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Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Themen zur Kosmologie, Urknall, inflationärer Kosmologie, Expansion, Entwicklung und Zukunft des Universums
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Dgoe
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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Dgoe » 31. Dez 2017, 02:19

Moment,

wenn etwas zu einer Zahl konvergiert, nehmen wir Null, ist es im undefinierten Undendlichen dann doch gleich Null, aber egal wie endlich wenn, heißt gestoppt, immer größer als Null.

Einen Schnitt zu machen ist doch aber genau irgendwann zu stoppen. Wenn man den Schnitt ewig verschiebt, macht man ihn nicht. Alles andere ist definitiv unlogisch (für mich).

Gruß,
Dgoe
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Timm
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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Timm » 31. Dez 2017, 11:28

tomS hat geschrieben:
30. Dez 2017, 14:18


Mir ging es lediglich um die mathematische Fragestellung, eine Singularität durch einen Rand zu ersetzen. Nun ist es topologisch gleichgültig, wie groß der Bereich ist, den man ausschneidet; aber zumeist ist es geometrisch sinnvoll, nur einen kleinen Bereich auszuschneiden (im o.g. Falle des Kegels würdest du nur einen kleine Bereich um die Spitze ausschneiden, nicht fast den gesamten Kegel).


Ich bin nicht sicher, ob ich verstehe, was du hier meinst. Ein mathematisches schwarzes Loch hat einen Ereignishorizont, der in Schwarzschild Koordinaten singulär ist und eine punktförmige physikalische Singularität mit unendlicher Krümmung, wobei dieser Punkt nicht zur Raumzeit gehört, sodaß das schwarze Loch ausschließlich aus Vakuum besteht (daher Vakuum Lösung).

Was kennzeichnet nun den erwähnten inneren Rand, der die Singularität ersetzt? Ist die Krümmung hier endlich und enden hier die Geodäten? Wo ist die Materie? Existiert dieses schwarze Loch mit innerem Rand seit der unendlichen Vergangenheit analog zum mathematischen schwarzen Loch?

Hast du eine Referenz? Ich frage mich einfach, welchen Sinn macht ein solches mathematisches Konstrukt, wenn die Kosmologen von einem "realen" schwarzen Loch ausgehen, in dessen Zentrum Materie in einem unbekannten Zustand existiert, der vielleicht irgendwann durch eine Theorie der Quantengravitation beschrieben wird. Ein solches "reales" schwarzes Loch hat keine physikalische Singularität und existiert seit endlicher Zeit.

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von tomS » 31. Dez 2017, 15:42

Timm hat geschrieben:
31. Dez 2017, 11:28
Ein mathematisches schwarzes Loch hat einen Ereignishorizont, der in Schwarzschild Koordinaten singulär ist und eine punktförmige physikalische Singularität mit unendlicher Krümmung, wobei dieser Punkt nicht zur Raumzeit gehört.
Der Ereignishorizont ist eine äußerst subtile, globale geometrische Eigenschaft; darum ging es nicht. Die Koordinatensingularität ist ein Artefakt des Koordinatensystems und letztlich irrelevant (auch auf der Kugeloberfläche gibt es singuläre Koordinatensysteme)

Wenn du der Ansicht bist, dass die Singularität nicht zur Mannigfaltigkeit gehört, dann ist dir der Vorgang des Ausschneidens ja letztlich vertraut; gegeben ist eine 3-dim. Mannigfaltigkeit, aus der du einen Punkt (oder einen winzigen Ball) entfernst.
Timm hat geschrieben:
31. Dez 2017, 11:28
Was kennzeichnet nun den erwähnten inneren Rand, der die Singularität ersetzt? Ist die Krümmung hier endlich und enden hier die Geodäten? Wo ist die Materie? Existiert dieses schwarze Loch mit innerem Rand seit der unendlichen Vergangenheit analog zum mathematischen schwarzen Loch?
Der Rand ist künstlich. Der Vorgang des Ausschneidens har keine physikalische Bedeutung.

