Wenn du die normalen Formeln der Lorentztranformation (mit v und den Wurzeln) nimmst und t² - x² = const. berechnest, dann spielt sowas wie cosh²x - sinh²x = 1 eine Rolle. x = x(v) und kann berechnet werden.
R kannst du je jetzt differenzieren und damit M berechnen.
Ist das Problem dann, wie du von M auf J und K kommst?
SRT-Frage-Antwort
Schreibe
t => γ(t+vx)
t => γ(x+vt)
γ² = 1/(1-v²)
Wenn du jetzt t² -x² berechnest, dann kürzt sich im wesentlichen (1-v²) weg.
Schreibe jetzt die Transformationsgleichung des Vektors (t,x) als Matrix, also
(t,x) => L*(t,x)
In der Matrix L hast du vier Terme, jeweils zweimal c(v) und s(v) von der Form
c = 1/γ
s = v/γ
Berechne
c² - s² =1/γ² - v²/γ² = (1-v²)/γ² = 1
Diese Beziehung gilt auch für cosh und sinh
Definiere nun
cosh η = 1/γ
sinh η = v/γ
Dann gilt
tanh η = v
η ist die sogenannte Rapidität. Der von mir erwähnte imaginäre Drehwinkel ist dann i*η.
t => γ(t+vx)
t => γ(x+vt)
γ² = 1/(1-v²)
Wenn du jetzt t² -x² berechnest, dann kürzt sich im wesentlichen (1-v²) weg.
Schreibe jetzt die Transformationsgleichung des Vektors (t,x) als Matrix, also
(t,x) => L*(t,x)
In der Matrix L hast du vier Terme, jeweils zweimal c(v) und s(v) von der Form
c = 1/γ
s = v/γ
Berechne
c² - s² =1/γ² - v²/γ² = (1-v²)/γ² = 1
Diese Beziehung gilt auch für cosh und sinh
Definiere nun
cosh η = 1/γ
sinh η = v/γ
Dann gilt
tanh η = v
η ist die sogenannte Rapidität. Der von mir erwähnte imaginäre Drehwinkel ist dann i*η.
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
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Sir Karl R. Popper
Es wird einfacher zu interpretieren, d.h. der Sinn steckt darin, dass man
- mit den J's die SO(3) Drehgruppe als echte Untergruppe der SO(3,1) wiederfindet
- man aus den J's und K's einfach die beiden Fundanmentaldarstellungen (Kap. 7) konstruieren kann
Kleiner Hinweis: man muss später ja die Exponentialdarstellung berechnen; das ist für die vierdimensionalen Matrizen J und K natürlich lästig. Als warm-up kann man das mal für die Paulimatrizen machen. Diese haben ja interessanterweise dieselben Vertauschungsrelationen (bis auf einen Faktor) wie die Generatoren J der SO(3). D.h. dass zwar die komplexe "Drehgruppe" SU(2) und die dreidimensionale Drehgruppe SO(3) unterschiedlich sind, dass die Algebra jedoch dieselbe ist. Man kann also mal mit den Paulimatrizen rumspielen und dabei einiges über Drehungen lernen:
Picken wir uns eine Paulimatrix heraus, z.B. die dritte, und skalieren wir sie mit 1/2. Das Gebilde nennen wir t. Dann berechen wir
U = exp{i a t}
mit einer rellen Zahl a.
Berechnet man die Taylorreihe der e-Funktion, so erhält man, t, t², t³ usw.
Nun ist jedoch t² = 1/4
Sortiert man nun die Taylorreihe nach Potenzen von t (es gibt nur t° = 1 und t, denn t² = 1/4 und t³ = t²* t = 1/4 * t), so erhält man zwei separate Potenzreihen, die eine mit einem Faktor 1 die andere mit einem Vorfaktor t. Aus diesen beiden Potenzreihen kann man die für cos und sin ableiten. Man erhält zuletzt eine SU(2) Drehmatrix.
Analog kann man dies auch für die drei- bzw. vierdimensionalen Darstellungen tun. So kann man z.B. aus ähnlichen Rechnungen für die J's die Matrixdarstellung der SO(3) ableiten.
