09. Symmetrien II – Eichtheorien, Constraints, Hamiltonian

[tomS]

[anker]9[/anker]9. Symmetrien II – Eichtheorien, Constraints und Hamiltonoperator

Ich bin mir bewusst, dass der folgende Abschnitt relativ kompliziert ist. Ich versuche dieser Problematik dadurch aus dem Weg zu gehen, dass ich viele mathematische Ableitungen nicht im Detail durchführe, sondern eher symbolisch veranschaulichen möchte, welche Strukturen benötigt werden, um Eichtheorien zu formulieren und zu quantisieren. Explizite Rechnungen – insbs. zur Quantisierung - würden diesen Abschnitt sicher auf einige hundert Seiten aufblähen. Ich hoffe, der Spagat zwischen „symbolischer Mathematik“ und physikalischer Interpretation ist einigermaßen gelungen.

Ich habe diesen Abschnitt aus mehreren Gründen relativ ausführlich geschrieben, obwohl er für die darauf folgenden Themen nicht notwendig ist (die Phänomenologie des Quark-Modells und der QCD lassen sich auch ohne Rückgriff auf die hier dargestellte Mathematik schlüssig darstellen.)

- ich habe früher selbst auf diesem Gebiet gearbeitet
- die kanonische Quantisierung der QCD ist ein mathematisch exakter Zugang
- die alternative Formulierung über Pfadintegrale ist a) komplizierter und b) weniger exakt
- topologische Strukturen der SU(N) sind in diesem Zugang exakt berücksichtigt
- Phänomene wie Confinement werden nur durch die hier beschriebenen Methoden zugänglich

[anker]9-1[/anker]9.1 Eichtheorien

Die bisher betrachteten Symmetrien sind ausschließlich globaler Natur. Das bedeutet, dass eine Rotation im Raum oder an einem Feld immer global, d.h. für die gesamte vierdimensionale Raumzeit, konstant sein muss.

Die zentrale Eigenschaft von Eichtheorien ist nun, dass sie lokale Symmetrien fordert, d.h. dass die Symmetrietransformationen abhängig von den Raumzeitpunkten werden. Diese erweiterte Symmetrieforderung erzwingt die Einführung neuer Strukturen, der sogenannten Eichfelder. Ohne diese zusätzlichen Strukturen ist eine lokale Symmetrie nicht realisierbar.

Das lokale Eichprinzip ist neben den Grundprinzipien der Quantelung gewisser physikalischer Größen (QM) sowie den Relativitätsprinzipien (SRT, ART) wohl eine der zentralen Entdeckungen in der Physik des 20igsten Jahrhunderts

Kurz zum mathematischen Hintergrund: Die Einführung der Eichfelder entspricht mathematisch der Definition eines sogenannten Faserbündels. Ein Faserbündel entsteht aus einem Base-Space = der Raumzeitmannigfaltigkeit und den Fasern = der Eichgruppe. Topologisch ist mit jedem Raumzeitpunkt eine „Kopie“ der Eichgruppe verknüpft, d.h. für die Dimension des Faserbündels gilt

Dim Faserbündel = Dim Raumzeit + Dim Faser = 4 + Anzahl der Generatoren der Eichgruppe.

Interessanterweise entsteht in diesem Faserbündel eine nichttriviale Geometrie, die die Definition von Zusammenhängen und Krümmungen zulässt.
Der Zusammenhang = das Potential A(x) des Eichfeldes definiert dabei, wie sich Vektoren in der Algebra der Eichgruppe verhalten, wenn sie entlang geschlossener Schleifen im Base-Space transportiert werden.
Die Krümmung = die Feldstärke F(x) des Eichfeldes definiert die Krümmung in diesem Bündel (nicht im Base-Space).
Beide Konzepte kennt man in ähnlicher Form aus der ART, wobei die Entsprechung zwischen ART und Eichtheorien nicht sofort offensichtlich ist (Anm.: erst die Umformulierung der ART über die Ashtekarvariablen zeigte, wie die ART mathematisch analog zu den bekannten Eichtheorien formuliert werden konnte)

Der physikalische Hintergrund der Eichsymmetrie ist, dass man sie zum einen aus der Maxwellschen Theorie kennt (ohne dass sie während deren Entwicklung als fundamentales Prinzip verstanden wurde; man sah in ihr lediglich eine Art Rechenhilfe), dass man aber zum anderen feststellt, dass die Eichsymmetrie wesentlich für die Selbstkonsistenz der quantisierten Theorien ist. Die q.m. Entsprechung der Eichsymmetrie (die sog. Ward- bzw. Slavnov-Taylor Identitäten) stellt sicher, dass die Theorie renormierbar und frei von Quantisierungsanomalien ist (Anomalie = Zusammenbruch einer klassischen Symmetrie im Zuge der Quantisierung). Daher sind heute alle fundamentalen Theorien (bzw. Kandidaten) wie das Standardmodell, supersymmetrische Erweiterungen sowie Supergravitation und in gewisser Weise auch die Schleifenquantengravitation sowie die Stringtheorie als lokalen Eichtheorien formuliert.

Die Frage der Renormierung habe ich bereits diskutiert, sie ist aber im Folgenden für das Verständnis nicht relevant. Zu den Anomalien werde ich später einen eigenen Abschnitt schreiben.

[anker]9-2[/anker]9.2 Eichsymmetrie in der Elektrodynamik

Als Warm-up ein paar Begriffe aus der Elektrodynamik - der Einfachheit halber ohne Ladungen und Ströme: Üblicherweise diskutiert man hier die (quellenfreien) Maxwellgleichungen, wobei man die Dynamik der elektrischen und magnetischen Felder E(x) und B(x) erhält. Nun stellt man fest, dass man E(x) und B(x) auch aus einem sogenannten Viererpotential A(x) ableiten kann. Häufig nennt man die Nullkomponenten A°(x) auch Φ(x) = das elektrische Potential, den Vektoranteil = das Vektorpotential dagegen A(x).

Aufgrund der mathematischen Struktur ist jedoch umgekehrt A(x) nicht eindeutig durch E(x) und B(x) bestimmbar. Man hat vielmehr eine gewisse Freiheit, d.h. man kann ein gegebenes A(x) auf eine bestimmte Weise transformieren, wobei sich jedoch die Felder E(x) und B(x) nicht ändern, d.h. sie sind invariant unter dieser Transformation. Diese Freiheit bei der Wahl von A(x) zu festem E(x) und B(X) nennt man Eichfreiheit, die Transformation Eichtransformation bzw. -symmetrie.

