QFT-Frage-Antwort

[positronium]

Bei den technischen Grundlagen sind mir ein paar Dinge noch unklar.
Ist das "cluster decomposition principle" ein reines Überprüfungswerkzeug, um einen konstruierten Hamilton-Operator auf seine Gültigkeit zu testen, weil doch dieses beim Weg über die Lagrange-Dichte sowieso erfüllt ist, und für realistische Theorien soll die Konstruktion von H, also ohne L, ohnehin nicht praktikabel sein?
Was ist der "connected part" der S-Matrix? - Der Teil der Matrix, welcher Zustände verändert?

[positronium]

Hallo allerseits,

gerne würde ich einige Wirkungsquerschnitte ansehen. Gibt es dafür eine öffentlich zugängliche Datenbank oder so etwas? Auf die Schnelle konnte ich leider nichts finden, aber vielleicht kennt ja von Euch jemand eine Quelle.
Besonders interessiert bin ich an vermutlich eher einfachen wie Paarerzeugung, Zerfall Myon und Tauon und Photonenabsorption und -emission. Also, mehr auf Elementarteilchenebene.
Vielen Dank für jeden Hinweis!

Gruss

positronium

[tomS]

Ich kenne nur die Particle Data Group http://pdg.lbl.gov/

[positronium]

Danke! Soweit ich weiss, gibt es dort aber keine Wirkungsquerschnitte, sondern eigentlich nur Messwerte. Gefunden habe ich dort zumindest noch nichts anderes.

[tomS]

Was ist damit? http://pdg.lbl.gov/2012/hadronic-xsections/hadron.html

[positronium]

Mit den Plots bin ich heillos überfordert. Auch sind die in erster Linie für Hadronen, und dafür müsste ich erst einmal die starke WW verstehen.
Jetzt habe ich aber vermutlich doch noch etwas gefunden: http://pdg.lbl.gov/2012/reviews/rpp2012 ... rmulae.pdf
Muss ich schauen, ob ich damit klar komme.

[tomS]

Ah, OK, theoretische Berechnungen. Die findest du evtl. auch in guten QFT- und Elementarteilchenphysikbüchern

[positronium]

Jetzt habe ich mal die Annihilation von Elektron und Positron in zwei Photonen angesehen, weil die recht einfach aussieht.
Laut dem Dokument gilt:



Wenn ich das richtig sehe, ist alpha die Feinstrukturkonstante, s=E² und theta der Streuwinkel, richtig? Ist E die gesamte kinetische Energie im Center-of-Mass-Frame oder muss die Teilchenmasse dazu addiert werden?
Aber die Interpretation der Formel ist mir nicht klar. Ich kann ja nur einsetzen, für welchen Winkel ich das Ergebnis haben möchte. Die Reaktion ist zwar rotationssymmetrisch, aber die Teilchen müssen ja nicht senkrecht aufeinander treffen. Wie berücksichtigt man deren Flugbahn?
Ich plotte das hier für s=1 und -pi bis pi:

ep-annihilation.png (5.28 KiB) 19646 mal betrachtet

Bedeutet das, dass die Photonen mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit ca. in Richtung 0° und 180° davon fliegen? Zur relativen Flugrichtung der beiden Photonen sagt die Formel aber auch nichts aus... Was fehlt mir hier noch alles?

[tomS]

Zunächst mal sollte am Anfang des Dokumentes zu Variablenkonvention und die Kinematik erklärt werden. Schau nochmal nach.

EDIT: OK, ich sehe dein Problem, das PDF startet mit Kapitel 44; du brauchst dazu eher das Kapitel 1 ;-)

[positronium]

Oh je. In Kapitel 43 steht einiges dazu. Dann ist oben sogar das t und u falsch und alles komplizierter als im ersten Moment gedacht...
Danke!

[Hawkwind]

Oh je. In Kapitel 43 steht einiges dazu. Dann ist oben sogar das t und u falsch und alles komplizierter als im ersten Moment gedacht...
Danke!