Wenn man eine Exponentialfunktion mit mehreren Winkeln und Generatoren berechnen will, dann führt man die Vektoren a und t ein und berechnet
U = exp{i a t}
Dabei muss man in der Taylorreihe aufpassen, denn man erhält Potenzen von (a t) und darf die t's nun nicht einfach vertauschen. Man muss statt dessen das Produkt zweier t's mittels einer Summe aus Kommutator und Antikommutator schreiben, also gemäß
AB = ½ {A,B} + ½ [A,B] = ½(AB+BA + AB-BA) = ½ (2 AB).
Dafür kennt man nun die Regeln (Kap. 4.2.2). Als Ergebnis erhält man die allgemeinste Form der SU(2) Drehmatrix.
Analog könnte man nun auch für die drei- und vierdimensionalen Darstellungen mit J und K vorgehen; die explizite Rechnung ist jedoch wesentlich aufwendiger. Man benötigt sie auch nicht. Für eine Veranschaulichung um was es geht, reicht das zweidimensionale Bespiel aus.
- mit den J's die SO(3) Drehgruppe als echte Untergruppe der SO(3,1) wiederfindet
- man aus den J's und K's einfach die beiden Fundanmentaldarstellungen (Kap. 7) konstruieren kann
Kleiner Hinweis: man muss später ja die Exponentialdarstellung berechnen; das ist für die vierdimensionalen Matrizen J und K natürlich lästig. Als warm-up kann man das mal für die Paulimatrizen machen. Diese haben ja interessanterweise dieselben Vertauschungsrelationen (bis auf einen Faktor) wie die Generatoren J der SO(3). D.h. dass zwar die komplexe "Drehgruppe" SU(2) und die dreidimensionale Drehgruppe SO(3) unterschiedlich sind, dass die Algebra jedoch dieselbe ist. Man kann also mal mit den Paulimatrizen rumspielen und dabei einiges über Drehungen lernen:
Picken wir uns eine Paulimatrix heraus, z.B. die dritte, und skalieren wir sie mit 1/2. Das Gebilde nennen wir t. Dann berechen wir
U = exp{i a t}
mit einer rellen Zahl a.
Berechnet man die Taylorreihe der e-Funktion, so erhält man, t, t², t³ usw.
Nun ist jedoch t² = 1/4
Sortiert man nun die Taylorreihe nach Potenzen von t (es gibt nur t° = 1 und t, denn t² = 1/4 und t³ = t²* t = 1/4 * t), so erhält man zwei separate Potenzreihen, die eine mit einem Faktor 1 die andere mit einem Vorfaktor t. Aus diesen beiden Potenzreihen kann man die für cos und sin ableiten. Man erhält zuletzt eine SU(2) Drehmatrix.
Analog kann man dies auch für die drei- bzw. vierdimensionalen Darstellungen tun. So kann man z.B. aus ähnlichen Rechnungen für die J's die Matrixdarstellung der SO(3) ableiten.
Wenn man eine Exponentialfunktion mit mehreren Winkeln und Generatoren berechnen will, dann führt man die Vektoren a und t ein und berechnet
U = exp{i a t}
Dabei muss man in der Taylorreihe aufpassen, denn man erhält Potenzen von (a t) und darf die t's nun nicht einfach vertauschen. Man muss statt dessen das Produkt zweier t's mittels einer Summe aus Kommutator und Antikommutator schreiben, also gemäß
AB = ½ {A,B} + ½ [A,B] = ½(AB+BA + AB-BA) = ½ (2 AB).
Dafür kennt man nun die Regeln (Kap. 4.2.2). Als Ergebnis erhält man die allgemeinste Form der SU(2) Drehmatrix.
Analog könnte man nun auch für die drei- und vierdimensionalen Darstellungen mit J und K vorgehen; die explizite Rechnung ist jedoch wesentlich aufwendiger. Man benötigt sie auch nicht. Für eine Veranschaulichung um was es geht, reicht das zweidimensionale Bespiel aus.
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
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Sir Karl R. Popper
Ich wollte nach der Reaktivierung von TeX nochmal auf eine frühere Fragestellung verweisen, die wir hier diskutieren.
Es geht um die Lorentz-Transformation L von Vierervektoren sowie um die zugehörige Transformation G(L) der Spinoren:
 \rightarrow \psi^\prime (x^\prime) = G(L) \psi(x) )
Es geht um die Lorentz-Transformation L von Vierervektoren sowie um die zugehörige Transformation G(L) der Spinoren:
Gruß
Tom
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Sir Karl R. Popper
Tom
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Sir Karl R. Popper
Ja!
