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Einführung in die Quantenmechanik

Quantenmechanik, Unschärfenrelation, Welle-Teilchen-Dualismus, Rechenmethoden sowie Interpretation der Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie
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Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 5. Nov 2011, 12:29

Hallo zusammen,

wie versprochen starte ich hier einen Thread zum Thema Einführung in die Quantenmechanik.

Meine Zielsetzung ist, dass ihr die groben Ideen und auch teilweise die Mathematik (bzw. die Physik dahinter) versteht. Ihr werdet sicher nicht Quantenmechanik im Sinne einer Vorlesung im Studium lernen, denn dazu braucht es vier Doppelstunden die Woche mit Nacharbeit, separater Lektüre sowie Übungsgruppen! Dennoch sollte sich das ganze lohnen, denn ihr habt dann eine Vorstellung von den wesentlichen Begriffen Konzepten und könnt auch im Selbststudium mal ein paar weiterführende Artikel oder in Wikipedia lesen.

Als Basis wollen wir mit dem Skript

http://www.tp4.ruhr-uni-bochum.de/skripte/qmV9.pdf

starten; es gibt viele andere mehr, aber das hier sieht ganz vernünftig und sehr umfassend aus; eine geeignete Auswahl der Themen wird sich im Laufe der Zeit ergeben.

Meine Idee ist es, mit dem Kapitel 2 zur Schrödingergleichung zu starten, jedoch immer mal wieder auf das Kapitel 1 zurückzukommen. Letztlich kann ich hier aus Zeitgründen keine Vorlesung halten, daher ist die Themenwahl subjektiv; es wird immer was zu kurz kommen. Deswegen hier an euch die Bitte, nicht nur das zu konsumieren, was ich euch (bzw. das Skript) vorsetze, sondern auch eigene Themenvorschläge einzubringen. Schaut euch dazu mal das Inhaltsverzeichnis an und macht Vorschläge bzgl. der Schwerpunkte.

Eine weitere Bitte: in diesem Thread keine n-te Wiederholung von Verschränkung, Kollaps der Wellenfunktion, Many-Worlds, Philosophie der QM usw. Das sind ja alles interessante Themen, aber hier soll doch eher das Fundament gelegt werden.

Bitte jederzeit Rückfragen, Monologisieren meinerseits bringt nichts! Aber habt auch Verständnis wenn ich Fragen und Diskussionen, die zu weit vom Thema abweichen, hier zurückstelle bzw. um das Starten eines anderen Threads bitte. Wir müssen hier etwas fokussierter vorgehen als sonst üblich. Alternative Erklärungen von anderen Experten sind ebenfalls immer willkommen, denn häufig erschließt man sich ein Themengebiet nicht eindimensional, sondern nur durch alternative Herangehensweisen; meine ist nicht undedingt die beste bzw. die einzig mögliche.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 6. Nov 2011, 22:49

Zur Einführung möchte ich einen Überblick über die Quantenmechanik anhand des ausgewählten Skriptes geben. Dieses ist recht umfangreich, der Überblick daher ziemlich vollständig. Einige nicht behandelte Themen stelle ich dennoch stichpunktartig vor

1 Wellenmechanik
Ausgangspunkt vieler Darstellungen der QM ist der Welle-Teilchen-Dualismus, demzufolge jedes Quantenobjekt abhängig von den experimentellen Randbedingungen Wellen- oder Teilchenaspekte zeigt. Letztlich ‚ist’ ein Quantenobjekt aber nicht sowohl Welle als auch Teilchen, sondern vielmehr keines von beiden.
Die Wellenmechanik ist eine gängige und anschauliche Formulierung der Quantenmechanik, wir werden jedoch später (Kapitel 5) sehen, dass sie eben nur eine spezielle Darstellung ist

Aus diesem Kapitel empfehle ich zunächst 1.1 – 1.3 zum ‚Selbststudium’. Ab 1.4 ist das eigtl. bereits ein Vorgriff auf 2.

2 Schrödinger-Gleichung
Die Schrödinger-Gleichung ist die zentrale Gleichung der QM. Aus ihr lässt sich die Dynamik eines Quantensystems ableiten, und sie spielt daher innerhalb der QM eine ähnliche Rolle wie die Newtonschen Bewegungsgleichung F=ma in der Mechanik. Im Rahmen der Diskussion zur Schrödinger-Gleichung werden wir zunächst zwei Formalismen zur klassischen Mechanik diskutieren; dann werden wir Wellenfunktionen und Operatoren besprechen. Ein wichtiger Punkt ist die Heisenbergsche Unschärfenrelation sowie die Interpretation der Wellenfunktion. Ein zentrales Thema ist die Berechnung von Energiespektren als Eigenwerte der zeitunabhängigen Schrödingergleichung bzw. des sogenannten Hamiltonoperators.

3 Eindimensionale Quantensysteme
Um zu verstehen, was die Wellenmechanik und die Schrödinger-Gleichung bedeuten und wo die wesentliche Unterschiede zur klassischen Mechanik liegen, werden wir einfache eindimensionale Quantensysteme diskutieren und dabei einige Rechenmethoden kennenlernen.

4 Näherungsverfahren
- lassen wir evtl. zunächst mal aus -

5 Allgemeine Formulierung der Quantenmechanik
Dieses Kapitel ist etwas abstrakt. Es geht dabei um eine darstellungsfreie, formale Formulierung der QM, woraus eine extrem kompakte, effiziente Notation (sogenannte Dirac-Notation) resultiert. Sich damit vertraut zu machen ist wichtig, da zum einen praktisch die gesamte moderne Literatur diese Formulierung benutzt, und da zum anderen klar wird, dass es sich bei der QM nicht ‚nur um eine Feldtheorie einer Wellenfunktion’ handelt.

6 Quantendynamik
In diesem Kapitel wird diskutiert, was ‚Bewegung’, ‚Kraft’ bzw. ‚Wechselwirkung’ im Rahmen der QM eigtl. bedeutet.

7 Dreidimensionale Quantensysteme
Hier wird insbs. das Wasserstoffatom als zentrale Anwendung des Formalismus diskutiert. Außerdem werden die Themen Drehimpuls, Spin sowie das Pauli-Prinzip kurz diskutiert.

8 Störungstheorie
Dabei handelt es sich zunächst um ein allgemeines mathematisches Näherungsverfahren. In diesem Kapitel werden dabei einige Anwendungen aus der Atomphysik diskutiert.

9 Semiklassische Theorie der Strahlung
- lassen wir evtl. zunächst mal aus -

10 Streutheorie
Die Streutheorie (als quantenmechanische Entsprechung zur Beschreibung von Stoßprozessen) ist neben dem in Kapitel 2 diskutierten Energiespektrum des Hamiltonoperators eine der zentralen Anwendung der QM. Alle nicht-stationären Probleme sind letztlich als Streuprobleme formulierbar. Die Streutheorie (entsprechend verallgemeinert) ist im Rahmen der Quantenfeldtheorie ein zentrales Instrument zur Auswertung von Streuexperimenten.

11 Formale Streutheorie
- lassen wir evtl. zunächst mal aus -

12 Relativistische Quantenmechanik
- lassen wir evtl. zunächst mal aus -


Weitere, hier nicht bzw. nur kurz behandelte Themen
Plancksches Strahlungsgesetz
Symmetrie
Identische Teilchen, Quantenstatistik, Fermionen und Bosonen
Drehimpuls, Spin, Clebsch-Gordan-Koeffizienten
Kohärente Zustände
Dichtematrizen
Pfadintegralquantisierung
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 7. Nov 2011, 08:05

Zuletzt noch ein Ausblick auf die hier (noch) nicht diskutierten Themen

Relativistische Quantenmechanik
Hier geht es um die Übertragung des quantenmechanischen Formalismus auf eine Lorentz-kovariante Darstellung. Dabei werden insbs. die Klein-Gordon (Spin-Null) und die Dirac-Gleichung (Spin-1/2, Spinoren) eineführt.

Plancksches Strahlungsgesetz
Historisch eines der ersten Phänomene, bei dem eine Quantisierung heuristisch eingeführt wurde. Kann im Zuge der Quantenstatistik exakt, d.h. ohne die ursprünglichen phänomenologischen Annahmen von Planck hergeleitet und interpretiert werden (s.u. Bose-Einstein-Statistik).

Symmetrie
Hier geht es um Symmetrien unter Raum- und Zeitspiegelung, sowie um kontinuierlcihe Symmetrien, insbs. Drehungen und ihre Darstellung in der QM als sogenannter unitärer Operator, d.h. als ‚verallgemeinerte Drehungen im Hilbertraum’. Wenn man den harmonischen Oszillator (Kap. 3) sowie die Bra-Ket-Notation (Kap. 5) verstanden hat, kann man ein sehr interessantes Beispiel anhand des dreidimensionalen harmonischen Oszillators diskutieren (dazu habe ich schon mal ein separates PDF verlinkt); evtl. ziehe ich das Thema in Kapitel 5 mit rein.

Identische Teilchen, Quantenstatistik, Fermionen und Bosonen
Identische, d.h. ununterscheidbare Teilchen verhalten sich anders als klassische Teilchen, die gewissermaßen immer ihre eigene Identität behalten. Im Zuge der Quantenstatistik werden die Bose-Einstein-Statistik sowie die Fermi-Dirac-Statistik diskutiert.

