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Unbegrenzte Möglichkeiten in einem unendlichen Universum

Themen zur Kosmologie, Urknall, inflationärer Kosmologie, Expansion, Entwicklung und Zukunft des Universums
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tomS
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Unbegrenzte Möglichkeiten in einem unendlichen Universum

Beitrag von tomS » 2. Jul 2008, 15:08

Hallo,

ich bin bei der Diskussion über Multiversen u.ä. aber auch bei anderen Themen (Leben im Universum) auf ein erstaunliches Paradoxon gestoßen. Hier meine Herleitung:

1. Voraussetzung: Wir beobachten hier auf der Erde ein bestimmtes Phänomen P
2. Voraussetzung: Das Universum ist unendlich ausgedehnt bzw. offen (z.B. ein einfaches Modell nach FRW)

Da wir P beobachten, existiert daführ auch eine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit w(P) > 0. Es ist unerheblich, wie groß w(P) genau ist.

Unter endlich vielen Möglichkeiten N haben wir also P mit der Wahrscheinlichkeit von w(P), d.h. wir beobachten P tatsächlich n mal:
n(P) = w(P)*N
Das ist nur die Definition der Wahrscheinlichkeit w = n/N.

Bsp.: Existenz des Menschen:
N = die Anzahl aller Planeten
n = die Anzahl der Planeten, auf denen Menschen wohnen

Da nun in einem unendlich ausgedehnten Universum N gegen unendlich geht, haben wir für n(P) zwei Möglichkeiten:
1) falls w(P) > 0, folgt n(P) = w(p)*N geht ebenfalls gegen unendlich
2) falls w(P) gegen 0 geht, kann n(P) = w(P)*N = N° endlich bleiben

Im Falle 1) haben wir tatsächlich unabhängig von Details des Phänomens P (es gibt Menschen; meine Tochter hat zwei Kaninchen, der Club ist abgestiegen, ...) immer unendlich viele Planeten / Welten, auf denen P insgesamt unendlich oft auftritt; d.h. es gibt unendlich viele Menschen, unendlich viele Kopien meiner Tochter und der Kaninchen und sogar unendlich viele Fußballmannschaften aus unendlich vielen Nürmbergs, die in diesem Jahr abgestiegen sind.

Im Falle 2) muss man (um 1 zu vermeiden) die Wahrscheinlichkeit für alle diese Phänomene künstlich infinitesimal gegen 0 gehen lassen (im gleichen Maße wie man N gegen unendlich gehen lässt), so dass der Quotient N° endlich bleibt. Man kann das sicher dadurch erschlagen, dass man ein Super-P definiert (es gibt die Erde mit folgenden Eigenschaften: Größe, Sauerstoff, Kohlenstoff, ..., Sonnenentfernung, ..., Alter, ...), so dass bereits dafür gilt n(Super-P) = 1.
Damit löst man irgendwie das Paradoxon auf, aber das wirkt etwas künstlich.

Nehmen wir also an, dass die Voraussetzung 2 richtig ist, dann muss ich jetzt damit leben, dass es unendlich viele Kopien von mir gibt, die sich teilweise gar nicht, jedoch und teilweise erheblich von mir unterscheiden. Evtl. gibt es mich auch unendlich viele Male in Gefängnissen (als Raubmörder o.ä.), als US-Präsident usw.

Ich brauche dafür kein Multiversum, ein "gewöhnliches" Universum mit unendlicher Ausdehnung reicht aus!
Gruß
Tom

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Beitrag von Arathas » 2. Jul 2008, 15:42

Ich brauche dafür kein Multiversum, ein "gewöhnliches" Universum mit unendlicher Ausdehnung reicht aus!
Da stimme ich mit dir überein. Allerdings erschwert dieser Gedanke das Ganze erheblich, denn bei einem Multiversum kann ich mir schon vorstellen, dass es eben in einem Paralleluniversum mich in unendlich vielen Kopien gibt - ich würde mich ja niemals selbst (also QUASI selbst, es wär ja nicht wirklich ich) treffen können, außer, ich könnte zwischen Paralleluniversen hüpfen.

Aber bei deiner Beschreibung könnte es möglich sein, eine der Kopien von sich selbst anzutreffen, wenn man die Möglichkeit hätte, weit genug zu reisen. Das fänd ich schon etwas abstrus ... :?

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Beitrag von tomS » 2. Jul 2008, 15:58

Ja, du könntest dich selbst treffen.

