Analysis-Frage-Antwort

[Alexander]

Achso, die Lösung von Aufgabe 4 habe ich noch nicht richtig gemacht, das habe ich jetzt völlig unterschlagen.



Jetzt habe ich keine imaginäre Einheit mehr verwendet. Wenn ich das geometrisch interpretieren würde, dann müsste ich sagen, dass der Wurzelausdruck, der Betrag, gerade der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht, die den Nullpunkt mit dem korrespondierenden Punkt verbindet?

[breaker]

Die Interpretation stimmt, aber der Betrag ist wieder falsch.
Es gilt:

[Alexander]

Achso, stimmt, wir hatten den Imaginärteil ja mit y+1 angegeben.

[Alexander]

Machen wir weiter?

[breaker]

Noch ist die Aufgabe nicht gelöst

[Alexander]

Ach stimmt, ich muss ja noch die Definitionsmenge bestimmen.

Also x=0 sowie y=+/-1 gehen nicht, denn dann würde entweder der Zähler oder der Nenner Null werden. Andersherum darf auch x nicht -1 annehmen, wenn y=0 ist. Definitionsbereich wären danach die Menge der reellen Zahlen, ausgenommen -1,0,1.

[breaker]

Die Aufgabe war nicht, den Definitionsbereich zu bestimmtn, sondern alle komplexen Zahlen z zu bestimmen, so dass das 1 gibt.

[Alexander]

Ausgeschlossen sind z = x-i für den Nenner sowie z = x+i für den Zähler. Oder, wenn man mit dem letzten Term definiert, dann z = 0²+1 und z = 0²-1.

[breaker]

Indem wir z=x+iy geschrieben haben, und die Definition des Betrages eingesetzt haben, haben wir die Problemstellung

"Bestimme alle , für die



gilt"

reduziert, auf das Problem

"Finde alle , die



erfüllen"


Du musst also die Gleichung lösen.

[Alexander]

Wenn y=0, dann bekomme ich 1, denn die in der Klammer stehende -1 im Zähler wird dann positiv und x kann beliebig sein. Für x gilt jede reelle Zahl. Demnach sollte gelten: für x alle reellen Zahlen, für y Null, denn sonst würde aufgrund der verschiedenen Vorzeichen der Eins in der Klammer stets nicht 1 als Ergebnis herauskommen.

[breaker]

Das ist genau richtig!

[Alexander]

Bevor wir weitermachen eine Frage: Ich habe nun schon mehrmals von hyperkomplexen Zahlen gelesen, können wir die auch mal besprechen, würde das sinnvoll sein im Kontext der komplexen Zahlen?

[tomS]

siehe hier http://abenteuer-universum.de/bb/viewto ... =15&t=2056

[breaker]

Gute Idee, dies in einem extra-Thread zu besprechen, da das hier ein bisschen zu weit führen würde. Wir haben nämlich mit den gewöhnlichen komplexen Zahlen auch noch genug vor uns

Da wir jetzt einige aufgaben besprochen haben, sag' ich mal, wir sind einigermaßen vertraut mit komplexen Zahlen und deren Rechenregeln. Es liegt nun nahe, (wie zu anfang bei den reellen Zahlen) Funktionen von komplexen Zahlen einzuführen und zu untersuchen.
Das heißt, wir wollen nun Vorschriften f betrachten, die jeder komplexen Zahl z eine komplexe Zahl f(z) zuordnen. Im Prinzip könnten wir jetzt das ganze Programm (von linearen Funktionen über Polynome und trigonometrische Funktionen, bis zu den Exponentialfunktionen), das wir für reelle Funktionen durchgeführt haben, wieder von vorne durchziehen. Das wäre durchaus nicht langweilig, aber aus verschiedenen Gründen hab' ich das nicht vor:
1. Ich will nicht unbedingt komplexe Differentialrechnung einführen, weil das wieder etwas weit führt und weil man das für Newtonmechanik und Elektrodynamik (fast) nicht braucht.
2. Komplexe Polynome (d.h. Funktionen der Form f(z)=a[down]0[/down]+a[down]1[/down]z+...+a[down]n[/down]z[up]n[/up] mit a[down]i[/down] , z komplex) verhalten sich eigentlich komplett analog zu reellen Polynomen, d.h. hier würde nichts interessantes hinzukommen.

