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Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von Timm » 22. Apr 2020, 09:41

Siebenstein hat geschrieben:
28. Mär 2020, 23:43
1.) Wie kann ein Universum ca. 13,8 Mrd Jahre alt sein, wenn doch die Dilatation von beliebigen Zeit-Differenzen gemäß der Lorentz-Transformation zwischen Null und Unendlich (Lorentz Faktor zwischen Null und Eins) liegt?
Diese Überlegung geht fehl, denn die 13,8 Mrd Jahre sind die seit t=0 vergangene Eigenzeit eines gedachten mitbewegten Beobachters. Die Berücksichtigung von Pekuliargeschwindigkeiten würde daran kaum etwas ändern, denn die sind nicht relativistisch.
Siebenstein hat geschrieben:
28. Mär 2020, 23:43
2.) Durch wen, was oder wo genau liegt die Grenze / Übergang (scharf oder unscharf) zwischen Mikrokosmos und Makrokosmos, d.h. die Trennlinie, - Punkt oder - Raum, wo der Einfluss der Quantenmechanik schwindet und der Einfluss der Relativitätstheorie überwiegt?
Nach neuerer Anschauung gibt es den Heisenberg-Schnitt (deine Trennlinie) nicht, der eine Grenze zwischen Quantenwelt und makroskopischer Welt zieht. Vielmehr führt zunehmende Dekohärenz dazu, daß sich makroskopische Systeme klassisch verhalten.

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von Skeltek » 22. Apr 2020, 16:14

Cosma hat geschrieben:
11. Jan 2020, 14:42
Denn philosophisch würde ich den Begriff als hoch problematisch behandeln, den man nicht einfach vom Formalismus in die Wirklichkeit herüberschieben kann:
Unendlich klein bedeutet prinzipiell unendliche Teilbarkeit, was wiederum die Materie auf ein Nichts reduzieren würde - was offensichtlich absurd ist!
Unendlich groß scheint ein Widerspruch in sich selbst zu sein. Der Begriff besitzt einen radikalen, alles andere ausschließenden Allein-Seins-Anspruch: wenn unser Kosmos unendlich groß wäre, gäbe es nichts außer ihm, weil er keinen Platz ließe. Da möchte ich lieber auf die Unendlichkeit verzichten, als den antiquierten und vermessenen Standpunkt einzunehmen, unser Kosmos sei der einzige in der Welt.
Ich finde gerade diese beiden Aussagen wirklich wichtig, zumal es (im Zusammenhang mit dem von Seeker Gesagtem) den Umstand gut repräsentiert, daß das Universum als Ganzes nicht existiert, sondern nur sein Inhalt existent ist.
Gödel für Dummies:
  • Unentscheidbarkeit - Dieser Satz ist wahr.
  • Unvollständig - Aussage A: Es existiert nur ein Element A.
  • Widersprüchlich - Dieser Satz ist falsch.

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von ralfkannenberg » 22. Apr 2020, 16:57

Cosma hat geschrieben:
9. Jan 2020, 00:00
Abgesehen davon gibt es vllt auch ein logisches Problem: ab wann gilt Euklidizität? Doch dann, wenn zB die Gerade streng gerade ist, das heißt doch: Abweichung = 0,00000...........! Wo ist der Übergang, die Grenze? An der 15. oder an der 150. Stelle nach dem Komma? Das sind aber doch zwei ganz unterschiedliche Qualitäten, für die es offensichtlich kein Abgrenzungskriterium gibt: endlich-geschlossen-gekrümmt vs. unendlich-offen-flach!

Aus diesem Grund kann die Euklidische Geometrie nicht den Anspruch erheben, eine im o.a. Sinne "realistische" Wissenschaft zu sein und dementsprechend dürften ihre Elemente Singularität & Unendlichkeit nicht mit realen Elementen identifiziert werden, also in einer Naturtheorie auftauchen, meine ich.
Hallo Cosma,

deswegen wird in der Physik eine Theorie am Experiment überprüft. Und zwar innerhalb einer vorher festgesetzten Toleranzgrenze, die man ausrechnen kann, auch wenn solche Berechnungen total "unsexy" sind und auch keinen Laien hinter dem Ofenrohr hervorzulocken vermögen.

Und das kann dann auch zur Folge haben, dass man aufgrund eines Experimentes nicht entscheiden kann, welche von mehreren Theorien die zutreffende ist, solange die Messergebnisse innerhalb der Toleranz sind, d.h. die jeweilige Theorie konsistent zum Experiment ist.

Zu Deiner Frage mit der 15. oder der 150. Stelle nach dem Komma: beachte, dass das Alter des Universums in Sekunden eine 1 mit 17 Nullen ist. Wäre das Universum zehnmal älter, so würde an dieser 1 noch eine 18.Null dranhängen, und wäre das Universum hundertmal älter, so käme nur eine 19.Null dazu. Eine Genauigkeit von 15 Kommastellen ist in der Praxis also schon "ziemlich gut", wobei dieses "ziemlich gut" auf normal-deutsch übersetzt "hervorragend" bedeutet.

Ach ja: die Wahrscheinlichkeit, dass sich alle Menschen auf der Erde bisher darin geirrt haben, dass die Summe der natürlichen Zahlen 2 und 3 die natürliche Zahl 5 ergibt und das Ergebnis in Wirklichkeit ein anderes ist, ist eine 1 mit 28 Nullen, wobei ich der Einfachheit halber angenommen habe, dass jeder Mensch 100 Jahre alt wird und sich in jeder Sekunde seines Lebens einmal mit dieser Frage beschäftigt hat. Da kriegst Du also locker noch ein paar Nullen weg ! Was ich sagen will: 150 Nullen braucht es nicht, um von einer gerade noch akzeptablen Abweichung zu sprechen.

Oder nehmen wir die Astronomie - passend zu diesem Forum: wenn Du einen schnell laufenden Kometen beobachten möchtest und nur dessen tägliche Positionen zur Verfügung hast, so kannst Du dazwischen obwohl Kometen ellipsenförmige Umlaufbahnen haben problemlos linear interpolieren - mit einem Feldstecher kannst Du die Abweichung nicht erkennen. Trotzdem ist ja klar, dass Komenten am Himmel keine stückweise linearen Bahnen haben und jeden Tag um Mitternacht UT-Zeit einen kleinen Knick machen !

In der Mathematik indes ist klar, da liegt eine euklidische Metrik nur dann vor, wenn gewisse Werte den Wert 0 exakt annehmen, auch wenn das natürlich völlig praxisfremd ist.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von ralfkannenberg » 22. Apr 2020, 17:20

Skeltek hat geschrieben:
22. Apr 2020, 16:14
Cosma hat geschrieben:
11. Jan 2020, 14:42
Denn philosophisch würde ich den Begriff als hoch problematisch behandeln, den man nicht einfach vom Formalismus in die Wirklichkeit herüberschieben kann:
Unendlich klein bedeutet prinzipiell unendliche Teilbarkeit, was wiederum die Materie auf ein Nichts reduzieren würde - was offensichtlich absurd ist!
Hallo Skel und Cosma,

"unendlich klein" ist schon in der Mathematik nicht definiert. Zwar gibt es die sogenannte Non-Standard-Analysis, die sich mit solchen Konzepten beschäftigt, aber dabei die Wortwahl "unendlich klein" vermeidet.