Erzeugung eines Fermion-Antifermion-Paares mittels Elektron-Positron-Vernichtung ist in niedrigster Ordnung QED sicher noch überschaubar, was die Rechnerei angeht.
Und Photonen statt Fermionen im Endzustand dürfte ähnlich sein - vielleicht wegen Masselosigkeit sogar noch etwas einfacher?

Man findet für das Betragsquadrat der Wahrscheinlichkeitsamplitude



für den winkelabhängigen differentielen Querschnitt



und für den totalen Querschnitt



aus
http://www.ippp.dur.ac.uk/~krauss/Lectu ... ple_2.html

Details zur Rechnung gibt es z.B. hier
http://www.hep.phy.cam.ac.uk/~thomson/p ... 4_2011.pdf
Dort siehst du auch, wie die Winkel definiert sind. Von höheren Ordnungen sollte man auf jeden Fall die Finger lassen - Tom vielleicht mal ausgenommen.

Gruss,
Hawkwind

[positronium]

Vielen Dank für Deine Antwort!
Gerade wollte ich das anhand der e[down]-[/down] e[down]+[/down] Annihilation und Photonenemission mit der Formel aus dem .pdf von der PDG und den Mandelstam-Variablen nachrechnen, aber es kommt als Ergebnis seltsamerweise nur eine Zahl als differentieller Wirkungsquerschnitt heraus - muss wohl noch ein Wurm drin sein.
Sollte man vernünftigerweise gleich mit Winkeln statt mit der Form wie es in den Mandelstam-Variablen steht rechnen?

[positronium]

Inzwischen habe ich einen Fehler beseitigt und das mit Winkeln berechnet. Unter der Annahme, dass die Energien der Photonen gleich ist (Das dürfte ja aus den Mandelstam-Variablen folgen.), scheint das zu funktionieren.
Für Elektron und Positron auf der X-Achse gegenläufig mit jeweils 0.99c ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit entsprechend dem Winkel für die auslaufenden Photonen das:

annihilation.png (7.07 KiB) 19561 mal betrachtet

[Hawkwind]

...Unter der Annahme, dass die Energien der Photonen gleich ist (Das dürfte ja aus den Mandelstam-Variablen folgen.), ...

Im Schwerpunktsystem folgt das allein schon zwingend aus Energie-/Impulserhaltung.

[positronium]

...Unter der Annahme, dass die Energien der Photonen gleich ist (Das dürfte ja aus den Mandelstam-Variablen folgen.), ...

Im Schwerpunktsystem folgt das allein schon zwingend aus Energie-/Impulserhaltung.

Ich meinte nicht E[down]in[/down]=E[down]out[/down] sondern E[down]Photon1[/down]=E[down]Photon2[/down]. Das dürfte glaube ich erst durch die jeweils beiden Formeln von t und u festgelegt sein. Aber bei denen ist man ja eigentlich schon eine Schicht über der Störungsrechnung und damit bei den "Symptomen" , weswegen die Ursache wohl tiefer liegt.

Interpretiert man bei den Wirkungsquerschnitten die Teilchen immer als ebene Wellen? - Die beiden Teilchen müssen sich ja nicht unbedingt exakt Mitte auf Mitte treffen...

[Hawkwind]

...Unter der Annahme, dass die Energien der Photonen gleich ist (Das dürfte ja aus den Mandelstam-Variablen folgen.), ...

Im Schwerpunktsystem folgt das allein schon zwingend aus Energie-/Impulserhaltung.

Ich meinte nicht E[down]in[/down]=E[down]out[/down] sondern E[down]Photon1[/down]=E[down]Photon2[/down]....