Aufgrund dieser Eichsymmetrie ist A(x) selbst tatsächlich in der klassischen Elektrodynamik nur eine Art Hilfsgröße und nicht direkt beobachtbar. In der Quantenmechanik ändert sich das, wobei auch hier nicht A(x) selbst sondern nur gewisse abgeleitet Größen physikalisch relevant sind. Tatsächlich ist jedoch A(x) ein fundamentales, wenn auch nicht direkt beobachtbares physikalisches Objekt (Feld), das für die Formulierung der modernen Eichtheorien unverzichtbar ist.

Im Folgenden wird sich zeigen, dass der hier diskutierte Fall der Elektrodynamik tatsächlich nur ein Spezialfall eines wesentlich umfassenderen Konzeptes ist.

[anker]9-3[/anker]9.3 Definition der Eichsymmetrie

Man geht aus von einer Theorie mit globaler Symmetrie, i.A. einer SU(n) Symmetrie, wobei die Spezialfälle der U(1) Symmetrie (d.h. der Elektrodynamik) jeweils in der zweiten Zeile aufgeführt sind

Die fundamentalen Fermionfelder transformieren gemäß der Fundamentaldarstellung der Symmetriegruppe, d.h.

Ψ’(x) = exp[-i θª(x) tª] Ψ(x)
Ψ’(x) = exp[-i θ(x)]

Ψ(x) ist dabei ein Viererspinor, wobei jede Komponente wiederum ein n-Vektor bzgl. der SU(n) ist. Im Gegensatz zu den zuvor betrachteten globalen Transformationen sind die Parameter θª(x) jetzt Funktionen der Raumzeitkoordinaten x.

Nun betrachtet man den kinetischen Term für die Fermionen. Dieser lautet

iΨ*γdΨ

d ist dabei die Ableitung nach den Ortskoordinaten, γ ist eine 4*4 Matrix (Dirac-Matrix), die ein Skalarprodukt im Spinorraum definiert. (Ich verwende hier symbolisch die Notation der Differentialformen; Details zu Berechnungen werde ich hier nicht vorstellen).

Dieser Term ist symmetrisch unter globalen Rotationen θª = const., nicht jedoch unter lokalen Transformationen θª(x), da gilt (Produktregel für die Differentation)

dΨ’(x) = d [exp[-i θª(x) tª] Ψ(x)] = exp[-i θª(x) tª] dΨ(x) + [d exp[-i θª(x) tª]] Ψ(x)

Der zweite Term tritt wegen der x-Abhängigkeit der Transformation θª(x) auf.

Um diesen Term wieder zu eliminieren, führt man die sogenannte kovariante Ableitung ein. Diese ist definiert als

DΨ(x) = [d – ig Aª(x) tª] Ψ(x)
DΨ(x) = [d – ig A(x)] Ψ(x)

Dabei ist g die Kopplungskonstante von A(x) and die Fermionen Ψ(x).

Das Eichfeld Aª(x) transformiert sich gemäß

A’ª(x) tª = exp[-i θª(x) tª] [Aª(x) tª – i/g exp[+i θª(x) tª] d exp[-i θª(x) tª] ] exp[+i θª(x) tª]
A’(x) = A(x) – 1/g dθ(x)

Einsetzen liefert

(DΨ)’(x) = exp[-i θª(x) tª] (DΨ)(x)
(DΨ)’(x) = exp[-i θ(x)] (DΨ)(x)

d.h. die kovariante Ableitung transformiert im Gegensatz zur gewöhnlichen Ableitung ohne den Zusatzterm, bei dem die Ableitung d auf θª(x) wirkt. Die Ableitungsterme

d exp[-i θ?ª(x) tª]

aus dΨ’ und A’ª(x) tª heben sich gegenseitig weg.

Die kovariante Ableitung erfährt identisch zu den Spinorfeldern selbst eine reine Rotation!

[anker]9-4[/anker]9.4 Feldgleichungen

Damit kann man nun einen invarianten kinetischen Term konstruieren:

iΨ*γDΨ = iΨ*γ[d – ig Aª tª]Ψ = iΨ*γdΨ + g Aª Ψ*γ tª Ψ
iΨ*γDΨ = iΨ*γdΨ + g A Ψ*γΨ


Der erste Term entspricht dem kinetischen Term der Spinorfelder vor der Einführung der Eichfelder. Definiert man nun formal

jª = Ψ*γ tª Ψ
j = Ψ*γ Ψ


so erkennt man die Kopplung der Eichfelder an die SU(n) Stromdichte der Fermionen:

iΨ*γDΨ = iΨ*γdΨ + g Aª jª
iΨ*γDΨ = iΨ*γdΨ + g A j


Für den Eichstrom jª gilt eine kovariante Kontinuitätsgleichung

(Dj)ª = 0
dj = 0

D.h. im Falle einer U(1) Symmetrie reduziert sich dies zur bekannten Kontinuitätsgleichung für die elektrische Stromdichte.

Formal kann man die erste Gleichung umschreiben zu

(dJ)ª = 0

wobei nun

Jª[Ψ, A] = jª[Ψ] + jª[A]

In einer SU(n) Eichtheorie tragen somit auch die Eichbosonen zum Gesamtstrom Jª[Ψ, A] bei; in einer U(1) Eichtheorie fällt dagegen der zweite Term weg, d.h. j[A] = 0. Dies entspricht der bekannten Tatsache, dass das elektromagnetische Feld selbst nicht zur Ladungs- bzw. Stromdichte beiträgt, bzw. dass Photonen keine elektrische Ladung tragen.

Zuletzt betrachtet man noch die für die SU(N) Eichtheorie geltenden Feldgleichungen. Dazu konstruiert man zuerst den kinetischen Term der Eichfelder ~F² analog zur Vorgehensweise in der klassischen Elektrodynamik. Anstelle der in A linearen Maxwellgleichungen erhält man die nichtlinearen Yang-Mills Gleichungen mit dem Stromterm jª = jª[Ψ]

(DF)ª = jª
dF = j

Formal lässt sich die erste Gleichung wieder umschreiben zu

dFª = Jª = jª[Ψ] + jª[A]
dF = j[Ψ]


Die erste Gleichung zeigt, dass in SU(n) Eichtheorien der Farbstrom jª[A] der Eichfelder wiederum eine Quelle für die Farbfelder selbst ist.