Und beachtet: das links offene Intervall (0,1] hat kein kleinstes Element, auch wenn man heuristisch irgendwie denken könnte, dass das unendlich kleine Element ganz links in diesem Intervall hockt, unmittelbar rechts neben der 0, die das grösste Element ist, welches nicht mehr zu diesem Intervall gehört. Der richtige Weg hier ist, wenn man auf die letztlich analogen, aber sehr schwer verständlichen Konzepte der Non-Standard-Analysis verzichten möchte, mit reellen Zahlen "epsilon" echt grösser als 0 so zu operieren, dass für alle von ihnen irgendeine Bedingung erfüllt ist.

Skeltek hat geschrieben:
22. Apr 2020, 16:14
Cosma hat geschrieben:
11. Jan 2020, 14:42
Unendlich groß scheint ein Widerspruch in sich selbst zu sein. Der Begriff besitzt einen radikalen, alles andere ausschließenden Allein-Seins-Anspruch: wenn unser Kosmos unendlich groß wäre, gäbe es nichts außer ihm, weil er keinen Platz ließe. Da möchte ich lieber auf die Unendlichkeit verzichten, als den antiquierten und vermessenen Standpunkt einzunehmen, unser Kosmos sei der einzige in der Welt.
Ich finde gerade diese beiden Aussagen wirklich wichtig, zumal es (im Zusammenhang mit dem von Seeker Gesagtem) den Umstand gut repräsentiert, daß das Universum als Ganzes nicht existiert, sondern nur sein Inhalt existent ist.
Hier ist Vorsicht angebracht: so kann man beispielsweise die Menge der rationalen Zahlen betrachten, die ist unendlich gross und gleichzeitig findet man zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen stets noch eine dazwischen, auch wenn die beiden sehr nahe beieinander liegen, nämlich deren Mittelwert:

1/2*(p+q) ist als Summe zweier rationaler Zahlen, die dann noch halbiert wird, selbstverständlich ebenfalls eine rationale Zahl.

Dennoch ist diese Menge der rationalen Zahlen keineswegs vollständig, d.h. da gibt es Zahlen, die sich ebenfalls in diesem Bereich aufhalten, z.B. die Quadratwurzel von 2, um ein einfaches Exemplar, welches sich mit Zirkel und Lineal und Einheitsmassstab einfach konstruieren lässt, konkret zu benennen: man nimmt die EInheitsstrecke, konstruiert dazu mit zwei Kreisen in den Endpunkten die Senkrechte, und kann daraus das zugehörigen Quadrat konstruieren, dessen Diagonale man mit dem Zirkel wieder auf die x-Achse bringt. Das ist die Quadratwurzel von 2, also eine sehr wohl existierende Zahl.


Freundliche Grüsse, Ralf

Timm
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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von Timm » 22. Apr 2020, 17:32

tomS hat geschrieben:
11. Jan 2020, 10:03
Bezogen auf unser Universum bedeutet dies, dass man zu einem Zeitpunkt eine globale 3-Geometrie plus Materieverteilung als Anfangsbedingung vorgibt, woraus sich dann für spätere Zeiten wiederum Geometrie plus Materieverteilung berechnen lassen. Die Festlegung der 3-Geometrie fixiert auch die Topologie, umgekehrt würde nur die Topologie nicht ausreichen (z.B. wäre zwar die Form, jedoch nicht die Größe bekannt).
Ich bin nicht sicher, was du hier sagen willst. Weshalb sollte man "eine globale 3-Geometrie plus Materieverteilung als Anfangsbedingung" vorgeben?

Fest steht, daß beim FRW-Universum die Kenntnis von Materiedichte und Lambda die lokale Geometrie definiert, sphärisch, euklidisch oder hyperbolisch. Die Topologie hingegen nicht.

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von tomS » 22. Apr 2020, 19:19

Timm hat geschrieben:
22. Apr 2020, 17:32
tomS hat geschrieben:
11. Jan 2020, 10:03
Bezogen auf unser Universum bedeutet dies, dass man zu einem Zeitpunkt eine globale 3-Geometrie plus Materieverteilung als Anfangsbedingung vorgibt, woraus sich dann für spätere Zeiten wiederum Geometrie plus Materieverteilung berechnen lassen. Die Festlegung der 3-Geometrie fixiert auch die Topologie, umgekehrt würde nur die Topologie nicht ausreichen (z.B. wäre zwar die Form, jedoch nicht die Größe bekannt).
Ich bin nicht sicher, was du hier sagen willst. Weshalb sollte man "eine globale 3-Geometrie plus Materieverteilung als Anfangsbedingung" vorgeben?

Fest steht, daß beim FRW-Universum die Kenntnis von Materiedichte und Lambda die lokale Geometrie definiert, sphärisch, euklidisch oder hyperbolisch. Die Topologie hingegen nicht.
Das ist eine Frage der mathematischen Behandlung.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/ADM_formalism

Im Falle von FRW gibst du ebenfalls eine 3-dim. geometrische Bedingung vor, nämlich Homogenität und Isotropie. Dies alleine ist für eine eindeutige Lösung nicht ausreichend, für benötigst noch Energie-Impuls-Dichte (zwei Werte aufgrund der Symmetrie) sowie Lambda.

Du kannst jedoch etwas allgemeiner vorgehen und formale Methoden zur Lösung von Differentialgleichungssystemen nutzen. Dann musst du geeignet viele Anfangsbedingungen spezifizieren (einfachster Fall beim Pendel: Ort und Impuls zu einem Zeitpunkt; komplizierter bei den Maxwellschen Gleichungen: je zwei Komponenten für Vektorpotential A und elektrisches Feld E; ...).

Im Falle der ART kann man diese ähnlich einer Eichtheorie umformulieren. Dann erhält man ein sogenanntes hyperbolisches Differentialgleichungssystem, für das die Anfangsbedingungen auf einem globalen raumartigen Schnitt festgelegt werden müssen - analog dem Pendel; ein raumartiger Schnitt ist dabei eine beliebige raumartigen 3-Mannigfaltigkeit, d.h. benachbarte Punkte sind raumartig. Eine raumartige 3-Mannigfaltigkeit ist durch die Riemannsche Geometrie auf ihr eindeutig festgelegt; dazu benötigst du noch die Energie-Impuls-Dichte.

Letztlich machst du bei FRW nichts anderes: Homogenität und Isotropie, Skalenfaktor a(T) für einen Zeitpunkt T, Energie-Impuls-Dichte zum Zeitpunkt T, Lambda - fertig, den Rest erledigt die Dynamik.

Stell‘ dir die Raumzeit als beliebig gekrümmte Stapel von Blättern vor. Du wählst ein Blatt aus, den Rest erledigt die Dynamik, Blatt für Blatt als zeitliche Abfolge. Der wesentliche Unterschied ist, dass die Blätterung nicht fest vorgegeben ist; du könntest für das selbe Universum einen anderen Schnitt durch den Blätterstapel vornehmen, und aus der Dynamik würde das selbe Universum hervorgehen (lokale Diffeomorphismeninvarianz).