Ein interessantes Ergebnis im Zusammenhang mit komplexen Polynomen sei vielleicht kurz angemerkt:
Wir haben ja bereits gesehen, dass die Gleichung x²+1=0 in den reellen Zahlen keine Lösung hat, in den komplexen aber schon. Es gibt ein allgemeineres Resultat, das als Fundamentalsatz der Algebra bekannt ist. Dieser besagt:

Jedes komplexe Polynom vom Grad n hat genau n Nullstellen.

(woraus insbesondere folgt, dass das Polynom z²+1 in den komplexen Zahlen genau 2 Nulstellen hat, nämlich i und -i).

Soviel zu Polynomen. Als nächstes wil ich direkt zu den trigonometrischen Funktionen übergehen.
Wir kennen Sinus und Cosinus für reelle Zahlen mittlerweile ganz gut (diese Funktionen bezeichnen wir hier mit Kleinbuchstaben: sin, cos). Es soll nun unser Ziel sein, diese Funktionen für alle komplexen Zahlen zu definieren, d.h. wir wollen zwei Funktionen


definieren, sodass SIN(z)=sin(z) und COS(z)=cos(z), falls z reell ist und sodass SIN und COS immernoch die gewohnten Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen haben (z.B. dass die gleichen Additionstheoreme gelten, wie für sin, cos).
Nun haben wir in den komplexen Zahlen aber keine so schöne geometrisch anschauliche Möglichkeit, die Funktionen Sinus und Cosinus zu definieren (damals ging das ja über Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck), deshalb müssen wir uns etwas anderes einfallen lassen.

Frage: Hast Du eine Idee, wie man Funktionen auf den komplexen Zahlen definieren könnte, die für reelle z mit den gewohnten trigonometrischen Funktionen übereinstimmen?
(Tipp: Was war das letzte, das wir besprochen hatten, bevor wir mit komplexen Zahlen angefangen haben?)

[Alexander]

Wenn man von den komplexen in die reellen Zahlen "wechseln" möchte, muss i reell werden. Das wird durch Quadrieren erreicht. Also würde ich die trigonometrischen (oder allgemeiner beliebige) reelle Funktionen mit dem Betrag einer komplexen Zahl definieren, dann sind alle Konstituenten der neu definierten Funktionen auf jeden Fall mit den Rechenregeln der reellen Zahlen handhabbar.

[breaker]

Du meinst, du würdest

SIN(z):=sin(|z|)

setzen?

Das mag zunächst plausibel klingen, aber tatsächlich ist damit keine von unseren Forderungen erfüllt. Falls z reell ist, kommt damit nicht dir Funktion sin(x) heraus, sondern die Funktion sin(|x|). Diese Funktionen unterscheiden sich.
Es gibt eine bessere Definition. Beachte den Tipp, den ich gegeben habe und die Tatsache, dass man Polynome in den komplexen Zahlen im wesentlichen genau so definieren und handhaben kann, wie in den reellen.

[Alexander]

Das letzte, was wir durchgenommen haben, war die Taylorentwicklung sowie Exponentialfunktion. Mir ist daraufhin etwas eingefallen, die Eulersche Formel. Diese setzt doch gerade

Mir ist aber etwas anderes aufgefallen: Ich meine, dass das gerade cos(z)+isin(z) heißen sollte, da sich das durch die Taylorentwicklung der Eulerschen Formel ergibt, ich habe nämlich, als wir damals kurz das Augenmerk auf die Taylorentwicklung gelegt haben, nur zur Übung die Taylorentwicklung von Sinus und Cosinus und ein paar anderen willkürlichen Funktionen gebildet, konnte das im Falle von Sinus und Cosinus auch überprüfen, weil ich wusste, was herauskommen sollte. Die Ableitung von e[up]iz[/up] ergibt 1+iz+(iz)²/2!+(iz)³/3!+...Wenn man den komplexen Sinus und dem Cosinus macht, dann kann man die Werte gliedern in Werte mit und ohne i. Die Werte ohne i sind gerade der Cosinus, der sich durch die Taylorentwicklung ergibt, die Terme mit i der Sinus. Das konnte ich sodann nachvollziehen, wenn ich an die Gaußsche Zahlenebene dachte, bei der der Sinus, wenn er nicht Null ist, stets komplex ist, da er den y-Anteil darstellt und die y-Achse als komplex gesetzt wird.

