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06. Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Übersichtsartikel zur Elementarteilchenphysik und zur Quantenfeldtheorie
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06. Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von tomS » 8. Mär 2009, 22:57

[anker]6[/anker]6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

[anker]6-1[/anker]6.1 Das Vakuum

Das Vakuum ist eines der spannendsten Themen der Quantenfeldtheorie überhaupt.
Z.B. sind zwei wesentliche Phänomene der QCD, nämlich die spontane Brechung der chiralen Symmetrie sowie mögliche Effekte zur Erklärung des Confinements (Stichwort: chromo-elektrischer Meissner-Effekt) bereits in der Vakuumstruktur der Theorie vorhanden. D.h. dass das Vakuum selbst bereits verantwortlich für das Confinement der Quarks in den Hadronen sein sollte. Der Higgs-Effekt, der (nach ggw. Verständnis) die Massen aller bekannten Elementarteilchen erzeugt, ist ebenfalls ein Vakuum-Effekt.

Kurz zum chromo-elektrischen Meissner-Effekt: es handelt sich dabei um ein dem aus der Supraleitung bekannten Meissner-Effekt verwandtes Phänomen. Ein Supraleiter verdrängt magnetische Feldlinien aus seinem Inneren. Das QCD-Vakuum verdrängt nun analog die chromo-elektrischen Feldkomponenten, was zur Ausbildung von Flussschläuchen zwischen Farbladungen führt. Die Flusssdichte in diesen Flussschläuchen und damit die Kraft zwischen den Quarks ist unabhängig deren Abstand, was letztlich zum Phänomen des Colour-Confinements führt. Näheres dazu im Kapitel zur QCD.

Zunächst betrachten wir mal eine QFT auf Basis der SRT. Die SRT ist wichtig, da man sie benötigt, um eine Zerlegung nach positiven und negativen Frequenzen durchführen zu können. In der oben skizzierten Definition von Feldoperatoren tritt ein Fourierintegral auf. Dieses enthält immer positive und negative Frequenzen, die vorwärts bzw. rückwärts in der Zeit propagierenden Teilchen entsprechen. Letztere werden uminterpretiert zu vorwärts propagierende Antiteilchen. Zu dieser Zerlegung benötigt man die Lichtkegelstruktur aus der bekannten Beziehung E² = p² + m² mit den beiden Lösungen ±|E|.

Wir müssen nun (leider) verschiedene Vakuumzustände bzw. Definitionen unterscheiden!

|Fock-Vakuum)
|Vakuum bzgl. einer Symmetrie / Ladung)
|Zustand niedrigster Energie)

Das Fock-Vakuum
Ich habe diese Unterscheidung weiter oben so nicht getroffen, es sollte aus dem Kontext aber klar sein, dass wir da über das Fock-Vakuum gesprochen haben. Dieses nennen wir der Einfachheit halber |0), also

|Fock-Vakuum) = |0)

Das Fock-Vakuum |0) geht davon aus, dass es eine "leeren" Grundzustand gibt, dem man sukzessive ein ums andere Teilchen hinzufügen kann, also

|leerer Raum) = |0)
|Elektron mit Impuls p) = d*(p) |0)
|zwei Elektronen mit Impulsen p,q) = d*(p) d*(q) |0)
...

Dabei steht d*(p) für einen Operator, der ein Elektron mit Impuls p erzeugt.

Dieses Fock-Vakuum |0) weist jedoch bereits Nullpunktsschwingungen auf. Leider ist es in vielen Fällen nicht brauchbar, da z.B. Symmetriebrechungseffekte u.ä. dazu führen, dass dieses naive Bild eines „leeren“ Raumes unrealistisch wird. Man denke an das Higgs H, das im Vakuum einen nichtverschwindenden Erwartungswert hat, also

(Vakuum|H|Vakuum) = h°

Damit ist klar, dass im Falle des Higgs das Fock-Vakuum nicht verwendet werden kann.

Unendlichkeiten im Fock-Vakuum
Anhand der Quantisierung vo Fermionen bzw. der Konstruktion des Fock-Vakuums kann man bereits eines der zentralen Probleme der QFT demonstrieren. Betrachtet man die Energie-Impuls-Beziehung

E² = p²+m²,

so stellt man fest, dass zu gegebener Masse m und zu festem Impuls p eigentlich zwei Lösungen ±|E| existieren. Setzt man nun ein Elektron in den Grundzustand E = +m (p=0), so könnte dieses Elektron unter Aussendung von Strahlung in in den niedrigeren Zustand E = -m springen. Analog kann man für andere Energiewerte E(p) argumentieren, so dass schließlich alle Elektronen in den Energieniveaus E ≤ -m sitzen. D.h. aber, dass ein Fock-Zustand mit einem Elektron der Masse m mit Energie E = +m instabil wäre.

Um diese Problematik zu umgehen, denkt man sich im Vakuum die negativen Energiezustände bereits alle mit Elektronen besetzt. D.h. dass unendlich viele Elektronen mit negativen Energien im Fock-Vakuum sitzen. Man nennt diesen Zustand Dirac-Sea (dt.: „die See; man spricht ja im Englischen nicht von Dirac-Lake) Aufgrund des Pauli-Prinzips ist dieser Zustand stabil: setzt man ein weiteres Elektron nun in den Zustand E = +m, so kann dieses nicht mehr in den Zustand E = -m springen, denn dieser ist ja bereits besetzt und eine doppelte Besetzung ist verboten.