Beispiel: Denk dir eine Sonne ähnlich unserer eigenen. Es gibt eine Umlaufbahn, auf der ZWEI erdähnliche Planeten umlaufen (also gleiche Bahnradien usw). Auf diesen erdähnlichen Planeten können Kopien von dir existieren.

Diese beiden Kopien können sich recht einfach und sogar ziemlich häufig treffen. Die Wahrscheinlichkeit dafür sollte ebenfalls > 0 sein, also müsste es das unendlich oft geben :-)
Gruß
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Beitrag von derNeugierige » 2. Jul 2008, 18:37

Ich finde die Idee genial, mit einfacher Wahrscheinlichkeitsrechnung Multiversen unnötig zu machen. Natürlich braucht man aber bestimmt irgendwo das Vorhandensein von anderen Universen (Stringtheorie z.B.)...

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Beitrag von tomS » 2. Jul 2008, 18:50

Das Vorhandensein von anderen Universen (Stringtheorie, Many-Worlds-Interpretation) halte bich nicht für notwendig, sondern für den Hinweis auf einen fundamentalen Konstruktionsfehler.

Ich wollte ja nur sagen, dass man diese ganzen Paradoxien bereits bekommt, ohne auf etwas derart ausgefliptes Bezug zu nehmen.
Gruß
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Beitrag von Maclane » 2. Jul 2008, 19:04

Aber ist es nicht normal, dass Paradoxa (nicht Paradoxien ;) )immer dann entstehen, wenn man mit Unendlichkeiten rechnet? ;)

Klar passieren in einem unendlich ausgedehnten Universum allerhand komische Dinge. Darum favourisiere ich auch lieber ein endliches Universum.

Gruß Mac
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Beitrag von gravi » 2. Jul 2008, 20:05

Der Gedanke ist an sich ganz nett, aber ein wenig widersprechen muss ich hier.

1. Das Universum ist nicht unendlich ausgedehnt. Kann es auch nicht, da es erst ein relativ geringes Alter hat. Selbst wenn es mit Überlichtgeschwindigkeit expandieren würde, könnte es noch nicht eine unendliche Größe erreicht haben. Das würde erst nach unendlich langer Zeit erreicht werden.

2. Deine Überlegung setzt voraus, dass auch unendlich viel Masse (in Form von Sternen, Planeten usw.) vorhanden sein müsste. Denn das wäre die Voraussetzung für die Existenz beliebig vieler Erden. Unser Kosmos hat aber nur eine begrenzte Masse, "gewogen" haben wir es ja bereits.

So, einer muss ja mal Kontra geben :wink:

Gruß
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Beitrag von tomS » 2. Jul 2008, 21:00

Im topologisch einfachsten Fall sind Universen mit K=0 (flach) oder K=-1 (negativ gekrümmt) unendlich ausgedehnt, haben also unendliches Volumen.

Endliches Volumen ist erlaubt für K=0 und K=-1; es ist zwingend für K=+1.

Ich hab natürlich inzwischen etwas gegoogelt und dabei leider feststellen müssen, dass ich nicht der erste bin, der auf die o.g. Paradoxa (ist mir peinlich - ich hatte Latein und Griechisch an der Schule) gekommen ist:
http://space.mit.edu/home/tegmark/multiverse.html
Gruß
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Beitrag von Koschi » 2. Jul 2008, 22:48

Hmmm. Also ...

Ich sehe das so, da ja die Materie/Energie Endlich ist im Universum kann es dich zb nicht Unendlich mal geben. Dabei spielt die größe des Universums keine Rolle da eben Energie/Materie nur Endlich vorhanden ist. oder ist mir beim Durchlesen was wichtiges entgangen ?
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Beitrag von breaker » 2. Jul 2008, 22:56

Ich weiß nicht, irgendwie klingt das für mich mehr nach Mathe als nach Wirklichkeit.
Das heißt ich weiß nicht, ob ich das als Paradoxon oder als Definitionslücke in der Wahrscheinlichkeitsrechnung sehen soll.
Wenn man als Ereignisraum eine nicht abzählbare Menge hat, sagt man doch auch nicht, die Wirklichkeit wäre falsch, weil jede Wahrscheinlichkeit streng genommen Null wäre, sondern nimmt ein Integral über einen Bereich.
Deswegen gefällt mir die Sache mit dem "n(Super-P) = 1" irgendwie besser.

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Beitrag von tomS » 3. Jul 2008, 06:46

Das Wahrscheinlichkeitsmaß (= die Definition des Integrals über einen Bereich im Eeignisraum) muss man natürlich konsistent einführen - da bin ich etwas sorglos drüber weggegangen :-)

Ich gehe mal davon aus, man könne das mathematisch konsistent einführen; dann müssten wir



betrachten. Dabei ist B der genannte Bereich und w(p) die Wahrscheinlichkeitsdichte.