[anker]9-5[/anker]9.5 Quantisierung und Gaußgesetz

Das Problem bei der Quantisierung von Eichtheorien ist, dass sie unphysikalische Freiheitsgrade enthalten. Zunächst ist A°(x) unphysikalisch, da im Feldstärkentensor (wegen dessen Antisymmetrie F°°(x) = 0) kein Term ∂°A°(x) auftritt. D.h. A°(x) ist kein dynamischer Freiheitsgrad, sondern lediglich eine Hilfsgröße. Das mag etwas überraschend sein, da ja üblicherweise A° mit dem elektrischen Potential identifiziert wird. Hintergrund der Aussage ist, dass es zu A° keine dynamischen Photonen gibt.

Die einfachste Wahl, A°(x) aus der Theorie zu eliminieren ist eine Eichtransformation, die

A°(x) = 0

setzt. (Im Falle der Elektrostatik, wo A° mit dem elektrischen Potential identifiziert wird, ist dies eine ungeschickte Eichung; sobald man sich jedoch für dynamische Freiheitsgrade, d.h. el.-mag. Felder, Gluonen o.ä. interessiert, ist diese Eichung sehr vorteilhaft).

Damit sind aber für konstantes x°=t weiterhin zeitunabhängige Eichtransformationen zugelassen, da die Bedingung

∂° θª(x) = 0

die Eichung A°=0 respektiert, d.h. A°’ = A°.

Es existiert demnach eine weitere, sogenannte residual gauge symmetry, mit deren Hilfe man einen weiteren Freiheitsgrad aus der Theorie eliminieren kann. Dazu quantisiert man nun zuerst die Theorie mittels der Feldoperatoren für A(x) und E(x). E(x) sind die verallgemeinerten elektrischen Komponenten aus F(x). B(x) wird nicht weiter betrachtet, da es durch A(x) definiert ist: B = B[A].

Die resultierende QFT enthält einen Hilbertraum und darauf einen Hamiltonoperator

Ĥ = Ĥ[A, E, B[A], Ψ]

sowie eine Zwangsbedingung, das sogenannte Gaußgesetz

Ĝª(x) = (DE)ª(x)
Ĝª(x) ~ 0


Man erhält diese letzte Gleichung als eine der verallgemeinerten Maxwellgleichungen (Yang-Mills-Gleichungen) für A°(x) = 0. Die Tilde ~ bedeutet, dass diese Gleichung nicht für den Operator Ĝª(x) selbst gilt: Man fordert nun die Gültigkeit des Gaußgesetzes nur für die physikalischen Zustände der Theorie, d.h. man reduziert den vollen Hilbertraum

Ĝª(x) |phys) = 0


auf die physikalischen Zustände. Zustände, die diese Gleichung nicht erfüllen, werden in Zukunft nicht mehr betrachtet.

Nun kann man mittels Ĝª(x) einen quantenmechanischen Operator

U[θ] = exp ∫d³x θª(x) Ĝª(x) = exp ∫d³x θª(x) (DE)ª(x)


definieren.

Man beweist nun folgende Identitäten:

U[θ] A(x) U[-θ] = exp[-iθª(x)tª] [Aª(x)tª – i/g exp[+iθª(x)tª] d exp[-iθª(x)tª] ] exp[+iθª(x)tª]
U[θ] E(x) U[-θ] = exp[-iθª(x)tª] [Aª(x)t] exp[+iθª(x)tª]
U[θ] Ψ (x) U[-θ] = exp[-iθª(x)tª] Ψ(x)


D.h. der Operator U[θ] „generiert“ Eichtransformationen von A, E und Ψ, wobei weiterhin die Einschränkung

∂° θª(x) = 0


erfüllt sein muss.

Mathematisch ist dies nun keineswegs trivial, aber man kann zeigen, dass mittels U[θ] eine Transformation analog zu einer Koordinatentransformation möglich ist, bei zwischen Relativ- und Schwerpunktsimpuls separiert wird. Man erhält eine Aufspaltung des Hilbertraumes in einen physikalischen und einen unphysikalischen Unterraum, wobei im unphysikalischen Unterraum gilt

Ĥ[unphys] |unphys) = const. |unphys)

Man kann dann den Hamiltonoperator H sowie den Hilbertraum wie folgt zerlegen:

Ĥ = Ĥ[phys] + Ĥ[unphys]
|Zustand) = |phys) * |unphys)

Dabei steckt in Ĥ[unphys] das longitudinal polarisierte Eichboson.

Insgesamt hat man das temporal polarisierte Eichboson über A°=0 eliminiert und das longitudinal polarisierte Eichboson in |unphys) verschoben, und somit die Eichung in |phys) vollständig fixiert. D.h. in Ĥ[phys] und in |phys) stecken nur noch physikalische Freiheitsgrade, nämlich die transversal polarisierten Eichbosonen.


[anker]9-6[/anker]9.6 Der Hamiltonoperator

Ausgangspunkt für diese Überlegungen waren die unphysikalischen Felder A(x) mit vier Polarisationen (temporal A°, longitudinal, 2 * transversal), sowie ein Hamiltonoperator mit der aus der klassischen El.-Dyn. bekannten Energiedichte

h(x) ) = ½ [E²(x) + B²(x)] + fermionische Terme.

Um nun zum physikalischen Hamiltonoperator Ĥ[phys] zu gelangen, muss man den oben konstruierten Operator U[θ] auch auf h(x) anwenden. Dabei entsteht ein neues h’(x), das nur noch physikalische Felder enthält. Das longitudinale Eichboson verschwindet nun nicht einfach, sondern es wird in den unphysikalische Sektor verschoben. Gleichzeitig entsteht eine Struktur, die quasi als Überbleibsel interpretiert werden kann, nämlich das „statische“ Potential zwischen zwei Ladungen bzw. Farbladungen.

Im Folgenden werde ich nicht den vollständigen Hamiltonoperator diskutieren, sondern nur einen wesentlichen Term, um den qualitativen Unterschied zwischen elektromagnetische WW mit U(1) Symmetrie und starker WW mit SU(3) Symmetrie zu verdeutlichen. Weitere Terme sind mit … angedeutet.