Unschön ist nur, dass die unendlich vielen Elektronen, die die negativen Energieniveaus besetzen, einen unendlichen Beitrag zum Teilchenzahloperator und damit zum Hamiltonoperator H liefern! Analoges gilt für die elektrische Ladung Q und andere Operatoren. D.h. formal ist

H|Dirac-Sea) = ∞ |Dirac-Sea)
Q|Dirac-Sea) = ∞ |Dirac-Sea)



Dies sind die ersten Unendlichkeiten in der Quantenfeldtheorie, denen wir begegnen. Da es sich hier um eine Betrachtung eines einfachen Modells noch ohne weitere Wechselwirkung und Eichsymmetrie handelt, ist es relativ einfach, diese Beiträge „wegzudefinieren“. Man betrachtet dazu einen Operator, vom dem der unendliche Beitrag subtrahiert wird. Aufgrund einer bestimmten mathematischen Operation bezeichnet man diesen Operator als „normalgeordent“; er wird mittels Doppelpunkten gekennzeichnet:

:H: = H – (0|H|0)
:H: |0) = 0

Im Falle von komplizierteren Wechselwirkungen und Eichsymmetrien ist die Normalordnung mathematisch extrem aufwendig, da eine naive Vorgehensweise die Eichsymmetrie der Theorie zerstört.

Es handelt sich bei der Normalordnung um eine sogenannte Regularisierung, d.h.man subtrahiert eine Unendlichkeit bzw. steckt diese in eine einzige „unendliche Konstante“. In renormierbaren Theorien lässt sich zeigen, dass die Anzahl dieser Konstanten endlich ist, d.h. dass im wesentlichen mit einer einzigen derartigen Regularisierung alle möglichen Unendlichkeiten - auch die anderer Operatoren - beseitigt sind.

Das Vakuum bzgl. einer SymmetrieDer nächste Schritt ist die Konstruktion eines Vakuums bzgl. einer bestimmten Symmetrie. Dazu muss ich etwas vorgreifen: Details zu den Symmetrien folgen erst später.

Ich habe ja oben den Bezug zwischen klassischen Symmetrien und q.m. Operatoren hergestellt. In diesem speziellen Fall betrachten wir eine Symmetrietransformation

u(θª) = exp( itª θª )

mit Matrizen (= Generatoren) tª und Drehwinkelnθª. In der QM entspricht dem Generator tª eine Ladung Qª (ein Operator), d.h. wir erhalten

U[θª] = exp( iQª θª )

Das Vakuum bzgl. dieser Symmetrie ist nun ein Zustand, in dem keine Ladung enthalten ist, bzw. (äquivalent) das bzgl. der Symmetrie invariant ist, d.h. es gilt

Qª |symm. Vakuum) = 0
U[θª] | symm. Vakuum) = | symm. Vakuum)

Die zweite Gleichung erhält man durch Entwicklung der e-Funktion in Potenzen von θª und die Anwendung der ersten Gleichung.

Dieser Vakuumbegriff ist mit dem Fock-Vakuum verträglich, jedoch kann man eine größere Klasse von Vakuumzuständen definieren. Es gibt sehr komplizierte Grundzustände, die nicht dem Fock-Vakuum entsprechen, jedoch keine Ladung tragen.

Das physikalische Vakuum
Zuletzt nun zum physikalischen Vakuum |Ω). Dabei handelt es sich um den Zustand, der tatsächlich realisiert ist (also nicht nur um ein rein mathematisches Konstrukt)

In diesem Fall betrachten wir einen oder mehrere Zustände niedrigster Energie, d.h. man definiert das physikalischen Vakuum |Ω) durch

H|Ω) = E|Ω); minimales E;

Dieser Zustand entspricht im Wesentlichen dem physikalischen Vakuum, „auf dem sich alle weiteren Prozesse abspielen“. Der Zustand selbst kann extrem kompliziert sein, da er Nullpunktsschwingungen in extrem komplizierten Konfigurationen enthalten kann. Insbs. kann es Felder und bestimmte Arten von Ladungen geben, für die der Erwartungswert im physikalischen Vakuum ungleich Null ist.

Ein Beispiel ist das Quark-Kondensat in der QCD, das die chirale Symmetriebrechung anzeigt. Letztlich sagt es aus, dass die Wahrscheinlichkeit, bei einer "Messung des Vakuums" ein Quark-Antiquark Paar zu finden, größer Null ist. Man kann nun im Rahmen der QCD einen „Ladungsoperator“ definieren, der das Quarkkondensat „misst“

Q = ∫d³q q*(x) q(x)

Nun ist |Ω) bzgl. dieser Ladung Q kein Eigenzustand, d.h.

Q|Ω) ≠ 0
U[θª] |Ω) = |Ω’) ≠ 0


D.h. aber dass das physikalische Vakuum |Ω) nicht unbedingt mit dem Vakuumzustand bzgl. einer Symmetrie übereinstimmen muss.

Anmerkung: Ausklammern möchte ich Diskussionen über den Begriff des Vakuums im Rahmen der Quantengravitation. Während wir hier und im Folgenden vom Vakuum als „leeren Raum“ sprechen dürfen, müssten wir das Vakuum der Quantengravitation als „kein Raum“ oder „Abwesendheit von Raum“ begreifen. Dies würde jedoch deutlich den Rahmen sprengen.

[anker]6-2[/anker]6.2 Teilchen und Antiteilchen

Fermionen
Historisch wurden Antiteilchen als Lösungen negativer Energie zur Dirac-Gleichung vorhergesagt und später auch in der kosmischen Strahlung entdeckt (Positronen). Ursache ist die quadratische Dispersionsrelation

E² = p² + m²

die zwei Lösungen für E(p) zulässt.

Dirac postulierte dann die Existenz eines Antiteilchens zum Elektron (das Positron) mit entgegengesetzter Ladung, aber ansonsten identischer Eigenschaften (Masse, Spin, Parität). Das Positron wurde einige Jahre später auch in der kosmischen Strahlung entdeckt.

