Kreuzprodukt in 4D

[positronium]

Hallo,

wieder habe ich ein mathematisches Problem. Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen. (Eigentlich wollte ich keinen neuen Thread aufmachen, passt aber wohl nirgends hinein.)

Ich habe in 4D eine durch zwei Vektoren a und b aufgespannte Ebene. Für diese gibt es eine linke und eine rechte "Seite". Ausserdem gibt es einen Vektor c. Ich möchte feststellen, auf welche der beiden Seiten dieser Vektor zeigt.
In 3D wäre das ganz einfach: Ich würde aus a und b das Kreuzprodukt bilden (Normale), und dann den Winkel/das Skalarprodukt zwischen diesem Ergebnis und c berechnen, und auf grösser bzw. kleiner 0 testen, also
In 4D ist das mit dem Kreuzprodukt aber so eine Sache, weil dort ein Kreuzprodukt aus nur zwei Vektoren eine in einer Ebene liegende Vektorschar erzeugen würde.

Wie kann ich vorgehen, oder habe ich ein Vorstellungsproblem und das geht gar nicht?

Gruss

positronium

[tomS]

Eine interessante Sache: Das Vektorprodukt in drei Dimensionen (und nur da existiert es!) ist eng verwand mit den sogenannten (vierdimensionalen) Quaternionen, einer Erweiterung der komplexen Zahlen. Für die Quaternionen existiert allerdings eine eindeutige Invertierung.

Etwas ähnliches wie das Vektorprodukt funktioniert noch in sieben Dimensionen, was mit der Existenz der (achtdimensionalen) Oktonionen zusammenhängt. Damit sind dann alle derartigen höherdimensionalen Strukturen aufgezählt: neben den reellen Zahlen existieren die "zweidimensionalen" komplexen Zahen (mit der Basis 1, i), die vierdimensionalen Quaternionen sowie die achtdimensionalen Oktonionen.

Andere algebraische Strukturen (sogenannte Divisionsalgebren) mit einer eindeutigen Umkehrbarkeit gibt es nicht.

[positronium]

Vielen Dank für Deine Antwort.

...Das Vektorprodukt in drei Dimensionen (und nur da existiert es!)...

Das verstehe ich nicht. Man kann doch das Kreuzprodukt auf beliebig viele Dimensionen verallgemeinern. In 3D braucht man zwei 3er Vektoren, in 4D eben drei 4er Vektoren usw.. Und jeweils bekommt man also in n Dimensionen für n-1 n-Vektoren einen Vektor, der auf allen anderen senkrecht steht.
Oder beziehst Du Dich auf den Betrag des errechneten Vektors?

[tomS]

OK, ja, so kann man das auch betrachten; ich dachte eben daran, dass ein Produkt genau zwei Faktoren hat, und das geht (für eine Art Vektorprodukt) nur in drei und in sieben Dimensionen

[rick]

Sind die Vektoren linear unabhängig?

[positronium]

OK, ja, so kann man das auch betrachten; ich dachte eben daran, dass ein Produkt genau zwei Faktoren hat, und das geht (für eine Art Vektorprodukt) nur in drei und in sieben Dimensionen

Ach so, darunter kann ich mir einigermassen etwas vorstellen, trifft ja aber hier nicht zu.

Sind die Vektoren linear unabhängig?

a und b stehen senkrecht aufeinander - möglicherweise hilfreich könnte sein, dass für a gilt {x,y,z,0} und für b {0,0,0,w}. c kann vereinfachend als {1,0,0,0} angenommen werden.

[rick]

a und b stehen senkrecht aufeinander - möglicherweise hilfreich könnte sein, dass für a gilt {x,y,z,0} und für b {0,0,0,w}. c kann vereinfachend als {1,0,0,0} angenommen werden.

