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Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
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- Ehrenmitglied
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Ach so. Weil man die Summe als e^ schreiben kann, lässt man c[down]0[/down] ausserhalb des Bruchs.
Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
So, und damit hat man eine erste Darstellung eines sogenannten kohärenten Zustandes als Eigenzustand des Vernichtungsoperators a:
Nun ist zu zeigen:
Es existiert eine geschlossene Darstellung als
d.h. der Operator A(z) ist zu konstruieren.
Das Skalarprodukt <z|w> für zwei komplexe Zahlen z und w ist zu betrachten.
Außerdem ist zu zeigen: die Zustände |z> erfüllen eine (geeignet verallgemeinerte) Vollständigkeitsrelation
Nun ist zu zeigen:
Es existiert eine geschlossene Darstellung als
d.h. der Operator A(z) ist zu konstruieren.
Das Skalarprodukt <z|w> für zwei komplexe Zahlen z und w ist zu betrachten.
Außerdem ist zu zeigen: die Zustände |z> erfüllen eine (geeignet verallgemeinerte) Vollständigkeitsrelation
Gruß
Tom
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Tom
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- Ehrenmitglied
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Muss das Ket am Ende nicht ein |n> sein?tomS hat geschrieben:
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- Ehrenmitglied
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Ich nehme mal an, dass statt z n in der Formel stehen sollte.
Es würde also auf der linken Seite die gesamte Summe heraus fallen.
Und |0> könnte man auch weg lassen, wodurch
wäre.
Ist das richtig?
Weil der Operator auf |0> angewandt wird, sollte man auf der linken Seite n=0 setzen können.tomS hat geschrieben:Nun ist zu zeigen:
Es existiert eine geschlossene Darstellung als
d.h. der Operator A(z) ist zu konstruieren.
Es würde also auf der linken Seite die gesamte Summe heraus fallen.
Und |0> könnte man auch weg lassen, wodurch
wäre.
Ist das richtig?
Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Das kann nicht stimmen, da dein A(z) einfach eine Zahl ist, aber eine Zahl * |0> ist immer nur eine Zahl * |0>.
Ich sehe folgenden Lösungsansatz zur Konstruktion von A(z): durch 'hinschauen':
Zu bestimmen ist die Funktion f(z)
Zu prüfen wäre dann, ob mit diesem Ansatz
für das oben konstruierte |z> erfüllbar ist.
Du kannst auch rekursiv die Folge
betrachten
Ich sehe folgenden Lösungsansatz zur Konstruktion von A(z): durch 'hinschauen':
Zu bestimmen ist die Funktion f(z)
Zu prüfen wäre dann, ob mit diesem Ansatz
für das oben konstruierte |z> erfüllbar ist.
Du kannst auch rekursiv die Folge
betrachten
Gruß
Tom
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Das verstehe ich gar nicht.
Wie kommst Du auf den Ausdruck für A(z), und warum findet hier der adjungierte Vernichtungsoperator Anwendung?
Wie kommst Du auf den Ausdruck für A(z), und warum findet hier der adjungierte Vernichtungsoperator Anwendung?
Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Das ist einfach.
Die Darstellung des kohärenten Zustandes |z> sieht aus wie die Taylorreihe einer e-Funktion - mit Ausnahme der Wurzel im Nenner.
Die Reihe
generiert ebenfalls soetwas Ähnliches
jetzt mit einer Wurzel im Zähler.
Jetzt setze mal zunächst f(z) = z, entwickle A(z) als Taylorreihe und wende die Taylorreihe gliedweise auf |0> an.
wirkt dabei as Erzeugungsoperator (natürlich ist das der adjungierte Vernichter)
Die Darstellung des kohärenten Zustandes |z> sieht aus wie die Taylorreihe einer e-Funktion - mit Ausnahme der Wurzel im Nenner.
Die Reihe
generiert ebenfalls soetwas Ähnliches
jetzt mit einer Wurzel im Zähler.
