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Kosmologie

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Siebenstein
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Re: Kosmologie

Beitrag von Siebenstein » 5. Jun 2021, 00:22

So leicht lasse ich nicht locker und hake nach:

Wer zugibt, dass z. B. "Drehimpuls" und "Drehimpulserhaltungssatz" rein physikalische Größen und Gesetzmäßigkeiten sind, muss die Kreiszahl pi auch als physikalische Naturkonstante anerkennen, da ohne sie diese "physikalischen Objekte" nicht definierbar sind.

Oder anders herum formuliert:
Wer pi nicht als physikalische Naturkonstante anerkennen will, muss konsequenterweise auch den Drehimpuls oder den Drehimpulserhaltungssatz als "nicht physikalisch" betrachten.

Das hat meines Erachtens auch wenig mit "Sprachverwirrung" zu tun, sondern entspricht doch vielmehr nackten physikalischen Tatsachen, oder etwa nicht?!

Und hier jetzt auch nur am Rande erwähnt:
Auch taucht z.B. das achtfache der Zahl pi als Konstante zusammen mit der Gravitationkonstanten G und der vierten Potenz der Lichtgeschwindigkeit c auf der rechten Seite der Einstein'schen Feldgleichung auf.
Ist diese Feldgleichung dann auch als nicht physikalisch einzustufen oder zu begründen, wenn pi keine physikalische Naturkonstante sein soll?

ralfkannenberg
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Re: Kosmologie

Beitrag von ralfkannenberg » 6. Jun 2021, 00:53

Siebenstein hat geschrieben:
5. Jun 2021, 00:22
So leicht lasse ich nicht locker und hake nach:
Hallo Siebenstein,

das finde ich sehr gut. Schaun wir mal:
Siebenstein hat geschrieben:
5. Jun 2021, 00:22
Wer zugibt, dass z. B. "Drehimpuls" und "Drehimpulserhaltungssatz" rein physikalische Größen und Gesetzmäßigkeiten sind, muss die Kreiszahl pi auch als physikalische Naturkonstante anerkennen, da ohne sie diese "physikalischen Objekte" nicht definierbar sind.

Oder anders herum formuliert:
Wer pi nicht als physikalische Naturkonstante anerkennen will, muss konsequenterweise auch den Drehimpuls oder den Drehimpulserhaltungssatz als "nicht physikalisch" betrachten.
Das verstehe ich nicht - Drehimpulse und ihre Eigenschaften bzw. Erhaltungssätze werden in der Physik definiert und erkannt, während die Kreiszahl pi in der Mathematik definiert wird; für letzteres gibt es mehrere Möglichkeiten, so dass man dann nachweisen muss, dass alle diese Definitionen gleichwertig (äquivalent) sind.

Natürlich werden mathematische Grössen und mathematische Methoden in der Physik angewandt, d.h. man kann zumindest ein Stück weit sagen, dass die Physik die Realisierung der Mathematik in der Natur ist, dennoch würde ich die beiden Disziplinen auseinanderhalten.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Kosmologie

Beitrag von seeker » 6. Jun 2021, 09:23

Siebenstein hat geschrieben:
5. Jun 2021, 00:22
Wer zugibt, dass z. B. "Drehimpuls" und "Drehimpulserhaltungssatz" rein physikalische Größen und Gesetzmäßigkeiten sind, muss die Kreiszahl pi auch als physikalische Naturkonstante anerkennen, da ohne sie diese "physikalischen Objekte" nicht definierbar sind.
Das sind sie aber nicht! Drehimpuls, usw. sind mathematisch formulierte Konstrukte, die, wie sich herausgestellt hat (unserer Meinung nach), gut zur Empirie passend sind, also gute und nützliche Beschreibungen der Natur darstellen.
Man muss wirklich die betrachteteten Gegenstände von den Beschreibungen derselben unterscheiden.
Das sollte man auch wirklich ernst nehmen:
Das Verhältnis ist in etwa wie dies von dir selber und deinem Spiegelbild, wobei unsere physikalischen Beschreibungen dann sozusagen das Verhalten des Spiegelbildes mathematisch fassen. Damit ist aber nicht gesichert bzw. bewiesen, dass etwa gälte "Spiegelbild von dir = Du".
Siebenstein hat geschrieben:
5. Jun 2021, 00:22
Wer pi nicht als physikalische Naturkonstante anerkennen will, muss konsequenterweise auch den Drehimpuls oder den Drehimpulserhaltungssatz als "nicht physikalisch" betrachten.