Diese Betrachtungsweise ist streng äquivalent zur Lehrbuch-ART - mit einer wesentlichen Ausnahme: sie funktioniert nur für global-hyperbolische Mannigfaltigkeiten; das sind gerade solche, die du dir als Blätterstapel vorstellen darfst, die nicht in sich selbst zurücklaufen. Mit anderen Worten: du schließt geschlossene zeitartige Kurven durch diese Konstruktion aus. Der Mathematiker spricht von globaler Hyperbolizität (das o.g. Differentialgleichungssystem ist lokal hyperbolisch, d.h. du siehst in einem Universum mit geschlossenen zeitartigen Kurven lokal nichts ungewöhnliches uns kannst deren Existenz lokal weder bestätigen noch ausschließen).
Gruß
Tom

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von Timm » 23. Apr 2020, 10:00

tomS hat geschrieben:
22. Apr 2020, 19:19
Timm hat geschrieben:
22. Apr 2020, 17:32
tomS hat geschrieben:
11. Jan 2020, 10:03
Bezogen auf unser Universum bedeutet dies, dass man zu einem Zeitpunkt eine globale 3-Geometrie plus Materieverteilung als Anfangsbedingung vorgibt, woraus sich dann für spätere Zeiten wiederum Geometrie plus Materieverteilung berechnen lassen. Die Festlegung der 3-Geometrie fixiert auch die Topologie, umgekehrt würde nur die Topologie nicht ausreichen (z.B. wäre zwar die Form, jedoch nicht die Größe bekannt).
Ich bin nicht sicher, was du hier sagen willst. Weshalb sollte man "eine globale 3-Geometrie plus Materieverteilung als Anfangsbedingung" vorgeben?

Fest steht, daß beim FRW-Universum die Kenntnis von Materiedichte und Lambda die lokale Geometrie definiert, sphärisch, euklidisch oder hyperbolisch. Die Topologie hingegen nicht.
Das ist eine Frage der mathematischen Behandlung.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/ADM_formalism
Es ging mir um die Frage, weshalb "bezogen auf unser Universum" (wobei wir hier Homogenität und Isotropie voraussetzen) die Anfangsbedingung ... die Topologie "fixiert". Ob nun FRW oder ADM-Formalismus, es gibt nur eine ART, die unser Universum beschreibt. Wir sind uns einig, daß FRW die Topologie durch Anfangsbedingungen nicht festlegt. Ich sehe nicht, daß dies eine Frage der mathematischen Behandlung ist. Die Kenntnis der Topologie ist prinzipiell grundsätzlich auf die Beobachtung beschränkt.
tomS hat geschrieben:
22. Apr 2020, 19:19
Im Falle von FRW gibst du ebenfalls eine 3-dim. geometrische Bedingung vor, nämlich Homogenität und Isotropie. Dies alleine ist für eine eindeutige Lösung nicht ausreichend, für benötigst noch Energie-Impuls-Dichte (zwei Werte aufgrund der Symmetrie) sowie Lambda.
Man benötigt hier T_00 (Energiedichte) und T_ii (den Druck, abhängig von Lambda). FRW impliziert keine Impulsdichte.

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von Skeltek » 24. Apr 2020, 00:53

ralfkannenberg hat geschrieben:
22. Apr 2020, 17:20
Skeltek hat geschrieben:
22. Apr 2020, 16:14
Cosma hat geschrieben:
11. Jan 2020, 14:42
Unendlich groß scheint ein Widerspruch in sich selbst zu sein. Der Begriff besitzt einen radikalen, alles andere ausschließenden Allein-Seins-Anspruch: wenn unser Kosmos unendlich groß wäre, gäbe es nichts außer ihm, weil er keinen Platz ließe. Da möchte ich lieber auf die Unendlichkeit verzichten, als den antiquierten und vermessenen Standpunkt einzunehmen, unser Kosmos sei der einzige in der Welt.
Ich finde gerade diese beiden Aussagen wirklich wichtig, zumal es (im Zusammenhang mit dem von Seeker Gesagtem) den Umstand gut repräsentiert, daß das Universum als Ganzes nicht existiert, sondern nur sein Inhalt existent ist.
Hier ist Vorsicht angebracht: so kann man beispielsweise die Menge der rationalen Zahlen betrachten, die ist unendlich gross und gleichzeitig findet man zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen stets noch eine dazwischen, auch wenn die beiden sehr nahe beieinander liegen, nämlich deren Mittelwert:
Du beziehst unsere Aussagen hier auf koordinsatentechnische Räumlichkeit? Ich dachte es sei eher grundsätzlich die Unlösbarkeit der Frage-/Problemstellung des infiniten Regresses gemeint.
In der Realität gibt es (für uns jedenfalls nicht) kein aktual unendliches. Esistent ist höchstens (für jeden für sich) die Gesamtheit des Vergangenheitslichtkegels. Sowohl räumlich als auch zeitlich muss man unendlich im ursprünglichen Wortsinn verwenden -> Ohne Endlich, ohne Abschluss, ohen Vollendung, ohne Schluss. Ein infinites Fortführen ist etwas anderes, als ein bereits vollendetes Unendlich. Oh jeh, selbst das Wort 'infinit' ist da näher dran -> nicht finit.
Läuft gerade zufälig auf Youtube:
Youtube - Harald Lesch - Leben wir in einer Matrix?
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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von tomS » 24. Apr 2020, 07:21

Timm hat geschrieben:
23. Apr 2020, 10:00
Es ging mir um die Frage, weshalb "bezogen auf unser Universum" (wobei wir hier Homogenität und Isotropie voraussetzen) die Anfangsbedingung ... die Topologie "fixiert". Wir sind uns einig, daß FRW die Topologie durch Anfangsbedingungen nicht festlegt.
Da sind wir uns nicht einig.

Das liegt lediglich daran, dass du - im mathematischen Sinne - unvollständige Anfangsbedingungen vorgibst. Mathematisch sind eben Homogenität und Isotropie (und sogar die 3-Geometrie) essenzieller Bestandteil der Anfangsbedingungen.
Timm hat geschrieben:
23. Apr 2020, 10:00
Ich sehe nicht, daß dies eine Frage der mathematischen Behandlung ist.
Doch, ist es.

Schau dir ein Pendel an. Wenn du nur den Ort der Masse vorgibst, sind Schwingungen und Rotationen möglich. Fixieren der Topologie der Trajektorien im Phasenraum legt z.B. Schwingungen fest und schließt Rotationen aus. Die Anfangsbedingungen sind jedoch immer noch unvollständig. Festlegen von Ort und Impuls definiert die Anfangsbedingungen eindeutig, auch die Topologie ist dadurch implizit festgelegt und kann nicht mehr separat definiert werden.
Timm hat geschrieben:
23. Apr 2020, 10:00
Ob nun FRW oder ADM-Formalismus, es gibt nur eine ART, die unser Universum beschreibt.
Zunächst mal beschreiben FRW eine Klasse von Lösungen, ADM dagegen einen formalen Rahmen. ADM präzisieren die Anfangsbedingungen, anders als die „frühen“ Modelle. Im Rahmen von ADM erhält man jede mögliche Lösung oder (jede Klasse von Lösungen) gemäß FRW, wobei man eben von einer 3-Mannigfaltigkeit (Klassen von 3-Mannigfaltigkeiten) als Anfangsbedingung ausgeht.