Jedoch ist mir nicht wirklich klar, warum man ausgerechnet die Eulersche Zahl benutzt, oder ist das lediglich eine Definition? Warum allerdings die Eulersche Identität gilt, kann ich schon nachvollziehen, das liegt doch einfach daran, dass der Cosinus bei Pi gleich -1 ist und der iSinus Null ist und somit kein komplexer Anteil vorliegt?

[breaker]

Jedoch ist mir nicht wirklich klar, warum man ausgerechnet die Eulersche Zahl benutzt, oder ist das lediglich eine Definition?

Ja, wenn man so will, ist das eine Definition.
Also streng genommen hat die Euler'sche Zahl selbst damit gar nicht sooo viel zu tun, wie man vielleicht denkt. Tatsächlich ist



eine Definition. Wir haben nie wirklich darüber geredet, wie man Exponenten von reellen Zahlen definiert. Für natürliche Exponenten ist das einfach, in diesem Fall setzt man einfach (n-mal). Aber was soll x[up]y[/up] für eine beliebige reelle Zahl y sein??
Um solchen Potenzen einen Sinn zu geben, muss man mehr oder weniger einen Umweg über die e-funktion gehen:
Man kennt die Reihe



und weiß, dass sie tatsächlich für x=1 den Wert e hat, für x=2 den Wert e[up]2[/up], und so weiter (tatsächlich hat sie auch für x=1/2 den Wert usw.), d.h. in allen Fällen, die man schon kennt, kommt das richtige heraus und die Reihe erfüllt auch die Potenzgesetze, die man erwarten würde (d.h. e[up]x+y[/up]=e[up]x[/up]e[up]y[/up]). Deshalb sagt man, man kann guten Gewissens die obige Reihe als x-te Potenz von e auffassen.
Für eine beliebige reelle Zahl a hat man nun noch immer keinen sinnvollen Begriff für a[up]x[/up]. In diesem Fall kann man aber einfach setzen



Diese Formel ist intuitiv einleuchtend und reproduziert ebenfalls die richtigen Werte in den bekannten Fällen und erfüllt die Potenzgesetze, die man erwartet.

Das war ein kleiner Exkurs in reellen Potenzen. An dieser Diskussion sieht man, dass die einzig richtige Sichtweise die ist, den Ausdruck " e[up]x[/up] " als Reihe aufzufassen.
Dadurch wird klar, dass die Identität e[up]x[/up]=cos(x)+i sin(x) letztendlich nur die Gleichheit der Taylorreihen aussagt.

[breaker]

Zurück zum Thema:
Was ich hören wollte: Man kann den Sinus für komplexe Zahlen nicht geometrisch definieren, aber man kennt aus der reellen Analysis die Taylorreihe der Sinusfunktion und es liegt nahe einfach für alle komplexen Zahlen z zu definieren:



Für den Cosinus geht man analog vor und erhält so neue Funktionen, die auf den ganzen komplexen Zahlen definiert sind, und die die alte Sinus- und die Cosinusfunktion fortsetzen. Da die neuen und alten Funktionen auf den reellen Zahlen übereinstimmen, schreiben wir von nun an einfach sin für die neue Funktion, anstatt SIN. Das wird nie zu Widersprüchen führen.

[Alexander]

War also meine letzte Antwort richtig?

[breaker]

Das ist ein bisschen schwer zu sagen
Dein letzter Beitrag war nicht direkt eine Antwort der Form
"Ich definiere den komplexen Sinus als:..."
Du hast dort eigentlich nur die Euler'sche Identität besprochen, für die man allerdings schon die Definitionen der komplexen trigonometrischen Funktionen und Exponentialfunktionen braucht.

[Alexander]

Naja gut, aber wenn das wenigstens richtig war.

Habe ich eigentlich noch eine Aufgabe, die ich übersehen habe, oder können wir weitermachen?

[positronium]

Hallo allerseits,

bei Tensoren werden die Indizes oft in der Form

geschrieben, manchmal aber auch einfach so

also ohne den Leerschritt bei den tiefgestellten Indizes.
Was ist denn bei zweiterem Beispiel Konvention? Ich weiss ja in dem Fall nicht, welche Reihenfolge die Indizes haben sollen. Selbst wenn man von alphabetischer Reihenfolge ausgeht, so hat man das Problem der eindeutigen Identifizierung von Einträgen im - ich schreibe 'mal - Array spätestens, wenn Rechnungen komplizierter werden, Indizes umbenannt werden müssen etc..

Danke und Gruss

positronium