Das hat meines Erachtens auch wenig mit "Sprachverwirrung" zu tun, sondern entspricht doch vielmehr nackten physikalischen Tatsachen, oder etwa nicht?!
Nein. Man muss wirklich die verschiedenen Kategorien auseinanderhalten, sonst führt das zu Verwirrungen.
Drehimpuls und Drehimpulserhaltungssatz, etc. sind sozusagen (von uns konstruierte) Spiegelbilder, nicht der Gegenstand selber... sie sind Objekte in unseren Theorien von der Natur, nicht Objekte in der Natur selber (jedenfalls ist das nicht bewiesen).

Nochmal:
Naturkonstenten sind empirisch gefundene Messgrößen, innerhalb des Bezugsrahmens einer mathematischen Beschreibung (physikalischen Theorie) der Natur.
(Bezugsrahmen: Mathematik <-> Physik)
Pi ist keine Messgröße, also ist Pi auch keine Naturkonstante. Punkt und aus, da gibt es keinen Spielraum!

Besondere Zahlen wie Pi sind keine Messgrößen, sondern unabhängig von der Natur gefundene besondere Objekte, innerhalb des Bezugsrahmens der zugrunde gelegten Mathematik. Unter Umständen könntest du so etwas dann "mathematische Konstante" nennen, aber eben nicht "physikalische Konstante".
(Bezugsrahmen: Mathematik <-> Mathematik)

Erst hinterher werden Zahlen wie Pi dann ggf. auf die Natur angewendet. Und wenn es funktioniert, sind wir glücklich, wenn nicht, nicht.
Außerdem könntest du in deinen Theorien Pi jederzeit durch eine andere Zahl ersetzen: Pi/2, Pi/4, 10Pi, Pi^2, sqr(Pi), usw., usf., unendliche Möglichkeiten...
Du kannst zudem auch statt Pi z.B. die Zahl 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 (diese Zahl ist NICHT Pi!) in deine Gleichungen einsetzen (oder eine Zahl nahe da dran, auch hier unendliche Möglichkeiten), ohne dass sich auch nur irgendetwas an deiner Physik innerhalb der Messgrenzen verändert.
Und wie wäre es mit anderen 'besonderen Zahlen', wie die "0", die "1", die "2", usw.? Wären das dann auch "physikalische Konstanten"?
Man sieht: Das führt zu nichts.
Siebenstein hat geschrieben:
5. Jun 2021, 00:22
Auch taucht z.B. das achtfache der Zahl pi als Konstante zusammen mit der Gravitationkonstanten G und der vierten Potenz der Lichtgeschwindigkeit c auf der rechten Seite der Einstein'schen Feldgleichung auf.
Ist diese Feldgleichung dann auch als nicht physikalisch einzustufen oder zu begründen, wenn pi keine physikalische Naturkonstante sein soll?
Die Feldgleichung ist als Beschreibung der Natur zu werten, also ist sie insofern physikalisch und verwendet dazu erfolgreich bestimmte Hilfsgrößen, wie z.B. Pi, das beweist aber nicht, dass dies auch die Natur IST.
Man kann solche Dinge bemerken. Und sie sind bemerkenswert. Dennoch handelt es sich hier um etwas anderes, man muss das unterscheiden.
Hier geht es am Ende um den Umstand, dass unsere physikalisch-mathematischen Beschreibungen in ihrem Gegenstandsbereich anscheinend überraschend gut funktionieren.
Und an der Stelle kann man dann fragen, was das bedeutet? Das ist die spannende Frage dabei.

Erst wenn du nun hier der Meinung bist, dass gilt: "Natur = (unsere) Mathematik" und "(unsere) Physik = Natur", dann erst könntest du argumentieren, dass auch Pi so etwas wie eine Naturkonstante ist. Aber eben diese Position gilt es herauszuarbeiten, dass das ans Licht kommt, dass bzw. ob du dieser Meinung bist.
(Was mir hiermit hoffentlich gelungen ist...?)
Bist du dieser Meinung?
Aber auch egal welcher weltanschaulichen Position du hier zuneigst, es gilt hier festzuhalten:
Wissen kannst du das nicht, du kannst es nur meinen!