Und dann ist ADM tatsächlich mathematisch etwas anders nämlich restriktiver als Lehrbuch-ART, weil ADM geschlossene zeitartige Kurven - Wurmlöcher, Gödel-Kosmos, ... - ausschließt. Im Falle von FRW u.v.a.m. ist dies jedoch irrelevant, weil diese Klasse von Lösungen ihrerseits keine derartigen Artefakte enthält.
Timm hat geschrieben:
23. Apr 2020, 10:00
Man benötigt hier T_00 (Energiedichte) und T_ii (den Druck, abhängig von Lambda). FRW impliziert keine Impulsdichte.
Ich hätte Energie-Impuls-Druck-Dichte oder -Tensor schreiben sollen. FRW impliziert durchaus eine Impulsdichte, nämlich eine verschwindende (in mitbewegten Koordinaten als Folge der Isotropie)
Timm hat geschrieben:
23. Apr 2020, 10:00
Die Kenntnis der Topologie ist prinzipiell grundsätzlich auf die Beobachtung beschränkt.
Die Topologie kann nur in Spezialfällen durch lokale Beobachtung ermittelt werden. Z.B. ist es für genügend kleine, räumlich geschlossene Universen möglich, die Topologie aus der Hintergrundstrahlung abzuleiten oder zumindest zulässige Topologie einzuschränken.

Aber genau deswegen ist die Topologie essentieller Bestandteil der mathematischen Anfangsbedingungen.

Wir müssen unterscheiden, was wir über das Universum aus Beobachtungen ableiten können - zur Topologie nur sehr wenig - und was wir für mathematische Untersuchungen voraussetzen müssen.
Gruß
Tom

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von Timm » 24. Apr 2020, 10:36

Wir verstehen offenbar unter "Anfangsbedingungen" unseres Universums nicht dasselbe. Ich verstehe darunter die Kenntnis der Energiedichten und von Lambda, gemäß der Friedmann Gleichungen. Damit ist wie erwähnt die lokale Krümmung festgelegt, nicht aber eine bestimmte Topologie. Es sind lediglich mache Topologien aussortiert.

Welchen Sinn macht es denn, eine globale 3-Geometrie und somit eine Topologie für *unser Universum* als "Anfangsbedingung" vorzugeben? Das ist würfeln.

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von tomS » 24. Apr 2020, 11:55

Timm hat geschrieben:
24. Apr 2020, 10:36
Ich verstehe darunter die Kenntnis der Energiedichten und von Lambda, gemäß der Friedmann Gleichungen. Damit ist wie erwähnt die lokale Krümmung festgelegt, nicht aber eine bestimmte Topologie. Es sind lediglich mache Topologien aussortiert.
Es gibt nicht ein FRW-Modell, sondern deren mehrere, je nach Topologie sowie Vorzeichen von Lambda.

Du verstehst unter einer Anfangsbedingung:
1) eines der gemäß FRW zulässigen Modelle => genau eine Topologie
2) zusätzlich Lambda und Energiedichte
=> genau eine 4-Geometrie durch Lösung der Feldgleichungen
Dann untersuchst du die Klasse der FRW-Modelle, d.h. verschiedene (1) und (2)

ADM verstehen unter Anfangsbedingungen
1a) genau eine Topologie
1b) genau eine mit (1a) verträgliche 3-Geometrie
2) zusätzlich Lambda und Energiedichte, insoweit verträglich mit (1b)
=> genau eine 4-Geometrie durch Lösung der Zeitentwicklung
Dann untersucht man verschiedene (1) und (2) - s.o.
Bei der Wahl von (1a,b) ist FRW natürlich enthalten

Wenn du bei (1,2) mathematisch sauber vorgehst, dann ist das letztlich äquivalent zu ADM, außer dass du dich auf FRW beschränkst, und dass ADM Universen mit CTCs ausschließen.

Lass‘ doch zunächst mal die Beschränkung bzgl. FRW fallen.

Dann:
Timm hat geschrieben:
24. Apr 2020, 10:36
Ich verstehe darunter die Kenntnis der Energiedichten und von Lambda, gemäß der Friedmann Gleichungen. Damit ist wie erwähnt die lokale Krümmung festgelegt, nicht aber eine bestimmte Topologie.
Das sehe so ich nicht.

Wenn du dich auf FRW beschränkst, dann hast du z.B. Homogenität und Isotropie implizit eingebaut. Damit schließt du ebenfalls implizit eine große Klasse von Lösungen aus, die zwar lokal wie FRW aussehen, jedoch global eine andere Topologie haben. Z.B. ist das flache 3-Torus-Universum homogen, jedoch nicht isotrop: es gibt je nach Richtung sowohl geschlossene (abzählbar viele) als auch offene (überabzählbar viele) 3-Geodäten. D.h. entweder gilt FRW nur lokal, dann ist dein Universum jedoch nicht das, was man allgemein unter FRW versteht, nämlich die exakt definierten Modelle; oder FRW gilt global gemäß Standard-Lehrbuch-ART, dann lässt es z.B. als flaches Universum nur E3 zu, nicht jedoch T3 (u.a.). M.A.W.: die FRW-Metrik ist mit T3 nicht global verträglich, lediglich mit einem „lokalen Patch“.
Timm hat geschrieben:
24. Apr 2020, 10:36
Welchen Sinn macht es denn, eine globale 3-Geometrie und somit eine Topologie für *unser Universum* als "Anfangsbedingung" vorzugeben? Das ist würfeln.
Welchen Sinn macht es denn, FRW vorzugeben? Das ist auch würfeln ;-)
Gruß
Tom

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von Timm » 24. Apr 2020, 16:22

tomS hat geschrieben:
24. Apr 2020, 11:55
Es gibt nicht ein FRW-Modell, sondern deren mehrere, je nach Topologie sowie Vorzeichen von Lambda.
Ich kenne dieses eine FRW-Modell
https://en.wikipedia.org/wiki/Friedmann ... ker_metric
Darauf basiert das LCDM Modell. Nur davon rede ich, denn du sprachst von Anfangsbedingungen bezogen auf unser Universum. Mir ist ist immer noch nicht klar, weshalb nach deiner Meinung durch die Energiedichten die Topologie fixiert ist. Ich sehe nicht, daß du genau das begründest hast.
Natürlich kannst du willkürlich eine Topologie herauspicken und die mathematische Beschreibung machen. Aber wozu?

Wodurch unterscheiden sich die anderen FRW-Modelle von dem oben verlinkten? Hast du da Referenzen?
tomS hat geschrieben:
24. Apr 2020, 11:55
Lass‘ doch zunächst mal die Beschränkung bzgl. FRW fallen.
Das interessant mich weniger, mir ging's um die Anfangsbedingungen, s.o.
tomS hat geschrieben:
24. Apr 2020, 11:55
Welchen Sinn macht es denn, FRW vorzugeben? Das ist auch würfeln ;-)
Wir sprechen von unserem Universum, FRW /LCDM ist da nicht würfeln.

Timm
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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von Timm » 24. Apr 2020, 16:49

Timm hat geschrieben:
24. Apr 2020, 16:22
Wodurch unterscheiden sich die anderen FRW-Modelle von dem oben verlinkten?
Ich denke der Plural kann nur Unterscheidungsmerkmale wie Krümmung, offen/geschlossen etc. beinhalten.

