In der diskussion neulich zum Zentrum des Universums sind wir (durch ein klitzekleines Missverständnis meinerseits) auf Hawkings Keine-Grenzen-Hypothese und die Idee mit der imaginären Zeit gekommen.
Das hat mich ein bisschen nachdenklich gemacht.
Im Grunde interessiert mich, wie der da drauf kam. Warum kann man für die Zeit einfach so mal ne komplexe Zahl einsetzen? Könnte man dann nicht auch sagen Ich mach jetzt mal die Raumdimensionen komplex und schau, was rauskommt?
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Keine-Grenzen-Hypothese
Die Idee mit der imaginären Zeit ist relativ einfach. In einer gewöhnliche Quantenfeldtheorie (z.B. QED auf fester Raumzeit) wird sie wie folgt genutzt:
Es gibt sogenannte Greensfunktionen / Propagatoren K(x, t, y', t'), die beschreiben, wie sich aus einem Feld A(x, t) zu einer Zeit t (für alle Raumpunkte x) die neue Feldkonfiguration A(x', t') zu einem neuen Zeitpunkt t' ergibt.
K hat als komplexe Funktion gewisse Eigenschaften, die es erlauben, t und t' als komplexe Zahl aufzufassen. Dies bietet häufig Vorteile bei den konkreten Rechnungen, ohne dass damit physikalische Interpretation verbunden wären.
K kann aus einem Gebilde namens Pfadintegral abgeleitet werden. Das Pfadintegral sieh dabei wie folgt aus:
L ist dabei die sogenannte Lagrangedichte, aus der die klassischen Feldgleichungen (z.B. Maxwellgleichungen) abgeleitet werden können.
Im Pfadintegral wird über alle möglichen Feldkonfiguration A(x,t) integriert, d.h. auch über solche, die die klassischen Feldgleichungen nicht efüllen.
Das Pfadintegral ist mathematisch leider nicht wohldefiniert; das liet ban dem i im Exponenten, der so wie bei der normalen komplexen e-Funktion zu oszillierendem Verhalten führt. Daher fühert man eine sogenannte Wickrotation durch, d.h. man ersetzt die Integratinosvariable t durch s=it und berechnet ein komplexes Kurvenintegral. Dadurch erhält man (in der neuen Integrationsvariable s = der imaginären Zeit) ein neues Pfadintegral.
Diese ist nun mathematisch wohldefiniert, da die e-Funktion gedämpft ist. Dieses Integral kennt man aus der statistischen Mechnik, es entspricht im wesentlichen einem Pfadintegral zur Beschreibung von Brownscher Bewegung in einem Wärmebad (Wilfried: ich weiß, dass dieses Phänomen nicht von Brown entdeckt wurde, aber so heißt es eben heute).
Für gewöhnliche Quantenfeldtheorie ist dieses Verfahren wohldefiniert. Es fürhrt zu einer Entsprechung zwischen einer Feldtheorie im Minkowskiraum (mit t) mit einer im euklidschen Raum (mit it). Am Ende einer Rechnung interessiert man sich natürlich immer nur für Größen, in denen t (statt it) vorkommt
Man versucht nun, das selbe Verfahren auch für die Quantengravitation durchzuführen und dem euklidschen Raum (also der imaginären Zeit it) eine physikalische Bedeutung zu geben. Nun kann man aber die Wickrotation nmicht mehr definieren, da dies nur sinnvoll ist, wenn man die Struktur der Raumzeit kennt und diese fix ist. In der Quantengravitation ist diese aber eben nicht fix.
Hawking geht nun anders vor und FORDERT dieses Verhalten, also er DEFINIERT die Quantengravitation über ein Pfadintegral.
S ist dabei die Einstein-Hilbert Wirkung der ART, g die Metrik.
Beim Übergang von t zu it erkennt man außerdem, dass eine Periodizität in der imaginären Zeit it auftritt. Diese Periodizität interpriert man nun wie folgt: Ausgehend von einer Sinuskurve (periodisch) führt man eine Kompaktifizierung durch (Kreis, z.B. Zifferblatt einer Uhr). Dadurch erhält man eine Theorie, die keinen ausgezeichneten Ursprung / Nullpunkt o.ä. mehr enthält - dies ist die "keine-Grenzen-Hypothese".
Hawking behauptet(e) also folgendes
- Quantengravitation muss in einer imaginären Zeit it formuliert werden
- daraus ergibt sich automatisch die "keine-Grenzen-Hypothese"
Es gibt sogenannte Greensfunktionen / Propagatoren K(x, t, y', t'), die beschreiben, wie sich aus einem Feld A(x, t) zu einer Zeit t (für alle Raumpunkte x) die neue Feldkonfiguration A(x', t') zu einem neuen Zeitpunkt t' ergibt.
K hat als komplexe Funktion gewisse Eigenschaften, die es erlauben, t und t' als komplexe Zahl aufzufassen. Dies bietet häufig Vorteile bei den konkreten Rechnungen, ohne dass damit physikalische Interpretation verbunden wären.