Jetzt setze mal zunächst f(z) = z, entwickle A(z) als Taylorreihe und wende die Taylorreihe gliedweise auf |0> an.
wirkt dabei as Erzeugungsoperator (natürlich ist das der adjungierte Vernichter)
Gruß
Tom
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Ich versuche es - die Taylorreihe kannte ich noch nicht (also, mal abgesehen vom Namen ).tomS hat geschrieben:Jetzt setze mal zunächst f(z) = z, entwickle A(z) als Taylorreihe und wende die Taylorreihe gliedweise auf |0> an.
wird zu
Danach sollte die Reihe abbrechen, weil die zweite Ableitung von f(z)=z, f''(z)=0 ist.
Es folgt:
und:
Daraus ergibt sich für
Aber auf der rechten Seite sehe ich jetzt ein Problem. Kann ich das
einfach einsetzen? - <n|z> ist ja ein Skalarprodukt... oder muss ich das erst irgendwie auflösen? Aber dann bleibt doch kein |z> mehr...
Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Sorry, dass ich dich mit dem f(z) auf die falsche Spur gesetzt habe. Es geht um f(z) = z und um eine Taylorentwicklung von A(z), um z=0, nicht um eine Taylorentwicklung von f(z).positronium hat geschrieben:
wird zu
Danach sollte die Reihe abbrechen, weil die zweite Ableitung von f(z)=z, f''(z)=0 ist.
Zunächst mal die Taylorentwicklung der e-Funktion
Dann die Wirkung des Erzeugungsoperators auf den Grundzustand |0>
Also
Daraus folgt
und damit findet man für A(z)
Gruß
Tom
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
OK, Danke!
Also, wenn das so da steht, kann ich folgen, aber ich habe fast keine Ahnung davon, wie man auf die Gesamtrechnung bezogen auf die Rechenschritte kommt bzw. was sich dahinter verbirgt. - Was zu tun ist, hast ja eigentlich jedesmal Du geschrieben...
Also, wenn das so da steht, kann ich folgen, aber ich habe fast keine Ahnung davon, wie man auf die Gesamtrechnung bezogen auf die Rechenschritte kommt bzw. was sich dahinter verbirgt. - Was zu tun ist, hast ja eigentlich jedesmal Du geschrieben...
Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Macht nichts; Übung macht den Meister.
Jetzt die nächste Aufgabe:
Berechne <z|w> für zwei verschiedene komplexe Zahlen z und w, also für zwei verschiedene kohärente Zustände |z> und |w> mit a|z> = z|z> und a|w> = w|w>
Jetzt die nächste Aufgabe:
Berechne <z|w> für zwei verschiedene komplexe Zahlen z und w, also für zwei verschiedene kohärente Zustände |z> und |w> mit a|z> = z|z> und a|w> = w|w>
Gruß
Tom
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Dann sind die kohärenten Zustände (ich sammle mal, was gebraucht wird):
wird komplex konjugiert, und scheint vom Ausdruck her gleich zu bleiben, zu
und
Dann ergibt sich für das Skalarprodukt
wird komplex konjugiert, und scheint vom Ausdruck her gleich zu bleiben, zu
und
Dann ergibt sich für das Skalarprodukt
Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
ist OK, aber es muss
lauten.
Der Rest sieht bis auf diese Kleinigkeit gut aus.
Gruß
Tom
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Gut, dann muss es
heissen.
heissen.
Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Perfekt!
Jetzt etwas komplizierteres.
Die Eigenzustände |n> sind ja ein vollständiges Orthonormalsystem, d.h.
und
Für die Zusände |z> gilt die zweite Gleichung ja nicht, wie du selbst gezeigt hast; die |z> sind nicht orthogonal.
Aber man kann zeigen, dass sie vollständig sind, d.h. man konstruiert
und zeigt wiederum
Dabei musst du die Darstellung der |z> mittels der |n> verwenden und das Integral mittels Polarkoordinaten in der komplexen Ebene berechnen.