Wir sind lediglich darauf gekommen, weil wir Raumzeiten mit Rändern diskutieren wollten und ich erwähnt habe, dass eine gewisse Verwandtschaft mit Singularitäten besteht.
Timm hat geschrieben:
31. Dez 2017, 11:28
Hast du eine Referenz? Ich frage mich einfach, welchen Sinn macht ein solches mathematisches Konstrukt, wenn die Kosmologen von einem "realen" schwarzen Loch ausgehen ...
Wir haben hier eher mathematische Fragen diskutiert, was Ränder von Mannigfaltigkeiten bedeuten. Physikalisch hilft das wenig.
Gruß
Tom

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Timm » 31. Dez 2017, 17:37

tomS hat geschrieben:
31. Dez 2017, 15:42

Timm hat geschrieben:
31. Dez 2017, 11:28
Was kennzeichnet nun den erwähnten inneren Rand, der die Singularität ersetzt? Ist die Krümmung hier endlich und enden hier die Geodäten? Wo ist die Materie? Existiert dieses schwarze Loch mit innerem Rand seit der unendlichen Vergangenheit analog zum mathematischen schwarzen Loch?
Der Rand ist künstlich. Der Vorgang des Ausschneidens har keine physikalische Bedeutung.

Wir sind lediglich darauf gekommen, weil wir Raumzeiten mit Rändern diskutieren wollten und ich erwähnt habe, dass eine gewisse Verwandtschaft mit Singularitäten besteht.

Wir haben hier eher mathematische Fragen diskutiert, was Ränder von Mannigfaltigkeiten bedeuten. Physikalisch hilft das wenig.
Ja ok, das hatte ich auch so aufgefasst. Die Geodäten enden statt bei r = 0 auf dem Rand, richtig? Ich überlege gerade wie das im Kruskal Diagramm aussähe. Vermutlich nicht viel anders, der Rand sollte annähern parallel zu R = 0 verlaufen.

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von tomS » 31. Dez 2017, 18:14

Ja.

Der Rand entspräche der obersten Linie r = const., knapp unterhalb der roten Linie r = 0.

(das Kruskal-Diagramm ist aber wirklich nicht sehr anschaulich; man sollte sich auf den Quadranten I beschränken)

IMG_4692.PNG
Kruskal-Diagramm
IMG_4692.PNG (23.52 KiB) 743 mal betrachtet
Gruß
Tom

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von tomS » 15. Jan 2018, 11:28

Hallo zusammen,

ich habe die Diskussion zu mengentheoretischen Aspekten in einen eigene Thread ausgelagert. Ich hoffe, das Trennen der Diskussionen hat einigermaßen funktioniert.
Gruß
Tom

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von tomS » 15. Jan 2018, 12:02

Ich möchte den Begriff "Rand des Universums" nochmal kurz zusammenfassen.

Wir sprechen über das Universum als 3-dim. Mannigfaltigkeit. Diese Mannigfaltigkeit sollte man sich nicht als in einen höherdimensionalen Raum eingebettet vorstellen; sämtliche Eigenschaften der Mannigfaltigkeit (Rand, Krümmung, Orientierung, Längen und Winkel, …) sind intrinsisch ohne Einbettung mathematisch definiert.

Kein Rand liegt vor, wenn das Universum unendlich ausgedehnt ist, z.B. wie der R³. Kein Rand liegt vor, wenn die Mannigfaltigkeit kompakt ist, z.B. wie die zweidimensionale Kugeloberfläche S² (s.o.: bitte nicht als Einbettung im R³ denken). Ein Rand liegt vor, wenn – wie bei einem 2-dim. endlichen Rechteck – eben ein Rand vorliegt; das ist wirklich relativ anschaulich.

Mathematisch können Ränder und Singularitäten ähnlich beschrieben werden: man schneidet um eine Singularität einen infinitesimalen Raumbereich aus, z.B. eine winzige Kugel B³ um einen Punkt. Dadurch führt man einen künstlichen Rand, nämlich die Kugelfläche S² um die herausgeschnittene Singularität ein.

Ränder sind zunächst rein topologisch definiert. Man kann jedoch auch eine konkrete geometrische Definition angeben, die von Hawking und Penrose speziell für Singularitäten eingeführt wurde. Dazu betrachtet man die Weltlinien von frei fallenden = kräftefreien Beobachtern. Ein Rand liegt vor, wenn Weltlinien existieren, die unvermittelt enden, d.h. die nicht fortsetzbar sind.

Zuletzt wollte ich noch anmerken, dass der Rand einer n-dim. Mannigfaltigkeit immer n-1 dimensional ist. D.h. dass eine 0- oder 1-dim. Singularität wie ein Punk oder eine Kreislinie in einem schwarzen Loch (gem. Schwarzschild oder Kerr) nicht als Rand betrachtet werden kann; dies kann man jedoch mittels des o.g. Tricks des Ausschneidens eines infinitesimalen Raumbereichs lösen.
Gruß
Tom

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