Für den Fall U(1) erwartet man das statische Potential das Coulombpotential U(r) ~ 1/r. Leider ist die Formulierung etwas komplizierter: zunächst muss man teilweise Operatoren im Impulsraum, d.h. Feldoperatoren bzw. Erzeuger und Vernichter einführen. Zum zweiten muss man bei der Lösung eine Koordinatenrichtung z auszeichnen. Bzgl. dieser ist dann die longitudinale Polarisation definiert. Ich wähle im Folgenden eine mathematisch nicht ganz korrekte, jedoch für die Interpretation hoffentlich ausreichend vereinfachte Notation.

Zunächst der einfache Fall der U(1) Symmetrie: das Coulombpotential lautet:

h(n) = g² ρ(n) ρ(-n) / n² + …

ρ = ρ[Ψ]


Hier und im Folgenden bezeichnet ρ bzw. R die Ladungsdichte, d.h. die Null-Komponente des Vierervektors j bzw. J. Man erhält H aus h durch Integration über die transversalen Richtungen x (hier nicht notiert) sowie durch Summation über n.

Die physikalische Interpretation ist die, dass zwei Ladungen ρ im „Coulombpotential 1/n²“ statisch wechselwirken. Tatsächlich kann man 1/n² als eine Art Fouriertransformation des singulären Coulombpotentials 1/r (in drei Dimensionen) auffassen. Insbs. spiegelt sich hier auch die Tatsache wieder, dass Photonen masselos sind.

Die dynamischen, transversalen Photonen stecken in … und sind für die WW nicht weiter relevant.

Nun der kompliziertere Fall der SU(N) Symmetrie: statt des bekannten Coulombpotentials erhält man:

h(n) = g² Rª(n, p,q) Rª(-n, p,q) / [n + g(p-q) Z(p,q)]² + …

Rª = ρª[Ψ] + ρª[A,E] = ρª[Ψ] + (A×E)ª


Wiederum erhält man H aus h durch Integration über die transversalen Richtungen x sowie durch Summation über n sowie Summation über p und q. Hier entsprechen nun A (und E) den beiden physikalischen = transversal polarisierten Eichfeldern, d.h. die Feldoperatoren zu A und E erzeugen „zweidimensionale ebene Wellen“.

Die physikalische Interpretation ist analog zum einfacheren Fall der U(1) Symmetrie, allerdings erhält man ein wesentlich komplizierteres „Coulomb-Potential“:

Statt einer WW zwischen rein fermionischen Strömen bzw. Ladungsdichten wechselwirken hier fermionische Anteile und Eichfeldanteile miteinander. Dies entspricht eben der Tatsache, dass die Eichfelder und (sowie E) selbst zur Ladungsdichte Rª beitragen.
Außerdem wird der Nenner n² im Coulombpotential durch einen komplizierteren Term ersetzt. Durch die nichttriviale Topologie der SU(N) Eichgruppe ist es nämlich doch nicht möglich, die longitudinalen Eichfelder vollständig zu eliminieren; es bleiben sogenannte abelsche Zero-Modes Z(p,q) übrig, das sind Eichfelder, die keine Farbladung mehr tragen (kein Index ª), und die im wesentlichen einen konstanten, d.h. x-unabhängigen Wert haben!
Diese Zero-Modes führen für kleine n (das entspricht großen x) zu einem qualitativ unterschiedlichen Verhalten im effektiven Potential U(r), was letztlich der Grund für das Color-Confinement sein sollte. Insbs. wird der für U(1) singuläre Fall n=0 vermieden, da hier immer noch der Beitrag g(p-q)Z(p,q) verbleibt.

Die analytische Untersuchung dieses Hamiltonians ist leider extrem kompliziert, so dass aufgrund seiner Struktur qualitative Aussagen gewonnen werden können, quantitative Aussagen jedoch häufig nicht möglich sind.

Auf Details zu dynamischen Ursachen für das Confinement komme ich später zuürck.

[anker]9-7[/anker]9.7 Physikalische Relevanz von Eichtheorien

Eichtheorien erlauben auf eine standardisierte Weise die Einführung von Wechselwirkungen zwischen Materie (Spinorfelder) und Strahlung (Vektorfelder). Die Forderung nach lokaler Eichsymmetrie erzwingt die Einführung des Eichfeldes (Vektorbosonen) und legt die Kopplung an die Materie (Spinoren) fest. Dirac-, Maxwell- und Yang-Mills-Gleichungen können eindeutig abgeleitet werden. Dabei zeigt sich, dass in SU(N) Eichtheorien auch die Eichbosonen (Vektorbosonen) selbst Ladung tragen und somit mit sich selbst wechselwirken.

Die Implementierung (Anwendung) einer bestimmten Eichung (A°=0) und des daraus resultierenden Gauß-Gesetzes als Constraint eliminiert die unphysikalischen Eichfreiheitsgrade (temporale und longitudinale Polarisationen der Eichbosonen)I; es verbleiben die physikalischen Freiheitsrade = die beiden transversalen Polarisationen der Eichbosonen.

Außerdem wird durch die Eliminierung der unphysikalischen Freiheitsgrade eine hochgradig nichttriviale Wechselwirkungsstruktur in den Hamiltonoperator (= den Energieoperator) eingeführt. Im U(1) Fall reproduziert dies exakt das bekannte Coulombpotential zwischen elektrischen Ladungsdichten. Im SU(N) Fall erhält man ein modifiziertes Coulombpotential, wobei nun die Wechselwirkung sowohl zwischen Beiträgen der Fermionen als auch zwischen Eichbosonen zur Ladungsdichte stattfindet.

Die Gültigkeit der Eichsymmetrie in der QFT garantiert in vielen Fällen die störungstheoretische Renormierbarkeit der Theorie allen Ordnungen. Außerdem wird die mathematische Konsisztenz der Theorie über Beweis der Anomalienfreiheit gezeigt; die Eichsymmetrie bleibt auch in der quantisierten Version in allen Ordnungen erhalten. Insbs.in der QCD folgen bestimmte Eigenschaften direkt aus den mathematischen Strukturen der Eichtheorie: asymptotische Freiheit und Scaling, Confinement, chirale Symmetriebrechung (nur im Rahmen der Gittereichtheorie)

[anker]9-8[/anker]9.8 Mathematik der Faserbündel

Das alles hat eine fundierte mathematische Basis, nämlich die der sogenannten Faserbündel.