Jetzt etwas komplizierteres.
Die Eigenzustände |n> sind ja ein vollständiges Orthonormalsystem, d.h.
und
Für die Zusände |z> gilt die zweite Gleichung ja nicht, wie du selbst gezeigt hast; die |z> sind nicht orthogonal.
Aber man kann zeigen, dass sie vollständig sind, d.h. man konstruiert
und zeigt wiederum
Dabei musst du die Darstellung der |z> mittels der |n> verwenden und das Integral mittels Polarkoordinaten in der komplexen Ebene berechnen.
Gruß
Tom
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Das ist schwierig, aber ich probiere es.
Zuerst kopiere ich die beiden |z> und <z| hier noch einmal herein.
Dann erhält man für
Hier müsste man die Summe zerlegen können, in
worin die erste Summe in eine Exponentialfunktion umgewandelt, und die zweite Summe durch 1 ersetzt werden können sollte.
Daraus folgt
Ehm... ich sehe gerade, dass damit |z><z| immer gleich 1 wäre. Also ist obiges falsch.
Liegt der Fehler beim Zerlegen der Summe? - Wahrscheinlich.
Zuerst kopiere ich die beiden |z> und <z| hier noch einmal herein.
Dann erhält man für
Hier müsste man die Summe zerlegen können, in
worin die erste Summe in eine Exponentialfunktion umgewandelt, und die zweite Summe durch 1 ersetzt werden können sollte.
Daraus folgt
Ehm... ich sehe gerade, dass damit |z><z| immer gleich 1 wäre. Also ist obiges falsch.
Liegt der Fehler beim Zerlegen der Summe? - Wahrscheinlich.
Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Du machst zwei Fehler.
Zum einen hast du zwei verschiedene Summen, d.h. auch zwei Summationsindizes m und n. Zum anderen bleiben Terme der Form |m><n| stehen, denn dafür gilt keine Orthogonalität. <m|n> entspricht dem Skalarprodukt zweier Vektoren und ergibt eine Zahl |m><n| entspricht einer Matrix. D.h.
c[down]n[/down] steh dabei für den Koeffizienten vor |n> in |z>, also
Jetzt kannst du |z><z| zwischen zwei weiteren Bra's und Ket's sandwichen
Jetzt das Integral in Polarkoordinaten ...
Zum einen hast du zwei verschiedene Summen, d.h. auch zwei Summationsindizes m und n. Zum anderen bleiben Terme der Form |m><n| stehen, denn dafür gilt keine Orthogonalität. <m|n> entspricht dem Skalarprodukt zweier Vektoren und ergibt eine Zahl |m><n| entspricht einer Matrix. D.h.
c[down]n[/down] steh dabei für den Koeffizienten vor |n> in |z>, also
Jetzt kannst du |z><z| zwischen zwei weiteren Bra's und Ket's sandwichen
Jetzt das Integral in Polarkoordinaten ...
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Ausgeschrieben und vereinfacht müsste dann
heraus kommen.
Das mit dem Integrieren verstehe ich leider nicht. Natürlich kann ich so etwas konstruieren:
eingesetzt:
Wahrscheinlich ist das falsch. Was kann ich damit machen? Oder wie muss ich das mit der Integration in der komplexen Ebene verstehen?
heraus kommen.
Das mit dem Integrieren verstehe ich leider nicht. Natürlich kann ich so etwas konstruieren:
eingesetzt:
Wahrscheinlich ist das falsch. Was kann ich damit machen? Oder wie muss ich das mit der Integration in der komplexen Ebene verstehen?
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- Ehrenmitglied
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Gerade sehe ich, dass Du noch etwas hinzu gefügt hast - muss ich jetzt erst lesen.
Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Du bist so zeimlich auf der richtigen Spur.