Im o.g. Bild der Dirac-Sea ergibt sich ein sehr einfaches Bild für Teilchen und Antiteilchen. Wenn durch einen physikalischen Prozess ein Elektron aus der Dirac-Sea angeregt und auf ein positives Energieniveau gehoben wird, dann erhält man ein physikalisches Teilchen positiver Energie sowie ein zurückbleibendes Loch in der Dirac-Sea. Letzteres interpretiert man als Antiteilchen, im Falle des Elektrons also als Positron. Mathematisch ist diese Interpretation vollständig konsistent, insbs. sind auch Ladung, Spin usw. richtig.

In der QFT existiert ein Operator Ĉ (charge conjugation), der ein Teilchen bzw. den Feldoperator in das jeweiliges Antiteilchen transformiert; z.B.

Ĉ|Elektron) = |Positron)

Formal muss zur Ladungs- auch noch die Paritätstransformation durchgeführt werden, d.h. man muss das jeweilige Spiegelbild des ladungskonjugierten Prozesses betrachten, also z.B. aus einem rechtshändigen Elektron ein linkshändiges Positron machen.

Nach dem Standardmodell sind alle Fermionen (Elektronen Quarks, Neutrinos) sogenannte Dirac-Teilchen (Beschreibung durch die Dirac-Gleichung). Die Dirac-Gleichung kann mittels Ĉ in eine Gleichung für die jeweiligen Antiteilchen transformiert werden.

Man kann aber auch eine exotischere Form der Spinoren, sogenannte Majorana-Spinoren konstruieren. Die Majorana-Gleichung bzw. Majorana-Spinoren sind invariant unter ?, d.h.

Ĉ|Majorana) = |Majorana)

Damit ist ein Majorana-Teilchen sein eigenes Antiteilchen.

Ein möglicher Kandidat für Majorana-Teilchen wären die Neutrinos. Ob diese Dirac- oder Majorana-Teilchen sind, kann man derzeit nicht mit letzter Gewissheit sagen; dazu müsste man den sogenannten neutrinolosen doppelten Beta-Zerfall nachweisen (im Falle eines positiven Nachweis würde es sich um ein Majorana-Teilchen handeln) oder definitiv experimentell ausschließen (dann würde es sich um ein Dirac-Teilchen handeln, wie es das Standardmodell fordert).

Der doppelte Beta-Zerfall würde durch die schwache Wechselwirkung vermittelt (wäre also sowieso extrem selten) und er müsste auch noch doppelt auftreten (also ist die Wahrscheinlichkeit quadratisch mit der schwachen Kopplungskonstanten unterdrückt).

Im neutrinolosen doppelten Beta-Zerfall zerfällt zunächst ein Neutron in ein Proton, ein Elektron und ein Antineutrino.
|Neutron) => |Proton, Elektron, Antineutrino)
Außerdem findet „zeitgleich“ noch ein inverser Beta-„Zerfall“ statt, aus einem Neutron und einem Neutrino werden ein Proton und ein Elektron
|Neutron, Neutrino) => |Proton, Elektron)
Die beiden Prozesse finden nach dem Standardmodell unabhängig voneinander statt und beeinflussen sich gegenseitig nicht. Wäre das Neutrino nun ein Majorana-Teilchen, so könnte das Antineutrino aus dem ersten Prozess im zweiten Prozess die Rolle seines eignen Antiteilchens übernehmen und vom Neutron absorbiert werden. Der Gesamtprozess wäre dann
|2 * Neutron) => |2 * Proton, 2* Elektron)
Das Neutrino tritt im Endzustand nicht mehr in Erscheinung – daher der Begriff neutrinoloser doppelten Beta-Zerfall.

Bosonen
Neben den Fermionen gibt es noch die Bosonen, die meist als ihre eigenen Antiteilchen aufgefasst werden können. Im Falle des Photons ist

Ĉ|Photon) = |Photon)

Im Falle der Gluonen wird aus einem Gluon mit Farbkombination (c, -c´) die neue Farbkombination (-c, c´), wobei dies als Transformation im Farbraum aufgefasst werden kann:

Ĉ|Gluon c, -c´) = |Gluon –c, c´)

Da Gluonen nie frei in Endzuständen sondern ausschließlich als virtuelle Teilchen in Zwischenzuständen auftreten, wird immer über alle Farbkombinationen summiert; d.h. physikalisch „sieht“ man nie ein Gluon und damit auch nie ein Anti-Gluon.

Im Falle der schwachen WW gilt, dass das Z° sein eigenes Antiteilchen ist, während das W in zwei Ladungszuständen +1 und -1 vorkommt; dies sind Teilchen und Antiteilchen.

Zum Auftreten: Sofern es ein Antiteilchen zu einem Teilchen gibt, wird dieses in der Natur auch auftreten. Es hat dabei identische Eigenschaften wie das Teilchen, d.h. identischen Spin, Masse usw., mit Ausnahme der entgegengesetzten Ladung(en). Alle Prozesse in der Natur können durch den Ĉ-konjugierten Prozess ersetzt werden und bleiben weiterhin gültig (beachte: formal muss auch noch die Paritätstransformation angewendet werden). In der schwachen WW wird diese Paritätsinvarianz explizit verletzt, allerdings erwartete man, dass die Kombination CP weiterhin eine erhaltene Symmetrie ist. Tatsächlich wurden jedoch Prozesse an sogenannten K- und B-Mesonen gefunden, die sogar die CP-Invarianz explizit brechen! D.h. in diesen Prozessen verhalten sich Teilchen und Antiteilchen tatsächlich unterschiedlich; insbs. ist ihre jeweilige Lebensdauer bzgl. eines bestimmten Zerfalls bzw. des CP-transformierten Zerfalls unterschiedlich. Das Phänomen der CP-Verletzung wird später im Rahmen der schwachen Wechselwirkung noch genauer diskutiert werden.