Drehimpuls, Spin, Clebsch-Gordan-Koeffizienten
Formal ist das Rechnen mit Drehimpulsen, insbs. die Addition von Drehimpulsen in der QM recht kompliziert. Stichworte dazu sind Darstellungen der SO(3), Clebsch-Gordan-Koeffizienten, Wigner-Eckhart-Theorem, Wignersche D-Funktionen.

Kohärente Zustände
Kohärente Zustände sind letztlich eine alternative Basiswahl im Hilbertraum, d.h. man formuliert die QM nicht mittels ebenen Wellen und Fouriertransformation, sondern mit sog. kohärenten Zuständen, verallgemeinerten Zuständen des quantenemechanischen harmonischen Oszillators. Diese Darstellung findet insbs. in der Quantenoptik und für die sogenannte semiklassische Näherung Anwendung. Wenn man den harmonischen Oszillator (Kap. 3) sowie die Bra-Ket-Notation (Kap. 5) verstanden hat, ist die Idee der kohärenten Zustände recht einfach nachzuvollziehen; evtl. ziehe ich das Thema in Kapitel 5 mit rein.

Dichtematrizen
Dichtematrizen oder verallgemeinerte Zustände stellen ein essentielles Hilfsmittel bei Formulierung der statistischen Mechanik dar. Dabei beschreiben Dichtematrizen sowohl die quantenmechanischen Wahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeitsamplituden) als intrinsisches Quantenphänomen, als auch klassische Wahrscheinlichkeiten rein aufgrund unserer Unkenntnis des exakten Zustandes eines Ensembles von Teilchen.

Pfadintegralquantisierung
Die Pfadintegralquantisierung wurde ursprünglich von Feynman aus der kanonischen Quantiserung abgeleitet, stellt aber heute vielfach einen alternativen Zugang zur Quantenmechanik sowie insbs. zur Quantenfeldtheorie dar. Pfadintegrale werden dabei weitestgehend ohne einen zugrundeliegenden Hilbertraum formuliert; sie stellen in einigen Fällen insbs. einen Ausgangspunkt für neue Berechnungsverfahren dar; m.E. finden sie – bis auf Ausnahmefälle – kaum Anwendung für grundlegende und konzeptionelle Fragestellungen.

Ausblick Feldquantisiertung
Im Zuge der modernen Quantenfeldtheorie (QED, QCD, …) wird der quantenmechanische Formalismus auf Felder (Elektromagnetismus, Dirac-Wellenfunktion) angewandt. Dabei werden sozusagen die Wellenfunktionen selbst zu sogenannten Feldoperatoren, d.h. das Bild einer klassischen Wellenfunktion verschwindet letztlich völlig. Dazu kann man hier höchstens ein paar Ideen vermitteln, denn der mathematische Apparat ist extrem aufwändig. QFT ist auch in einem Diplomstudiengang keine Pflichtvorlesung.

So, auch diese Zusammenfassung ist immer noch nicht ganz vollständig, aber die wichtigsten Themengebiete sind damit erstmal zusammengefasst. Der nächste Beitrag wird dann konkret das Kap. 2 (bzw. teilw. 1.4 ff) zum Inhalt haben.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 21. Nov 2011, 08:05

So, ich denke, wir können loslegen!

Zunächst mal eine kurze Zusammenfassung zum Abschnitt 1.2:

Zunächst zeigt der photoelektrische Effekt, das Licht (Photonen) neben den bekannten Welleneigenschaften (Beugung, Interferenz) in anderen experimentellen Szenarien auch Teilcheneigenschaften aufweisen. Klassisch würde man erwarten, dass erst nach gewisser Zeit genügend Energie übertragen worden ist, um die Elektronenemission zu bewirken. Tatsächlich beobachtet man ein sofortiges Einsetzen der Elektronenemission (Seite 4). Außerdem existiert eine Grenzfrequenz, unterhalb der überhaupt keine Elektronen herausgelöst werden, was ebenfalls nach der klassischen Elektrodynamik unverständlich ist (S5).

Ein weiteres Indiz für den Teilchencharakter liefert der Compton-Effekt, der eine Frequenzverschiebung der Photonen zeigt, was klassisch (nach einem Oszillatormodell) ebenfalls unverstanden bleibt.

Daneben wird häufig noch ein dritter Effekt, nämlich die Quantisierung der Hohlraumstrahlung (Plancksches Strahlungsgesetz) angeführt, wobei man sich da auch auf den Standpunkt zurückziehen kann, dass es gar nicht das el.-mag. Feldist, dass intrinsische Quanteneigenschaften aufweist, sondern dass lediglich eine quantisierte Kopplung der Oszillatoren in der Wand an die Moden im Hohlraum selbst vorliegt. Eine alternative Herleitung, in der tatsächlich das el.-mag. Feld als quantisiertes Feld betrachtet wurde, stammt von EInstein und wurde erst deutlich später entwickelt.