Du solltest in 4D nicht mehr "senkrecht" oder so sagen ^^. Du kannst durch Gauss-Algorithmus oder mit der Determinante gugen ob sie linear unabhängig sind (LinA 1 ist dein Freund ;D- recht gutes Skript dazu: http://www.math.ethz.ch/education/bache ... KressnerLA bzw. auf Ingenieur Niveau xD- aber seehr anschaulich, G. Strang ist ein genialer Prof http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/ ... -lectures/) .

*edit*
Ne Idee wäre, da deine 3 Vektoren wahrscheinlich linear unabhängig sind, einen 4 Vektor zu finden, der diese zu einer Basis ergänzt. Und dann versuchen zu gugen, wie deine Basis orientiert ist. Du könntest dann also eine Standartbasis nehmen, die positiv orientiert ist, eine Transformation von der Vektorbasis zur Standartbasis bauen und gugen ob die Determinante der Transformation positiv oder negativ ist - gleich oder anders orientiert.

[tomS]

Nimm einen n-dimensionalen Raum sowie eine (n-1)-dimensionale Hyperebene; diese teilt den Raum in zwei Halbräume. Idealerweise wird die Hyperbene durch (n-1) orthonormierte Vektroren aufgespannt; wenn dies nicht so ist (also andere, nicht orthonormierte, jedoch linear unabhängige Vektoren gegebene sind), kann man dennoch zeigen, dass ein geeignetes Orhonormierungsverfahren wieder genau zu dieser Darstellung führt, d.h. du kannst ausgehend von

{v[down]1[/down], v[down]2[/down], v[down]3[/down], ..., v[down]m[/down]}; m = n-1

ein Orthonormalsystem

{e[down]1[/down], e[down]2[/down], e[down]3[/down], ..., e[down]m[/down]}; m = n-1

konstruieren.

Dann ist deine Hyperebene üblicherweise gedreht und gegen der Ursprung verschoben; dies machst du wieder rückgängig. Die ursprüngliche Gleichung für die Hyperebene lautet

x = x[down]0[/down] + λ[down]1[/down]v[down]1[/down] + λ[down]2[/down]v[down]2[/down] + ...

Nach Transformation der Ebene sowie Orthonormierung der Vektoren gilt

x' = λ'[down]1[/down]e[down]1[/down] + λ'[down]2[/down]e[down]2[/down] + ...

Gegebene ist nun ein weiterer Punkt P, für den die Gleichung

p' = λ'[down]1[/down]e[down]1[/down] + λ'[down]2[/down]e[down]2[/down] + ...

keine Lösung hat (d.h. der Punkt P liegt nicht auf der Hyperebene).

Der Punkt P hat die Darstellung

p' = μ'[down]1[/down]e[down]1[/down] + μ'[down]2[/down]e[down]2[/down] + ... μ'[down]n[/down]e[down]n[/down]

wobei genau der letzte Vektor e[down]n[/down] dafür sorgt, dass der Punkt nicht in der Ebene liegt.

Du möchtest nun entscheiden, ob der Punkt "rechts" oder "links" von der Hyperebene liegt, richtig?

Mir würde dazu einfallen, mit den Einheitsvektoren und dem (total antisymmetrischen) Epsilonsymbol ε[up]abc...[/up] rumzuspielen und das Problem erst mal in der 'normalisierten' Form zu lösen, also für den Fall, dass die Ebene durch die Einheitsvektoren aufgespannt wird. Das wäre dann sowas wie

ε[up]abc...[/up]e[down]a[/down]e[down]b[/down]...e[down]m[/down]p' = μ'[down]n[/down] ε[up]abc...[/up]e[down]a[/down]e[down]b[/down]...e[down]m[/down]e[down]n[/down]

Damit erhält man einen von p unabhängigen Ausdruck mal dem Parameter μ[down]n[/down], in dem (genauer, in dessen Vorzeichen) dann die Information bzgl. "rechts" oder "links" enthalten ist.

[positronium]

Danke für Euere Vorschläge!