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von tomS » 24. Apr 2020, 17:15

Timm hat geschrieben:
24. Apr 2020, 16:22
tomS hat geschrieben:
24. Apr 2020, 11:55
Es gibt nicht ein FRW-Modell, sondern deren mehrere, je nach Topologie sowie Vorzeichen von Lambda.
Ich kenne dieses eine FRW-Modell
https://en.wikipedia.org/wiki/Friedmann ... ker_metric
Also wenn wir Anfangsbedingungen und Topologie diskutieren, dann sind das mindestens drei: k = +1, 0, -1.
Timm hat geschrieben:
24. Apr 2020, 16:22
Darauf basiert das LCDM Modell. Nur davon rede ich, denn du sprachst von Anfangsbedingungen bezogen auf unser Universum.
Was ist denn das richtige Modell für unser Universum?

Lambda-CDM lässt doch alles mögliche zu: FRW, Torus, Poincare-Universum, ... dann haben wir Voids, also Swiss-Chese-Modelle, ... alles mögliche. Alle sollten lokal näherungsweise wie FRW aussehen, global nicht unbedingt.
Timm hat geschrieben:
24. Apr 2020, 16:22
Mir ist ist immer noch nicht klar, weshalb nach deiner Meinung durch die Energiedichten die Topologie fixiert ist.
Das habe ich auch nicht gesagt, da hast du mich missverstanden:
tomS hat geschrieben:
24. Apr 2020, 11:55
ADM verstehen unter Anfangsbedingungen
1a) genau eine Topologie
1b) genau eine mit (1a) verträgliche 3-Geometrie
2) zusätzlich Lambda und Energiedichte, insoweit verträglich mit (1b)
=> genau eine 4-Geometrie durch Lösung der Zeitentwicklung
Dann untersucht man verschiedene (1) und (2) - s.o.
Bei der Wahl von (1a,b) ist FRW natürlich enthalten
D.h. Lambda und Energiedichte müssen verträglich mit der Topologie sein, sie legen sie jedoch nicht fest.
Timm hat geschrieben:
24. Apr 2020, 16:22
Natürlich kannst du willkürlich eine Topologie herauspicken und die mathematische Beschreibung machen. Aber wozu?
Ich untersuche doch nicht eine Topologie, sondern einen ganze Klasse. Aber für jede Topologie habe ich ggf. andere Gleichungen. In den einfachsten Fällen ist das mit einem Parameter wie k = +1, 0, -1 getan, in anderen Fällen nicht. Und für unterschiedliche Geometrie habe ich wieder unterschiedliche Gleichungen, im einfachsten Fall unterschiedliche a(t).
Timm hat geschrieben:
24. Apr 2020, 16:22
Wodurch unterscheiden sich die anderen FRW-Modelle von dem oben verlinkten? Hast du da Referenzen?
Du musst erklären, was du mit FRW meinst:

Global FRW, dann sind es bzgl. der Topologie zunächst die drei bekannten mit k = +1, 0, -1, sowie weitere geometrische Unterteilung entsprechend des Verhaltens von a(t) aufgrund der Dynamik. Komplizierter wird es für nicht-verschwindendes Lambda > 0 de Sitter sowie für < 0 noch Anti-deSitter (unphysikalisch) für die Vakuumlösung und natürlich gemischte Lösungen mit Lambda und Materie / Strahlung.

Oder nur lokal FRW mit Lambda > 0, flach d.h. kritischer Dichte jedoch anderer Topologie.

Ich suche mal eine Referenz raus.
Timm hat geschrieben:
24. Apr 2020, 16:22
Wir sprechen von unserem Universum, FRW /LCDM ist da nicht würfeln.
Wie gesagt, letztlich doch, da wir weder mathematisch noch durch Beobachtungen wissen können, dass global FRW gilt.
Gruß
Tom

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von Skeltek » 24. Apr 2020, 20:21

Eine Frage. Auch wenn ich mich noch nie mit FRW beschäftigt habe usw...
Selbst wenn man den Zustand jedes einzelnen Koordinatenpunktes im Universum kennen würde und es die Unschärferelation ignorierend möglich wäre dies abzubilden und zu simulieren... fehlt da nicht grundsätzlich noch die Ableitung?
Ist es grundsätzlich ausreichend, den derzeitigen Zustand zu kennen, um die zukünftige Entwicklung festzulegen, oder kann man möglicherweise beweisen, daß zusätzlich zum derzeitigen Zustand noch das Differential gebraucht wird? Also haben wir nicht durch die Unschärferelation nicht indirekt genau den Fall, daß es grundsätzlich unmöglich ist, alle Ableitungen zu kennen, die für das festlegen der künftigen Entwicklung notwendig sind?
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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum

Beitrag von tomS » 24. Apr 2020, 20:52

@Timm:

Es ist mathematisch schon ziemlich verwickelt, aber das hier ist die Essenz:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Globall ... c_manifold

Ganz am Ende:

Global hyperbolicity, in the first form given above, was introduced by Leray in order to consider well-posedness of the Cauchy problem for the wave equation on the manifold. In 1970 Geroch proved the equivalence of definitions 1 and 2. Definition 3 under the assumption of strong causality and its equivalence to the first two was given by Hawking and Ellis.

...

In 2003, Bernal and Sánchez[9] showed that any globally hyperbolic manifold M has a smooth embedded three-dimensional Cauchy surface C, and furthermore that any two Cauchy surfaces C, C‘ for M are diffeomorphic. In particular, M is diffeomorphic to the product of a Cauchy surface with R: M = C * R. It was previously well known that any Cauchy surface of a globally hyperbolic manifold is an embedded three-dimensional C° submanifold, any two of which are homeomorphic, and such that the manifold splits topologically as the product of the Cauchy surface and R. In particular, a globally hyperbolic manifold is foliated by Cauchy surfaces.

In view of the initial value formulation for Einstein's equations, global hyperbolicity is seen to be a very natural condition in the context of general relativity, in the sense that given arbitrary initial data, there is a unique maximal globally hyperbolic solution of Einstein's equations.
Gruß
Tom

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von tomS » 24. Apr 2020, 21:03

Vergiss bitte die Unschärferelation, wir diskutieren hier wirklich klassische Physik. Quantengravitation lassen wir mal außen vor ...

Aber ja ...
Skeltek hat geschrieben:
24. Apr 2020, 20:21
Ist es grundsätzlich ausreichend, den derzeitigen Zustand zu kennen, um die zukünftige Entwicklung festzulegen, oder kann man möglicherweise beweisen, daß zusätzlich zum derzeitigen Zustand noch das Differential gebraucht wird?
... das ist absolut richtig!

Es verhält sich letztlich wie mit dem einfachen Pendel; Anfangsbedingungen (einer Differentialgleichung oder eines partiellen Diffferentialgleichungssystems zweiter Ordnung) erfordern die Kenntnis der (verallgemeinerten) Orte und deren erster Ableitung, d.h. der (verallgemeinerten) Impulse zum Zeitpunkt, zu dem die Anfangsbedingungen spezifiziert werden.

Newtonsche Mechanik: x(0), p(0) = mv(0)
Elektromagnetismus: A(0), E(0) modulo Eichsymmetrie
ART: siehe ADM, ziemlich verwickelt, jedoch letztlich genau so, wie du sagst.
Gruß
Tom

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von tomS » 25. Apr 2020, 08:43

Ich denke, das ist der beste Einstieg in das Thema:

https://arxiv.org/abs/0904.4184
Catalogue of Spacetimes
Thomas Mueller, Frank Grave
The Catalogue of Spacetimes is a collection of four-dimensional Lorentzian spacetimes in the context of the General Theory of Relativity (GR). The aim of the catalogue is to give a quick reference for students who need some basic facts of the most well-known spacetimes in GR.