In Abschnitt 1.3 wird nun gerade der umgekehrte Aspet beleuchtet: während in 1.2 dargestellt wird, dass Licht neben den wohlbeannten Welleneigenschaften auch Teilcheneigenschaften zeigen kann, wird in 1.3 erklärt, dass neben den wohlbekannten Teilcheneigenschaften von Materie auch Welleneigenschaften vorliegen können (Elektroneninterferenz - EXperiment von Gottfried Möllenstedt).

Die Idee der Materiewellen stammt von deBroglie. Die zentralen Gleichungen sind (1.14 - 1.16) sowie die ebene Welle

exp[i (kx - ωt)] = cos(kx - ωt) + i sin(kx - ωt)

Dazu mehr ab Abschnitt 1.4
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 24. Nov 2011, 23:38

Ein paar Gedanken zu Abschnitt 1.4

Wir betrachten exp[i (kx - ωt)] = cos(kx - ωt) + i sin(kx - ωt). Wir haben es mit einer ebene Welle zu tun, die einer Wellengleichung genügt. Aus dieser ebenen Welle kann mann mittels Differenzieren die Wellenzahlk bzw. die Kreisfrequenz ω "herauspräparieren":

-id/dx exp[i (kx - ωt)] = k exp[i (kx - ωt)]

id/dt exp[i (kx - ωt)] = ω exp[i (kx - ωt)]

Der Zusammenhag mit Impuls und Energie findet sich in den Formeln von deBroglie in Abschnitt 1.3.

Demzufolge trägt eine ebene Welle intrinsisch Information über Energie E und Impuls P. Der Zusammenhang zwischen k und ω bzw. zwischen p und E wird dabei als Dispersionsrelation (1.19) bezeichnet.Im Falle eines freien, nichtrelativistischen Teilchens gilt demnach E = p²/2m, was letztlich der Formel E = mv²/2 entspricht - wobei in der Quantenmechanik v keine Role spielt und statt dessen p verwendet wird (formal liegt das am sogenannten kanonischen Formalismus bereits in der klassischen Mechanik).

Das Integral in (1.18) ist nichts weiter als die Überlagerung verschiedener ebener Wellen. Da jede einzelne Welle eine Welengleichung löst,gilt dies auch fürdie Überlagerung,also das Wellenpaket.

In Abschnitt 1.5 wird nun aus diesen Beobachtungen eine quantenmechanische Gleichung, die sogenannte Schrödingergleichung (1.30) konstruiert. Letztlich liegt dem die Idee zugrunde, dass man in der Beziehung E = p²/2m die Zahlen E und p durch die oben eingeführten Differentialoperatoren ersetzt - dies ist die sogenannte kanonische Quantisierung in (1.31) - und auf Wellenfunktionen wirken lässt. D.h.



Dabei interesserieren nun nicht mehr beliebige Wellenfunktionen,sondern nur noch die, die der Dispersionsrelation E² = p²/2m genügen, d.h. den ebenen Wellen sowie den daraus konstruierten Wellenpaketen. Die Lösungen der Schrödingergleichung sind also erlaubte Wellenpakete für ein bestimmtes quantenmechansiches Problem (im selben Sinne wie die newtonschen Bewegungsgleichungen erlaubte Trajektorien definieren).

Abschnitt 1.5.2 überspringen wird ...

Wichtig: der Abschnitt 1.5.1 ist m.E. der zentrale Abschnitt zum Formalismus der QM überhaupt. Er beschreibt (motiviert) die sogenannte kanonische Quantisierung, d.h. die Einführung der Operatoren (anstelle gewöhnlicher Zahlen). Ohne ein Verständnis dieser Idee funktioniert in der QM gar nichts. Deswegen ist es wichtig, dass wir uns da etwas Zeit lassen und lieber einmal öfter nachdenken.

Ist soweit alles klar? Wünsche? Anregungen? Fragen?
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 25. Nov 2011, 13:29

tomS hat geschrieben:Ist soweit alles klar? Wünsche? Anregungen? Fragen?
Bis hier hin, denke ich, habe ich es verstanden.