In der QFT treten Teilchen und Antiteilchen häufig gemeinsam als virtuelle Teilchenpaare in inneren Linien in Feynman-Diagrammen auf. Siehe dazu den nächsten Abschnitt.

[anker]6-3[/anker]6.3 Streuprozesse und virtuelle Teilchen

Die meisten Experimente in der Hochenergiephysik sind Streuexperimente. Dabei werden zwei Teilchen in einem Teilchenbeschleuniger aufeinander geschossen. Man kann im Rahmen der QFT mathematisch zeigen, dass aus den Strukturen der Streutheorie weitere Informationen z.B. über gebundene Zustände abgeleitete werden können. So tragen zu einem Streuexperiment alle in einer QFT möglichen Zustände als virtuelle Zwischenzustände bei. D.h. dass z.B. in einer Elektron-Proton Streuung neben dem virtuellen Photon auch weitere virtuelle Zwischenzustände z.B. das Higgs prinzipiell einen Beitrag leisten. Insbs. beim Higgs sind diese Effekte wichtige Informationsquellen, da man zumindest indirekt auf seine Masse (bzw. einen erlaubten Bereich für seine Masse schließen kann).

In der QED (oder QCD, …) betrachtet man die Streumatrix ?. Diese beschreibt die Wahrscheinlichkeitsamplitude, mit der ein einlaufender Zustand |in) aus einigen Teilchen (Elektronen, Positronen, Photonen) durch die QED-Wechselwirkung in einen auslaufenden Zustand |out) überführt wird. Die Wahrscheinlichkeit erhält dann man aus dem Quadrat der (komplexen) Wahrscheinlichkeitsamplitude.

Man sortiert die dabei auftretenden Terme nach Potenzen der Kopplungskonstanten α. Dabei ist die Streumatrix Ŝ formal (die berühmte Störungsreihe)

(out|Ŝ|in) = Summe über alle Terme a [αª * Summe über einzelnen Terme [ Integral über alle internen Impulse ] ]
= Vakuumbeiträge + α * [Terme erster Ordnung] + α² * [Terme zweiter Ordnung] + …


Jeder einzelne Term wird dabei durch ein Feynmandiagramm (für Details siehe nächster Abschnitt) beschrieben. Dieses hat "externe Beine" für die ein- und auslaufenden Teilchen, 2*a interne Vertizes, jeder mit einem Beitrag proportional zu α (insgs also αª) sowie interne Linien.
Jede interne Linie beschreibt dabei ein sogenanntes virtuelles Teilchen mit einem virtuellen Impuls, über den integriert wird. D.h. eigentlich gibt es nicht das einzelne virtuelle Teilchen, sondern alle virtuellen Teilchen einer Sorte mit Beiträgen von allen Vierer-Impulsen

Für die virtuellen Teilchen gilt dabei der relativistische Pythagoras

E² = p² + m²

nicht, d.h. alle Impulse, auch die klassisch nicht erlaubten, tragen bei; z.B. haben virtuelle Photonen i.A. eine Masse m. Dies ist der wesentliche Grund für den Begriff des virtuellen Teilchens!

Die Regeln für die Feynmandiagramme garantieren jedoch, dass die Energie-Impuls-Beziehung für die ein- und auslaufenden Teilchen (also für das gesamte Diagram) wieder gilt.
Die einlaufenden Teilchen haben vorgegeben Impulse (z.B. experimentell vorgegeben).
Für die auslaufenden Teilchen werden die Impulse (bzw. ihre Wahrscheinlichkeiten) gemessen.

In jedem Diagramm gibt es eine Zeitrichtung; man kann nun äußere Linien drehen / kippen und ähnliches und erhält verwandte Prozesse. Spiegelt man z.B. eine externe Elektronlinie, so dass das Elektron entgegen der einmal definierten Zeitrichtung läuft, so erhält man ein Positron. Daraus ergeben sich einige Symmetrien, die es erlauben, verschiedene Prozesse aus derselben Rechnung abzuleiten. Betrachtet man z.B. die niedrigste Ordnung ? zur Elektron-Photon-Streuung (Compton-Streuung), so erhält man durch einfache graphische Manipulationen (und daraus resultierenden Umstellungen in ein- und auslaufenden Impulsen) auch die Elektron-Positron-Annihilation. Formal ergeben sich diese Prozesse wie folgt aus |in) und (out|

(Elektron, Photon|Ŝ|Elektron, Photon) => Compton-Streuung
(Elektron, Positron|Ŝ|Photon, Photon) => Elektron-Positron-Annihilation

Nun zu dem o.g. Prozessen:

Ein Photon zerfällt virtuell in ein Elektron-Positron-Paar, das wieder rekombiniert; dieser Prozess liefert einen Beitrag zu dem Prozess Photon => Photon:

(Photon|Ŝ|Photon)

Man entwickelt dazu Ŝ nach Potenzen von α (das ist die o.g. Störungsreihe) und findet einen Term der Form

(out|Ŝ|in) = ... + [α * Integral über Impuls (Photon|Ŵ|Elektron, Positron)(Elektron, Positron|Ŵ|Photon) ] + …


|Elektron, Positron) ist dabei der Zwischenzustand, in dem das virtuelle Elektron-Positron-Paar existiert. Ŵ ist ein Operator, der die Wechselwirkung beschreibt und aus dem Ŝ aufgebaut werden kann. Im Wesentlichen erhält man Ŵ in der QED aus der Wechselwirkung des el.-mag Stromes j mit dem Vektorpotential A:

Ŵ = ∫dV j(x) A(x) = ∫dV j(x) A(x) = ∫dV ψ*(x) γ A(x) ψ(x)

Dabei treten die Spinoren ψ und ψ* für die Elektronen bzw. Positronen sowie eine 4*4 Matrix γ auf.