Es geht um den Nachweis, dass der Operator P
proportional zum Eins-Operator also der "unendlich-dimensionalen Einheitsmatrix" ist. Dazu überlegen wir uns, dass dann
gelten muss.
D.h. du musst entweder wie von mir im letzten Post geschrieben das Matrixelement
berechnen, oder du schaffst es, die Auswertung des Integrals ohne dieses Matrixelement direkt auf den Operator anzuwenden; das wäre dein Weg, der zumindest nicht schlecht ausschaut. Dazu schreibst du deine letzte Formel wie folgt um (ich korrigiere einen kleinen Fehler: statt dr bekommst du dr r im Flächenelement)
Jetzt machst du eine Fallunterscheidung für m gleich n und für m ungleich n.
Für m gleich n, d.h. für die 'Hauptdiagonale' der Matrix, erwartest du, dass eine Eins rauskommt; für m ungleich n erwartest du eine Null; das liefert dir genau die Winkelintegration. Im Falle m gleich n liefert dir die r-Integration dann noch einen Normierungsfaktor, das ist sozusagen Fleißarbeit, das mit den Fakultäten richtig hinzubekommen; das r-Integral kann man explizit berechnen (ist eine ganz gute Übung und man lernt ein paar Tricks), kann man aber auch nachschauen.
Es geht um den Nachweis, dass der Operator P
proportional zum Eins-Operator also der "unendlich-dimensionalen Einheitsmatrix" ist. Dazu überlegen wir uns, dass dann
gelten muss.
D.h. du musst entweder wie von mir im letzten Post geschrieben das Matrixelement
berechnen, oder du schaffst es, die Auswertung des Integrals ohne dieses Matrixelement direkt auf den Operator anzuwenden; das wäre dein Weg, der zumindest nicht schlecht ausschaut. Dazu schreibst du deine letzte Formel wie folgt um (ich korrigiere einen kleinen Fehler: statt dr bekommst du dr r im Flächenelement)
Jetzt machst du eine Fallunterscheidung für m gleich n und für m ungleich n.
Für m gleich n, d.h. für die 'Hauptdiagonale' der Matrix, erwartest du, dass eine Eins rauskommt; für m ungleich n erwartest du eine Null; das liefert dir genau die Winkelintegration. Im Falle m gleich n liefert dir die r-Integration dann noch einen Normierungsfaktor, das ist sozusagen Fleißarbeit, das mit den Fakultäten richtig hinzubekommen; das r-Integral kann man explizit berechnen (ist eine ganz gute Übung und man lernt ein paar Tricks), kann man aber auch nachschauen.
Gruß
Tom
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Ich habe es versucht, aber was heraus kommt, muss falsch sein.
Für die Fallunterscheidung mit m=n habe ich o eingesetzt. Dadurch kann eine Summe wegfallen und es wird statt über m und n nur noch über o summiert. Alles ausgetauscht, und vereinfacht, erhalte ich:
Für die Fallunterscheidung mit m=n habe ich o eingesetzt. Dadurch kann eine Summe wegfallen und es wird statt über m und n nur noch über o summiert. Alles ausgetauscht, und vereinfacht, erhalte ich:
Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Zunächst mal m ungleich n:
Hier musst du dich nur davon überzeugen, dass
ist.
Dann für m gleich n:
- es wird nur noch über m=n summiert
- in jedem Term wird m=0n gesetzt
- im Winkelintegral steht Null im Exponenten, man erhält einfach 2π
Damit folgt
Du musst nur noch zeigen, dass das Integral sich mit dem Term 1/n! weghebt
Hier musst du dich nur davon überzeugen, dass
ist.
Dann für m gleich n:
- es wird nur noch über m=n summiert
- in jedem Term wird m=0n gesetzt
- im Winkelintegral steht Null im Exponenten, man erhält einfach 2π
Damit folgt
Du musst nur noch zeigen, dass das Integral sich mit dem Term 1/n! weghebt
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Wenn man das Integral löst, erhält man:tomS hat geschrieben:Zunächst mal m ungleich n:
Hier musst du dich nur davon überzeugen, dass
ist.