Sorry für die Verwirrung. In einem Text schreibe ich U, weil es sich um eine SU(2) Trf. als Beispiel und zunächst ohne Bezug zum PDF handelt. Mein G(g) entspricht dem A bzw. Lambda aus Kapitel 7.
phi und ny sind die drei Dreh- bzw. drei Boostparameter. Es gibt drei Erzeugende J und K für Drehungen bzw. Boosts (siehe die Def. in 6.5 mit k,m,n = 1 ... 3). Drei Drehungen entsprechend der drei Drehachsen, drei Boosts entsprechend der drei Richtungen. Zu jeder Erzeugenden gehört auch ein Parameter.
D.h. in den Formeln für Lambda stehen phi, ny, sowie J, K für jeweils Dreiervektoren, phi*J und ny*K sind die jeweiligen Skalarprodukte:
Sorry für die Verwirrung. In einem Text schreibe ich U, weil es sich um eine SU(2) Trf. als Beispiel und zunächst ohne Bezug zum PDF handelt. Mein G(g) entspricht dem A bzw. Lambda aus Kapitel 7.
phi und ny sind die drei Dreh- bzw. drei Boostparameter. Es gibt drei Erzeugende J und K für Drehungen bzw. Boosts (siehe die Def. in 6.5 mit k,m,n = 1 ... 3). Drei Drehungen entsprechend der drei Drehachsen, drei Boosts entsprechend der drei Richtungen. Zu jeder Erzeugenden gehört auch ein Parameter.
D.h. in den Formeln für Lambda stehen phi, ny, sowie J, K für jeweils Dreiervektoren, phi*J und ny*K sind die jeweiligen Skalarprodukte:
Gruß
Tom
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Sir Karl R. Popper
Tom
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Eine Geodäte ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten, die in einem gekrümmten Raum nicht unbedingt einer Gerade entspricht. Das Licht bewegt sich auf Geodäten. Die Geodätengleichung bekommt man über ein Variationsproblem, indem man eben das Minimum der Kurvenlänge zwischen zwei Punkten sucht.
Zuletzt geändert von breaker am 23. Aug 2008, 13:36, insgesamt 1-mal geändert.
Korrekt.
Interessanterweise kann man diese Länge als Wirkung eines Teilchens der Masse m interpretieren:
Statt lambda schreibt auch oft tau; tau bezeichnet dabei die Eigenzeit des Teilches.
Das Interessante ist, dass sich in dieser Darstellung unmittelbar eine Koordinateninvarianz zeigt, denn die Wirkung S (= die Länge der Kurve C) ist vällig unabhängig von der Parametrierung der Kurve. Jeder andere Parameter entlang der Kurve tut's genauso. Die Eigenzeit ist dabei natürlich eine naheliegende Wahl.
Interessanterweise kann man diese Länge als Wirkung eines Teilchens der Masse m interpretieren:
Statt lambda schreibt auch oft tau; tau bezeichnet dabei die Eigenzeit des Teilches.
Das Interessante ist, dass sich in dieser Darstellung unmittelbar eine Koordinateninvarianz zeigt, denn die Wirkung S (= die Länge der Kurve C) ist vällig unabhängig von der Parametrierung der Kurve. Jeder andere Parameter entlang der Kurve tut's genauso. Die Eigenzeit ist dabei natürlich eine naheliegende Wahl.
Gruß
Tom
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Sir Karl R. Popper
Tom
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Nächste Frage?
Die wäre: wie kann man zeigen, dass die bekannte Lorentzkraft, die ein elektrisch geladenes Teilchen in einem Magnetfeld erfährt, tatsächlich ein echt relativistischer Effekt ist?
Die wäre: wie kann man zeigen, dass die bekannte Lorentzkraft, die ein elektrisch geladenes Teilchen in einem Magnetfeld erfährt, tatsächlich ein echt relativistischer Effekt ist?
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
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Sir Karl R. Popper
Hm, schöner Effekt, kannte ich noch gar nicht.
Wenn sich ein Elektron prallel zu einem stromdurchflossenen Leiter bewegt, dann erscheint der Leiter aus Sicht des Elektrons verkürzt. Allerdings nicht die Elektronen im Leiter, dnn die bewegen sich ja auch. Also sind in einem bestimmten Volumen im Leiter immer mehr positiv geladene als negativ geladene Teilchen. Aus Sicht des Elektrons ist der Leiter positiv geladen und es wird angezogen.