Du solltest in 4D nicht mehr "senkrecht" oder so sagen ^^.

Warum? Besser "orthogonal"? Beides heisst doch nur, dass ein Winkel von 90° eingeschlossen wird.


Aber zum Problem: Vermutlich konnte ich das doch noch nicht verständlich formulieren.
Ich gehe 'mal etwas auf die Grundlage ein: Es geht darum, eine Drehrichtung festzustellen. Der Vektor a zeigt vom zu drehenden Punkt auf das Drehzentrum, und b zeigt vom zu drehenden Punkt die zum Startzeitpunkt momentane Drehrichtung an (keine Ahnung, wie das korrekt heisst... vielleicht: tangentiales Drehmoment? ). Den Vektor c kann man vereinfachend z.B. auf die X-Achse legen.
Wenn man jetzt also von der positiven X-Achse aus auf den Koordinatenursprung schaut, und man hat Vektoren a und b gegeben. Erscheint dann die Drehung links oder rechts herum?

Für 3D geht das ja ganz einfach, mit . Aber hier zeigt die Drehrichtung in die 4. Dimension... Ich dachte eben analog zu 3D, dass man die beiden Vektoren a und b als eine Ebene definierend auffasst, wodurch so etwas wie das Kreuzprodukt in 3D auch in 4D möglich sein sollte; das wäre schliesslich mit c bzw. der X-Achse zu vergleichen gewesen.

Ist es so besser verständlich?

[tomS]

Hilft dir meine Überlegung nicht weiter?

[rick]

Du solltest in 4D nicht mehr "senkrecht" oder so sagen ^^.

Warum? Besser "orthogonal"? Beides heisst doch nur, dass ein Winkel von 90° eingeschlossen wird.

Ja, es gibt ein Skalarprodukt auf beliebig dimensionalen Räumen, und ja, man sagt dann sie sind orthogonal wenn das Skalarprodukt null ist. Und man kann damit sogar so etwas wie einen Winkel definieren. Dieser Winkel hat aber AFAIK nichts mit dem Winkel aus dem R^3/R^2 zu tun. Zumindest glaube ich, das so aus meiner Ana1 VL in Erinnerung zu haben. Daher denke ich, dass "senkrecht" ein unpassender Begriff ist.

[tomS]

doch, es handelt sich um genau den selben Winkelbegriff; man sieht das ein, wenn man die beiden Vektoren geschickt in eine zwei-dim. Ebene legt

[rick]

*edit* Ok, also solang ich "normale" Vektoren habe, ist orthogonal=senkrecht, egal welche Dimension, da man dein Beispiel ja beliebig ausdehnen kann.(Danke dafür - war 'ne gute Hilfe)
In einen Vektorraum mit beliebigen Elementen (die man ja dann auch als Vektoren bezeichnet), ist doch aber orthogonal nicht mehr immer senkrecht. Weil zb. auch Matrizen einen Vektorraum bilden und wie sollen 2 Matrizen zueinander senkrecht sein?

[positronium]

Hilft dir meine Überlegung nicht weiter?

Ich hatte auf eine einfache Lösung gehofft.
Auch beschreibst Du eine andere Situation, in die ich erst (unter Annahme weiterer Bedingungen) irgendwie transformieren müsste - Du meinst eine n-1-dimensionale Hyperebene. D.h. diese Ebene muss eine Dimension kleiner sein als der Raum. Bei meinem Problem habe ich aber eine 2D-Ebene in einem 4D-Raum. Und meine Vektoren liegen in der Ebene; aus diesen beiden Vektoren könnte ich natürlich drei Ortsvektoren machen, welche die Ebene so definieren, wie Du es schreibst, allerdings habe ich dann immer noch eine 2D-Ebene im 4D-Raum. Es wäre also nötig, meine Ebene in ein 3D-Volumen zu verwandeln. Das erscheint mir ähnlich dem, was ich oben erwähnte, also dass das Kreuzprodukt von zwei Vektoren in 4D zu einer Vektorschaar führt - ich müsste demnach auf einen Winkel beschränken.