Man stelle sich ein Bündel Spaghetti vor; in unseren Falle wären es bereits gekochte Spaghetti, d.h. das Bündel kann gekrümmt sein. Man stelle sich weiterhin vor, das Bündel würde den gesamten Raum ausfüllen, wobei zwar alle möglichen Verbiegungen / Verwindungen usw. zulässig wären, die Spaghettis jedoch weiterhin parallel zu ihren Nachbarn verlaufen müssten, also Verwindungen nur im Großen. Jede Nudel entspricht der Wirkung einer Eichtransformation, d.h. eine Eichtransformation führt entlang einer Nudel. Man nennt dies den Gauge-Orbit.

In diesem Falle ist die Eichgruppe ein eindimensionaler Raum für ein Eichfeld mit einer Komponente (dem Wert entlang der Nudel). Außerdem handelt es sich um eine zweidimensionale Raumzeit. Zusammen füllt dies den dreidimensionalen Raum mit den Spaghettis aus (also nicht sehr realistisch, aber einigermaßen anschaulich).

Jetzt führt man eine Eichfixierung durch: Dazu schneidet man mit einem unendlich langen und beliebig flexiblen Messer durch die Spaghettis; das Messer darf sich während des Schneidens praktisch beliebig verbiegen, wobei Folgendes zu berücksichtigen ist:
- es wird immer senkrecht durch die Spaghettis geschnitten
- durch jede Nudel wird genau einmal durchgeschnitten

Man erhält einen globalen Schnitt durch die Spaghettis. Dieser repräsentiert die Eichung. Je nach Komplexität der Eichgruppe wird dieser Schnitt entsprechend kompliziert sein.

Verallgemeinerung des obigen Bildes für bekannte Eichgruppen:
- zunächst benötigt man eine vierdimensionale Raumzeit
- in der QED benötigt man an jedem Punkt vier Spaghettis (Viererpotential)
- in der QCD benötigt man an jedem Punkt vier achtdimensionale Spaghettis (Viererpotential, acht Gluonen)

Letzteres führt zu mathematischen Problemen bei der Eichfixierung:
1) man bevorzugt kovariante Eichungen (A°=0 ist keine!); für kovariante Eichungen ist jedoch kein globaler Schnitt bekannt, d.h. jede Eichbedingung fixiert die Eichung nur teilweise
2) man erhält Eichungen, in denen der Schnitt jede Nudel unendlich oft in endlichem Abstand schneidet. Innerhalb eines bestimmten Gebietes ist die Eichung eindeutig fixiert (jede Nudel genau einmal geschnitten), global jedoch nicht. Man bezeichnet das eindeutige Gebiet als Gribov-Horizon, die mehrfachen Schnitte als Gribov-Copies oder Gribov-Ambiguities. Ergebnis: es bleibt eine globale, diskrete Eichsymmetrie zurück.
3) im Falle gebräuchlicher kovarianter Eichungen wird zunächst ein Freiheitsgrad durch die Eichung selbst eliminiert. Statt des "einfachen" Gauß-Gesetzes erhält man einen komplizierteren Constraint. Um diesen Im Pfadintegral einzubauen und den zweiten unphysikalischen Freiheitsgrad loszuwerden, muss man sogenannte Geist-Felder einführen. Diese kombinieren zusammen mit dem einen unphysikalischen Freiheitsgrad zu 0, d.h. beide treten zwar im Pfadintegral auf, heben sich jedoch in physikalischen Größen wie z.B. Wirkungsquerschnitten weg. Die Geist-Felder verletzen übrigens das Spin-Statistik Theorem.

Zum Vergleich einiger Eichbedingungen:

Physikalische Eichungen = Eliminierung aller unphysikalischer Freiheitsgrade
- A° = 0; A = 0 (Implementierung über Gauß-Gesetz; hier stehen 0 und 3 für Lorentz-Indizes!)

Unphysikalische Eichungen = Eliminierung unphysikalischer Freiheitsgrade über Geister
- dA = 0
- div A = 0

Dem Vorteil der physikalischen Eichungen steht häufig der Nachteil der nicht-kovarianten Formulierung gegenüber. Insbs. in der Störungstheorie wird deswegen meist eine kovariante, jedoch nicht physikalische Eichung gewählt.

Ich habe im obigen Fall der Ableitung des Hamiltonoperators über die Anwendung des Gauß-Gesetzes jedoch eine nicht-kovariante Eichung gewählt, da nur in diesem Fall eine direkte physikalische Interpretation möglich ist. I.A. kann man sagen, dass für Niederenergiephysik (gebundenen Zustände wie Nukleonen, Confinement etc.) physikalische Eichungen vorteilhaft sind. Insbs. wird die Topologie der SU(N) Eichgruppe und des resultierenden Faserbündels exakt (und ohne Zuhilfenahme von Geistern) implementiert. Insbs. die o.g. Zero-Modes sind eine direkte Konsequenz dieser Faserbündelstruktur.

[wilfried]

Tag Tom

Interessanter Artikel und gut geschrieben.

Dazu ein paar ganz wenige Zusätze und auch ganz kurz gehalten meinerseits:

Die Feldtheorie hat folgende Gestalt:

es sind Mannigfaltigkeiten gegeben, sagen wir einmal zwei und nennen diese X und Y. In fast allen Fällen entsprciht der Mannigfaltigkeit X die vierdimensionale Minkowski Raumzeit , derweil Y ein Raum entspricht.

Eine Feldkonfiguration zeigt dann folgende Abbildung:



Soll heißen: Jedem Punkt ist ein Zustand zugeordnet.

Ich kann auch sagen: sind X und Y Mannigfasltigkeiten, dann nennt man ein Faserbündel. In Kapitel 4 meines Aufsatzes "vom Vekor zum Tensor" habe ich Tangentialbündel vorgestellt. Das ist iene sehr ähnliche Definition. In jedem Punkt P einer gekrümmten Fläche wird diesem Punkt eine Mannigfaltigkeit zugeordnet, quasi eine dem Punkt P zugeordnete Kopie von Y angepinnt.

Der fundamwentale Unterschied jedoch ist, daß die Diemension des Tangentialraums durch die Dimension der Mannigfaltigkeit eindeutig festgelegt ist.