Hier die m.E. wichtigsten Aussagen, danach meine Zusammenfassung:


Any compact 3-manifold M with constant curvature k can thus be expressed as the quotient M = M* / G where the universal covering space M* is either :
• the Euclidean space E3 if k = 0
• the hypersphere S3 if k > 0
• the hyperbolic 3-space H3 if k < 0
and the holonomy group G is a subgroup of isometries of M* acting freely and discontinuously.
Given the recent observational constraints on the curvature of cosmic space (see below), in the remaining of this short review we focus our attention to Euclidean and spherical spaces only.

...

It is presently believed that our Universe is correctly described at large scale by a Friedmann-Lemaitre (hereafter FL) model. The FL models are homo- geneous and isotropic solutions of Einstein’s equations, of which the spatial sections have constant curvature. The FL models fall into 3 general classes, according to the sign of their spatial curvature k = −1,0,+1.

...

In most studies, the spatial topology is assumed to be that of the corresponding simply connected space: the hypersphere, Euclidean space or the 3D-hyperboloid, the first being finite and the other two infinite. However, there is no particular reason for space to have a simply connected topology. In any case, general relativity says nothing on this subject; it is only the strict application of the cosmological principle, added to the theory, which encourages a generalization of locally observed properties to the totality of the Universe. However, to the (FL) metric given above there are several, if not an infinite number, of possible topologies, and thus of possible models for the physical Universe.

...

Thus the multiply connected cosmological models share exactly the same kinematics and dynamics as the corresponding simply connected ones (for instance, the time evolutions of the scale factor R(t) are identical). In FL models, the curvature of physical space depends on the way the
total energy density of the Universe may counterbalance the kinetic energy of the expanding space. The normalized density parameter Ω°, defined as the ratio of the actual energy density to the critical value that an Euclidean space would require, characterizes the present-day contents (matter, radiation and all forms of energy) of the Universe. If Ω° is greater than 1, then space curvature is positive and geometry is spherical; if Ω° is smaller than 1 the
curvature is negative and geometry is hyperbolic; eventually Ω° is strictly equal to 1 and space is locally Euclidean.

...

The next question about the shape of the Universe is to know whether space is finite or infinite - equivalent to know whether space contains a finite or an infinite amount of matter-energy, since the usual assumption of homo- geneity implies a uniform distribution of matter and energy through space. From a purely geometrical point of view, all positively curved spaces are finite whatever their topology, but the converse is not true: flat or negatively curved spaces can have finite or infinite volumes, depending on their degree of connectedness.

Zusammfassung:

Also: Bausteine für Universen mit global konstanter Krümmung sind M* = E3, S3 und H3; durch Kompaktifizierung M = M* / G mittels G eines dieser Baustein erhält man unendlich viele mögliche Topologien, jede verträglich mit der global konstanten Krümmung des zugrundeliegenden M*. Räume positiver Krümmung S3 / G sind immer endlich, Räume mit Krümmung Null oder negativ, also E3 / oder H3 / G können unendlich oder endlich sein (Bsp.: E3 ist unendlich, Torus T3 = E3 / Z3 ist endlich).

Auf S3, E3, H3 gelten lokal die FL-Gleichungen. Die Fälle positiver, verschwindender und negativer Krümmung entsprechen Ω°> 1, Ω°= 1, Ω°< 1.

Die Wahl der Anfangsbedingung bedeutet also

1a) genau eine Topologie
Wahl eines M* = S3, E3, H3,
Wahl von G und Kompaktifizierung M = M* / G; G = 1 liefert M = M*
1b) genau eine mit (1a) verträgliche 3-Geometrie
für global konstante Krümmung folgt diese aus Ω°, d.h. (1b) und (2) sind nicht völlig unabhängig (Einstein-Gleichungen)
2) zusätzlich Lambda und Energie-Impuls-Druck-Tensor, insoweit verträglich mit (1b)
Ω°enthält Beiträge von Strahlung, Materie, Lambda; man erhält für unterschiedliche Mischungen mit identischem Ω° identische initiale Krümmung
Damit sind die Anfangsbedingung für einen gewählten Zeitpunkt (z.B. heute) festgelegt.
3) lokale Fluktuation von Geometrie und Energie-Impuls-Druck-Tensor, die die Topologie jedoch nicht ändern
Damit werden die Anfangsbedingung verfeinert, z.B. für Voids, Filamente, .,,
=> genau eine 4-Geometrie durch Lösung der Zeitentwicklung
Gruß
Tom

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von Timm » 25. Apr 2020, 17:34

tomS hat geschrieben:
24. Apr 2020, 17:15
Timm hat geschrieben:
24. Apr 2020, 16:22
Mir ist ist immer noch nicht klar, weshalb nach deiner Meinung durch die Energiedichten die Topologie fixiert ist.
Das habe ich auch nicht gesagt, da hast du mich missverstanden:

D.h. Lambda und Energiedichte müssen verträglich mit der Topologie sein, sie legen sie jedoch nicht fest.
Genau.

Und deshalb hat mich dieser Beitrag
tomS hat geschrieben:
24. Apr 2020, 17:15
Bezogen auf unser Universum bedeutet dies, dass man zu einem Zeitpunkt eine globale 3-Geometrie plus Materieverteilung als Anfangsbedingung vorgibt, woraus sich dann für spätere Zeiten wiederum Geometrie plus Materieverteilung berechnen lassen. Die Festlegung der 3-Geometrie fixiert auch die Topologie, umgekehrt würde nur die Topologie nicht ausreichen (z.B. wäre zwar die Form, jedoch nicht die Größe bekannt).
irritiert und mich veranlasst nachzufragen. Weshalb sollte man denn eine globale 3-Geometrie plus Materieverteilung bezogen auf unser Universum vorgeben/festlegen womit auch die Topologie fixiert ist? Man kann das nicht vorgeben, das ist raten.

Ich wüßte nicht was an deiner Wortwahl mißverständlich wäre. Nachdem ich mich mehrfach wiederholt habe, sehe ich keine Sinn hier weiterzumachen. Wenn du ein doch bestehendes Mißverständnis klären könntest, wäre das natürlich prima.

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von tomS » 25. Apr 2020, 22:36

Timm hat geschrieben:
25. Apr 2020, 17:34
Weshalb sollte man denn eine globale 3-Geometrie plus Materieverteilung bezogen auf unser Universum vorgeben/festlegen womit auch die Topologie fixiert ist? Man kann das nicht vorgeben, das ist raten.
Aber man tut doch genau das.

Man legt FRW fest, man legt ein k fest, man legt ein a(t°) fest, man legt Dichte, Druck und Lambda fest, und berechnet a(t) u.a. Größen für t > t°.
Gruß
Tom

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von Timm » 26. Apr 2020, 09:56

tomS hat geschrieben:
25. Apr 2020, 22:36
Timm hat geschrieben:
25. Apr 2020, 17:34
Weshalb sollte man denn eine globale 3-Geometrie plus Materieverteilung bezogen auf unser Universum vorgeben/festlegen womit auch die Topologie fixiert ist? Man kann das nicht vorgeben, das ist raten.
Aber man tut doch genau das.