[tomS]

Ich bin mir nicht sicher, ob es für dein Problem überhaupt geeignet gestelt ist.

"Ich habe in 4D eine durch zwei Vektoren a und b aufgespannte Ebene. Für diese gibt es eine linke und eine rechte "Seite"."

Jetzt reduziere das mal um eine Dimension:

"Ich habe in 3D eine Gerade. Für diese gibt es eine linke und eine rechte "Seite"."

Komisch, oder?

[positronium]

"Ich habe in 3D eine Gerade. Für diese gibt es eine linke und eine rechte "Seite"."

Komisch, oder?

Das ist mir schon bewusst - auch dadurch bin ich auf die Vektorschar gekommen. Es gibt auf der Geraden in 3D viele senkrechte Vektoren, die vom gleichen Punkt ausgehen. - Bildlich: Der Daumen zeigt in eine Richtung, und der Zeigefinger rotiert um diese Achse.
In dem Fall könnte man auch sagen: Es gibt unendlich viele Ebenen durch die Gerade, und in jeder Ebene gibt es ein links und rechts der Geraden.
Wegen der Problematik hatte ich das Seite in Anführungszeichen gesetzt.

Man würde beim Ansatz mit dem Kreuzprodukt immer Vektoren (senkrecht zur 2D Ebene in 4D) erhalten, von denen die Hälfte vom Betrachter/Bezugsvektor c weg und die andere zum Betrachter hin zeigen.
Aber es kann doch nicht sein, dass für eine Drehung in 4D kein Drehsinn mehr feststellbar ist.
Als 2D-Wesen sehe ich eine Drehung von links oder von rechts kommen.
Als 3D-Wesen sehe ich sie (zweidimensional gesprochen) aus einem Winkel zwischen 0 und 2pi kommen.
In beiden Fällen hat man einen Durchlaufsinn.
Ich sehe keinen Grund, warum das in 4D anders sein sollte. - Und eine Drehung läuft eben immer in zwei Dimensionen, also in einer 2D-Ebene in 2D, 3D, und eben auch in 4D ab. Ich glaube, dass es egal sein muss, in wie vielen Dimensionen diese Drehebene liegt.

Vielleicht habe ich aber doch ein Vorstellungsproblem.

[Skeltek]

Zum Kreuzprodukt:
Man hat im 4dimensionalen wenn man 2 Vektoren nimmt eine Fläche die dazu orthogonal ist. Es gibt verschiedene Ansätze wie man ein Kreuzprodukt definieren könnte.

Entweder man definiert es als einen von 3 Vektoren abhängigen Operator, der als Ergebniss einen Vektor ausspuckt
oder
man definiert zu jeder Kombination an 2 Orthonormalvektoren den dritten Orthonormalvektor als Ergebniss.

Bei der zweiten Option gibt es jedoch keine Bijektivität; also es gibt verschiedene Kombinationen von je zwei Operanden, die dasselbe Ergebniss liefern. Es wäre aber grundsätzlich möglich (soweit ich das jetzt im Kopf) habe das als Kreuzprodukt so zu definieren.


Zum spatprodukt:
Dem Spatprodukt im n-dimensionalen kann man übrigens auch statt einem skalaren Volumenbetrag auch eine komplexe Zahl oder "Farbe" zuordnen, je nachdem in welchen "Quadranten" der Vektor (a1+...+an) zeigt.

[positronium]

...oder
man definiert zu jeder Kombination an 2 Orthonormalvektoren den dritten Orthonormalvektor als Ergebniss.

Bei der zweiten Option gibt es jedoch keine Bijektivität; also es gibt verschiedene Kombinationen von je zwei Operanden, die dasselbe Ergebniss liefern. Es wäre aber grundsätzlich möglich (soweit ich das jetzt im Kopf) habe das als Kreuzprodukt so zu definieren.