Erläuterung

Der Tangential und auch der Co-Tangentialraum erklären sich aus diesem Grunde eindeutig aus der Mannigfaltigkeit

Hat man erkannt, daß ein Tangentialbündel nichts anderes als ein Faserbündel ist, dann kann etwas ketzerisch -aber durchaus zu Recht- gesaht werden:

Die Allgemeine Relativitätstheorie ist die Eichtheorie der Poincaré Gruppe

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

Hallo Wilfried,

deinen letzten Satz "Die Allgemeine Relativitätstheorie ist die Eichtheorie der Poincaré Gruppe" muss man wirklich noch etwas interpretieren, denn in der "gewöhnlichen" Formulierung der ART gibt es diese lokale Eichinvarianz nicht!

Gründe:
1) es gibt kein Eichfeld A
2) es gibt kein Gauß-Gesetz
3) es gibt keine lokale Poincare-Symmetrie!!!
4) es gibt "lediglich" die Diffeomorphismen-Invarianz

Der Einwand 1) ist ein formaler. Man muss eben ein Objekt A identifizieren, das in der adjungierten Darstellung der Gruppe "lebt", in der ART hat man aber nur die Metrik sowie die Christoffel-Symbole, die jeweils anders transformieren und die nicht zueinander konjugiert sind.

Der Einwand 2) ist schwerwiegender. Ohne dieses Gauß-Gesetz bist du nicht in der Lage, die Eichtransformation über eine kanonische Transformation einzuführen.

1+2) zusammen ergeben sich aus de Tatsache, dass du zwar einen Tangentialraum einführen kannst, dass du aber kein fundamentales Feld hast, das in diesem Tangentialraum lebt. Ein Tangentialraum existiert ja zu jeder Mannigfaltigkeit, unabhängig davon, welche Objekte in ihm leben.

3) ist der eigentliche Knackpunkt. Tatsächlich sind die Symmetrien der SRT i.A. keine Symmetrien der ART, da eine gekrümmte Raumzeit eben diese "globalen" Symmetrien gar nicht zulässt. Erst in speziellen Fällen, wenn du nämlich geeignete Killingvektorfelder hast, kann doe Poincare-Gruppe (bzw. eine geeignete Untergruppe als Symmetriegruppe auftreten)

4) Die Diffeomorphismen-Invarianz ist zunächst etwas völlig anderes. Am einfachsten betrachtest du eine ganz normale holomorphe Funktionen f(z). Diese vermittelt auf der komplexen Zahlenebene einen Diffeomorphismus. In zwei Dimensionen ist das etwas sehr spezielles, denn man kann die Dimension dieser Gruppe der Diffeomorphismen bestimmen und stellt fest, dass sie unendlichdimensional ist, also unendlich viele Generatoren hat (mehr dazu bei Gelegenheit - hat interessante Aspekte in der Stringtheorie). Dü würdest aber nicht behauoten, dass die

So, und warum hast du nun trotzdem recht???

Weil der Herr Ashtekar so findig war, uns eine neue Darstellung der ART zu liefern, in der die Eichsymmetrie tatsächlich zusätzlich zu der Diffeomorphismeninvarianz auftaucht. Dazu musste er aber neue Objekte nutzen, um diese Symmetrien aufzudecken.

Zunächst führt er die sogenannten Vierbeine ein. Am einfachsten stellt man sich eine gekrümmte Mannigfaltigkeit vor (z.B. eine Kugeloverfläche), definiert an einer Stelle den Tangentialraum (eine Ebene, die die Kugel berührt) und führt auf dieser Ebene ein Koordinatensystem ein (zwei Basisvektoren in der Ebene). Das sind die Vierbeine (hier: Zweibeine). Man kann nun betrachten, wie sich die Vierbeine ändern, wenn man den Berührpunkt verschiebt und damit in einem neuen Punkt der Mannkigfaltigkeit einen neuen Tangentialraum definiert (den gibt es nämlich in jedem Ounkt). Dabei gelangt man zu einer Art des Zusammenhangs, der mit den Christoffelsymbolen verwandt ist. Diese beiden Objekte, nämlich der Zusammenhang (der über eine Krümmunsgform definiert ist) und die Vierbeine definieren die fundamentalen Objekte der Eichgruppe.

Die Vierbeine haben die interessante Eigenschaft, dass sie quasi die "Wurzel" der Metrik sind. Umgekehrt lässt sich die Metrik als "Quadrat" der Vierbeine darstellen:



Dabei tritt nun eine zweite Metrik im Tangentialraum auf. Interessant ist, dass diese Metrik im "flachen Tangentialraum lebt, d.h. die Metrik lautet einfach



wie in der SRT!

Zu erklären, warum alle Gleichungen der ART - wenn man sie entsprechend formuliert, eine lokale Eichsymmetrie aufweisen - ist ziemlich mühsam. Ich suche dazu mal eine entsprechende Quelle. Hier nur soviel: Man kann die Vierbeine natürlich "in ihrem Tangentialraum" (Bsp. Kugel: in der gedachten Ebene) beliebig rotieren, ohne dass sich dadurch die Physik ändert. Im Beispiel oben sieht man das daran, dass die Metrik quadratisch in den Vierbeinen ist. Man kann die Vierbeine rotieren, wobei das Skalarprodukt der Vierbeine (definiert im Tangentialraum) unverändert bleibt. Man denke sich dazu einfach vier Vektoren, jeder griechische Index der Vierbeine definiert einen Vektor, jeder lateinische Index numeriert die Komponenten dieses Vektors.

Dann sieht man, dass die Symmetriegruppe (die Rotation) der SO(1,3) entspricht. Das ist eine vierdimensionale Rotation, wobei die (1,3) auf die unterschiedlichen Vorzeichen der Metrik Bezug nimmt. Aus bestimmten mathematischen Gründen gelangt man dann jedoch zur SL(2,C) bzw. SU(2)*SU(2), aber das soll hier nicht interessieren.

Warum tatsächlich eine lokale und nicht nur eine globale SO(1,3) vorliegt, führt hier zu weit.