Ist es jetzt klar geworden, worauf ich hinaus will?
Grüße
seeker


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Re: Kosmologie

Beitrag von Siebenstein » 7. Aug 2021, 01:34

Danke für das Feedback.

Ja, ich weiß worauf du hinauswillst, und ich glaube, dich auch verstanden zu haben, was du meinst.

Aber ich vertrete eine viel radikalere Auffassung.
Ich glaube, dass die Quantenmechanik allein auf mathematische Konstanten und Gesetzmäßigkeiten zurückzuführen sein muss.
Den Beweis dafür kann ich noch nicht liefern.

Ein Ansatzpunkt dafür könnten vielleicht die Primzahlen sein, sowie die Fibonachizahlen als Bauplan der Natur und der sog. Fermat'sche Satz.

Einen Bauplan für die physikalischen Naturkonstanten und deren Zusammenhänge gibt es leider noch nicht.
Das einzige wären die sog. Planckgrößen, die als reine Einheitenjonglierei letztlich aber auch nur ein Eingeständnis für das Nichtwissen um die Herkunft der Naturkonstanten sein können.

Man kann m.E. immerhin folgendes festhalten:
Als willkürliche Größen im SI-Einheiten System hat die Lichtgeschwindigkeit c, ausgedrückt als Quotient aus Meter pro Sekunde in der Genauigkeit eine endgültige Grenze mit den Folgen 00 ab einer bestimmten Stelle hinter dem Komma.

Für alle anderen physikalischen Naturkonstanten, wie z.B. Planck'sches Wirkungsquantum h, oder Gravitationskonstante G, oder Boltzmannkonstante k, oder Feinstrukturkonstante alpha, oder Dieelektrizätskonstsnte epsilon0 etc. ist das nicht der Fall.

Und... wenn die Kreistag Pi per Definition keine physikalische Naturkonstante sein soll, dann ist es auch die magnetische Feldkonstante mue0 nicht...

Wer "A" sagt, muss auch "B" sagen...!

MfG

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Re: Kosmologie

Beitrag von seeker » 7. Aug 2021, 09:14

Du kannst das so annehmen.
Wichtig dabei ist nur, dass du deine Prämissen/Vorabannahmen nicht mit den Konklusionen/Schlüssen daraus verwechselst.
Hier gehst du eben offenbar von Vorne herein von der Annahme aus, dass gilt "Mathematik = Natur" (wahrscheinlich, ohne dass dir das ganz bewusst ist, und darum ging es mir: das bewusst zu machen). Und da du das vorne in deine Überlegungen schon hineinsteckst, kommt das hinterher natürlich auch wieder so heraus, daher dann auch deine Ansicht, dass Pi, etc. Naturkonstanten seien.

Wichtig war mir herauszuarbeiten, dass das ein Zirkelschluss ist, was nicht bedeutet, dass die Prämisse falsch ist oder zu nichts führen kann, aber bedeutet, dass die Prämisse ungesichert bleibt.
Was man, um da herauszukommen, eigentlich beweisen müsste, ist, dass tatsächlich gilt "Mathematik = Natur", aber das ist leider (beweisbar) unmöglich.
(Das ist der eigentliche Kernpunkt hinter all dem.)
Siebenstein hat geschrieben:
7. Aug 2021, 01:34
Und... wenn die Kreistag Pi per Definition keine physikalische Naturkonstante sein soll, dann ist es auch die magnetische Feldkonstante mue0 nicht...
Das ist nicht richtig.
Die magnetische Feldkonstante, also auch der Verhältnis-Zahlenwert 1,256637... N/A² ist eine empirisch gefundene Größe im Rahmen eines physikalischen Theoriegebäudes zur Beschreibung unseres Universums, so wie wir es vorfinden, die eng mit der elektrischen Feldkonstante und c zusammenhängt, Pi nicht; Pi selber ist keine empirisch gefundene Größe, sondern eine nicht-empirische Verhähltniszahlgröße zwischen Umfang und Durchmesser jedes Kreises; wobei diese Konstruktion völlig unabhängig von unserem Universum besteht; sie ist eben mathematischer Natur: Man braucht unser Universum nicht als Voraussetzung, um mit Pi sinnvolle mathematische Dinge anzustellen, aber man braucht unser Universum als Voraussetzung, damit µ0 einen sinnvollen Bezug erhält.