Dann müsste aber in die Definition einfliessen, dass beispielsweise die Dimensionen eine Reihenfolge aufweisen und, dass zwei in ihrer Dimensions-Nummer aufeinander folgende Orthonormalvektoren den nächsten in der Reihe ergeben. Andernfalls steht man wieder vor dem Problem der nicht-Eindeutigkeit.
Wenn ich mich nicht täusche, vereinfacht eine solche Neudefinition des Kreuzproduktes das Problem jedoch nicht.

[tomS]

Eine mögliche Verallgemeinerung habe ich ja durch den total-antisymmetrischen Epsilon-Tensor bereits beschrieben; der Witz ist, dass das nicht nur für Vektoren, sondern auch Tensoren höherer Stufe funktioniert (sieht man leicht, man kann ja auch für andere Objekte die Indizes mit dem Epsilon-Tensor kontrahieren); außerdem funtioniert das auch in gekrümmten Räumen, da der Epsilon-Tensor interessanterweise auch dort konstant ist.

Die genannte 'Reihenfolge der Dimensionen' sowie der Orientierung wird im Epsilon-Tensor und einer Standardbasis als Konvention festgelegt

[positronium]

Vermutlich habe ich jetzt eine Lösung, die so ziemlich Deinem Vorschlag, Tom, entsprechen dürfte, aber nicht so allgemein gehalten ist.
Das sieht so aus: Eine Drehung durchläuft 2 Dimensionen. D.h. in 4D bleiben 2 weitere Dimensionen, zu denen die Drehung senkrecht ist. Ich suche für den Vektor a (zu drehender Punkt -> Drehzentrum) und den dazu senkrecht stehenden Vektor b (Startrichtung des zu drehenden Punktes) zwei weitere senkrecht stehende Vektoren d und e (das läuft wohl auf den Epsilon-Tensor hinaus, den ich noch nicht kannte). Die durch d und e aufgespannte Ebene kann ich in einen positiven und einen negativen Bereich teilen, indem ich in einer Formel k(b+e) das Vorzeichen des Skalars k betrachte. Dann brauche ich eigentlich nur noch das Skalarprodukt mit meinem Vergleichsvektor zu bilden, und auf kleiner/grösser 0 prüfen: c.(b+e)<0
Muss ich aber erst ausprobieren...

[Skeltek]

...oder
man definiert zu jeder Kombination an 2 Orthonormalvektoren den dritten Orthonormalvektor als Ergebniss.

Bei der zweiten Option gibt es jedoch keine Bijektivität; also es gibt verschiedene Kombinationen von je zwei Operanden, die dasselbe Ergebniss liefern. Es wäre aber grundsätzlich möglich (soweit ich das jetzt im Kopf) habe das als Kreuzprodukt so zu definieren.

Dann müsste aber in die Definition einfliessen, dass beispielsweise die Dimensionen eine Reihenfolge aufweisen und, dass zwei in ihrer Dimensions-Nummer aufeinander folgende Orthonormalvektoren den nächsten in der Reihe ergeben. Andernfalls steht man wieder vor dem Problem der nicht-Eindeutigkeit.
Wenn ich mich nicht täusche, vereinfacht eine solche Neudefinition des Kreuzproduktes das Problem jedoch nicht.

Das Problem das du siehst ist wohl, daß es kein Rechtssystem im herkömmlichen Sinne gibt. Allerdings kann man über jeder Kombination von jeweils zwei Vektoren eine Permutation einer n-elementigen Menge zuordnen. Diese Menge kann man aber auch gut streng ordnen und eine eindeutige Surjektion der n*(n-1) elementigen Eingangsmenge auf die n-elementige Bildmenge bilden.
Die Frage stellt sich für mich nur noch, ob man die Permutationen so anordnen kann, daß alle Vektoren gleichberechtigt sind, also z.B. (V1 x V3) < (V2 x V4) < (V5 x V7) usw
Sorry, ist schon zu viele Jahre her, daß ich mich mit Analysis, Ringen und Ordnungsrelationen beschäftigt habe...
Kann man eine n*(n-1)-elementige Menge von n-dimensionalen Vektoren so anordnen, daß es insgesammt n-1 Ordnungsrelationen gibt die sich nicht gegenseitig ausschließen?