Virtuelle Teilchen treten auch im Vakuum auf. Die Wechselwirkung von Teilchen mit dem Vakuum führt dazu, dass die Teilchen sich so zu verhalten scheinen, als ob sie eine energieabhängige Masse bzw. Ladung hätten. Ein Elektron, das sich durch das Gewimmel an virtuellen Photonenpaaren bewegt, muss gewissermaßen einen Widerstand überwinden.
Man kann das mit einem Popstar vergleichen, der sich seinen Weg durch eine Menschenmenge bahnen muss. Er kommt schwer voran, man könnte meinen (wenn man das Geschehen z.B. aus einiger Entfernung beobachtet), dass er eine andere Masse bekommen hat. Tatsächlich hat sich aber nichts geändert; wir sehen das, wenn wir ihn aus der Masse herausholen und auf eine Waage stellen. Letzteres können wir aber mit dem Elektron nicht tun, d.h. wir können die „nackte“ Masse des Elektrons (so sagen die Physiker) bzw. die Masse des nackten Popstars nicht messen, sondern immer nur Effekte des „angezogenen“ Elektrons bzw. des angezogenen Popstars mit Menschenmenge.

Die virtuellen Teilchen treten als sogenannte Propagatoren in den Feynmandiagrammen auf. Ein Propagator ist ein Objekt, das beschreibt, wie ein Zustand (eine Welle) in der Raumzeit propagiert. Anschaulich kann man sich darunter vorstellen, dass von jedem Punkt einer beliebigen gegebenen Welle eine neue elementare Welle ausgeht. Summiert (integriert) man nun über alle elementaren Wellen (gewichtet mit der Amplitude der Ursprungswelle am Ausgangspunkt für jede elementare Welle), so erhält man die Welle zu einem späteren Zeitpunkt.
Die Propagatoren vermitteln nun nicht zwischen Wellen, sondern zwischen Wechselwirkungsvertizes. Dies sind die Punkte, in die alte Wellen ein- und von denen neue Wellen auslaufen. Jeder Vertex produziert dabei quasi elementare Wellen, wobei jeder Propagator einem bestimmten Teilchentyp entspricht.
Die Gesamtheit dieser Regeln einschließlich der mathematischen Form der Propagatoren und der Vertizes, sowie die Regeln, wie die Propagatoren an den Vertizes zusammenlaufen und wie zu integrieren ist, sind die sogenannten Feynmanregeln.

Zusammenfassend: Mathematisch kann man einen Streuprozess (out|Ŝ|in) in einzelne Terme auftrennen und diese nach Potenzen der Kopplungskonstanten sortieren. Die in den Feynmandiagrammen auftretenden inneren Linien bezeichnet man als virtuelle Teilchen. Sie tragen dieselben Quantenzahlen, erfüllen jedoch nicht die Beziehung E² = p² + m². Es wird über alle Impulse der internen Linien integriert; somit tragen alle diese virtuellen Teilchen zum Streuprozess bei.
Zuletzt geändert von tomS am 16. Apr 2009, 22:43, insgesamt 3-mal geändert.
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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von gravi » 9. Mär 2009, 19:08

Das ist wieder ein sehr ausführlicher Beitrag und ich muss gestehen, das Vakuum ist ein ziemlich schwieriges Kapitel.
Ein wenig Licht hast Du damit aber schon hinein gebracht.
Fragen dazu kommen gewiss noch, momentan bin ich noch ein wenig mit der weiteren Gestaltung des Forums beschäftigt...

Gruß
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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von tomS » 9. Mär 2009, 22:34

Ja, das Vakuum ist mit das komplizierteste Kapitel überhaupt. Man muss es erstmal verstehen, um darauf aufbauend die Theorie konstruieren zu können. Man kann keine Felder oder Teilchen definieren, wenn dieser Zustand nicht sauber definiert ist.

Probleme oder Fehler bei der Quantisierung bemerkt man häufig bereits am Vakuumzustand selbst.
Beispiele:
- die o.g. Probleme bzgl. Divergenzen und Normalordnung sind bereits ein Vorgeschmack auf die Unendlichkeiten
- Tachyonen signalisieren in der Stringtheorie die Wahl einer falschen Quantisierungsmethode
- Confinement, chirale Symmetriebrechung und Higgs-Mechanismus machen sich bereits im Vakuum bemerkbar
- Das Pfadintegral als Vakuum-zu-Vakuum Übergang enthält (versteckt) die Information über alle Teilchenmassen
- In der QCD spielen sog. Instantonen eine wesentliche Rolle; (Tunnelprozesse zwischen zwei verschiedenen Vakuumzuständen)
- die kosmologische Konstante ist eine reine Vakuumenergie
Gruß
Tom

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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von gravi » 12. Mär 2009, 19:27

Du erwähnst ganz oben den chromo-elektrischen Meissner-Effekt, kannst Du kurz dazu etwas erläutern?

Was mich nun eher "berührt" ist das reelle, also das physikalische Vakuum. Mich interessiert hier besonders die Vakuumenergie, die z.B. für die beschleunigte Expansion des Universums verantwortlich sein könnte.
Kannst Du Näheres dazu sagen? Kann man diese Energie berechnen, in Zahlen ausdrücken, kann man sie bestimmen?
Was hat man sich überhaupt darunter vorzustellen, sind es die virtuellen Teilchen, die man ja als Welle betrachten kann, also ist es ein Feld, welches das Vakuum durchzieht?