Im Prinzip läuft die Schrödingergleichung darauf hinaus, dass man zwei kreisförmig verlaufende (u.a. nach der Masse skalierte) Kurven hat, die sich nur bei bestimmten Parameterwerten schneiden, also die Gleichung wahr werden lassen.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 25. Nov 2011, 15:29

positronium hat geschrieben:Im Prinzip läuft die Schrödingergleichung darauf hinaus, dass man zwei kreisförmig verlaufende (u.a. nach der Masse skalierte) Kurven hat, die sich nur bei bestimmten Parameterwerten schneiden, also die Gleichung wahr werden lassen.
Das musst du mir genauer erklären, das verstehe ich so nicht.
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 25. Nov 2011, 16:15

tomS hat geschrieben:
positronium hat geschrieben:Im Prinzip läuft die Schrödingergleichung darauf hinaus, dass man zwei kreisförmig verlaufende (u.a. nach der Masse skalierte) Kurven hat, die sich nur bei bestimmten Parameterwerten schneiden, also die Gleichung wahr werden lassen.
Das musst du mir genauer erklären, das verstehe ich so nicht.
Naja, man hat die Funktion für x und t; auf der einen Seite der SG wird diese nach der Zeit abgeleitet, also bekommt man die momentane zeitliche Änderung des Funktionswertes, bei dem durch Multiplikation mit i soz. Real- und Imaginärkomponente vertauscht wird (steht dann also senkrecht zur "normalen" Funktion , und auf der anderen Seite hat man die Summe der räumlichen Änderungsraten, skaliert durch die Masse. Bildlich gesprochen hat man doch damit einen durch und einen dazu senkrecht stehenden durch m und verzerrten komplexen Kreis, nur dass diese halt "abgewickelt" sind.
Aber das ist jetzt nur meine Vorstellung.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 25. Nov 2011, 16:18

Das trifft in etwa für eine ebene Welle zu, die du dir je x als Ellipsenbahn (in t) vorstellen kannst. Aber i.A. ist die Wellenfunktion eine praktisch beliebige (stetige, normierbare) komplexe Funktion
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 25. Nov 2011, 17:51

tomS hat geschrieben:Das trifft in etwa für eine ebene Welle zu, die du dir je x als Ellipsenbahn (in t) vorstellen kannst. Aber i.A. ist die Wellenfunktion eine praktisch beliebige (stetige, normierbare) komplexe Funktion
Achso, Danke!
Gibt es auch keine Einschränkungen der Funktion hinsichtlich Teilchenart etc.? - Dann stellt die Funktion nur ein Ding dar, das sich leicht verarbeiten lässt?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 25. Nov 2011, 18:08

Die ebene Welle stellt eine freie Schwingung dar. Außerdem erfüllt sie - wie ich oben erklärt habe - die Bedingung für den Bezug zwischen E und p, d.h. E = p²/2m (ebenfalls gültig für freie Teilchen). Man überführt nun E und p in die o.g. Differentialoperatoren id/dt und -id/dx und stellt fest, dass die ebene Welle die so entstehende DGL löst. Damit motiviert man, dass diese DGL freie Teilchen als quantenmechanische Wellenfunktionen (ebene Wellen) beschreibt. Zu anderen, nicht-kräftefreien Teilchen (und damit anderen Wellenfunktionen) kommen wir noch.
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von Alexander » 25. Nov 2011, 18:44

Also habe ich das so richtig verstanden, dass die kanonische Quantisierung gerade die Aufstellung der Schrödingergleichung durch Ersetzen von p² der Hamiltonfunktion durch den Impulsoperator und E durch den Hamiltonoperator?

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 25. Nov 2011, 23:22

Das Skript kommt auf die kanonische Quantisierung nochmal in Abschnitt 2.1.2 zurück. Ich würde dabei die Ersetzung der Energie durch den Differentialoperator id/dt ausklammern, da dies etwas mit einer speziellen Darstellung der QM zu tun hat. Ansonsten fasse ich das mal (als kurzen Vorgriff) hier zusammen.

Gegeben sei eine klassische Hamiltonfunktion H(x,p). Für ein eindimensionales Problem lautet diese typischerweise (aber nicht zwingend!)



Für abgeschlossene Systeme gilt nun, dass wenn der Ort x(t) und der Impuls p(t) eine Lösung der jeweiligen Bewegungsleichung darstellen, dass dann H= E der erhaltenen Energie entspricht, also



Nun kann man außerdem aus H(x,p) die Bewegungsgleichung des Systems für x(t) und p(t) ableiten (kanonische bzw. Hamiltonsche Gleichungen, brauchen wir hier noch nicht), für deren Lösung dann genau diese erhaltene Energie folgt.

Bisher war das alles klassische Mechanik.

Die kanonische Quantisierung (in der sogenannten Schrödingerdarstellung, Verallgemeinerung folgt später) bedeutet die folgende Ersetzung (^ bezeichnet dabei Operatoren)







Die zeitabhängige Schrödingergleichung lautet



Daraus folgt die zeitunabhängige Schrödingergleichung durch den Ansatz





So, ich hoffe die Idee hiner dieser Quantisierung ist klar geworden.

Man stellt fest, dass in einigen Spezialfällen (ebene Wellen) eine Korrspondenz zwischen Teilchenbild (klassische Trajektorien von Teilchen mit Orten x, Impulsen p und Energie E) sowie Wellenbild (ebene Wellen, woraus durch Anwendung von Differentialoperatoren ebenfalls p sowie E folgen) besteht. Die Idee der Quantisierung besteht nun darin, diese (in Spezialfällen entdeckte) Korrespondenz zu einem allgemeingültigen Prinzip zu erheben.