Wenn sich ein Elektron prallel zu einem stromdurchflossenen Leiter bewegt, dann erscheint der Leiter aus Sicht des Elektrons verkürzt. Allerdings nicht die Elektronen im Leiter, dnn die bewegen sich ja auch. Also sind in einem bestimmten Volumen im Leiter immer mehr positiv geladene als negativ geladene Teilchen. Aus Sicht des Elektrons ist der Leiter positiv geladen und es wird angezogen.
nö, da bist du falsch unterwegs.
Lorentkraft bedeutet, dass bewegte Ladungen in einem Magnetfeld eine Kraft erfahren, die senkrecht auf der Bewegungsrichtung und der Magnetfeldrichtung steht.
Lorentkraft bedeutet, dass bewegte Ladungen in einem Magnetfeld eine Kraft erfahren, die senkrecht auf der Bewegungsrichtung und der Magnetfeldrichtung steht.
Gruß
Tom
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Sir Karl R. Popper
Tom
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Sir Karl R. Popper
Nein.
Du hast doch die Geodäte aus einem Wirkungsintegral abgeleitet. Man kann dieses Wirkungsintegral um die Kopplung des Teilchens an das el.-mag. Feld erweitern und wiederum die Bewegungsgleichungen ableiten. Dann fällt die LOrentzkraft mit ab.
Bevor du das tust, solltest du deine Geodätengleichung (vorherige Frage) für den Fall des flachen Raumes vereinfachen.
Du hast doch die Geodäte aus einem Wirkungsintegral abgeleitet. Man kann dieses Wirkungsintegral um die Kopplung des Teilchens an das el.-mag. Feld erweitern und wiederum die Bewegungsgleichungen ableiten. Dann fällt die LOrentzkraft mit ab.
Bevor du das tust, solltest du deine Geodätengleichung (vorherige Frage) für den Fall des flachen Raumes vereinfachen.
Gruß
Tom
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AlTheKingBundy
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- Registriert: 10. Dez 2005, 23:06
- Kontaktdaten:
Schau Dir mal die klassische Lagrangefunktion an, aus der sich die Lagrangegleichungen durch Variation (analog zu den Geodäten) ergeben.
Die Beiträge sind (bis auf Proportionalitätsfaktoren):
u_my u_ny g^myny: Vierergeschwindigkeitenquadrat mit Metriktensor
u_my A^my: Mit elektromagnetischen Viererpotential.
Daraus ergeben sich die vollständigen Bewegungsgleichungen für ein Teilchen im Gravitationsfeld inklusive elektromagnetischer Wechselwirkung. Schön zu sehen ist, wie die Gravitation ans Geschwindigkeitsquadrat koppelt und der Elektromagentismus nur an die einfache Vierergeschwindigkeit.
Die Beiträge sind (bis auf Proportionalitätsfaktoren):
u_my u_ny g^myny: Vierergeschwindigkeitenquadrat mit Metriktensor
u_my A^my: Mit elektromagnetischen Viererpotential.
Daraus ergeben sich die vollständigen Bewegungsgleichungen für ein Teilchen im Gravitationsfeld inklusive elektromagnetischer Wechselwirkung. Schön zu sehen ist, wie die Gravitation ans Geschwindigkeitsquadrat koppelt und der Elektromagentismus nur an die einfache Vierergeschwindigkeit.
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AlTheKingBundy
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Das Viererpotential A (Indizes lasse ich jetzt weg, A = (A1, A2, A3, V), wobei V das Coulombpotential ist) hängt von den Viererkoordinaten ab (nicht von der Geschwindigkeit). Die Bewegungsgleichungen für das Viererpotentail resultieren aus den Maxwellgleichungen.
Quabla A = 0 im leeren Raum (Quabla = d^2/dx^2 + d^2/dy^2 + d^2/dz^2 - d^2/dt^2)
c = 1 gesetzt.
Mit der Lorentzeihung noch dazu:
dA1/dx + dA2/dy + dA3/dz + dV/dt = 0
Quabla A = 0 im leeren Raum (Quabla = d^2/dx^2 + d^2/dy^2 + d^2/dz^2 - d^2/dt^2)
c = 1 gesetzt.
Mit der Lorentzeihung noch dazu:
dA1/dx + dA2/dy + dA3/dz + dV/dt = 0