Im Bereich B würde ich dann z.B. alle Welten zulassen, in denen es mich gäbe (eine geeignete Definition von Ich vorausgesetzt). Die gegebene Person darf also nicht zu stark von mir abweichen (äußerlich, von der Persönlichkeit, ...).

Ich bin aber der Meinung, mathematisch wäre das alles konsistent.

Das Paradoxon liegt also in der Natur des unendlichen UNiversums, nicht in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

@Koschi: In einem unendlichen Universum gibt es unendlich viel Materie, aber die Gesamtenergie kann Null sein, da die Energie der Materie selbst positiv, die des Gravitationsfeldes dagegen negativ ist.

@Gravi: was meinst du mit "gewogen haben wir es ja bereits"? Im Falle eines endlichen Universums mit K=+1 kann ich die Masse bei bekannter Geometrie und Dichte natürlich berechnen. Aber normalerweise kennt man eben nur die Dichte (näherungsweise), was bei unendlich ausgedehntem Universum auch zu unendlicher Masse führt.
Gruß
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Beitrag von Koschi » 3. Jul 2008, 07:41

tomS hat geschrieben: @Koschi: In einem unendlichen Universum gibt es unendlich viel Materie, aber die Gesamtenergie kann Null sein, da die Energie der Materie selbst positiv, die des Gravitationsfeldes dagegen negativ ist.
Dann könnte es dich Natürlich unendlich oft geben :D
tomS hat geschrieben: Das Paradoxon liegt also in der Natur des unendlichen UNiversums, nicht in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Hmmm bin trotzdem der Meinung es liegt ehr an der Mathematik es ist halt so das wenn ich was mit Unendlich Multipliziere egal wie kleine der andere Faktor ist das Ergebnis ist immer wieder Unendlich.
Aber Natürlich stimmt es das es in der Theorie Unendlich oft passieren kann.
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Beitrag von tomS » 3. Jul 2008, 09:21

Es liegt natürlich an der Mathematik, aber die Mathematik ist deswegen nicht FALSCH.
Gruß
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Beitrag von gravi » 3. Jul 2008, 19:18

Hallo Tom,
@Gravi: was meinst du mit "gewogen haben wir es ja bereits"? Im Falle eines endlichen Universums mit K=+1 kann ich die Masse bei bekannter Geometrie und Dichte natürlich berechnen. Aber normalerweise kennt man eben nur die Dichte (näherungsweise), was bei unendlich ausgedehntem Universum auch zu unendlicher Masse führt.
So meinte ich das. Ob K = +1 ist oder auch K = 0 wissen wir nicht. Richtig, was wir bis heute angesammelt haben an Daten, liegen wie ziemlich nahe an der kritischen Dichte des Universums. Abschätzungen der Gesamtmasse liegen ja durchaus vor, so dass wir unbedingt von einer endlichen Gesamtmasse ausgehen müssen.

Indiz dafür ist m.E. die Photonendichte der Hintergrundstrahlung. Sie ist das Remnant der Teilchenvernichtung und wir müssen sie nur zählen um zu wissen, wie hoch die Gesamtmasse ist. Bei unendlich großer Masse im All müsste auch die Photonenanzahl unendlich sein bzw. Unendlich/2 :wink:

Die Gesamtmasse liegt übrigens um die 10^54 Kg.

Gruß
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Beitrag von Koschi » 3. Jul 2008, 23:11

tomS hat geschrieben:Es liegt natürlich an der Mathematik, aber die Mathematik ist deswegen nicht FALSCH.
Nein auf keinen Fall das ist ja das schöne an Mathematik es gibt keine Grauzonen nur Schwarz und Weiß, Richtig und Falsch.

Habe mir heute den ganzen Tag nen brauchbares gegenbeispiel überlegt was soll ich sagen mir fiel keins ein :(
Vielleicht könnte man ja so Argumentieren: Das der Fall eintritt liegt bei unendlich aber die Frage ist wie Hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit das der Fall nicht eintritt ? Wäre der nicht auch unendlich ?
Bsp. Nehmen wir wieder Tom her das es ihn unendlich oft gibt wenn ich mich jetzt dann weiter umschau habe ich alleine nur auf der Erde 6 Milliarden Andere Leute die nicht wie Tom sind. Ist dann die Wahrscheinlichkeit nicht
6 Milliarden*unendlich (wenn wir jetzt wieder das ganze universum nehmen) größer das es ihn nicht gibt als 1*unendlich das es ihn gibt.