Dazu gab es historisch unterschiedliche Zugänge (Schrödinger, Heisenberg, Dirac), wobei ersterer das anschauliche Bild der Wellenmechanik (das ist im folgenden beschäftigen wird), letzterer einen sehr formalen, eleganten Zugang beigesteuert haben.

Wenn das soweit klar ist, würde ich gerne mit Wellenpaketen, zeitlicher Entwicklung, Interpretation der Wellenfunktion (Abschnitt 1.5.3 - 1.5.6) weitermachen. Der hier motivierte Formalismus wird uns noch öfters begegnen, aber wir müssen uns auch den physikalischen Phänomenen widmen ...
Gruß
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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von Alexander » 26. Nov 2011, 16:50

Dann sollte alles klar sein, meinetwegen können wir weitermachen.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 28. Nov 2011, 09:00

In Abschnitt 1.5.3 wird das sogenannte freie Wellenpaket als Überlagerung freier, ebener Wellen eingeführt.

Man beachte, dass ebene Wellen sowohl Lösungen der zeitabhängigen als auch der zeitunabhängigen Schrödingergleichung sind, während die Wellenpakete zwar die zeitabhängige Gleichung erfüllen, jedoch nicht die zeitunabhängige. D.h. dass diese Wellenpakete zwar physikalisch erlaubt sind, jedoch keinen definierten Impuls und keine feste Energie haben!

Die Idee zur Konstruktion der Wellenpakete in Gl. (1.42) ist einfach; letztlich entspricht es einer „kontinuierlichen“ Summe über Einzellösungen, also ebene Wellen, wobei jede einzelne ebene Welle die entsprechende zeitabhängige Schrödingergleichung löst, was wiederum garantiert, dass das Wellenpaket selbst ebenfalls eine Lösung darstellt (dies folgt aus der sogenannten Linearität der Schrödingergleichung und insgs. der QM).

Zunächst möchte man meinen, dass mit dem Begriff des lokalisierten Wellenpaketes näherungsweise definierten Impulses eine vernünftige Brücke zur klassischen Physik mit lokalisierten Teilchen geschlagen werden kann; Abschnitt 1.5.4 zeigt, dass dies so nicht der Fall ist, da i.A. ein eng lokalisiertes Wellenpaket nicht lokalisiert beibt.

Zunächst wird in Gl.(1.48) das allgemeine Wellenpaket mit der korrekten Beziehung zwischen Impuls und Energie eingeführt (der Exponent enthält einen Term ~tk²). Ab Gl.(1.55) wird die zeitliche Entwicklung eines speziellen gaußschen Wellenpaketes untersucht; dabei findet man in Gl. (1.64), dass dieses Wellenpaket mit der Zeit zerfließt, d.h. eine ursprünglich eng lokalisierte Gaußverteilung, deren Breite durch a definiert ist, enthält einen t²-abhängigen Term (1.65) und verbreitert sich mit der Zeit; für große Zeiten t ist die zeitabhängige Breite proportional zu t, d.h. ein derartiges Wellenpaket ist kein Modell für ein klassisches Teilchen (wir werden im Rahmen dieser Einführung auch kein anderes kennenlernen!)

Zum Einschub ab (1.49): Hier wird letztlich der Begriff der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte eingeführt und die Kontinuitätsgleichung (1.51) abgeleitet und diskutiert. Sie ist eine direkte Konsequenz der Schrödingergleichung. Man darf sich in gewisser Weise ein quantenmechanisches System als Stromdichte vorstellen, wobei der Strom (und somit die Gesamtwahrscheinlichkeit) erhalten bleibt. Mehr dazu in einem späteren Abschitt.

Zu Abschnitt 1.6 ist wenig zu sagen; hier wird die statistische Interpretation der Wellenfunktion nach Born eingeführt. Insbs. zeigt sich dabei, dass die zugrundeliegende komplexwertige Wellenfunktion eine klassische Interpretation aufgrund der Interferenzterme unmöglich macht. Man geht dabei von einem Beugungsmuster am Einfachspalt aus. Anschließendes Öffnen des zweiten Spaltes führt zu einer Verringerung der Intensität an bestimmten Stellen, was klassisch nicht erklärbar ist. Der Formalismus lässt sich dahingehend interpretieren, dass ein Teilchen immer als Gesamtheit zu sehen ist, dabei als Welle durch beide Spalten der Versuchsanordnung läuft und mit sich selbst teilw. zur konstruktiven, teilw. zur destruktiven Interferenz kommt.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 28. Nov 2011, 11:33

tomS hat geschrieben:Zunächst wird in Gl.(1.48) das allgemeine Wellenpaket...
Ich möchte hier noch einmal auf die Lösung von 1.46 zu sprechen kommen. Vom Prinzip her ist mir die Vorgehensweise klar, aber wie kommt man beim Lösen der DGL auf diese Ergebnisse? Muss man die Randbedingungen bzw. und verwenden, aber wie kommt man korrekterweise auf diese? - Das war bei mir eher eine Bastellösung.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 28. Nov 2011, 12:15