Ich muss einfach einmal ein Niveau tiefer anfangen, denn das Vakuum ist doch sehr schwer verständlich.

Gruß
gravi
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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von tomS » 12. Mär 2009, 20:47

Also du fängst eher ein Niveau höher an!

Den chromo-elektrischen Meissner-Effekt sollte ich wohl im Kapitel QCD bzw. Confinement genauer beschreiben. Ich werde das tun, aber vorab hier schon mal ein Ausblick:

Beginnen wir mit der Supraleitung. Dabei handelt es sich um einen Zustand, in dem innerhalb eines Festköropers elektrische Ströme verlustfrei fließen können. Auf die Ursache (q.m. Effekte) will ich hier nicht näher eingehen. In diesem Zustand hat der Festkörper weitere ungewöhnliche Eigenschaften, u.a. werden magnetische Feldlinien aus dem Inneren des Festkörpers vedrängt, d.h. er verhält sich wie ein perfekter Diamagnet. Man nennt dies den Meißner- oder auch Meißner-Ochsenfeld-Effekt. Die theoretische jedoch nur makroskopische Beschreibung im Rahmen der klass. El.-dyn. liefern die London-Gleichungen.

In der QCD kann man nun das Farbfeld der Gluonen ebenfalls in "elektrische" und "magnetische" Komponenten zerlegen. Die Felder verhalten sich im Detail anders, sie tragen nämlich selbst Farbladungen, jedoch sind die Eigenschaften bzgl. Lorentztransformation identisch zum elektromagnetischen Feld. Es zeigt sich, dass die "abelschen" Komponenten des "chromo-elektrischen" Feldes dominieren. Das Vakuum der QCD verhält sich nun bzgl. dieses chromo-elektrischen Feldes ähnlich wie ein Supraleiter bzgl. des gewöhnlichen Magnetfeldes, d.h. das QCD-Vakuum verdrängt die chromo-elektrischen Feldlinien. Bilden sich nun zwischen Quarks derartige Feldlinien aus (analog den elektrischen Feldlinien zwischen Ladungen) so werden diese aufgrund dieses Effektes zu sogenannten Flussschläuchen zusammengedrängt. Werden die Quarks weiter voneinander entfernt, so breiten sich die Feldlinien weiterhin nicht im Raum aus, sondern bleiben in den quasi-eindimensionalen Flussschläuchen gefangen. Daher nimmt die chromo-elektrische Kraft auch nicht quadratisch mit dem Abstand ab, sondern bleibt im wesentlichen konstant. Während in der El.-dyn. U(r) ~ 1/r gilt, ist in der QCD (für den langreichweitigen Anteil) näherungsweise U(r) ~ r. Dies erklärt (phänomenologisch) das Colour-Confinement.

Da dieser Effekt in der QCD nicht bzgl. des "chromo-magnetischen" sondern bzgl. des "chromo-elektrischen" Anteils des Gluonfeldes gilt, spricht man eben vom chromo-elektrischen oder dualen Meissner-Effekt (letzteres insbs. in der engl. Literatur). Im Gegensatz zur Supraleitung steht eine echte quantenfeldtheoretische Herleitung des Confinement noch aus.

Bzgl. Vakuumenergie in der QFT, DE bzw. kosmologischer Konstante und beschleunigter Expansion des Universums schreibe ich später was.
Gruß
Tom

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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von tomS » 12. Mär 2009, 22:35

Zur Vakuumenergie: In der QFT (ohne Berücksichtigung der ART) ist die Energieskala lediglich bis auf eine beliebige universelle Konstante definiert; diese wird üblicherweise immer zu Null gesetzt. Der Formalismus der QFT produziert nun Unendlichkeiten (das einfachste Beispiel habe ich oben gezeigt), die über einen mathematischen Trick (Normalordnung, Regularisierung / Renormierung) entfernt werden müssen. Für eine "gewöhnliche" QFT ist das nicht weiter schlimm, denn
a) handelt es sich nicht um eine fundamentale Theorie (zumindest die Quantentheorie der ART / Gravitation fehlt)
b) lediglich Energiedifferenzen sind messbar.

Betrachtet man nun dieselbe Problemstellung in einer Theorie wie der Supersymmetrie oder Supergravitation, die als Kandidaten für eine vereinheitlichte Theorie gehandelt werden, so sieht die Sache anders aus, denn hier erwartet man, dass auch die Vorhersage der Energiedichte des Vakuums einen korrekten (oder zumindest realistischen) Wert liefert. Nun mass man zwei Fälle unterscheiden: Theorien mit ungebrochener und solche mit gebrochener Supersymmetrie. Erstere produzieren üblicherweise (durch gegenseitige Aufhebung verschiedener divergenter Beiträge) eine Vakuum-Energiedichte von exakt Null. Letztere produzieren durch die Brechung der Supersymmetrie (durch einen Higss-ähnlichen Effekt) eine Vakuumenergiedichte ungleich Null. Leider ist diese um ca. 120 Größenordnungen, d.h. um einen Faktor 10[up]120[/up] falsch - bezogen auf die Abschätzung der Energiedichte des Vakuums bzw. der DE.

Damit steht die theoretische Physik vor dem Problem, dass sie für die Vakuumenergiedichte keine realistischen Wert sowie nicht einmal ansatzweise einen vernünftigen Mechanismus parat hat!
Gruß
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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von gravi » 13. Mär 2009, 17:45

Vielen Dank für Deine Erläuterungen!
Wenn ich das einigermaßen verstanden habe, entstehen die Flussschläuche also wie bei den Cooper- Paaren der Supraleiter, wenn man chromomagnetische Monopole kondensieren würde. Es sollten dann also chromoelektrische Flussschläuche entstehen?