Also das Bsp ist nicht das beste aber vielleicht kann man nachvollziehen was ich meine.
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Beitrag von breaker » 4. Jul 2008, 11:28

Vielleicht könnte man ja so Argumentieren: Das der Fall eintritt liegt bei unendlich aber die Frage ist wie Hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit das der Fall nicht eintritt ? Wäre der nicht auch unendlich ?
Langsam...

Eine Wahrscheinlichkeit kann immer nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen, so ist sie definiert. Tom hat jetzt gesagt, wenn es mich gibt, kann die Wahrscheinlichkeit dafür ja nicht Null sein, also muss sie irgendeinen anderen Wert haben; welcher ist erstmal egal. Und wenn das Universum unendlich groß ist, folgt aus der Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeit nicht Null ist, dass es unendlich viele Exemplare von mir gibt.

Beispiel: Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen und jede dritte davon ist durch 3 teilbar. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu treffen, die durch 3 teilbar ist, ist 1/3 und es gibt unendlich viele 3er-Zahlen.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Nicht-3er-Zahl zu treffen ist einfach 2/3.
Weder unendlich, noch Null, noch sonstwas.

Richtig erklärt?

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Beitrag von Koschi » 4. Jul 2008, 13:41

breaker hat geschrieben:
Vielleicht könnte man ja so Argumentieren: Das der Fall eintritt liegt bei unendlich aber die Frage ist wie Hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit das der Fall nicht eintritt ? Wäre der nicht auch unendlich ?
Langsam...

Eine Wahrscheinlichkeit kann immer nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen, so ist sie definiert. Tom hat jetzt gesagt, wenn es mich gibt, kann die Wahrscheinlichkeit dafür ja nicht Null sein, also muss sie irgendeinen anderen Wert haben; welcher ist erstmal egal. Und wenn das Universum unendlich groß ist, folgt aus der Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeit nicht Null ist, dass es unendlich viele Exemplare von mir gibt.

Beispiel: Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen und jede dritte davon ist durch 3 teilbar. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu treffen, die durch 3 teilbar ist, ist 1/3 und es gibt unendlich viele 3er-Zahlen.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Nicht-3er-Zahl zu treffen ist einfach 2/3.
Weder unendlich, noch Null, noch sonstwas.

Richtig erklärt?
Die Wahrscheinlichkeit ist 1/3 eine Zahl zu finden die durch 3 teilbar ist und 2/3 eine Falsche zahl zu erwischen. Ist es das in meinem Beispiel nicht auch ? Du hast die chance von 1/600000000 Tom zu treffen und die Chance 599999999/600000000 ihn nicht zu treffen.
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Beitrag von breaker » 4. Jul 2008, 14:27

Du meinst, wenn es unendlich viele Toms gibt, muss es auch unendlich viele nicht-Toms geben?
Ja, das wäre meiner Ansicht nach dann so.

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Beitrag von Koschi » 4. Jul 2008, 14:42

breaker hat geschrieben:Du meinst, wenn es unendlich viele Toms gibt, muss es auch unendlich viele nicht-Toms geben?
Ja, das wäre meiner Ansicht nach dann so.
Nee ich meinte das anders. Aber mir ist gerade beim Einkaufen dein Bsp richtig klar geworden und damit auch die Erkenntnis das ich nicht richtig liege :D.
Bei der Wahrscheinlichkeit gibts ja verschiedene Faktoren für die Wahrscheinlichkeit und welche gegen eine Wahrscheinlichkeit. Aber diese Spielen keine Rolle solange ein Faktor Unendlich ist. Ich wollte eigentlich so was Anbringen das sich das Unendlich rauskürzt aber geht irgendwie net. Was mich dann halt glauben lässte das "es Tom unendlich oft gibt"
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Beitrag von tomS » 4. Jul 2008, 15:32

ich will gar nicht, dass es mich so oft gibt

@Gravi: Die Hintergrundstrahlung liefert kein direktes Indiz für die Endlichkeit des Universums, sondern lediglich für die Endlichkeit des sichtbaren Teils.