Man legt FRW fest, man legt ein k fest, man legt ein a(t°) fest, man legt Dichte, Druck und Lambda fest, und berechnet a(t) u.a. Größen für t > t°.
Bezogen auf unser Universum legt man nichts fest, sondern man mißt. Dann stellt man fest, daß die Resultate mit den Vorhersagen von LCDM übereinstimmen. Über die Topologie macht LCDM keine Vorhersage, sie ist nicht festgelegt (die Daten schließen etwa den 3-Torus nicht aus). Aber genau das scheinst du bezogen auf unser Universum zu behaupten, wenn du schreibst, die globale 3-Geometrie und damit die Topologie seien als Anfangsbedingung vorgegeben. :wink:

Ich weiß natürlich, du meinst es nicht so. Aber wie meinst du es dann bezogen auf unser Universum?

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von tomS » 26. Apr 2020, 11:31

Ich find’s schon fast amüsant, dass wir uns über etwas derart elementares nicht einigen können.
Timm hat geschrieben:
26. Apr 2020, 09:56
tomS hat geschrieben:
25. Apr 2020, 22:36
Aber man tut doch genau das.

Man legt FRW fest, man legt ein k fest, man legt ein a(t°) fest, man legt Dichte, Druck und Lambda fest, und berechnet a(t) u.a. Größen für t > t°.
Bezogen auf unser Universum legt man nichts fest, sondern man mißt.
Das ist zu einfach gedacht.

Nochmal: mathematisch sind Anfangsbedingungen ein vollständiger Satz von Bedingungen zur Lösung eines Differentialgleichungssystems für ein dynamisches System. Will man eine eindeutige Lösung, so muss man diese - oder äquivalente Bedingungen - festlegen; sind die Anfangsbedingungen nicht vollständig definiert, so weist die Lösung Mehrdeutigkeiten auf, man erhält z.B. eine Klasse von Lösungen.

Das ist auch bei FRW - zunächst unabhängig von der Frage der Topologie - der Fall: man wünscht sich - z.B. aus Gründen der Einfachheit, denn beobachtete Homogenität kann es nicht gewesen - ein homogenes und isotropes mathematisches Modell. Homogenität und Isotropie für Geometrie und Materie sind ein Bestandteil der Anfangsbedingungen, spezifizieren diese jedoch bei weitem nicht vollständig. Man erhält also eine Klasse von Lösungen, nämlich
- lokal FRW
- k = -1,0,+1
- abzählbar viel unendliche Topologien (was früher niemanden so richtig interessierte)
- a(t° = heute) entspr. Radius mindestens einige Millionen LJ (wie groß wurde das Universum z.Zt. FRW in etwa geschätzt?)

Erst jetzt kann man Messungen, d.h. Licht, Spektren, CMB inkl. Fluktuationen ... in einem mathematischen Kontext sinnvoll interpretieren und die Anfangsbedingung weiter einschränken.

Man ermittelt grob die mittlere Dichte mittels verschiedener Methoden; man schätzt sie für frühere Epochen - im straglungsdominierten Universum - ab. Man setzt Lambda geeignet für einen statischen Kosmos (Einstein), man beobachtet Expansion, lässt also Lambda wieder fallen bzw. setzt es zu Null ... man beobachtet beschleunigte Expansion und führt Lambda > 0 wieder ein, man untersucht sich alternative, inhomogene Szenarien wie Swiss Cheese u.ä. mit großen Voids und Lambda = 0, ...

In allen Fällen setzt man weitere Anfangsbedingungen, schränkt die o.g. ein, wandelt sie ab ...

In allen Fällen berechnet man die Konsequenzen, d.h. man rechnet von t = t° zurück, um die frühe Dynamik zu verstehen (Bildung von Galaxien und Galaxienhaufen, ...) man untersucht die Lichtausbreitung bis hin zu t ~ 300.000 Jahre (für FRW, für Swiss Cheese / Voids, ...) oder extrapoliert in die Zukunft (big crunch, big rip für exotisches w anstelle von Lambda, ...

Man hat es also mit einem Wechselspiel von Setzen von Anfangsbedingungen, Lösen der Gleichungen für die Dynamik, Messungen, deren unterschiedliche Interpretationen im Kontext verschiedener mathematischer Modelle, Anpassen von Anfangsbedingungen und Modellen, Verwerfen derselben usw. zu tun.

Ich hoffe, damit ist klar, was ich mit „man setzt Anfangsbedingung“ meine. Es handelt sich tatsächlich um hochintelligentes Raten, Prüfen, Verfeinern oder Verwerfen innerhalb eines möglichst kleinen Bereiches für Anfangsbedingungen.
Timm hat geschrieben:
26. Apr 2020, 09:56
Dann stellt man fest, daß die Resultate mit den Vorhersagen von LCDM übereinstimmen.
Was meinst du mit “LCDM„? Nur dieses, oder die Kombination mit „lokal FRW“?

Ersteres ist ja nicht unumstritten: Voids anstelle von Lambda > 0, variables Lambda, ... von Alternativen zu DM mal ganz abgesehen (hier nicht das Thema)

Und „lokal FRW“ gilt ohnehin nur näherungsweise; wiederum Voids, ...
Timm hat geschrieben:
26. Apr 2020, 09:56
Über die Topologie macht LCDM keine Vorhersage, sie ist nicht festgelegt (die Daten schließen etwa den 3-Torus nicht aus).
Richtig.

„LCDM“ sagt bzgl. Topologie und Geometrie nichts, nur über den Materieinhalt.

„lokal FRW“ sagt bzgl. Topologie und Geometrie wenig, jedoch nicht nichts! Z.B. können viele zu kleine kompakte Universen aufgrund des Spektrums der Fluktuationen der CMB ausgeschlossen werden. Wenn 3-Torus, dann genügend groß. Andere exotische Topologien können aus anderen Gründen ausgeschlossen werden, z.B. ist ein nicht-orientierbares Universum in Analogie zur Kleinschen Flasche mathematisch nicht mit der Existenz von Fermionen verträglich (finde ich erstaunlich).
Timm hat geschrieben:
26. Apr 2020, 09:56
Aber genau das scheinst du bezogen auf unser Universum zu behaupten, wenn du schreibst, die globale 3-Geometrie und damit die Topologie seien als Anfangsbedingung vorgegeben.
Wenn die ART für die Beschreibung des Universum zutrifft, dann ist heute die globale 3-Geometrie und damit die Topologie definiert - wir kennen sie nur nicht. Und wenn die Topologie für t° = heute definiert ist, dann ist sie dies auch für ein beliebiges t < t°, da die Dynamik der ART die Topologie nicht ändert. Das gilt auch für kompliziertere Topologien, also z.B. kompaktifizierte Geometrien mit lokal FRW, jedoch z.B. Torus. Und es gilt für inhomogene Modelle wie z.B. für Voids, ebenfalls mit komplizierteren Topologien.
Timm hat geschrieben:
26. Apr 2020, 09:56
Aber wie meinst du es dann bezogen auf unser Universum?
Ich hoffe, ich habe dies ausführlich und verständlich erklärt.