In einem anderen Universum könnten c und die Feldkonstanten auch andere Werte haben, Pi wäre aber auch dort Pi.
D.h.: Die genannten Konstanten beschreiben UNSER Universum, Pi würde aber ALLE Universen beschreiben, Pi wäre immer und überall Pi: Pi besteht unabhängig!
Das passt aber von den Kategorien nicht, pysikalische Konstanten MÜSSEN prinzipiell auch andere Werte haben können als die, die wir finden.Und sie müssen empirisch bestmmbar sein.
Du erkennst das, dass beide nicht zur selben Kategorie gehören, auch daran, dass die Feldkonstanten eine physikalische Einheit haben, Pi aber nicht. Diese Einheiten drücken auch aus, dass da etwas gemessen wurde und dass da verschiedene Messgrößen miteinander in Bezug gesetzt wurden. Bei Pi ist das nicht der Fall, Pi ist keine Messgröße.

Wenn du versuchst zu definieren, dass Pi eine Naturkonstante sei, dann musst du mindestens auch definieren, dass 0, 1, usw. auch Naturkonstanten seien, du wirst am Ende sogar behaupten müssen, dass ALLE Zahlen Naturkonstanten seien.

Wer A sagt muss auch B sagen...
Als erstes müsstes du mir daher erklären, warum 1 dann keine Naturkonstante sein sollte?

Du kannst zu π, δ (Feigenbaumkonstante), usw. gerne "mathematische Konstane", wohl sogar "universelle Konstante" sagen, aber "physikalische Konstante" zu sagen wäre ganz sicher falsch.

Was du tun kannst:
Du kannst versuchen unsere (speziellen) physikalischen Konstanten vollständig auf (universelle) mathematische Konstanten zurückzuführen.
Klar, wäre uns das am liebsten, das wurde und wird ja auch versucht, aber ganz gelingen kann das nicht, das ist leider auch klar.
Grüße
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Re: Kosmologie

Beitrag von Jupiter » 12. Aug 2021, 08:42

Du bringst sehr gute Punkte. Manchmal sagen wir Worte, die gar nicht zum Ursprung passen, weil wir den Hintergrund nicht kennen. Aber sobald wir den Hintergrund kennen, ist es auch einfacher zu verstehen.

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Re: Kosmologie

Beitrag von Diagnostiker » 12. Aug 2021, 10:05

Jupiter hat geschrieben:
12. Aug 2021, 08:42
Du bringst sehr gute Punkte. Manchmal sagen wir Worte, die gar nicht zum Ursprung passen, weil wir den Hintergrund nicht kennen. Aber sobald wir den Hintergrund kennen, ist es auch einfacher zu verstehen.
Da hast Du wohl recht, aber es ist in Deinem Beitrag nicht deutlich geworden, wer denn nun die sehr guten Punkte gebracht hat. Insofern wäre es für die Mitlesenden hilfreich, wenn Du noch einmal den Hintergrund Deiner Worte zur Kenntnis bringen würdest. Dann ist es auch einfacher für alle zu verstehen.

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Re: Kosmologie

Beitrag von Siebenstein » 24. Okt 2021, 21:33

Ja, für mich sind die Zahlen null, eins, zwei und drei tatsächlich gleichbedeutend mit den mathematischen Konstanten pi und der Euler'schen Zahl e.

Es gilt immerhin: e hoch - pi = 0,1234...

Alle anderen Zahlen sind m. E. daraus konstruierbar, wenn man genügend "Zeit" und "Raum" hat, ohne die Peano'schen Axiome bemühen zu müssen.

Zur Definition der Zahl pi ist z.B. mindestens ein zweidimensionales Universum und "Zeit" notwendig, um Punktmengen wie Mittelpunkt und Kreisumfang darstellen und damit pi definieren zu können.

Von daher fällt es mir immer noch schwer, die Zahl pi unabhängig von einem physikalisch existenten Universum zu betrachten.

Aber warum die physikalischen Naturkinstanten ausgerechnet den Wert haben, den sie haben, vielleicht liegt der Grund darin, dass sonst kein Universum möglich wäre, um Lebewesen hervorzubringen, um Konstanten wie auch pi herleiten zu können.