Nehmen wir an, es gilt K=0 (flach) und wir haben ein tolopogisch triviales Universum (ist verträglich mit den heute vorliegenden Daten). Dann stammt die heute sichtbare Hintergrundstrahlung aus dem heute insgesamt sichtbaren Bereich des Universums (das ist eine Kugel), das gesamte Universum ist aber ein unendlich ausgedehnter, dreidimensionaler Raum. Die darin insgesamt vorhandene Hintergrundstrahlung hat unendlich viel Energie.
Gruß
Tom

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Beitrag von gravi » 4. Jul 2008, 19:53

J....ein, lieber Tom,

ich gebe Dir Recht, dass K ~ 0 ist, davon müssen wir womöglich ausgehen.

Da Du meinen anderen Argumenten nicht "zustimmst", werfe ich noch eines unters Volk: :wink:

ja, das Universum mag euklidisch sein, alles spricht dafür und es wird ewig expandieren. Doch alle bisher ermittelten Fakten sprechen doch dafür, dass es einmal einen Beginn hatte und man von einer bestimmten Anfangskonfiguration ausgehen kann. Also definierter Energieinhalt, definierte Temperatur, Dichte usw.

Wenn es aber heute bereits unendlich ausgedehnt ist, unendlich viel Materie beinhaltet, dann müssen wir doch wohl das Urknallmodell ad acta legen und wieder den steady state ausgraben. Nur so wäre das nach meiner Ansicht möglich.

Bei "normaler" Entwicklung des Alls kann es heute unmöglich unendlich groß sein. Es hat doch eine Geschichte, einen Anfang und es entwickelt sich. Kann aber etwas, das bereits unendlich ist, überhaupt noch eine Entwicklung aufzeigen?

Schelmischen Gruß
gravi
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Beitrag von tomS » 4. Jul 2008, 22:32

Ich glaube, jetzt verstehe ich deinen Denkfehler. Du gehst davon aus, dass das Universum beim Urknall quasi ein Punkt war, aus dem sich alles entwickelt hat. Ich denke, dieser Begriff des Punktes ist für K=0 und K=-1 problematisch.

Ich versuche das mal anhand einiger Gleichungen zu erklären
http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/9712/9712019v1.pdf

Man nehme die Metrik (8.1) mit dem Skalenfaktor a(t), der die "Größe" des Universums zu einem gegebenen Zeitpunkt t bestimmt.

Mit reinen Symmetrieüberlegungen und ohne Benutzung der Einsteingleichungen erhäölt man daraus die Metrik (8.7) mit der Fallunterscheidung K = +1, 0, -1. Für K=0 ist die relevante Drei-Metrik einfach die des flachen, dreidimensionalen Euklidischen Raumes.

Die Metrik des Universums lautet also
ds² = -dt² + a²(t) * [dx²]
Dabei ist ds² das vierdimensionale, dx² das dreidimensionale Linienelement.

dx² ist nun unabhängig von t. D.h. dass auch für t=0 mit a(0) = 0 weiterhin ein dreidimensionaler, euklidscher Raum vorliegt. Damit ist der Urknall in diesem Bild (K=0) nicht ein Punkt, von dem aus sich das Universum aufblähte (wie in dem Bild mit dem Luftballon), sondern es ist auch zum Zeitpunkt des Urknalls eine dreidimensionaler Raum. Der Urknall fand also gewissermaßen überall in diesem dreidimensionalen Raum statt.
Gruß
Tom

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Beitrag von derNeugierige » 5. Jul 2008, 01:21

Aber ist das denn nicht logisch, dass am Anfang der Urknall im ganzen Raum überall war. Oder wie groß war denn der Raum zum Zeitpunkt des Urknalls?
Was ich nicht so ganz verstehe ist, warum jetzt der dreidimensionale Euklidische Raum zum Zeitpunkt des Urknalls dafür sorgt, dass das Universum unendlich ist?
Ach ich glaube jetzt verstehe ich das. Der Raum war einfach schon zum Zeitpunktes des Urknalls unendlich und da der Urknall überall war, gibt es unendlich viel Energie. Aber das klingt sehr mathematisch.
Aber bei t=0 oder r=0 treten doch sowieso immer Unendlichkeiten auf ;).

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Beitrag von tomS » 5. Jul 2008, 01:31

Ja, so in die Richtung geht das.

Für K=0 war und ist der Raum immer euklidisch und "unendlich ausgedehnt". Diese "Ausdehung" ist allerdings nicht die physikalisch sichtbare, sondern resultiert aus der Tatsache, dass man drei Koordinaten x, y und z verwendet. Die sichtbare Ausdehnung, Volumen o.ä. ist immer mit a(t) entsprechend skaliert.
Gruß
Tom

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Beitrag von derNeugierige » 5. Jul 2008, 01:36

Ja ok dann habe ich mir das richtig vorgestellt. :D

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