Man stellt schlussendlich also fest:
1) das Eichfeld A findet man über eine Krümmungsform im Tangentialraum
2) das Gauß-Gesetz entsteht dann in den Variablen A und e (letzteres sind die Vierbeine)
3) es gibt keine lokale Poincare-Symmetrie, sondern lediglich eine lokale SO(1,3), d.h. eine Lorentz-Symmetrie
4) die Diffeomorphismen-Invarianz existiert zusätzlich" zur SO(1,3), sie ist jedoch mit ihr verwoben, d.h. nicht unabhängig

[wilfried]

Tag Tom

recht herzlichen Dank für diese sehr interessante Stellungnahme. Was Du zum Tangentialraum sagst und der Ashtekar Erweiterung bzgl des Vierbein Mechanismus ist schon wichig. Hier liegt eben eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit mit global trivialem Tangentialbündel und vorgegebener Metrik vor. Und diese metrik benötigt und hat offensichtlich auch eine konstante Signatur:
-;+;+;+

Es führt in einige tiefen, wenn das Vierbein tiefer erläutert werden soll. Man muß schon vorsichtig sein, denn dieser Veriermechanismus hat noch einige Voraussetzungen, die in diversen Lemma festgehalten wurde.

So folgt beispielsweise nach etwas kompilizierter Durchrechnung auch der Levi-Citvita Zusammenhang als Operator aus der Torsionsfreiheit und der Metrizität.
(Ergibt sich aus der Wirkung des Viererkalküls in Basisdarstellung -> Berechnung der Zusammenhangkoeffizienten ... Lorentzzusammenhang mit Zusammenhang zwsichen Metrik h und Vektorbündel E. Die Zusammenhangkoeffs sind schlussendlich Christoffelsymbole. Löst man dies nach der Metrik auf, so erhält man den Levi-Civita-Zusammenhang)

Folgt man Ashtekar weiter, so führt das irgendwann zu einer besonderen Form der Hamilton Formulierung der Gravitation.
Memo dazu: ADM Zerlegung (ADM = Arnowitt-Deser-Misner-Formalismus ... Zerlegung der Raumzeit in dreidimensionale Raumschnitte ...führe ich nicht weiter)
Diese ADM Zerlegung wird auf das Vierbein und die Metrik angewandt. Wichtig: das geht nur, wenn wenn die Raumzeit global hyperboloid ist.

Einschränkungen des Formalisums oder auch Kritik daran:

Das zentrale Objekt dieser ADM Zerlegung ist die Metrik, deren Dynamik in den 10 Einstein Gleichungen kodiert wird. Schränkt man nun diese Metrik auf eine der raumartigen Hyperflächen ein, so merkt man, daß nicht jede beliebige Wahl mit diesen Feldgleichungen vereinbar ist. Vier dieser Feldgleichungen sind Zwangsbedingungen (Constraints), welche von den Anfangsdaten -soll heißen von einer auf eingeschränkten Metrik- zu erfüllen ist. Die zeitliche Veränderung der Metrik ist dann durch die 6 verbleibenden Feldgleichungen -auch Evolutionsgleichungen genannt- determiniert. Voraussetzung dazu: Einbettung der Hyperfläche und die Blätterung (leaves) der Raumzeit muss dabei mit berücksichtigt werden. Das wird gemacht durch eine Zerlegung des zeitartigen Vektorfelds nach den raumartigen Vektorfeldern, welche die Hyperfläche aufspannen.

Auch das ist eine äußerst komplexe mathematische Formulierung. Interessant ist dabei weiter eine der Folgerungen daraus:

Abspaltung der Zeit

Es wird die Hamiltondichte der Einstein-Hilbert Wirkung abgeleitet. Dazu muss man die zeitlichen Komponenten der Anholonomie im zugehörigen Wirkungsfunktional abspalten.
Hat man dieses mal geschafft, kann danach eine zum Vierbein zugehörige konjugierte Koordinate definiert werden. Erst dann kann eine Legendre Trafo die Hamiltonfkt der Einstein-Hilbert Wirkung angewandt werden.

Dazu ist wiederum eine Eichung notwendig:

Brechung der Lorentzinvarianz des Vierbeins eben durch eine Wahl der Eichung.



Und wieder folgen ellenlange Berechnungen zur Lösung der Lagrange Terme, so daß man irgendwann mal zu der angesprochenen Legendre Trafo überhaupt hin findet.


...und wohin gelangen wir dann???

Zu den Ashtekar Variablen. Extrinsische Krümmung mit gewichtetem Dreibein ... desweiteren finden wir, daß der Gauß Constraint und die Yang-Mills Theorien mit diesen Ashtekar Variablen interpretierbar werden. Und die Einstein Feldgleichungen finden mit den Ashtekar Variablen Lösungen -> Schwarzschild Metrik, Kerr Metrik, Robertson-Walker Metrik


Tom, Du hast "ein Faß" aufgemacht mit Deinem Beitrag. Das ist alles so spannend und doch ist soooo viel Kritik notwendig.

Wie ich im Forum bereits mehrfach sagte: Die Eichungen sind ein wahres Wundermittel, aber man muss bei jeder Eichung sehr sorgfältig alle Konsequenzen durchdenken. Das macht diese Verfahren a) so "nervig" und b) so problematisch.

Schnell hat man dem Teufel ein Ohr wegeechit und Jahre später muß alles wieder zurückgenommen werden.

Ketzerfrage: Muss das alles so komliziert sein? Ist eventuell der Weltmechanismus etwas einfacher gestrickt??????


Gruß

Wilfried

[tomS]

Hallo Wilfried,

eine ganz wichtige Anmerkung: Ashtekar vermischt zwei Vorgehensweisen:
A) er steuert auf den Hamiltonformalismus zu; deswegen benötigt er die Blätterung M[up]4[/up] = M[up]3[/up] * R mit der raumartigen Dreiermannigfaltigkeit M[up]3[/up], die Eichung A[up]0[/up]=0, Lapse- und Shift-Funktionen, Hamiltonoperator H, Gauss-Constraint G[up]a[/up] etc.
B) er benötigt eine strukturell einfache Formulierung von H und G[up]a[/up]; deswegen verwendet er statt der Metrik g die Vierbeine E[up]a[/up]

Um eine Formulierung der ART als klassische Eichtheorie einzuführen wäre B) alleine ausreichend! A) ist dem Hamiltonformalismus geschuldet und nur dafür nötig. Also benötigt man eigentlich nicht die volle Komplexität des Ashtekar-Formalismus, sondern es genügt der Beweis von A) im Lagrangeformalismus statt im kanonischen Hamiltonformalismus.