Daraus folgt
und
wodurch man schreiben kann
Für ganzzahliges m-n folgt 1=1, also ist obige Aussage wahr.
Das Integral ergibttomS hat geschrieben:
mit
bleibt 1/2.
Dann fällt bei 2pi die 2 weg und es bleibt
Aber das ist wieder das, was ich oben schon als Ergebnis hatte. Hmm.
Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Oben hast du aber gesagt, dass es falsch sein muss, und jetzt?
Sorry, wenn ich dich irritiert habe und du alles doppelt gerechnet haben solltest. Du hast mit deiner Rechnung völlig recht! Du hast gezeigt, dass die 'kontiuierlichen' kohärenten Zustände |z> ein verallgemeinertes, überabzählbares, vollständiges, normiertes (jedoch nicht orthogonales) System bilden. D.h. man kann auf diesem Hilbertraum die Zustände sowohl mittels der Eigenzustände |n> von H als auch mittels der Eigenzustände |z> von a beschreiben.
Ein letztes noch: die kohärenten Zustände spielen eine Rolle in der Quantenoptik sowie in der semiklassischen Analyse verschiedener Systeme. Sie haben die Eigenschaft, Zustände minimaler Unschärfe zu sein, d.h. sie minimieren Δx*Δp. Letzteres müsstest du explizit ausrechnen können, in dem du die Definition von Δ²x aus Gl. (2.66) sowie Δ²p aus (2.67) verwendest. Dann müsstest du Δx sowie Δp durch die Erzeuger und Vernichter ausdrücken und zwischen den Zuständen sandwichen. Das kannst du einmal für <n|Δ²x|n> * <n|Δ²p|n> und einmal für <z|Δ²x|z> * <z|Δ²p|z> tun. Danach würde ich die Übingen zum Formalismus beenden, ggf. noch Fragen zur Bedeutung diskutieren und wieder im Skript fortfahren.
Sorry, wenn ich dich irritiert habe und du alles doppelt gerechnet haben solltest. Du hast mit deiner Rechnung völlig recht! Du hast gezeigt, dass die 'kontiuierlichen' kohärenten Zustände |z> ein verallgemeinertes, überabzählbares, vollständiges, normiertes (jedoch nicht orthogonales) System bilden. D.h. man kann auf diesem Hilbertraum die Zustände sowohl mittels der Eigenzustände |n> von H als auch mittels der Eigenzustände |z> von a beschreiben.
Ein letztes noch: die kohärenten Zustände spielen eine Rolle in der Quantenoptik sowie in der semiklassischen Analyse verschiedener Systeme. Sie haben die Eigenschaft, Zustände minimaler Unschärfe zu sein, d.h. sie minimieren Δx*Δp. Letzteres müsstest du explizit ausrechnen können, in dem du die Definition von Δ²x aus Gl. (2.66) sowie Δ²p aus (2.67) verwendest. Dann müsstest du Δx sowie Δp durch die Erzeuger und Vernichter ausdrücken und zwischen den Zuständen sandwichen. Das kannst du einmal für <n|Δ²x|n> * <n|Δ²p|n> und einmal für <z|Δ²x|z> * <z|Δ²p|z> tun. Danach würde ich die Übingen zum Formalismus beenden, ggf. noch Fragen zur Bedeutung diskutieren und wieder im Skript fortfahren.
Gruß
Tom
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Re: Einführung in die Quantenmechanik - Übungen
Naja, dass im Ergebnis ein pi steht, finde ich immer noch etwas befremdlich.tomS hat geschrieben:Oben hast du aber gesagt, dass es falsch sein muss, und jetzt?
War schon richtig so; dann bleibt's besser im Gedächtnis.tomS hat geschrieben:Sorry, wenn ich dich irritiert habe und du alles doppelt gerechnet haben solltest.