Relativistische Raketengleichung

Beitrag von **tomS** » 23. Dez 2008, 08:19

Hallo zusammen,

kennt jemand eine Ableitung für eine relativistische Version der Raketengleichung?

Für die normale Raketengleichung wird ja angenommen, dass die ausströmende Masse (der Brennstoff) sich mit einer festen Geschwindigkeit u bzgl. der Rakete bewegt und diese dadurch beschleunigt wird. Die Geschwindigkeit der Rakete bzgl. eines ruhenden Beobachters verändert sich dann gemäß Impulserhaltung, und dabei wird vorausgesetzt, dass die nichtrelativistische Geschwindigkeitsaddition gilt.

Demzufolge gibt es für diese Raketengleichung keien Grenzgeschwindigkeit v=c.

Im relativistischen Fall müsste man wohl den Impulszuwachs der Rakete im jeweiligen Ruhesystem der Rakete berechnen, dann jedoch in das Ruhesystem des Beobachters transformieren. D.h. während der Beschleunigung wechselt das für die Rakete gültige Bezugssystem ständig. Aufgrund der relativistichen Effekte funktioniert die Beschleunigung aus Sicht des ruhenden Beobachters nicht mehr, wenn v gegen c strebt. Für die Rakete ändert sich jedoch nichts.

Ich erwarte also zum einen die Grenzgeschwindigkeit v=c, zum anderen, dass die Rakete eine wesentlich höhere Startmasse haben muss im Vergleich zu der "normalen" Raketengleichung, um auf dieselbe Geschwindigkeit zu kommen. Für kleine Geschwindigkeiten sollten beide Gleichungen näherungsweise identische Ergebnise liefern.

Hat jemand schon mal diese Gleichung gesehen oder konstruiert?

Beitrag von **gradient** » 23. Dez 2008, 10:00

Hallo Tom,

ich habe tatsächlich mal so eine Formel gesehen, leider ohne Herleitung.
Allerdings in einem Forum, das bei weitem nicht so seriös ist, wie dieses. Daher ist sie erst recht ohne Gewähr:
$\frac{v}{c}=\frac{1-(1-t)^{2(w/c)}}{1+(1-t)^{2(w/c)}}$ .
w = Ausstroßgeschwindigkeit
v = Geschwindigkeit der Rakete
t = Verhältnis aus Treibstoffmasse und Startmasse.

Zumindest erkennt man, dass immer v<c gilt, denn für v=c muss t=1, also die ganze Rakete müsste aus Treibstoff bestehen.

Man kann ja mal versuchen, für w<<c die nicht-relativistische Raketengleichung abzuleiten. Ich habe Ferien, ich probiere es mal.

Beitrag von **gradient** » 23. Dez 2008, 10:18

Die rel. Raketengleichung scheint vertrauenswürdig zu sein:

Wir entwickeln $f(x)=\frac{1-(1-t)^{2x}}{1+(1-t)^{2x}}= \frac{1-e^{2x \ln(1-t)}}{1+e^{2x \ln(1-t)}}$ um x=0 bis zur ersten Ordnung.
Die 1. Ableitung an der Stelle Null ist tatsächlich
$f^{\prime}(0)= - \ln(1-t) = \ln(\frac{1}{1-t})$ , während $f(0)=0$ .
Daraus ergibt sich
$f(x) = x \ln(\frac{1}{1-t})+...$ .
Oder in der Notation der Raketengleichung:
$v=w \ln(\frac{1}{1-t})$ .
Dies ist gerade die nicht-relativistsiche Raketengleichung.

Sieht also so aus, dass die rel. Raketengleichung nicht ganz blödsinnig ist...

Eine Herleitung würde mich trotzdem interessieren.

Beitrag von **tomS** » 23. Dez 2008, 12:53

Wow!

Wieder mal ein klares Indiz, hier im richtigen Forum unterwegs zu sein!

Danke für die Antwort.

Ich werde über die Feiertage mal ein bischen damit rumrechnen. Und die Herleitung wäre natürlich spannend. Ich hatte damit mal angefangen und das dann mangels Zeit liegen lassen, da das ganze wirklich sehr aufwändig wurde.

Gruß
Tom

Beitrag von **tomS** » 23. Dez 2008, 13:04

Ich hab das mal etwas umgestellt:

$z = 1 + \frac{M_T}{M_N}$

$v(w,z) = \tanh (w \ln z )$

Sieht einfach genug aus, um richtig zu sein; außerdem ist ja die nichtrelativistische Näherung ein deutliches Indiz.

Beitrag von **gradient** » 23. Dez 2008, 20:12

Hallo Tom,

ich habe die Herleitung der Formel im Buch
"Spezielle Relativitätstheorie für Studienanfänger" (von Jürgen Freund) gefunden.

Vorbemerkung:
(21.3) lautet $Mdu = -u_0dM$ .