Ich versuche, genau das mal darzustellen, d.h. mich ausschließlich auf den Aspekt "Eichtheorie" zu konzentrieren und die Problematik "Hamiltonformalismus" und "Quantisierung" wegzulassen.

[wilfried]

Tag Tom

das weiß ich, daß Ashtekar über den Hamilton Mechansimus geht. Ich bin mal gespannt auf Deine Ausführungen. Bisher fand ich den Weg, den Ashtekar geht ganz interessant und vor allen Ding auch schematisch lösbar.

Ashtekar braucht das Vierbein nur, um sein gigantisches Formelwerk aufzustellen. Aber hat man die Formeln einmal, so ist das nicht mehr notwendig. Dann werden die Einstein Feldgleichungen mit Dreibein bzw. gewichtetem Dreibein bestimmt.

Irgendwie macht mir der Ashtekar Weg einen recht geschlossenen Eindruck.

Wenn Du die ART über die klassische Eichtheorie beschreibst, dann machst Du ja genau das, was ich mit meinem roten Satz bemerkte:

Basis: die inhomogene Lorentzgruppe oder auch Poincaré Gruppe genannt. Sie besteht aus den homogenen Lorentztrafos und den Translationen. Die Ltrafos sind durch den Impulsraum bestimmt; sie formen als Untergruppe die volle Lorentzgruppe, während die Translationen eine andere Untergruppe bilden.

Das ist doch der Ansatz oder nicht?

Dann mag sein, daß Du noch die komplexe Lgruppe erster und zweiter Art aufführst. Das führt dann über die zweite Verallgemeinerung der reellen Lgruppe zu einer 16 parametrigen Gruppe, die schliesslich mit ihrer Matrix P, PT und T verbindet.

(Literatur: A.O. Barut, Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles, McMillian Company, New York, 1964, pp 3-43)

Mal sehen, welchen Weg Du einschlägst

Netten Gruß

Wilfried

[tomS]

Ich versuche meine Idee anhand deiner Bemerkunegn nochmal klarzustellen.

Eines nochmal vorweg, denn das ist meine zentrale Idee: Ashtekar benötigt zwei wesentliche Elemente, um zu einer vernünftigen Quantisierung zu gelangen:
A) kanonischer bzw. Hamiltonformalismus mit vorheriger Zerlegung der Raumzeit in eine räumliche Richtung plus raumartigen, dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten
B) neue Koordinatenwahl, d.h. im Wesentlichen Vierbeine plus eine spezielle Art des Zusammenhangs / der Krümmungsform
Insgs. ist der Formalismus mathematisch wohldefiniert, jedoch insgs. relativ komplex.

Meine zentrale Behauptung ist, dass man lediglich B) benötigt, um zu zeigen, dass die ART analog zu klassischen Eichtheorien formulierbar ist. A) ist dafür überflüssiger Ballast (nicht für die Quantisierung, aber für die klassische Theorie)

@Wilfried:

Bisher fand ich den Weg, den Ashtekar geht ganz interessant und vor allen Ding auch schematisch lösbar.

Ich wollte nie etwas daran kritisieren.

Dann werden die Einstein Feldgleichungen mit Dreibein bzw. gewichtetem Dreibein bestimmt.

Das ist ein Ergebnis von A) und für unsere Überlegungen nicht notwendig.

Wenn Du die ART über die klassische Eichtheorie beschreibst, dann machst Du ja genau das, was ich mit meinem roten Satz bemerkte:

Basis: die inhomogene Lorentzgruppe oder auch Poincaré Gruppe genannt. Sie besteht aus den homogenen Lorentztrafos und den Translationen. Die Ltrafos sind durch den Impulsraum bestimmt; sie formen als Untergruppe die volle Lorentzgruppe, während die Translationen eine andere Untergruppe bilden.

Das ist doch der Ansatz oder nicht?

Nein! Der Weg ist folgender: Die Einführung des Vierbeins erlaubt die Einführung einer zusätzlichen Rotationssymmetrie. Dabei stellt sich heraus, dass diese zusätzliche Rotationssymmetrie bereits geeicht ist, d.h. dass es sich um raumzeitabhängige Rotationen handelt. Sie entspricht im wesentlichen der Lorentzsymmetrie mit Rotationen und Boosts. Die erweiterte Poincaresymmetrie, d.h. speziell die Translation, taucht in diesem Zusammenhang gar nicht auf. Dazu müsste man im Ashtekar-Formalismus die Impulsoperatoren betrachten, tut man aber nicht (ich weiß nicht, warum).

Wichtig: die hier auftretende Symmetrie ist eine lokale Eichsymmetrie, während die Lorentzsymmetrie eine globale Symmetrie der SRT ist! Die beiden sind verwandt, aber nicht identisch.

Dann mag sein, daß Du noch die komplexe Lgruppe erster und zweiter Art aufführst

Das ist ein schwieriges (und evtl. noch nicht abschließend verstandenens) Thema, wird aber grundsätzlich für B) nicht benötigt.

[wilfried]

Tag Tom

Nein! Der Weg ist folgender: Die Einführung des Vierbeins erlaubt die Einführung einer zusätzlichen Rotationssymmetrie. Dabei stellt sich heraus, dass diese zusätzliche Rotationssymmetrie bereits geeicht ist, d.h. dass es sich um raumzeitabhängige Rotationen handelt. Sie entspricht im wesentlichen der Lorentzsymmetrie mit Rotationen und Boosts. Die erweiterte Poincaresymmetrie, d.h. speziell die Translation, taucht in diesem Zusammenhang gar nicht auf. Dazu müsste man im Ashtekar-Formalismus die Impulsoperatoren betrachten, tut man aber nicht (ich weiß nicht, warum).

Ist das ein neuartiger Weg? Sollte das ein neuartiger Weg sein, willst Du das im Forum veröffentlichen, oder wäre es in diesem Fall nicht besser ein paper in physical reviews oder einer anderen Zeitschrift einzureichen?

Gruß

Wilfried

[tomS]

Hallo Wilfried,

wir diskutieren dieses spezielle Thema besser unter "Quantengravitation" weiter

Gruß
Thomas

[wilfried]

Machen wir

Gruß

Wilfried