Aber das ist natürlich alles nur Spekulation, vermutlich gibt es keine schlüssigen Antworten darauf.

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Re: Kosmologie

Beitrag von Diagnostiker » 25. Okt 2021, 08:42

Hallo Siebenstein,

das entspricht dann dem schwachen anthropischen Prinzip: Die Existenz von Beobachtern setzt das Vorhandensein der für die Existenz von Beobachtern notwendigen Bedingungen voraus. Das ist allerdings reichlich trivial und generiert keinen Erkenntnisgewinn.

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Re: Kosmologie

Beitrag von seeker » 25. Okt 2021, 10:54

Siebenstein hat geschrieben:
24. Okt 2021, 21:33
Zur Definition der Zahl pi ist z.B. mindestens ein zweidimensionales Universum und "Zeit" notwendig, um Punktmengen wie Mittelpunkt und Kreisumfang darstellen und damit pi definieren zu können.
Wieso denn?
Zur Definition von Pi ist im Prinzip überhaupt kein Universum notwendig.*
Nur für die Anwendung also das "Sinnvoll-In-Bezug-Setzen" von Pi auf ein physisches Universum ist ein mindestens 2-dimensionales, physisches Universum notwendig.

*: Es ist ein Konstrukteur notwendig, ja. Über diesen können wir hier aber keine weiteren eingrenzenden Aussagen machen. Er muss, ohne weitere, prinzipiell willkürliche Vorausannahmen treffen zu müssen, erst einmal auch nicht einmal "physisch" sein. Das könnte prinzipiell ebensogut ein Gestwesen sein, das sich in geistigen (oder noch ganz andersartigen) Sphären aufhält - nur als ein Beispiel. Ganz prinzipiell könnte es "irgendetwas", auch ganz "andersartiges" sein.
Und auch ein physisch gedachter Kontrukteur in einem physischen 2-D-Universum könnte prinzipiell in seinem Geiste in N-dimensionalen Räumen operieren, also auch Pi konstruieren. Unsere Mathematik ist ja auch nicht auf 3+1 Dimensionen begrenzt, nur weil das für unser Universum gilt, ganz im Gegenteil.

Ergo:
Die mathematische Welt und die physische Welt haben erst einmal nichts miteinander zu tun!

Siebenstein hat geschrieben:
24. Okt 2021, 21:33
Aber warum die physikalischen Naturkinstanten ausgerechnet den Wert haben, den sie haben, vielleicht liegt der Grund darin, dass sonst kein Universum möglich wäre, um Lebewesen hervorzubringen, um Konstanten wie auch pi herleiten zu können.
Anthropisches Prinzip, ja... Und das könnte sein oder auch nicht sein, aber das wissen wir nicht und können es auch nicht wissen! Das ergibt sich schon daraus, dass (jenseits unseres Universums) so andersartige Welten und Wesen möglich sind, dass wir uns die nicht einmal ansatzweise denken können, über die wir also auch keinerlei Aussagen treffen können. Sie sind deshalb möglich, weil wir sie nicht ausschließen können: Was man nicht denken kann, kann man ganz prinzipiell auch nicht ausschließen bzw. als unmöglich deklarieren.
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Re: Kosmologie

Beitrag von Siebenstein » 20. Nov 2021, 03:14

Okay, dann stelle ich jetzt eine ganz radikale und aus meiner Sicht wissenschaftlich fundamentale Frage:

Ist der sog. "Drehimpuls" (wegen der Zahl Pi) eine rein mathematische Größe unabhängig von Urknall und Universum? (Ja oder nein).

Wenn ja, dann ist der "Drehimpuls" keine rein physikalische Größe. (ja oder nein).

Wenn ja, dann ist der "Drehimpulserhaltungsdatz" kein physikalisches Gesetz, sondern nur ein mathematisches oder theoretisches Gedankenkonstrukt? (ja oder nein).

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Re: Kosmologie

Beitrag von seeker » 21. Nov 2021, 09:57

Siebenstein hat geschrieben:
20. Nov 2021, 03:14
Ist der sog. "Drehimpuls" (wegen der Zahl Pi) eine rein mathematische Größe unabhängig von Urknall und Universum? (Ja oder nein).

Wenn ja, dann ist der "Drehimpuls" keine rein physikalische Größe. (ja oder nein).