[positronium]

Das Problem mit den orthogonalen Basisvektoren, die nicht parallel zu den Koordinatenachsen liegen, ist, wie mir gerade einfällt , doch recht leicht zu lösen, weil meine Ausgangsvektoren in 3D liegen, also {x,y,z,0} lauten: Ich ignoriere erst die vierte Dimension, bilde dann das Kreuzprodukt aus zwei dreikomponentigen Vektoren, und habe damit das 3D System und der vierte Vektor wird einfach errechnet, indem die vierte Komponente der drei dann vorhandenen Vektoren auf Null gesetzt wird, und wieder das Kreuzprodukt berechnet wird. - So einfach kann man ein vieldimensionales Rechtssystem bilden, wenn man mitdenkt...
Hätte ich nicht den Vorteil, dass die vierte Komponente eh schon Null ist, müsste ich zuerst so transformieren, dass diese Null wird, dann das von oben machen, und zum Schluss zurück transformieren.

[Skeltek]

Ich habe versucht es mal möglichst einfach auszudrücken, wieso es so nicht funktioniert:
v1 x v2 = v3
v2 x v3 = v4
v3 x v4 = v1
v4 x v1 = v2

v1 x v3 = v4
v2 x v4 = v1
v3 x v1 = v2
v4 x v2 = v3


v1 x v3 = v4 <=> v3 x v1 = -v4 <=!!> v3 x v1 = v2

Ich denke es lässt sich relativ leicht zeigen, daß es keine Funktion gibt, die alle Ergebnissvektoren so den Kreuzprodukten zuordnet, daß das System widerspruchsfrei ist und antikommutativ wird.

[positronium]

Das kann so nicht funktionieren.

Entweder geht man so vor:
1. Man hat eine Dimension; senkrecht dazu entsteht die zweite.
2. Man hat zwei Dimensionen; senkrecht zu diesen beiden entsteht die dritte.
3. Man hat drei Dimensionen... also 3 Parameter für das Kreuzprodukt.
Man baut also stückweise zu n Dimensionen eine weitere dazu, und die Parameterzahl für das Kreuzprodukt steigt ebenso.

Oder man definiert die Zahl der Dimensionen als konstant, dann hat man aber im Fall der vier Dimensionen verallgemeinerte Kreuzprodukte mit 3 Parametern.
Nur in diesem Fall kann man ein Kreuzprodukt im Raum "drehen".

[deltaxp]

ne verallgemeinerung für den R^n gibt es (s.z.B.)
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodu ... dukt_im_Rn

aber das ist nicht das fundamentale. soweit ich mich dunkel an analysis ausm studium erinnern kann liegt der tiefere ursprung tiefer in der theorie der sogenannten differentialformen zur berechnugn von integralen auf differenzierbaren N-dimensionalen mannigfaltigkeiten.
dort wird ein sogenanntes äusseres produkt bzw auch keilprodukt definiert für die Kotangentialbündel. ich bin denn da irgendwann damals auch "ausgestiegen". Das Kreuzprodukt und das sogenannte Nabla-kalkül in 3 dimensionen sind sozusagen "ingenieurs"-spezialitäten im 3D-raum.
die ganzen Integralsätze von stokes und gaus (in beliebegen dimensionen und diff. mannigfaltigkeiten) sind mit der theorie der differentialformen ableitbar.

aber wie gesagt, ich bin da dann irgendwo ausgestiegen, und in dieser allgemeinen mathematischen form habe ich das das bisher auch nicht gebraucht.