Zitatanfang:
Der Beobachter im Laborsystem schreibt die Differentialgleichung (21.3) mit Strichen, also
$M'du' = -u_0'dM'$ . (21.5)
du' ist dabei der Geschwindigkeitszuwachs im momentanen Ruhesystem der Rakete mit der Ruhemasse M', dieser ist nicht gleich dem Geschwindigkeitszuwachs im Laborsystem $du$ .
Vielmehr ergibt sich [...]
$u+du=\frac{u+du'}{1+\frac{udu'}{c^2}}$ . (21.6)
u ist dabei die momentane Geschwindigkeit der Rakete im Laborsystem. [...] (21.6) kann durch eine Taylorreihe vereinfacht werden
$u+du=(u+du')(1-\frac{udu'}{c^2}).$ (21.7)
[...]
(21.7) lässt sich weiter umformen zu
$u+du=u+du'(1-\frac{u^2}{c^2})$ . (21.

Auch diese Umformung ist keine Näherung, sondern exakt, da nur das Produkt zweier infinitesimaler Größen, nämlich du'du', vernachlässigt wurde. Also ist
$du'=\frac{du}{1-\frac{u^2}{c^2}}=\gamma_u^2du$ (21.9)
Die weitere Rechnung macht aus (21.5)
$\int^{u_E}_{0}\frac{du}{1-\frac{u^2}{c^2}}=-u_0' \int^{M_E'}_{M_A'} \frac{dM'}{M'}$ , (21.10)
woraus
$\frac{c}{2}\ln \frac{1+u_E/c}{1-u_E/c} = u_0' \ln \frac{M_A'}{M_E'}$ (21.11)
folgt, [...] Der Einfachheit halber lassen wir im Folgenden alle Striche weg, erinnern uns aber daran, dass M_A und M_E Ruhemassen, also im System der Rakete gemessene Massen, sind und die Ausströmgeschwindigkeit u_0 natürlich auch im Raketenbezugssystem gemessen wird.
[...]
Nun muss noch (21.11) nach u_E aufgelöst werden, [...]
$u_E=c \frac{1-(\frac{M_E}{M_a})^{(2u_0/c)}}{1+(\frac{M_E}{M_a})^{(2u_0/c)}}$ .

Zitatende.

Ziemlich gutes Buch.

Ich habe mir erlaubt, ein paar erklärende Bemerkungen und Umformungen wegzulassen. Wenn diese doch nötig sind, kann ich sie nachliefern.

Schöne Festtage!

Beitrag von **tomS** » 23. Dez 2008, 21:15

Hut ab.

Die Erklärung ist - wie fast immer in der SRT - entweder einfach und elegant (so wie hier), oder kompliziert und dann meist falsch (so wie mein Ansatz :-). Wesentlich ist, dass man die geeigneten Größen an geeigneter Stelle interpretiert und die jeweiligen Bezugssysteme miteinander in Beziehung setzt.

Nochmal Danke!

Weil wir das gerade in einem anderen Beitrag brauchen können, hab ich mir mal die Mühe gemacht, die Gleichung so umzustellen, dass die Endgeschwindigjkeit v der Rakete gegeben ist und man entweder die Ausströmgeschwindigkeit w oder z (d.h. implizit die Masse) berechnen kann.

Man definiert

$E(w,z) = 2 w \ln z$

Damit ist

$v(w,z) = \frac{E-1}{E+1}$

$E(v) = \frac{1+v}{1-v}$

Auflösen nach z ergibt

$z_w(v) = \left(\frac{1+v}{1-v}\right)^{\frac{1}{2w}}$

Auflösen nach w ergibt

$w_z(v) = \frac{1}{2 \ln z} \ln \frac{1+v}{1-v}$

Man sieht, dass die Ausdrücke jeweils für v=c (bzw. hier v=1) divergieren.

An der ursprünglichen Formel v(w,z) kann man auch sofort ablesen, dass eine Erhöhung der Ausström- bzw. Verbrennungsgeschwindigkeit des Treibstoffes wesentlich effizienter ist, als die Erhöhung der Startmasse. Letztere geht nur logarithmisch in die Geschwindigkeit ein.

Ich hab mal von einer Idee gelesen, nach der man bei genügend hohen Geschwindigkeiten das interstellare Medium selbst als Antriebsmedium nutzen könnte, indem man nämlich das Wasserstoffgas ionisiert und magnetisch komprimiert, was zum einen zu einer (verglichen mit gewöhnlichem Treibstoff) extrem hohen Auströmgeschwindigkeit führt, und zum anderen die Menge des benötigten Treibstoffes reduziert.

Beitrag von **tomS** » 27. Mai 2011, 21:11

Hier ein Beitrag zur Raketengleichung in der ART

http://arxiv.org/abs/1105.5235v1
The rocket problem in general relativity
Authors: Pedro G. Henriques, Jose Natario
(Submitted on 26 May 2011)
Abstract: We derive the covariant optimality conditions for rocket trajectories in general relativity, with and without a bound on the magnitude of the proper acceleration. The resulting theory is then applied to solve two specific problems: the minimum fuel consumption transfer between two galaxies in a FLRW model, and between two stable circular orbits in the Schwarzschild spacetime.

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