Wenn ja, dann ist der "Drehimpulserhaltungssatz" kein physikalisches Gesetz, sondern nur ein mathematisches oder theoretisches Gedankenkonstrukt? (ja oder nein).
Drehimpuls und Drehimpulserhaltunssatz sind zunächst rein mathematisch-formale, abstrakte Konstruktionen in unserem Geiste, völlig unabhängig von irgendwelchen realen Gegebenheiten!

Erst in der Beobachtung und durch die Beobachtung, also in der Empirie hat sich dann beim Konstrukt "Drehimpuls" (Durchaus überraschend! Es hätte auch anders sein können!) herausgestellt, dass dieses Konstrukt zu unserem Beobachtungshorizont (oft genannt "Universum") in dem Sinne passt, dass er sich mit diesem Hilfsmittel in unseren Augen und für unsere Bedürfnisse mathematisch-quantitativ gut beschreiben lässt. (Bei zahllosen anderen Konstruktionen ist das nicht so!)

NUR WEIL das so ist, GENAU DESHALB sagen wir, dass der Drehimpulserhaltungssatz ein "physikalisches Gesetz" sei, das in unserem Beobachtungsrahmen insofern Gültigkeit hat (bzw. zu haben scheint): Mathematische Konstruktion X passt gut zu unseren Beobachtungen -> Konstruktion X hat als Beschreibung vorläufige Gültigkeit in unserem Beobachtungshorizont und wird so lange als "physikalisches Gesetz" bezeichnet.
(Bei zahllosen anderen Konstruktionen, die auch mathematische Konstanten enthalten, ist das nicht so!)

WARUM das bei uns so ist (warum z.B. das Konstrukt "Drehimpuls" bei uns passend scheint) ist prinzipiell nicht nachweisbar bzw. wissbar!
Ab diesem Punkt kommt man daher in den Bereich weltanschaulich-philosopischer Grundhaltungen, von denen es stets mehrere gleichzeitig nebeneinander gibt.
Eine davon ist die Annahme eines mathematischen Universums nach Tegmark, nach dem schlicht alles im Kern, im Urgrund reine Mathematik sei, aber das ist bei weitem nicht die einzig mögliche Grundhaltung dazu.
Und das ist der Punkt: Wenn es mehrere mögliche konsistente Interpretationen dazu gibt, dann wäre es unwissenschaftlich zu behaupten Position X sei die allein wahre, allein seligmachende. Einfach deshalb, weil wir das nicht wissen und nicht wissen können. Ergo: Man verlässt an diesem Punkt den Bereich des Wissens und damit auch in diesem Sinne der Naturwissenschaft und kann ab da in gewissem Sinne nur noch spekulieren und versuchen logische Argumente für Position A oder B oder C ... zu sammeln, ohne eine davon letztlich als "wahr" beweisen zu können.
Also sagen wir nicht, dass mathematische Konstanten auch physikalische Konstanten seien, weil wir das nicht wissen.
Wir wissen aber, dass mathematische Konstanten mathematische Konstanten sind und physikalische Konstanten physikalische Konstanten.
Also sagen wir das auch.

Aus all dem folgt am Ende:
Wundern darfst du dich sowieso, besonders darüber, dass sich unser Universum überhaupt scheints mathematisch so gut beschreiben lässt!
Und das, was du meinst, kannst und darfst du vermuten, aber du kannst es nicht wissen und daher auch nicht redlich als wahre Gegebenheit proklamieren!
Grüße
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Re: Kosmologie

Beitrag von Siebenstein » 24. Nov 2021, 01:11

Ja das ist alles verständlich erklärt so.

Und ja, es gibt ein Unterschied zwischen "vermuten" und "wissen".

Der Fermat'sche Satz z B. wurde lange nur vermutet, bis er schlussendlich aufwendig bewiesen werden konnte

Aber war der Fermat'sche Satz deswegen erst dann gültig, seit dem er bewiesen wurde?
Nein: Er war schon immer gültig, unabhängig davon, ob ein menschlicher Geist ihn beweisen konnte oder nicht.

Drehimpuls und Drehimpulserhaltungssatz bleiben nach meiner Denkauffassung physikalische Größen, auch wenn zu deren Definition die mathematische Konstante pi notwendig ist.

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