problem gilt: "oo x 0 = 1" und dass die Wahrscheinlichkeit "0" einen bestimmten Punkt (z.B. die "3") zu treffen nicht bedeutet, dass dieser Punkt nicht zufällig getroffen werden kann, sondern nur, dass er mit der Wahrscheinlichkeit Null getroffen wird, d.h. man sieht in "1. Summe der WSK = 1" und "2. Jede Einzel-WSK = 0" keinen Widerspruch, wenn die Summe aus aktual-unendlich vielen Summanden "0" besteht.

Gruß
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Grüße
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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von tomS » 24. Jan 2016, 16:47

Alberich hat geschrieben:... bei überabzählbare vielen Ausgängen Schwierigkeiten (Paradoxon von Bertrand)
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Bertran ... tstheorie)
Alberich hat geschrieben:Deswegen Übergang zu axiomatischenWahrscheinlichkeitsrechnung.
Das ist generell sinnvoll.
Das Bertrand-Paradoxon, benannt nach Joseph Bertrand (1822–1900),[1] in der Stochastik besagt, dass Wahrscheinlichkeiten nicht wohldefiniert sein müssen, wenn der zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum bzw. die Methode, die die Zufallsvariable von Interesse produziert, nicht eindeutig definiert ist.
Offensichtlich führt die Forderung nach einem wohldefinierter Wahrscheinlichkeitsraum nicht immer zu intuitiven Resultaten; und teilweise führt sie dazu, bestimmte Problemstellungen als unzulässig ablehnen zu müssen (Gleichverteilung auf Grundmengen mit nicht-endlichen Maß). Wenn die Mathematik nicht konsistent vorgehen kann, dann weigert sie sie sich, das Problem überhaupt zuzulassen.
Gruß
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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von Job » 24. Jan 2016, 19:40

seeker hat geschrieben: Alternative:
Man nimmt alle drei Punkte an, akzeptiert dann aber, dass (salopp) im aktual Unendlichen hier bei diesem Problem gilt: "oo x 0 = 1"
das stimmt so nicht, da hier keine "Summe" gebildet wird. Es kommt so etwas wie ein verallgemeinertes Integral (= Maß) als "Summenersatz" zum Einsatz.
seeker hat geschrieben: und dass die Wahrscheinlichkeit "0" einen bestimmten Punkt (z.B. die "3") zu treffen nicht bedeutet, dass dieser Punkt nicht zufällig getroffen werden kann, sondern nur, dass er mit der Wahrscheinlichkeit Null getroffen wird
genau. Das kann zum Beispiel auch dazu führen, dass die Wahrscheinlichkeit, eine rationale Zahl als Ergebnis zu erhalten, null sein kann.
seeker hat geschrieben: , d.h. man sieht in "1. Summe der WSK = 1" und "2. Jede Einzel-WSK = 0" keinen Widerspruch, wenn die Summe aus aktual-unendlich vielen Summanden "0" besteht.
Die Wortwahl ist leider nicht eindeutig. Wie gesagt, es gibt keine wirkliche "Summe". Dies wäre nur bei einem abzählbaren Ergebnisraum definiert und da schliessen die Axiome diesen Fall aus.

Viele Grüße
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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von Skeltek » 24. Jan 2016, 20:24

tomS hat geschrieben:
Alberich hat geschrieben:Deswegen Übergang zu axiomatischenWahrscheinlichkeitsrechnung.
Das ist generell sinnvoll.
Das ist aber auch nicht immer sinnvoll. Leider vergessen die Menschen oft, was ihren Axiomen generell für eine Intuition vorliegt.
Wenn oft schon nach der 5ten Klasse vergessen wird was eine Dezimalzahl eigetlich ist, dann scheint es leicht zu sein, Wahrscheinlichkeitsrechnung auf das "Treffen" einer ganz bestimmten Zahl im reelen Zahlenraum zuzulassen.

Letzten Endes zielt man aus der Hüfte heraus mit Kimme und Korn auf ein Ziel und wenn man mit dem Auge nachkontrolliert ist das Ziel genau anvisiert (Terence Hill lässt grüßen).
Wie messen wir überhaupt die Länge einer Strecke mit dem Lineal? Wir gucken, wieviele dm hinein passen, danach gucken wir, wieviele dm hinein passen, danach gucken wir wieviele mm hinein passen, danach schauen wir uns noch die "ganzen" Mikrometer an...