Vielleicht sollte man noch erklären, was unter den Confinements zu verstehen ist? Ich denke damit ist die Untrennbarkeit der Hadronen gemeint, also der aus Quarks und Gluonen zusammengesetzten Teilchen. Oder andersherum gesagt, dass Teilchen mit Farbladung (eben Quarks und Gluonen) nicht einzeln in der Natur auftreten. Richtig? Du kannst das sicherlich besser wiedergeben.

Zur Vakuumenergiedichte:
Ja, nach außen hin erscheint sie sicherlich stets als Null. Irgendwo (ist schon länger her) las ich aber einmal, dass man ihren Wert bereits versucht hat zu ermitteln. Messen kann man sie sicherlich nicht. Aber jetzt spanne ich noch einen weiten Bogen, auch wenn es etwas abschweift:
Wenn man von einem Quantenvakuum als "Urzustand" ausgeht, aus dem Universen wie unseres entstehen können, so müsste doch dessen Energiedichte sehr hoch angesiedelt sein (der Faktor 10[up]120[/up] bekommt in diesem Fall Gewicht!)? Immerhin ist eine gewaltige Fluktuation zur Erschaffung eines ganzen Universums erforderlich. In diesem Moment muss doch auch die Energiedichte sehr stark von Null verschieden sein...?

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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von tomS » 13. Mär 2009, 22:20

Vorsicht mit den Cooper-Paaren! Diese entstehen durch die Kopplung von zwei Elektronen über Gitterschwingungen (Phononen) zu Pseudo-Teilchen (die Cooper-Paare erscheinen als ein Spin-0 Boson). Dies sind fundamentale quantenmechanische Effekte. Der Meißner-Effekt und die London-Gleichungen sind dagegen eine rein klassische Beschreibung der Phänomene in Supraleitern, ohne fundamentale quantenmechanische Theorie (das wäre die BCS Theorie).

Für das Confinement in der QCD ist eine exakte quantenmechanische (besser: quantenfeldtheoretische) Beschreibung heute noch nicht verfügbar; insbs. gibt es kein Äquivalent zu den Cooper-Paaren! Ich habe deswegen auch die Bildung der Cooper-Paare bewusst nicht diskutiert, um eben dieses Missverständnis zu vermeiden.

D.h. dass der chromoelektrische Meißner-Effekt nur eine Veranschaulichung eines Aspektes, jedoch keine exakte Erklärung des Confinements ist. Letzteres werde ich natürlich ebenfalls noch genauer erläutern.

Zu deinen Anmerkungen
.. entstehen die Flussschläuche also wie bei den Cooper- Paaren ...
wie oben gesagt: nein

... chromomagnetische Monopole ...
eher nein
(es gibt einige Ansätze bzgl. der Konensation von Pseudo-Teilchen sowie einer Grundlage für das Confinement, z.B. Instantonen, aber das ist alles noch nicht wirklich ausgegoren; es gibt eine m.W.n. exakte Lösung der N=2 SUSY-QCD mit Confinement, in der tatsächlich eine Monopol-Kondensation auftritt, ich weiß jedoch nicht, ob dies tatsächlich in der echten QCD zum Ziel führt; die Lösung der SUSY-QCD wiurde vor über zehn Jahre von Seiberg und Witten gefunden, seither hat sich m.W.n. in der Richtung in der QCD nicht viel getan)

Es sollten dann also chromoelektrische Flussschläuche entstehen
ja

Confinements ... damit ist die Untrennbarkeit der Hadronen gemeint
ja

dass Teilchen mit Farbladung (eben Quarks und Gluonen) nicht einzeln in der Natur auftreten. Richtig?
ja

Du kannst das sicherlich besser wiedergeben
nein!
Gruß
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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von tomS » 13. Mär 2009, 23:34

Immerhin ist eine gewaltige Fluktuation zur Erschaffung eines ganzen Universums erforderlich. In diesem Moment muss doch auch die Energiedichte sehr stark von Null verschieden sein...?
Warum?

Könnte es nicht sein, dass die Gesamtenergie unseres Universums exakt Null ist, d.h. dass zwar Materie und Strahlung über Ruhemasse, Druck und Impuls einen positiven Beitrag zur Gesamtenergie leistet, dass jedoch das Gravitationsfeld einen entsprechenden negativen Beitrag leistet, so dass sich dies in Summe exakt aufhebt?
Gruß
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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von Maclane » 14. Mär 2009, 07:58

Wenn dies so wäre, woraus leitet sich dann die Menge an Materie und Strahlung ab, die ein Universum wie unseres beinhaltet?
Ich mein, da wäre doch 1 kg Materie und ein 1 MJ Strahlungsenergie genauso viel wert wie das 10 hoch x-fache davon. Jedesmal Gesamtenergie Null. Wär das nicht irgendwie.... "beliebig"?

Gruß Mac
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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von tomS » 14. Mär 2009, 09:09

Ja, vielleicht wäre es das tatsächlich.

Aber es geht eigentlich um einen anderen Punkt. Du sagst ja, dass aufgrund der hohen Gesamtenergie des Universums die Energiedichte der ursprünglichen Quantenfluktuation extrem hoch gewesen sein muss, da sie bereits die gesamte Energie in sich getragen haben muss. OK, das kann so sein. Aber die Energiedichte von 10[up]120[/up] mal irgendwas bezieht sich ja nicht auf diese Quantenfluktuation, sondern auf das uns umgebende Vakuum! Die Rechnung besagt dass das ganz normale Vakuum diese gewaltige Energiedichte haben müsste - und das ist natürlich absurd.
Gruß
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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von gradient » 14. Mär 2009, 12:07

gravi hat geschrieben: Wenn man von einem Quantenvakuum als "Urzustand" ausgeht, aus dem Universen wie unseres entstehen können, so müsste doch dessen Energiedichte sehr hoch angesiedelt sein (der Faktor 10[up]120[/up] bekommt in diesem Fall Gewicht!)? Immerhin ist eine gewaltige Fluktuation zur Erschaffung eines ganzen Universums erforderlich. In diesem Moment muss doch auch die Energiedichte sehr stark von Null verschieden sein...?

