paradoxes Paradoxon

[tomS]

Nichts gegen die Riemannschen Normalkoordinaten, sondern etwas gegen die Identifizierung des Tangentialraumes mit einer Karte. Der Tangentialraum in einem Punkt ist per definitionen flach; die infinitesimale Umgebung eines Punktes definiert jedoch bereits unendlich viele Tangentialräume, nämlich in jedem Punkt; Effekte der Krümmung sieht man dabei nicht innerhalb eines Tangentialraums, sondern beim Wechsel zwischen infinitesimal benachbarten Tangentialräumen mittels des Zusammenhangs auf der Mannigfaltigkeit.

Siehe dazu den Begriff des Tangentialbündels: http://de.wikipedia.org/wiki/Tangentialb%C3%BCndel

Den Begriff des Zusammenhangs findet man hier: http://en.wikipedia.org/wiki/Connection_form

As an example, suppose that M carries a Riemannian metric, and consider the Levi-Civita connection on the tangent bundle of M

In differential geometry, the curvature form describes curvature of a connection on a principal bundle. It can be considered as an alternative to or generalization of the curvature tensor in Riemannian geometry

F = DA

wobei D für die externe kovariante Ableitung (als 1-Form mittels Dach-Produkt) steht. D.h. die Krümmungs-2-Form F wird mittels der Zusammenhangs-1-Form A definiert, die wiederum den Zusammenhang "benachbarter" Tangentialräume beschreibt.

Es ist also wichtig, sich klarzumachen, das in jedem Punkt P von M ein Tangentialraum T[down]P[/down]M sitzt, und dass diese erstmal verschieden sind. Nun kann man in der SRT alle Tangentialräume miteinander identifizieren, weil man A = 0 global wählen kann (geeignete Koordinaten vorausgesetzt). Damit sieht es so aus als wäre M und TM für alle P identisch, weil TM per def. ein Minkowski-Raum ist und weil M selbst ebenfalls ein Minkowski-Raum ist.

Das funktioniert aber in der ART nicht mehr.

Und es funktioniert evtl. sogar in unserem Fall nicht, weil die Topologie von M nicht mitspielt. Wäre es nämlich so, so wären Lorentztransformationen auch Diffeomorphismen; sind sie aber nicht, wie man an einem einfachen Beispiel sieht: t = const. beschreibt einen Kreis; t' ~ t - vt = const. beschreibt jedoch eine offene Spirale

[breaker]

Ich hab das Gefühl, wir sollten aufhören und zum Thema zurückkehren, bevor uns keiner mehr folgt

[seeker]

Zu deimem Beitrag vom, 24. Dez 2014, 12:17, breaker:
Ja, ist klar. Das hast du es sehr anschaulich und verständlich dargestellt. Danke!
Ja, das mit der Kugelsphäre ist auf den ersten Blick erstaunlich, aber wenn man genauer drüber nachdenkt, ist es sonnenklar.

Ich habe noch ein Gedankenexperiment ersonnen um den Unterschied zwischen lokal und global hier zu beleuchten:

Wir nehmen wieder das schon besprochene, flache, räumlich geschlossene Universum.
Im ansonsten leeren Universum sitzt unser unbeschleunigter Beobachter, der seinen Bewegungszustand erkennen möchte.


Er macht verschiedene Experimente:

1. Er stellt zwei Spiegel exakt je 100m von sich entfernt auf (einen vorne, einen hinten), sendet auf beide Spiegel Lichtpulse aus und misst die Lichtlaufzeiten, bis die Impulse wieder an seinem Lichtquelle/Detektor-Gerät ankommen.
Er stellt fest, dass beide Laufzeiten exakt gleich groß sind.

2. Er entfernt die Spiegel, schickt wieder zwei Lichtpulse los und wartet diesmal bis die Impulse das Universum umrundet haben und von der anderen Seite kommend detektiert werden.
Diesmal stellt er einen Unterschied zwischen den Laufzeiten fest.

Daraus kann er verschiedene Schlussfolgerungen treffen:

a) Ich bewege mich (unbeschleunigt) relativ zum Gesamtuniversum.
b) Die Lichtgeschwindigkeit meines Universums ist richtungsabhängig.
c) Abstände (räumliche und/oder zeitliche) sind richtungsabhängig.

Er beschließt zu glauben, dass er sich in einem symmetrischen Universum befindet und wählt daher a) als die plausibelste Option.

Er macht ein weiteres Experiment:

3. Er nimmt einen beidseitig verspiegelten Spiegel, in dessen Mitte er ein doppeltes Lichtquelle/Detektor-Gerät setzt und lässt wieder zwei Lichtimpulse in entgegengesetzte Richtungen, senkrecht von den Spiegelflächen weg, loslaufen.
Die Impulse umrunden das Universum, treffen auf die andere Spiegelseite, werden dort reflektiert, umrunden das Universum nochmals und werden erst dann am Lichtquelle/Detektor-Gerät detektiert.
Er stellt fest, dass die beiden Lichtlaufzeiten genau gleich groß sind, ganz genauso wie bei Experiment 1!
(DAS ist "lokal" auf die Spitze getrieben! )

Er kommt wieder zu seinen Optionen a),b),c) und rätselt, ob es vielleicht nicht doch b) und/oder c) ist, was er sieht und wählt aber letztlich doch wieder a).
Aus Experiment 1. weiß er ohnehin, dass auch b) und c) höchstens global wirksam sein können, nicht lokal.

Beste Grüße
seeker