Mathematik funktioniert nunmal nicht zwangsläufig wie die Realität, oder vielleicht haben wir ein Problem, weil sie eben gerade doch so funktioniert:
Wenn man eine zufällige Zahl zwischen 0 und 1 wählen, ist es praktisch unmöglich nachzukontrollieren, welche Zahl man da eigentlich gerade zufällig ausgewählt hat.
Eine Strecke ist mehr als die Summe ihrer Punkte: Man kann in der Regel bei einem Interval unendlich vieler Punkte einem Teilintervall eine Wahrscheinlichkeit zuordnen, nicht den einzelnen Punkten.
Natürlich kann man versuchen aus einer dichten Menge eine zufällige Zahl blind herauszupicken; selbst wenn jede einzelne Zahl die Wahrscheinlichkeit 0 hat, zeigt man mit dem Finger ohnehin nur auf ein Intervall.

Wie bei der "Verdopplung der Kugel" gezeigt wurde, sind Strecken-, Flächen- und Volumen- Messung völlig unabhängig von den darin enthaltenen Teilmengen.
Wir haben die reelen Zahlen als "dicht" definiert, da sollte man sich also nicht wundern, wenn sie sich auch so verhalten:
Entweder es ist unmöglich eine genaue Zahl blind aus der Menge zu ziehen (man kann nur Intervalle bestimmen, in denen der Wert liegt) oder die Einzelwahrscheinlichkeiten sind nicht Null.

Selbst bei einer Gleichverteilung der Wahrscheinlichkeit im Intervall [0,1] hat jede einzelne konkrete Zahl die Wahrscheilichkeit 0.
Die Wahrscheinlichkeit nicht näher bestimmte Zahl aus einem ganz bestimmten Intervall zu wählen ist Intervallänge/1.
Die Wahrscheinlichkeit eine ganz bestimmte Zahl aus dem Intervall [0,1] zu wählen ist somit immer 0/1=0.

Ich habe mir gespart, das völlig axiomatisch aufzuziehen; letzten Endes kam es mir nur darauf an, dass Längenmessung und die Anzahl der Punkte in dem Intervall nicht zwangsläufig etwas miteinander zu tun haben.
Man kann also selbst bei Intervallen endlicher Länge mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit einzelnen Zahlen keine Wahrscheinlichkeit zuordnen, da man da ja keine Wegstrecke hat entlang derer man das Wahrscheinlichkeitsdifferential integriert - einzelne Punkte haben keine Metrik*
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von tomS » 24. Jan 2016, 21:26

Das ist doch kein Widerspruch:
tomS hat geschrieben:Offensichtlich führt die Forderung nach einem wohldefinierter Wahrscheinlichkeitsraum nicht immer zu intuitiven Resultaten; und teilweise führt sie dazu, bestimmte Problemstellungen als unzulässig ablehnen zu müssen.
Gruß
Tom

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Re: Wahrscheinlichkeiten bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen

Beitrag von seeker » 25. Jan 2016, 00:37

Hi Job, schön von dir zu hören!
Job hat geschrieben:Es kommt so etwas wie ein verallgemeinertes Integral (= Maß) als "Summenersatz" zum Einsatz.
Job hat geschrieben:Wie gesagt, es gibt keine wirkliche "Summe". Dies wäre nur bei einem abzählbaren Ergebnisraum definiert und da schliessen die Axiome diesen Fall aus.
Ja, mag sein, akzeptiert. "Es ist nicht definiert" ist ja auch sprachlich etwas ungenau formuliert. Heißt das nicht genauer:
"Es ist uns bei der Konstruktion unserer Mathematik nicht möglich dies widerspruchsfrei-eindeutig-allgemein zu definieren"?

Aber ich möchte noch weiter meine Problematik "aktuale Unendlichkeit" einkreisen:
Skeltek hat geschrieben:Eine Strecke ist mehr als die Summe ihrer Punkte:
Genau das meine ich auch!

Warum?
Nehmen wir doch noch einmal mein obiges Beispiel mit den Punkten auf dem Kreisumfang.
Ich zeiche wie in der Vorschrift angegeben diesmal zunächst nur n Punkte ein und stelle meine Fragen:
Als nächstes zeichne ich vom Mittelpunkt des Kreises ausgehend eine Gerade, die den Kreisumfang schneidet - in einem zufälligen Winkel.

1. Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass meine Gerade den Punkt "3" schneidet?
2. Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Gerade irgendeinen Punkt des Kreisumfangs trifft?
3. Frage: Ist es möglich die "3" absichtlich zu treffen? Kann ich also eine Gerade vom Kreismittelpunkt zum Punkt "3" zeichnen?
Antworten:
1. Diese Wahrscheinlichkeit ist exakt Null, denn einzelne Punkte sind ausdehnungslos, ich werde immer einen Zwischenraum, eine Strecke zwischen zwei Punkten treffen.
2. Den Kreisumfang zu treffen ist sicher, ansonsten siehe 1.: Wahrscheinlichkeit irgendeinen eingezeichneten Punkt zu treffen ebenso Null
3. Ja, das ist im Prinzip möglich. Ich muss dabei aber sozusagen unendlich genau arbeiten.

Ich kann n jetzt beliebig groß werden lassen, also gegen Unendlich laufen lassen (also potentielle Unendlichkeit).
An meinen Antworten ändert sich dadurch nichts: Ich treffe mit 100% Wahrscheinlichkeit immer eine Strecke zwischen zwei Punkten.

Wenn ich mir jetzt vorstelle, dass n aktual unendlich groß sei, dass ich also ganz N auf meinen Kreis übertragen wäre, dann stoße ich auf einen Widerspruch, denn:

a) Die Punkte liegen nun dicht, da ihr Abstand nun Null sein muss (beweisbar über Limesbetrachtung).
Daher ist die Wahrscheinlichkeit irgendeinen Punkt auf dem Kreisumfang mit der Zufallsgeraden zu treffen 100%, die Wahrscheinlichkeit nun irgendeine Strecke zu treffen ist daher 0%!

b) Das kann aber nicht sein, denn ich habe ja mit N nur abzählbar-unendlich-viele Punkte eingezeichnet, d.h. zwischen jedem einzelnen Punktpaar müssen immer noch unendlich viele Punkte liegen bzw. eine entsprechende Strecke.
Daher ergibt sich: Die Wahrscheinlichkeit nun immer noch irgendeine Strecke zu treffen ist daher immer noch 100%, die irgendeinen der eigezeichneten Punkte zu treffen immer noch 0%!

c) Das kann aber auch nicht sein, denn sowohl Punkte als auch Zwischenstrecken haben nun dieselbe Ausdehnung, nämlich Null und sind gleich häufig vertreten. (Die Zwischenstrecken können ja nicht kürzer werden als die eh schon von vorne herein ausdehnungslosen Punkte.)
Daher ergibt sich: Die Wahrscheinlichkeit irgendeine Strecke zu treffen ist daher nun 50%, die irgendeinen der eigezeichneten Punkte zu treffen ist nun ebenso 50%!

Es ergibt sich hier ein Problem/Unterschied/Widerspruch zwischen "Existent mit Nullausdehnung" und "Nichts" bzw. "Nicht-vorhanden", sowie zwischen dem Ganzen und seinen Teilen.


Ergo:
Aktuale Unendlichkeiten sind ein schwieriges Konzept, insbesondere in Kombination mit "existenten Nullausdehnungs-Punkten" und "Kontinua", man kann es wohl nur dann aufrecht erhalten, wenn man solche Betrachtungen dann sozusagen nicht tätigt, indem man den sich ergebenden Uneindeutigkeiten (zwangsläufig und dann richtigerweise) den Stempel "undefinert" verpasst.
Kosequenter wäre es vielleicht ganz auf dieses Konzept zu verzichten.

Und ich glaube auch, dass eine geometrische Strecke offenbar nicht dasselbe wie eine Aneinanderreihung von unendlich vielen Punkten sein kann (auch nicht wenn ich die Punkte aus R generiere, also überabzählbar-unendlich viele Punkte habe), denn eine (endlich lange) Strecke trägt eine Zusatzinformation, nämlich ihre Länge. Diese Information trägt eine Aneinanderreihung von unendlich vielen Punkten nicht.

Gruß
seeker
Grüße
seeker


Kritisches Denken bedeutet nicht, sich einseitig nur aus kritischen Quellen zu versorgen und die dortigen Darstellungen unkritisch zu übernehmen. Viele überschätzen ihre eigene Medienkompetenz massiv. Dies wird von Verführern ausgenutzt.

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