Ich auch.
Das Argument ist ganz einfach: Das Schwerpunktsystem zeichnet sich dadurch aus, dass die Summe aller Impulse der einlaufenden Teilchen Null ergibt.
Aus der Impulserhaltung folgt, dass das dann auch nach dem Stoss die Summe der Impulse der 2 auslaufenden Teilchen Null ergibt.
Wenn deren Summe aber Null ergeben soll, dann müssen sie betragsmäßig gleich (und in der Richtung entgegengesetzt) sein. Wenn 2 Teilchen gleicher Masse den gleichen Impulsbetrag haben, dann haben sie aber auch die gleiche Energie, denn E = m*c^2 + (c*p)^2 .

[positronium]

Ja, das leuchtet mir ein - ist halt manchmal so eine Sache mit dem Denken...
Danke!

[positronium]

Hallo,

ich habe ein Verständnisproblem bzgl. der Welleneigenschaften in den QFT. Es gilt doch:
mit
ausserdem:
mit
Für Wellen gilt aber:


Wahrscheinlich habt Ihr meinen Fehler schon gesehen - ich nicht.
Setze ich nämlich in die letzte Gleichung ein, ergibt sich:


Was habe ich übersehen? Oder mache ich gerade nur einen dummen Rechenfehler?

[tomS]

Ich denke, der letzte Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Frequenz gilt für die Phasengeschwindigkeit, die i.A. nicht mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit = Gruppengeschwindigkeit übereinstimmt.

Es ist v[down]P[/down] = ω / k
Aber v[down]G[/down] = dω / dk

Im Falle massebehafteter Teilchen ist gilt aber eben gerade nicht ω(k) = vk bzw. E(k) = vp; dies gilt nur für masselose Teilchen mit v=c und m=0.

[positronium]

Vielen Dank!
Jetzt habe ich auf Wikipedia nach dem Zusammenhang gesucht, und das auch gefunden:
http://de.wikipedia.org/wiki/Phasengeschwindigkeit
Ganz unten steht sinngemäss

[positronium]

Im Falle massebehafteter Teilchen ist gilt aber eben gerade nicht ω(k) = vk bzw. E(k) = vp; dies gilt nur für masselose Teilchen mit v=c und m=0.

Du meinst wegen der Energie-Impuls-Beziehung? In den Bewegungsgleichungen ist die doch enthalten, und mit und müsste doch alles beschrieben sein. Nur die einzelne Welle in einem Wellenpaket nicht.

[tomS]

Es geht um die Dispersionsrelation, d.h. den Zusammenhang zwischen ω und k. Bis auf Konstanten entspricht das exakt der Energie-Impuls-Beziehung.

Es gilt

ω[up]2[/up](k) = k[up]2[/up] + m[up]2[/up]

Für masselose Teilchen mit m=0 ist

ω(k) = k

und damit ω/k = dω/dk = 1

Für massebehaftete Teilchen mit m>0 gilt das nicht mehr.

[positronium]

Ach so. Und das heisst demnach, dass das Wellenpaket masseloser Teilchen nicht zerfliesst - in der QM kommt ja das Zerfliessen erst durch das Quadrieren von k zustande.

Aber wie ist das dann, wenn die Masse in die Welleneigenschaften mit einfliesst? Die durch die Masse verursachte maximale Wellenlänge führt doch dann zu periodischen Maxima des Wellenpakets, welche in der QM durch die Integration von k über -unendlich bis +unendlich unterdrückt werden.

[positronium]

Hallo,

gerne würde ich die laufende Kopplungskonstante der QED plotten. Dazu habe ich die Formel gefunden. Leider komme ich damit nicht zurecht.
- Ist die Elementarladung 1,6... 10^-19 C?
- Ist die Feinstrukturkonstante 7,2... 10^-3?
- Was ist ?
Warum wird die Formel nicht in Abhängigkeit von der Masse und Geschwindigkeit angegeben?
Oder ist diese Formel sowieso nicht das was ich suche?

Der genaue Verlauf der Funktion soll ja nicht bekannt sein. In welchem Bereich ist die Formel zutreffend?

Vielen Dank!

Gruss

positronium

[tomS]

Das s = Q[up]2[/up] entspricht dem Quadrat der Schwerpunktsenergie (z.B. einer Kollision), bei dem alpha gemessen wird.