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Selbst wenn, ich glaube nicht, dass dadurch das Problem gelöst werden kann. Die Vakuumenergiedichte hat die Zustandsgleichung , was dazu führt, dass die Vakuumenergiedichte trotz Expansion konstant bleibt.

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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von gravi » 14. Mär 2009, 19:04

So hatte ich das nicht gemeint:

tomS hat geschrieben: Könnte es nicht sein, dass die Gesamtenergie unseres Universums exakt Null ist, d.h. dass zwar Materie und Strahlung über Ruhemasse, Druck und Impuls einen positiven Beitrag zur Gesamtenergie leistet, dass jedoch das Gravitationsfeld einen entsprechenden negativen Beitrag leistet, so dass sich dies in Summe exakt aufhebt?
Na klar, ich verstehe wie Du das meinst. Allerdings ist die Gravitation nicht stark genug, auch noch die Dunkle Energie zu "neutralisieren". Nach Deiner Beschreibung hätten wir ein geschlossenes Universum oder eines, dessen Expansion irgendwann zum Stillstand kommt, was aber anscheinend nicht der Fall ist.

Was ich jedoch meinte ist das "Ur- Quantenvakuum", aus welchem unser Universum einst hervorging. Wie jedes andere Vakuum (vermutlich ist das Quatsch, denn es gibt sicherlich nur diese eine Vakuum!) ist es aber nach außen hin ohne erkennbare Energiedichte. Zum "Zeitpunkt" der Bildung unseres Kosmos muss das aber anders gewesen sein...

Gruß
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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von tomS » 15. Mär 2009, 18:10

@Gradient: Dichte und Druck sind während der Expansion des Universums nicht konstant. Insbs. werden sie für t=0, also beim Urknall singulär. Es gibt nur einen Fall, bei dem Dichte und Druck konstant bleiben, das ist das von Einstein konstruierte Einstein-Universum, das er durch die Einführung der kosmologischen Konstante "stabilisierte".
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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von tomS » 15. Mär 2009, 18:32

Nochmal zu Dichte und Druck:

Die Robertson-Walker Metrik mit Skalenfaktor R (= "Radius" des Universums) lautet



In den bekannten kosmologischen Modellen führt man eine Zustandsgleichung für Dichte und Druck mittels eines Proportionalitätsfaktors ein:



I.A. gilt:



Materiedominiertes Universum (Staub, gute Näherung für den heutigen Zustand)



Strahlungsdominiertes Universum (frühes Universum; kurz nach dem Urknall)

Gruß
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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von gravi » 15. Mär 2009, 18:43

Wenn ich das richtig interpretiere, müssten sich doch Dichte und Druck seit dem Urknall ständig verringern, bedingt durch die Expansion?

Gruß
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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von tomS » 15. Mär 2009, 19:52

ja
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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von tomS » 15. Mär 2009, 20:24

Ich habe noch das vakuumdominierte Universum ohne Materie bzw. Strahlung sondern ausschließlich mit einer kosmologischen Konstanten unterschlagen. Für die frühe oder heutige Phase ist das natürlich kein realistisches Modell, aber für große Zeiten dominiert die kosmologische Konstante jede Materie- oder Strahlungsdichte. Die kosmologische Konstante bleibt ja eben konstant, während Materie oder Strahlungsdichte mit einer Potenz des Skalenfaktor abfallen.

Man erhält



d.h. das Universum dehnt sich exponentiell beschleunigt aus.
Gruß
Tom

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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von gradient » 16. Mär 2009, 14:47

Hallo Tom,

für die Vakuumenergie gilt doch w = -1, oder nicht? (Zumindest wird die kosmologische Konstante als Vakuumenergie interpretiert). Aus deiner Gleichung (Beitrag vom 15.3., 18:32 Uhr) folgt ja dann . Natürlich ist t=0 ein Spezialfall.

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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von tomS » 16. Mär 2009, 16:31

In dem Beitrag um 18:32 habe ich die beiden Fälle Staub und Strahlung ohne kosmologische Konstante betrachtet. Im letzten Posting habe ich dann den dritten Fall der kosmologischen Konstante ohne Strahlung und Staub betrachtet.

Die kosmologische Konstante ist immer zeitunabhängig; sie wirkt ähnlich (aber nicht identisch) wie eine Dichte. Druck und Dichte sind dagegen immer zeitabhängig (besser: Skalenfaktor-abhängig). Spezialfall: im Falle des Einstein-Universums mit konstantem Skalenfaktor ist auch die Dichte zeitunahängig.

Wie man dann mit w=-1 auf konstante Dichte kommt, muss ich mir nochmal anschauen; formal ist das so, da hast du recht. Aber eigentlich tritt die kosmologische Konstante an einer anderen Stelle in der Gleichung auf.
Gruß
Tom

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Re: 6. Das Vakuum, Teilchen und Antiteilchen, virtuelle Teilchen

Beitrag von tomS » 16. Mär 2009, 18:39

Für die kosmologische Konstante gilt



also

.

Aber i.A. ist ja



Im Falle der kosmologischen Konstanten gilt dagegen der Spezialfall



D.h. also dass der w-Parameter alleine noch nicht alles über die Dynamik der Materie- bzw. Energieform aussagt.
Gruß
Tom

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