Die hier vorgestellte Lösung ist allgemeingültig; der Separationsansatz kann mathematisch exakt bewiesen werden, u.a. auch dass man dadurch keine Lösungen "verliert". Dann findet man eine Gleichung E=p²/2m und dadurch zwei mögliche Werte für p (d.h. +p und -p) zu einem E; damit hat man zwei linear unabhängige Lösungen exp(ikx) und exp(-ikx) so wie es für eine DGL zweiter Ordnung sein muss. Randbedingungen benötigt bzw. beachtet man dabei nicht; das könnte man aber - wenn relevant - zusätzlich noch tun, z.B. könnte man einen Knoten bei x=0 fordern und dadurch die cos(kx) Lösungen ausschließen.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 28. Nov 2011, 13:13

An der Richtigkeit des Separationsansatzes zweifle ich nicht.
Ich kann dem Skript an der Stelle nicht folgen, wo

zu

gelöst wird.
Wenn ich die Gleichung nach u(x) löse, erhalte ich eine Gleichung mit zwei Integrationskonstanten bzw- funktionen:

Exakt die Lösung aus dem Skript, also mit Faktor c(k) bekomme ich nur mit den Randbedingungen u(0)=c(k) und u(pi/2/k)=i c(k), wodurch die beiden Konstanten eliminiert werden.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 28. Nov 2011, 13:31

Ja, da hast du recht, du könntest auch eine andere Lösung, d.h.andere c(k) einsetzen. wichtig ist dabei, dass du immer zwei elementare Lösungen zu einem k hast. Du kannst das Paar cos(kx), sin(kx) betrachten, oder das Paar exp(ikx), exp(-ikx); beide Paare (d.h. die zwei-elementigen Basen des Unterraumes zu k) gehen auseinander durch eine "Drehung" hervor. Generell wirst du nicht die allgemeine Lösung mit c(k) verwenden, sondern in der Basis diese Koeffizienten sinnvoll normieren (z.B. +1, -1) und im Folgenden die allgemeinen c(k) als Bestandteil der Wellenpakete und nicht der Basisvektiren sehen.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 28. Nov 2011, 14:05

Gut, Danke.
Dann habe ich es bis hier hin wahrscheinlich verstanden.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 2. Dez 2011, 00:17

OK, nach dem Auftakt in Kapitel 1 geht es konkre um die Schrödingergleichung.

Zu den in Abschnitt 2.1 diskutierten Postulaten: m.E. fällt die Forderung nach der ersten Ordnung in der Zeit etwas vom Himmel - und ist rückblickend auch nicht mehr wirklich zu rechtfertigen (z.B. sind DGLs relativistischer skalarer Felder von zweiter Ordnung in der Zeit); das zweite Postulat lässt sich auch erst rechtfertigen, wenn man den abstrakten Formalismus der QM verstanden hat. Ich spare mir hier nähere Erklärungen ...

Aus den Bemerkungen in 2.1.1 sollte klar sein, dass Operatoren auf Wellenfunktionen in analoger Weise wirken wie Matrizen auf Vektoren.

In 2.1.2 wird ganz generell gefolgert, dass eine Wellengleichung durch einen OPerator H und eine erste Zeitableitung d/dt definiert wird. Daraus folgt letztlich die vollständige Dynamik der QM, wobei der Term d/dt allgemeingültig ist, während der Hamiltonoperator H spezifisch für das jeweils betrachtete System ist. Die folgenden Punkte sind letztlich eine etwas formaler aufbereitet Version der Argumente aus Kapitel 1.

In 2.1.3 wird das Verfahren zur sogenannten kanonischen Quantisierung beschrieben. Im Zentrum steht dabei die Ersetzung von x (oder q) und p durch Operatoren, die auf die Wellenfunktionen wirken.

Die in 2.1.4 diskutierten Mehrdeutigkeiten zeigen, dass die Quantisierung keine formal ableitbare Vorschrift ist, sondern immer auch heuristische Argumente verwendet werden. Warum? Nun, man geht aus vom klassischen Grenzfall, um ein umfassenderes quantenmechanisches System abzuleiten; das ist vergleichbar mit der Konstruktion und dem Bau eines Hauses auf Basis eines Bauplans. Ohne eine gewisse Erfahrung im Häuserbau wird es nicht gehen - der Bauplan alleine reicht nicht aus ... Auch heute noch sind generische Verallgemeinerungen dieser Quantisierungsvorschriften Gegenstand aktueller Forschung, insbs. in Quantenfeldtheoren und der Quantengravitation.