Man untersucht Klassen von Topologien und Geometrien (inklusive des Materieinhaltes) bzgl. ihrer zeitlichen Dynamik und ihrer beobachtbaren Konsequenzen. Dies schränkt die Wahlmöglichkeiten ein, allerdings bleibt immer noch eine große Klasse üblich.

Bei wesentlichen neuen Erkenntnissen (Messungen) wird man wieder typische Anfangsbedingungen setzen (näherungsweise lokal FRW, Voids, ...) und damit z.B. eine neue Millennium-Simulation laufen lassen oder die Effekte auf die CMB berechnen

Eine Millennium-Simulation läuft höchstwahrscheinlich auf einem kompaktifizierten Modell (!) um die Effekte der Ränder zu vermeiden. Zusätzlich legt man zu Beginn eine „typische“ lokale Geometrie und Materieverteilung als Anfangsbedingung für die Computersimulation fest (bzw. in der Praxis sicher mehrere für verschiedene Simulationen).

Die CMB wird man für verschieden Topologien berechnen, um kompakte Geometrien (unterhalb einer gewissen Größe) auszuschließen - oder nach deren Effekten in der CMB zu suchen.
Gruß
Tom

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von Timm » 26. Apr 2020, 17:09

tomS hat geschrieben:
26. Apr 2020, 11:31
Timm hat geschrieben:
26. Apr 2020, 09:56
Aber genau das scheinst du bezogen auf unser Universum zu behaupten, wenn du schreibst, die globale 3-Geometrie und damit die Topologie seien als Anfangsbedingung vorgegeben.
Wenn die ART für die Beschreibung des Universum zutrifft, dann ist heute die globale 3-Geometrie und damit die Topologie definiert - wir kennen sie nur nicht.
Sie ist durch die ART gerade nicht definiert:

https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0704/0704.3374.pdf
Abstract. General relativity does not allow one to specify the topology of space, leaving the possibility that space is
multiply rather than simply connected. ...

Du schreibst "dass man zu einem Zeitpunkt eine globale 3-Geometrie plus Materieverteilung als Anfangsbedingung vorgibt". Vermutlich willst du damit sagen, daß irgendeine mit der Materieverteilung konsistente Toplologie unser Universum beschreibt. Klar ist so. Aber vorgeben kann man sie nicht.

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von tomS » 26. Apr 2020, 18:22

Du missverstehst mich andauernd.

Ich schreibe

Wenn die ART für die Beschreibung des Universum zutrifft, dann ist heute die globale 3-Geometrie und damit die Topologie definiert - wir kennen sie nur nicht.

nicht jedoch

„... dann ist heute die globale 3-Geometrie und damit die Topologie durch die ART definiert“.

Die Anfangsbedingungen werden nach meinem Kenntnisstand in keiner Theorie von dieser definiert. Aber in allen Theorien benötige ich Anfangsbedingungen, um eindeutige Vorhersagen machen zu können.

Der Satz - meine Übersetzung -

„Die Allgemeine Relativitätstheorie erlaubt es nicht, die Topologie des Raumes zu spezifizieren, so dass die Möglichkeit besteht, dass der Raum mehrfach statt einfach zusammenhängend ist“

ist Käse!

Es muss lauten

„Die Allgemeine Relativitätstheorie lässt die Topologie des Raumes unspezifiziert, so dass die Möglichkeit besteht, dass der Raum mehrfach statt einfach zusammenhängend ist“.

Aber:

Die Allgemeine Relativitätstheorie lässt es durchaus zu, die Topologie des Raumes zur Modellbildung spezifizieren - für bestimmte Berechnungen erfordert sie dies sogar.

Und:

Die Allgemeine Relativitätstheorie lässt es durchaus zu, aus der gewählten Topologie bestimmte beobachtbare Größen abzuleiten; und sie lässt natürlich deren Beobachtung zu.

(Das an sich recht gute Paper ist and mehreren Stellen in dieser Hinsicht unpräzise)


Es ist jedoch durchaus möglich, durch Beobachtungen die Topologie des Raumes zu erkennen oder zumindest einzuschränken. Und die ART erfordert zwingend - wenn ich das Universum als Ganzes inklusive der resultierenden Effekte berechnen möchte - dass ich die Topologie spezifizieren muss. Wenn ich das Winkelspektrum der CMB berechnen will, dann muss ich die Topologie fixieren - genauso wie ich die Form einer Trommel festlegen muss, wenn ich deren Obertonreihe berechnen will; lokale Differentialgleichungen alleine sind nicht ausreichend ohne Anfangsbedingungen.

Auch die Newtonsche Mechanik legt die Form eines schwingenden Körpers nicht fest, sie stellt lediglich die Schwingungsgleichungen zur Verfügung. Wenn ich jedoch die Schwingungen eines konkreten Stabes berechnen will, dann muss ich festlegen, ob er offen ist, an den Enden eingespannt, oder ob ein Ring vorliegt. Die Newtonsche Mechanik sagt mir das nicht; aber der Stab sagt es mir - direkt durch Betrachtung, oder indirekt durch seine Obertonreihe.


Also nochmal: für bestimmte Effekte - allen voran im Kontext der CMB - muss der Physiker im Rahmen der Modellbildung die Topologie spezifizieren; die ART lässt dies nicht nur zu, sie zwingt ihn dazu, da er ansonsten die Berechnungen nicht durchführen kann. Aus dem Vergleich der Ergebnisse des Modells und der Messung kann er dann ermitteln, ob die gewählte Topologie mit der des Universums verträglich ist oder nicht (das muss er sicher für verschiedene Topologien durchführen, und die Wissenschaftler haben das für einige getan)
Gruß
Tom

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Re: Was ist die gängige Vorstellung vom Universum?

Beitrag von Timm » 27. Apr 2020, 17:26

tomS hat geschrieben:
26. Apr 2020, 18:22
Ich schreibe

Wenn die ART für die Beschreibung des Universum zutrifft, dann ist heute die globale 3-Geometrie und damit die Topologie definiert - wir kennen sie nur nicht.

nicht jedoch

„... dann ist heute die globale 3-Geometrie und damit die Topologie durch die ART definiert“.
Ja, auf so etwas habe ich gewartet. Diese Formulierung unmissverständlich.
Hingegen war ich
tomS hat geschrieben:
26. Apr 2020, 18:22
Bezogen auf unser Universum bedeutet dies, dass man zu einem Zeitpunkt eine globale 3-Geometrie plus Materieverteilung als Anfangsbedingung vorgibt, woraus sich dann für spätere Zeiten wiederum Geometrie plus Materieverteilung berechnen lassen.
hier im Zweifel, was du tatsächlich meinst. Denn schließlich setzt "man" sich nicht hin und gibt nach Gutsherrenart eine Topologie vor.
tomS hat geschrieben:
26. Apr 2020, 18:22
Der Satz - meine Übersetzung -

„Die Allgemeine Relativitätstheorie erlaubt es nicht, die Topologie des Raumes zu spezifizieren, so dass die Möglichkeit besteht, dass der Raum mehrfach statt einfach zusammenhängend ist“

ist Käse!
Ich hatte noch keine Zeit nach weiteren Referenzen zu suchen. Den Punkt würde ich gerne noch klären.

Für dein außerordentliches Engagement bei dieser Diskussion danke ich dir.

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