Da heute Mathe-Tag zu sein scheint hat mich auch die Lust überkommen mal ein wenig herumzuknobeln (mit meinen bescheidenen Mitteln).
Habt ihr euch mal das Bild/den Avatar von breaker genauer angeschaut?
Ein schönes Rätsel!
Das Ding ist selbsbezüglich!
Ich meine das hier:
- Fläche.jpg (6.58 KiB) 3163 mal betrachtet
Nehmen wir z.B. ein, weißes Blatt Papier.
Dieses habe die Fläche
A(B) = 100 FE
Dann zeichnen wir einen Kreis darauf mit der Innen-Fläche
A(K) = 10 FE
Dann noch die zwei obigen Sätze mit den Pfeilen.
Jetzt haben wir das obige Bild ohne das schwarze Kreissegment.
Ein Teil der Fläche ist aber durch diese Linie+Beschriftung auch schon jetzt schwarz.
Nennen wir die Gesamtfläche auf dem Blatt, die schwarz ist A(schw).
Nehmen wir an, das Blatt wäre jetzt aktuell zu 1% schwarz:
A(schw) = 1 FE
Damit das Bild stimmt, muss jetzt das schwarze Kreissegment in der richtigen Größe eingezeichnet werden.
-> 1% des Kreises muss schwarz werden = 1% von A(K) = 0,1 FE
So, fertig !?
Keineswegs, die geschwärzte Fläche A(schw) ist ja jetzt größer geworden: A(schw) = 1,1 FE
Die Größe des Kreissegments ist also nicht korrekt, weil sie eingezeichnet wurde!
Also muss man die zusätzlichen schwarzen 0,1 FE des Blattes entsprechend in dem Kreis auch schwärzen - was zu einer weiteren Vergrößerung der gesamten schwarzen Fläche führt, usw.
Frage: Wie groß muss das schwarze Kreissegment sein, damit es die gesamte schwarze Fläche des Blattes korrekt anzeigt, bzw. wie groß ist dann A(schw)?
Ich hab's mal zuerst mit Excel numerisch iteriert:
Startwerte:
A(B)= 100
A(K)= 10
A(schw(0)) = 1
->
A(schw(1)) = A(schw(0)) * (A(K) / A(B)) + A(schw(0))
A(schw(2)) = A(schw(1)) * (A(K) / A(B)) + A(schw(0))
A(schw(3)) = A(schw(2)) * (A(K) / A(B)) + A(schw(0))
...
Allgemein:
A(schw(n)) = A(schw(n-1)) * (A(K) / A(B)) + A(schw(0))
Ergebnis:
So lange die Kreisfläche (was sinnvoll ist) kleiner als die Blattfläche bleibt, konvergiert der gesuchte Wert von A(schw) gegen einen Grenzwert. (Das ist aber bis hierher nur eine Vermutung, da Exel weder mit unendlichen Nachkommastellen rechnen kann, noch unendlich viele Rechenschritte durchführen kann.)
So. Dann wollte ich's noch allgemein und geschlossen wissen:
Man erhält eine geometrische Reihe! Das Ding konvergiert also definitiv, so lange A(B) > A(K) ist.
Hab dann noch ein bisschen rumgerechnet und bin auf folgende Gleichung gekommen:
A(schw) = A(schw(0)) / ( 1 - ( A(K)/A(B))
für A(B) > A(K), G = R+
Sehr schön!
Ist hoffentlich richtig?
Grüße
seeker
P.S.:
Für die Nicht-Mathegenies:
Ist ne schöne Übung. Viel Spaß, falls sich einer an der Kopfnuss versuchen will!