Wenn es dazu keine Fragen gibt - und ihr euch die Abschnitte zur Kontinuitätsgleichung in 2.2 alleine anschaut - können wir morgen zügig zu den zentralen Themen in 2.3 bis 2.6 übergehen ...
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 2. Dez 2011, 12:15

Von meiner Seite aus können wir gerne weiter machen.

Alexander

Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von Alexander » 3. Dez 2011, 14:48

Mit dem meisten bisher Diskutierten bin ich mindestens konzeptionell ohnehin schon verhältnismäßig vertraut, das wurde ja zum Teil im anderen Thread diskutiert. Meinetwegen können wir auch weitermachen.

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von tomS » 6. Dez 2011, 23:16

Zu den zentralen Aspekten in 2.3 bis 2.6:

Bisher ist die Wellenfunktion eine abstrakte Größe; im Folgenden werden nun physikalische Interpretationen und messbare Konsequenzen diskutiert.

Das Quadrat der Wellenfunktion wird als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert (wobei dies im x-Raum, p-Raum, ... gelten kann). Entsprechend können daraus Erwartungswerte (gemäß der Wahrscheinlichkeitsrechung) extrahiert werden. So entspricht z.B. der Erwartungswert des Ortes in etwa dem Schwerpunkt. In (2.24) wird zunächst der Erwartungswert für den Ort eingeführt; in (2.26) wird dies auf beliebige Funktionen des Ortes verallgemeinert. In Abschnit 2.3.2 wird analog im Impulsraum verfahren. Ein zentraler (zunächst rein mathematischer) Zusammenhang ist (2.33), d.h. die Impulsraumwellenfunktion ist ebenso wie die Ortsraumwellenfunktion eine Wahrscheinlichkeitsamplitude. Im Folgenden werden für weitere physikalische Objekte Impulsdarstellungen abgeleitet. Letztlich sind Orts- und Impulsdarstellung mathematisch äquivalent; über die jeweilige Anwendung entscheidet letztlich nur, welche Darstellung sich besser für eine konkrete Berechnung eignet.

In 2.4 werden (formale) Rechenregeln für Operatoren eingeführt, die sich im wesentlichen aus Anwendung von Dfferentialrechnung bzw. Matrix-Algebra ergeben.

Kapitel 2.5 zum Ehrenfestschen Theorem greift nochmal Inhalte aus 2.3 auf: Erwartungswerte quantenmechanischer Größen bewegen sich nach den klassischen Newtonschen Bewegungsgleichungen. Diese Erkenntnis wird in (2.60) und (2.61) zusammengefasst und zeigt konkret den bereits o.g. Zusammenang zwischen Erwartungswert einerseits und klassischer Bahnkurve des Schwerpunkt andereseits. Damit ist die Newtonsche Mechnaik als spezialfall in der Quantenmechnaik enthalten.

Kapitel 2.6 ist der Heisenbergschen Unschärfenrelation als zentralem Aspekt des quantenmechanischen Formalismus gewidmet. Dabei ist insbs. wichtig, dass die Heisenbergschen Unschärfenrelation mathematisch hergeleitet und nicht "phänomenologisch motiviert" wird. Wegen der Wichtigkeit gehe ich auf die Herleitung näher ein. In (265) und (2.66) wird zunächst die Unschärfen im Ortsraum definiert; eine analoge Definition gilt im Impulsraum. In (2.69) wird ein Integral betrachtet, von man weiß, dass es > 0 sein muss. Unter Verwendung des Kommutators [x,p]=i aus (2.68) kann der resultierende Ausdruck vereinfacht werden. Es ist nicht so allgemein ersichtlich, aber grundsätzlich kann für zwei beliebige Operatoren, deren Kommutator bekannt ist (er muss keinsewegs trivial sein!) eine analoge (aber in Details unterschiedliche) Unschärfenrelation hergeleitet werden. Unter Verwendung der Eigenschaften des Integrals folgt letztlich eine Beziehung zwischen den Unschärfen im Ortsraum sowie im Impulsraum.

An der Stelle nochal die Bitte um Nachfragen bzgl. Argumentation, Bedeutung, mathematischer Herleitung usw.
Gruß
Tom

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Re: Einführung in die Quantenmechanik

Beitrag von positronium » 7. Dez 2011, 12:05

Was bedeuten die spitzen Klammern (z.B. in den Formeln 2.24 und 2.26)? In Wikipedia habe ich nichts dazu gefunden, nur im Zusammenhang mit der Bra-Ket-Schreibweise könnte es sich um einen "Zustand" handeln. Aber vorstellen kann ich mir nichts darunter.

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