K kann aus einem Gebilde namens Pfadintegral abgeleitet werden. Das Pfadintegral sieh dabei wie folgt aus:
L ist dabei die sogenannte Lagrangedichte, aus der die klassischen Feldgleichungen (z.B. Maxwellgleichungen) abgeleitet werden können.
Im Pfadintegral wird über alle möglichen Feldkonfiguration A(x,t) integriert, d.h. auch über solche, die die klassischen Feldgleichungen nicht efüllen.
Das Pfadintegral ist mathematisch leider nicht wohldefiniert; das liet ban dem i im Exponenten, der so wie bei der normalen komplexen e-Funktion zu oszillierendem Verhalten führt. Daher fühert man eine sogenannte Wickrotation durch, d.h. man ersetzt die Integratinosvariable t durch s=it und berechnet ein komplexes Kurvenintegral. Dadurch erhält man (in der neuen Integrationsvariable s = der imaginären Zeit) ein neues Pfadintegral.
Diese ist nun mathematisch wohldefiniert, da die e-Funktion gedämpft ist. Dieses Integral kennt man aus der statistischen Mechnik, es entspricht im wesentlichen einem Pfadintegral zur Beschreibung von Brownscher Bewegung in einem Wärmebad (Wilfried: ich weiß, dass dieses Phänomen nicht von Brown entdeckt wurde, aber so heißt es eben heute).
Für gewöhnliche Quantenfeldtheorie ist dieses Verfahren wohldefiniert. Es fürhrt zu einer Entsprechung zwischen einer Feldtheorie im Minkowskiraum (mit t) mit einer im euklidschen Raum (mit it). Am Ende einer Rechnung interessiert man sich natürlich immer nur für Größen, in denen t (statt it) vorkommt
Man versucht nun, das selbe Verfahren auch für die Quantengravitation durchzuführen und dem euklidschen Raum (also der imaginären Zeit it) eine physikalische Bedeutung zu geben. Nun kann man aber die Wickrotation nmicht mehr definieren, da dies nur sinnvoll ist, wenn man die Struktur der Raumzeit kennt und diese fix ist. In der Quantengravitation ist diese aber eben nicht fix.
Hawking geht nun anders vor und FORDERT dieses Verhalten, also er DEFINIERT die Quantengravitation über ein Pfadintegral.
S ist dabei die Einstein-Hilbert Wirkung der ART, g die Metrik.
Beim Übergang von t zu it erkennt man außerdem, dass eine Periodizität in der imaginären Zeit it auftritt. Diese Periodizität interpriert man nun wie folgt: Ausgehend von einer Sinuskurve (periodisch) führt man eine Kompaktifizierung durch (Kreis, z.B. Zifferblatt einer Uhr). Dadurch erhält man eine Theorie, die keinen ausgezeichneten Ursprung / Nullpunkt o.ä. mehr enthält - dies ist die "keine-Grenzen-Hypothese".
Hawking behauptet(e) also folgendes
- Quantengravitation muss in einer imaginären Zeit it formuliert werden
- daraus ergibt sich automatisch die "keine-Grenzen-Hypothese"
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
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Sir Karl R. Popper
Das hast Du prima erklärt, lieber Tom!
Aber... kann man das auch einmal so "übersetzen", dass auch Leute wie ich, die keine Pfadintegrale unterm Kopfkissen haben, einen kleinen Einblick in diese Materie bekommen?
Zwar habe ich durchaus schon von deren Existenz gehört, sie sind mir aber ein Buch mit min. 7 Siegeln...
Gruß
gravi
Aber... kann man das auch einmal so "übersetzen", dass auch Leute wie ich, die keine Pfadintegrale unterm Kopfkissen haben, einen kleinen Einblick in diese Materie bekommen?
Zwar habe ich durchaus schon von deren Existenz gehört, sie sind mir aber ein Buch mit min. 7 Siegeln...
Gruß
gravi
Unser Wissen ist ein Tropfen. Was wir nicht wissen, ist ein Ozean.
Sir Isaac Newton
Sir Isaac Newton
Ich hab dazu schon mal was geschrieben: viewtopic.php?t=776&highlight=pfadintegral (Posting vom 20.03.2008)
Hilft das ein bisschen? Wenn nein, dann schreib ich gerne nochmal was Ausführlicheres zu den Pfadintegralen (ist mathematisch und physikalisch echt abgefahren!)
Hilft das ein bisschen? Wenn nein, dann schreib ich gerne nochmal was Ausführlicheres zu den Pfadintegralen (ist mathematisch und physikalisch echt abgefahren!)
Gruß
Tom
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Sir Karl R. Popper
Tom
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Sir Karl R. Popper
Ja, würde mich schon interessieren. Ich bin mit diesen Funktionen (Z,L,S...) nicht besonders (hm, eigentlich gar nicht) vertraut.TomS hat geschrieben:Wenn nein, dann schreib ich gerne nochmal was Ausführlicheres zu den Pfadintegralen
Und wenn es mathematisch abgefahren ist, interessierts mich sowieso
