Nach kurzem Überlegen habe ich dann selbst auf meinen Denkfehler entdeckt. Außerdem hat mich eine freundliche Kollegin auf dem Matheplaneten auf ein absolut lesenswertes Paper hingewisen, das ich bei Bedarf noch detailiert besprechen möchte:Tom hat geschrieben:Die Enterprise hat aufgrund eines Navigationsfehlers den Ereignishorizont eines gigantischen schwarzen Lochs überschritten. Scotty arbeitet an einem Transwarp-Wurmloch-Generator, um das schwarze Loch durch eine modifizierte Warp-Blase verlassen zu können. Allerdings dauert die Konstruktion eine gewisse Zeit, und so beauftragt er Spock, ein Flugmanöver (mit Unterlichtgeschwindigkeit!) der Enterprise einzuleiten, so dass die Zeit, bis die Enterprise von der Singularität verschlungen wird, maximiert wird.
Spock berät mit der Brückenbesatzung. Einige "offensichtliche" Vorschläge werden diskutiert:
- maximale Beschleunigung radial nach außen = weg von der Singularität
- möglichst extreme Kreisbahn um die Singularität
- ...
Welchen Vorschlag sollte Spock unterbreiten, um Scotty - und der gesamten Besatzung der Enterprise - eine möglichst lange Schonfrist zu verschaffen?
http://arxiv.org/abs/0705.1029v2
No Way Back: Maximizing survival time below the Schwarzschild event horizon
Geraint F. Lewis, Juliana Kwan
(Submitted on 8 May 2007 (v1), last revised 15 May 2007 (this version, v2))
Abstract: It has long been known that once you cross the event horizon of a black hole, your destiny lies at the central singularity, irrespective of what you do. Furthermore, your demise will occur in a finite amount of proper time. In this paper, the use of rockets in extending the amount of time before the collision with the central singularity is examined. In general, the use of such rockets can increase your remaining time, but only up to a maximum value; this is at odds with the ``more you struggle, the less time you have'' statement that is sometimes discussed in relation to black holes. The derived equations are simple to solve numerically and the framework can be employed as a teaching tool for general relativity.
Daraus ergibt sich im wesentlichen die Erkenntnis, dass nach einem freien Fall über den Ereignishorizontes die Überlebenszeit durch den Einsatz von Bremsraketen etwas verlängert werden kann. Die von mir angedachte Lösung, dass der umbeschleunigte freie Fall immer das Optimum darstellt, gilt ausschließlich für den (unphysikalischen Fall des) aus der Ruhelage am Ereignishorizont frei fallenden Beobachters.
Nun zu meinem Irrtum - den auch die Autoren aufdecken!
Man argumentiert in der ART häufig mit Länge der Weltlinie
Daraus folgt zum einen die Eigenzeit, zum anderen auch die Geodätengleichung als Bewegungsgleichung. Da nun die Lösungen (Kurven C) dieser Gleichung Extrema bzgl. S darstellen, folgt sofort und ohne weitere Rechnung, dass die Kurven C maximaler Eigenzeit Geodäten, also Weltlinien unbeschleunigter = frei fallender Beobachter sind. Man nutzt dieses Argument u.a. um das Zwillingsparadoxon zu lösen.
Wo liegt nun der Trugschluss?
Ganz einfach darin, dass man dabei die Randbedingungen geeignet wählen muss. Während im Falle des Zwillingsparadoxons Weltlinien mit festem Start- und Endpunkt also festgelegter Raum- und Zeitkoordinate(n) verglichen werden, ist in unserem Fall lediglich der Anfangspunkt fixiert, für den Endpunkt der Weltlinien ist die Koordinatenzeit dagegen beliebig wählbar. Anders formuliert: die Weltlinien der beiden Zwillinge treffen sich an einem definierten Raumzeitpunkt wieder (typischerweise am selben Ort zu einer späteren Zeit), während die zu vergleichenden Weltlinien der Raumschiffe zu unterschiedlichen Koordinatenzeiten auf die Singularität treffen können; die Klasse der zu untersuchenden Weltlinien ist also größer als zunächst vermutet.
Letztlich bedeutet dies, dass verschiedene Beobachter zwar alle die selbe Koordinate r=0 (die Singularität) erreichen, dass dies jedoch zu unterschiedlichen Zeitpunkten t (z.B. in Schwarzschild- oder besser Eddington-Funkelstein-Koordinaten) geschehen kann. Daraus ergibt sich, dass die Geodätengleichung alleine nur für festgehaltenes r und t funktioniert. Tatsächlich übersieht man die Lösung des von mir genannten Problems, wenn man die Klasse der Weltlinien zu stark einschränkt! Das allgemeine Problem ist wesentlich komplizierter und wird für in der o.g. Veröffentlichung diskutiert.