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von tomS » 6. Jun 2020, 15:53
Betrachten wir mal die Schwarzschild-deSitter-Metrik mit
ds² = f · dt² − (1/f) · dr² + Winkelanteile
mit
f(r) = 1 − 2m/r − ⅓ Λ r²
Für 0 < 9Λ < M² hat f(r) zwei Nullstellen, also Horizonte r₁, r₂; damit folgt
f(r) = − (⅓ Λ/r) ) · (r − r₁) (r − r₂) (r + r₁+ r₂)
mit
− 3/Λ = (r₁+ r₂)² − r₁r₂
6M/Λ = (r₁+ r₂)² · r₁r₂
Uns interessiert
r₁ < r < r₂
Für Lichtstrahlen gilt die lichtartige, radiale Geodätengleichung
0 = f · dt² − (1/f) · dr²
mit den Lösungen r₁, r₂ für f(r) = 0.
Für massebehaftete Objekte gilt die zeitartige, radiale Geodätengleichung
(dr/ds)² = E² − f(r)
Für dr = 0 folgt
f(r) − E² = 0
1) für 0 < 9Λ < M² hat f(r) ein Maximum
F = f(R) > 0
im Bereich r₁ < R < r₂
2) andernfalls ist F < 0; das folgende trifft dann nicht zu
Damit gilt für die Lösungen R₁, R₂ von
f(r) − E² = 0
die Ungleichung
r₁ < R₁ < R₂ < r₂
falls
F − E² > 0
Andernfalls hat die Gleichung keine Lösung.
D.h. abhängig von der Erhaltungsgröße E² existieren Lösungen R₁,₂(E²) = const. oder auch nicht.
Und ebenfalls abhängig von der Erhaltungsgröße E² haben die Lösungen R₁,₂(E²) einen anderen Wert.
Ich weiß nicht, ob es das ist, was du wolltest. Es gibt zumindest keinen festen Radius R, außerhalb dessen sich ein Objekt „mitbewegt“ verhält. Dieser Radius hängt von der Energie des Teilchens ab.
EDIT: Ok, es gibt für F − E² = 0 einen labilen Gleichgewichtspunkt R₁(E²) = R₂(E²) = const.
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper