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Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Themen zur Kosmologie, Urknall, inflationärer Kosmologie, Expansion, Entwicklung und Zukunft des Universums
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Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Dares » 24. Dez 2017, 11:51

Hallo zusammen,

häufig wird in verschiedenen Beiträgen versucht, sei es nun hier oder anderswo oder auf YT versucht den Rand des Universums
zu definieren und zu erklären. Dabei bezieht man sich auf das für uns sichtbare Universum bzw. nachweisbare Universum bis kurz
nach dem Urknall. Ich finde die Bezeichnung irreführend. Denn wir können leider nur in die Vergangenheit schauen und
dementsprechend nur bis zum Urknall.

Das ist für mich per Definition aber nicht der Rand des Universums sondern lediglich der Anfang des Universums. Der Rand
müsste sich aufgrund der Grösse dann in der Zukunft befinden also am Rand der Ausdehnung und Expansion.

Also werden wird den Rand niemals zu Gesicht bekommen. Ist das so richtig?

Danke im voraus.

Allen ein Frohes Weihnachtsfest und

freundliche Grüsse

Dares

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Analytiker » 24. Dez 2017, 12:16

Wir können nur in die Vergangenheit schauen und nur in die Zukunft reisen. Aus der Zukunft können uns keine Informationen erreichen, nur aus der Vergangenheit. Wir können aber schneller in die Zukunft reisen als andere, dafür bräuchte man eine schnelle Rakete oder ein Schwarzes Loch. Schwarze Löcher liegen in der Zukunft. Es erreichen uns ja auch keine Informationen aus ihrem Inneren.

Wenn uns ein externer Beobachter auf ein Schwarzes Loch zufallen sähe, so wären wir für ihn immer mehr rotverschoben. Wir aber sähen dann die Welt immer mehr blauverschoben. Die Vergangenheit, die wir sähen, liefe im Zeitraffer ab.

Für die räumliche Ausdehnung des Universums lässt sich keine Obergrenze angeben. Man nimmt an, dass das Universum einen zeitlichen Anfang hatte und kann über ein zeitliche Begrenzung in der Zukunft nur spekulieren.

Einen Rand könnte man in einer Singularität erblicken, nur wird kein Mensch in einer Singularität etwas wahrnehmen können, weil er dann zerfetzt und gegrillt wäre.

Frohes Fest und viele Grüße
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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von tomS » 24. Dez 2017, 14:00

Dares hat geschrieben:
24. Dez 2017, 11:51
häufig wird in verschiedenen Beiträgen versucht, sei es nun hier oder anderswo oder auf YT versucht den Rand des Universums zu definieren und zu erklären. Dabei bezieht man sich auf das für uns sichtbare Universum bzw. nachweisbare Universum bis kurz nach dem Urknall. Ich finde die Bezeichnung irreführend.
Die Physiker betrachten keinen tatsächlich existierenden Rand sondern lediglich die Grenze des sichtbaren Universums, also einen je Beobachter subjektiven Horizont.
Gruß
Tom

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Timm » 24. Dez 2017, 14:47

Analytiker hat geschrieben:
24. Dez 2017, 12:16


Wenn uns ein externer Beobachter auf ein Schwarzes Loch zufallen sähe, so wären wir für ihn immer mehr rotverschoben. Wir aber sähen dann die Welt immer mehr blauverschoben. Die Vergangenheit, die wir sähen, liefe im Zeitraffer ab.

Vorsicht, im freien Fall sähen wir die Außenwelt rotverschoben, denn hier überwiegt die Dopplerverschiebung gegenüber der gravitativen Blauverschiebung. Blauverschoben sähen wir sie, wenn wir den freien Fall abbremsen würden bis wir statisch sind. Dafür braucht man je nach Nähe zum Ereignishorizont erhebliche Antriebskräfte.

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Analytiker » 24. Dez 2017, 16:43

Beim Sturz in ein Schwarzes Loch dominiert für den einfallenden Beobachter die Blauverschiebung. Dazu ein schönes Erklärvideo von Andreas Müller:

https://www.youtube.com/watch?v=hYNUdjEQAvI

Gezeitenkräfte spielen natürlich auch eine Rolle, aber bei großen Schwarzen Löchern sind sie nicht so stark wie bei kleineren Schwarzen Löchern.

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Timm » 24. Dez 2017, 17:29

Analytiker hat geschrieben:
24. Dez 2017, 16:43
Beim Sturz in ein Schwarzes Loch dominiert für den einfallenden Beobachter die Blauverschiebung. Dazu ein schönes Erklärvideo von Andreas Müller:

https://www.youtube.com/watch?v=hYNUdjEQAvI

Gezeitenkräfte spielen natürlich auch eine Rolle, aber bei großen Schwarzen Löchern sind sie nicht so stark wie bei kleineren Schwarzen Löchern.
Ich habe mir das Video noch nicht angeschaut, deshalb weiß ich nicht, weshalb du zu dieser Meinung kommst. Ich hab' das schon mal ausgerechnet, mit etwas Mühe findet man es auch im Netz. Man erhält f''/f = (1 + sqrt(2M/r))^(-1), r ist die Schwarzschildkoordinate des Freifallers . Damit sieht dieser die Außenwelt rotverschoben, am EH (hier ist r = 2M) mit z = 1.
Gezeitenkräfte spielen für die Berechnung keine Rolle, da es um den freien Fall geht.

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Dares » 25. Dez 2017, 07:58

tomS hat geschrieben:
24. Dez 2017, 14:00
Die Physiker betrachten keinen tatsächlich existierenden Rand sondern lediglich die Grenze des sichtbaren Universums, also einen je Beobachter subjektiven Horizont.
Richtig, einmal das aber um meine Frage etwas anders zu formulieren nochmal folgendes: Wenn ich mir das Universum mit
dem Ballon-Modell vorstelle und wir uns auf dem Ballon bzw. der Membrane befinden, so hat das Universum keinen Rand oder der
Rand ist überall, sofern ich in 2-D denke. (Also rechts/links, vor/zurück). Irgendwie scheint da die 3. Dimension zu fehlen also
hoch/runter.
Analog dazu ist es bei der Erde oder der Sonne ja auch. Aber auf der Erde haben wir die 3. Dimension erkannt und erkennen
die Grenze der Erde, was beim Universum nicht der Fall zu sein scheint.

Anders wäre es wenn wir uns innerhalb des Ballons befinden würden. Da hätte ich zumindest eine greifbare 3. Dimension, aber das
gleiche Problem wie oben. Wobei uns hier der Rand durch die Expansion davon läuft.


@Analytiker und @Timm,

danke für eure Beiträge, aber eigentlich meinte ich Universum und nicht SL. Oder meintet ihr, dass das Universum ein
SL ist und wir in einer Singularität leben?

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von tomS » 25. Dez 2017, 09:28

Dares hat geschrieben:
25. Dez 2017, 07:58
tomS hat geschrieben:
24. Dez 2017, 14:00
Die Physiker betrachten keinen tatsächlich existierenden Rand sondern lediglich die Grenze des sichtbaren Universums, also einen je Beobachter subjektiven Horizont.
Richtig, einmal das aber um meine Frage etwas anders zu formulieren nochmal folgendes ...
Du stellst im Folgenden keine einzige Frage :-)
Dares hat geschrieben:
25. Dez 2017, 07:58
Wenn ich mir das Universum mit dem Ballon-Modell vorstelle und wir uns auf dem Ballon bzw. der Membrane befinden, so hat das Universum keinen Rand
Genauso ist das Ballon-Modell zu verstehen: die 2-dim. Oberfläche des Ballons hat keine Berandung und kein Zentrum (auf der Oberfläche)
Dares hat geschrieben:
25. Dez 2017, 07:58
Irgendwie scheint da die 3. Dimension zu fehlen.
Natürlich.

In 3-Dim. kann man zwar rechnen, aber es wäre nicht mehr anschaulich.
Dares hat geschrieben:
25. Dez 2017, 07:58
Aber auf der Erde haben wir die 3. Dimension erkannt und erkennen die Grenze der Erde, was beim Universum nicht der Fall zu sein scheint.
Vorsicht. Man muss vorsichtig sein, was hier was berandet.

Das 2-dim. Modell der Ballonoberfläche ist ein vereinfachtes Modell eines 3-dim. Universums.

Ein Rand einer n-dim. Mannigfaltigkeit hat - wenn es ihn gibt - immer n-1 Dimensionen.

Bsp.:
der Rand einer 2-dim. Kreisscheibe ist der 1-dim. Kreis (der selbst keinen Rand hat)
der Rand einer 3-dim. Kugel / eines Balls ist die 2-dim. Kugeloberfläche (die selbst keinen Rand hat)

Im Falle des 3-dim. Universum müsste der Rand 2-dim. sein. Es geht jedoch gerade darum, zu veranschaulichen, dass es keinen derartigen Rand braucht.

Die Analogie des 3-dim. Universums wäre unsere 2-dim. Kugeloberfläche; diese hat jedoch keinen Rand. Passt also.

Dares hat geschrieben:
25. Dez 2017, 07:58
Anders wäre es wenn wir uns innerhalb des Ballons befinden würden.
So ist das Modell aber nicht zu verstehen.

Was war jetzt eigentlich deine Frage?
Gruß
Tom

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Timm » 25. Dez 2017, 10:35

Tom, in dem von Analytiker gezeigten Video sprich Andreas Müller ab etwa 8' von einem "Strahlungsblitz", dem ein Freifaller am EH zum Opfer fällt. Soweit mir bekannt, betrifft dieses auch als "heath bad" diskutierte Phänomen nicht ein frei fallendes, sondern ein beschleunigtes Objekt. Wie siehst Du das? Wir dürften uns einig sein, daß ein Freifaller die Außenwelt gemäß ART rotverschoben sieht.

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Analytiker » 25. Dez 2017, 11:51

Licht, dass sich auf ein Schwarzes Loch zubewegt gewinnt durch die Gravitation des Schwarzen Lochs an Energie. Licht, dass Energie gewinnt, wird blauverschoben und Licht das Energie verliert, wird rotverschoben.

Was im Inneren Schwarzer Löcher passiert, kann von außerhalb nicht beobachtet werden. In der Nähe von Singularitäten stößt die ART an ihre Grenzen. Über Singularitäten kann man spekulieren. Was sich wohl sagen lässt ist, dass Schwarze Löcher unsere Raumzeit begrenzen oder limitieren und sie somit unser Universum "beranden".

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von tomS » 25. Dez 2017, 12:04

So wie ich Timm verstehe redet er von zwei Effekten:
- gravitative Blauverschiebung in Richtung des EHs für eine stationären Astronauten
- Doppler-Rotverschiebung für eine einfallenden Astronauten
Gruß
Tom

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von seeker » 25. Dez 2017, 12:25

Dares hat geschrieben:
25. Dez 2017, 07:58
Anders wäre es wenn wir uns innerhalb des Ballons befinden würden.
Wenn die Ballonoberfläche unseren 3D-Raum unseres Universums symbolisiert und du innerhalb oder außerhalb des Ballons wärst, also nicht auf der Ballonoberfläche wärst, wo wärst du dann?
Du wärst außerhalb des Raums von unserem Universum, also außerhalb von unserem Universum.
Es ist unbekannt, ob so ein 'außerhalb' existiert, wenngleich es vostellbar ist und wengleich - falls es existieren würde - dann hier auch eine Art Rand existieren würde.
Aus technisch-mathematischen Gründen ist es derzeit jedoch unnötig solche anderen Räume oder Hyperräume in der Form in die Theorie einzuführen.
(Hier schlägt Ockhams Razor zu, demzufolge man nicht mehr Annahmen treffen soll, als man muss.)

Was es in der Richtung allerdings noch an Ansätzen gibt ist diese Geschichte mit den Branen aus der Stringtheorie, demzufolge die 4D-Raumzeit unseres Universums eine Brane darstellt, neben der sich andere Branen (andere Universen) befinden. Da verschiedene Branen voneinander abgegrenzt sind existiert zwischen ihnen auch eine Art Rand.
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Analytiker » 25. Dez 2017, 12:26

Die Frage ist auch, wie ein Freifaller sich einem Schwarzen Loch annähert. In der Regel rotieren Schwarze Löcher, dann spielt der Winkel zur Rotationsachse eine Rolle.

Meiner Einschätzung nach dominiert die Blauverschiebung, egal ob man Triebwerken dagegen hält oder nicht. Andreas Müller ist ein promovierter Astrophysiker mit Tiefenexpertise. Ich würde aufhorchen, wenn man ihn widerlegen könnte, was das Gegrilltwerden am Ereignishorizont betrifft.

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Timm » 25. Dez 2017, 14:38

tomS hat geschrieben:
25. Dez 2017, 12:04
So wie ich Timm verstehe redet er von zwei Effekten:
- gravitative Blauverschiebung in Richtung des EHs für eine stationären Astronauten
- Doppler-Rotverschiebung für eine einfallenden Astronauten
Ja, wobei die Doppler-Rotverschiebung überwiegt.

Ein stationärer Beobachter bei r sieht das einfallende Licht gravitativ blauverschoben. Kombiniert man das mit der Doppler-Rotverschiebung eines gerade an diesem mit der Relativgeschwindigkeit v = sqrt(2M/r) vorbei fallenden Beobachters, dann erhält man die resultierende Rotverschiebung, die dieser bei r sieht.

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von tomS » 25. Dez 2017, 15:18

Fangen wir mal einfach an; die Gravitationsrotverschiebung in der Schwarzschildlösung für zwei statische Beobachter habe ich hier berechnet:

https://www.physikerboard.de/topic,4079 ... ebung.html

(09.12.2014; 01:05)
Gruß
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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Timm » 25. Dez 2017, 17:58

Elegante Herleitung. Mit dem Sender im unendlichen erhält man die gravitative Blauverschiebung f'/f = (sqrt(1-r_S/r))^(-1) (das findet man natürlich auch bei Wikipedia) und die kombiniert mit der relativistischen Dopplerverschiebung die weiter oben angegebene Rotverschiebung. Der zunächst ziemlich häßliche Ausdruck läßt sich mittles Binomischer Formeln wesentlich vereinfachen. Vielleicht macht's jemandem Spaß?

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von tomS » 25. Dez 2017, 21:09

Wir müssen und das mal in Ruhe anschauen; hier findet man für den frei fallenden Beobachter eine endliche Rotverschiebung

http://www.markushanke.net/ask-a-nerd-t ... -horizons/
Gruß
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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Herr5Senf » 25. Dez 2017, 21:59

Paßt das ausführliche Original (?) dazu
https://arxiv.org/pdf/0901.1470.pdf "The Doppler shift in a Schwarzschild spacetime"

Grüße Dip

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Pippen » 25. Dez 2017, 22:07

tomS hat geschrieben:
25. Dez 2017, 09:28
Bsp.:
der Rand einer 2-dim. Kreisscheibe ist der 1-dim. Kreis (der selbst keinen Rand hat)
der Rand einer 3-dim. Kugel / eines Balls ist die 2-dim. Kugeloberfläche (die selbst keinen Rand hat)

Im Falle des 3-dim. Universum müsste der Rand 2-dim. sein. Es geht jedoch gerade darum, zu veranschaulichen, dass es keinen derartigen Rand braucht.
Deshalb finde ich das Ballongleichnis immer so unbefriedigend, den natürlich hat auch der Ballon einen Rand bzw. eine Grenze und darum geht es den meisten Fragenden. Und es gibt eben kein Objekt ganz ohne Rand, jedes Objekt hat immer irgendwie einen Rand, sonst wäre es ja auch kein Objekt mehr, sondern würde "zerfließen". Deshalb spricht das auch für die Arbeitshypothese eines Universums mit Rand, genauso wie alles für ein endliches Universum spricht, einfach weil wir keine realen Unendlichkeiten kennen und kennen können. Der eigentliche Punkt ist, dass es ein außerhalb des Randes nicht geben muss! Das Universum kann sozusagen von innen begrenzt sein, ohne dass es ein außen gibt.

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von tomS » 25. Dez 2017, 22:27

Pippen hat geschrieben:
25. Dez 2017, 22:07
Deshalb finde ich das Ballongleichnis immer so unbefriedigend, den natürlich hat auch der Ballon einen Rand bzw. eine Grenze und darum geht es den meisten Fragenden.
Der Ballon als 3-dim. Objekt hat einen Rand, die Ballonoberfläche als 2-dim. Objekt hat jedoch keinen Rand. Wo wäre dieser? Kannst du ihn zeichnen?
Pippen hat geschrieben:
25. Dez 2017, 22:07
Und es gibt eben kein Objekt ganz ohne Rand, ...
Doch, wie bereits gesagt: der 1-dim. Kreis hat keinen Rand, die 2-dim. Kugeloberfläche hat keinen Rand, die 2-dim. Torusfläche hat keinen Rand, ...
Pippen hat geschrieben:
25. Dez 2017, 22:07
Deshalb spricht das auch für die Arbeitshypothese eines Universums mit Rand, ...
Tut es nicht; du hast lediglich nicht verstanden, was ein Rand mathematisch genau bedeutet.

s1.png
Wo ist der Rand dieser Kreislinie?
s1.png (3.16 KiB) 5106 mal betrachtet
Gruß
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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Frank » 25. Dez 2017, 22:47

Sagt mal, warum ist es eigentlich so wichtig, ob das Universum nun einen Rand hat , oder nicht?
Würde das irgendetwas bringen in der Physik?
Mir kommt das immer so vor, wie wenn man das Dach eines Hauses zu erst bauen will.
Glaubt wirklich ein heute lebender Mensch , er würde in seiner kurzen Zeitspanne auf der Erde hier das große Ganze entdecken?

Wir haben so viel zu tun in unserer nahen Umgebung des Universum, das es für die nächsten 1000 Jahre langt.

Bitte um Antworten , was bei einer Erkenntnis, dass das All einen Rand hat , für uns dabei raus springt?
Mit freundlichen Grüßen

Frank

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Timm » 25. Dez 2017, 22:51

tomS hat geschrieben:
25. Dez 2017, 21:09
Wir müssen und das mal in Ruhe anschauen; hier findet man für den frei fallenden Beobachter eine endliche Rotverschiebung

http://www.markushanke.net/ask-a-nerd-t ... -horizons/
Das passt.
Timm hat geschrieben:
24. Dez 2017, 17:29
Man erhält f''/f = (1 + sqrt(2M/r))^(-1), r ist die Schwarzschildkoordinate des Freifallers . Damit sieht dieser die Außenwelt rotverschoben, am EH (hier ist r = 2M) mit z = 1.
f''/f = (1 + sqrt(2M/r))^(-1) --> Gleichung (5) dieses Artikels
am EH (hier ist r = 2M) mit z = 1. --> Gleichung (6)

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von tomS » 25. Dez 2017, 23:06

Die Beobachtungen der Astronomen werden im Kontext der Allgemeinen Relativitätstheorie erklärt, angefangen von den Umlaufbahnen der Planeten im Sonnensystem über schwarze Löcher bis hin zur kosmische Expansion. Die ART ist eine lokale Theorie, d.h. dass sich lokale Änderungen z.B. in einer Masseverteilung lokal als Gravitationswellen bemerkbar machen (die sich natürlich mit der Zeit global ausbreiten).

Lokal = auf kurzen Distanzen spielt demnach die globale Form des Universums keine Rolle; ob das Universum irgendwo weit draußen eine Rand hat oder nicht ist für die Bahn der Erde um die Sonne irrelevant (außer der Rand verläuft durch unser Sonnensystem, dann hätte er natürlich lokale Auswirkungen).

Für die Existenz eines Randes gibt es keine Hinweise. Der Rand sollte ja durch irgendwelchen lokalen Effekte die lokale Physik beeinflussen, und dies sollte ggf. sichtbar werden (auch ein extrem kurzsichtiger Billardspieler kann die Existenz des jenseitigen Randes des Billardtisches durch ein einfaches Experiment erkennen: der Rand = die Bande reflektiert die Kugel; diese läuft wieder zurück). Da wir derartige Effekte nicht sehen, kann die Existenz eines Randes zumindest innerhalb eines gewissen Bereiches des Universums ausgeschlossen werden.

Nun kommt das kosmologische Prinzip, also insbs. die räumliche Homogenität ins Spiel: die Physiker nehmen an, dass das Universum an jedem Punkt typischerweise ähnlich aussieht. Das bedeutet nicht völlige Gleichheit, sondern lediglich, dass unser Punkt hier genauso typisch ist wie ein anderer irgendwo dort draußen.

Ein Rand würde dieses Prinzip zerstören: am Rande gäbe es seltsame Randeffekte (du kennst z.B. die Oberflächenspannung), am Rand funktionieren die Gleichungen ganz anders, ...

Da wir also keine Rand sehen und nichts Künstliches in unsere Theorien einführen wollen - und mangels Beobachtung nicht müssen - ist es am einfachsten, ein Universum, ohne Rand zu betrachten. Dazu gibt es zwei wesentliche Klassen von Modellen: kompakte Universen wie eine Kugeloberfläche sowie nicht-kompakte Universen wie eine unendlich ausgedehnte Ebene; in beiden Klassen existieren unendlich viele Modelle.
Gruß
Tom

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Dgoe » 26. Dez 2017, 00:18

Wenn die Ränder viel größer sind und wir nur bis zu einem Horizont innerhalb blicken können, dann kann es ja auch keine Hinweise geben (zumindest ohne Reflektionen nicht). Bliebe immernoch fifty fifty ob doch, oder doch nicht.

Oder?

Die isotrope Homogenität empfinde ich laienhaft als etwas künstlich herbeigeredet. Da gibt es (oder auch nicht), Big Wall, Dark Flow, Big Void, usw. Attraktoren etc.
Und letztendlich sieht man auch an der Hintergrundstrahlung eben Nuancen, wenn auch kleine, aber es ist nicht einfarbig, homogen. Was lehrt uns das, nix, außer Fluktuationen im Einheitsbrei? Hm...

Wollte mal etwas dazu sagen nur.

Gruß & Frohe Weihnachten,
Dgoe
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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Pippen » 26. Dez 2017, 03:17

tomS hat geschrieben:
25. Dez 2017, 22:27
Tut es nicht; du hast lediglich nicht verstanden, was ein Rand mathematisch genau bedeutet.
Ein Rand ist für mich die leere Schnittmenge zwischen einer Menge und ihrem Komplement. Auf dein Bild mit der Kreislinie bezogen: Das Schwarze ist eine Menge, das Weiße ist sein Komplement und der Rand ist dort, wo sie sich treffen. Rand und Weißes sind freilich in diesem Beispiel die leere Menge. Durch diese Definition wird klar, dass alles immer einen Rand haben muss, im Extremfall gilt: Rand und Menge sind leere Menge oder Rand und Komplement sind leere Menge; Menge und Komplement -> leere Menge das kann nicht sein. Damit kann man beweisen, dass alles, auch das Universum, einen Rand hat - immer, egal wie man es dreht und wendet. Die Frage ist dann halt nur: Ist das Komplement des Universums leer oder nichtleer.

Diese abstrakte Überlegung ähnelt der geometrischen mit einem wichtigen Unterschied. Dort hat jedes Objekt in irgendeiner Dimension einen Rand. Deine Kreislinie hat eben in d1 keinen Rand, aber in d2 ist sie der Rand der Kreisscheibe. Es gibt kein denkbares Objekt, was in dx keinen Rand hätte, also auch das Universum. Hier gibt's aber einen Ausweg, den es oben nicht gibt: Man kann postulieren, dass es nur da Dimensionen gibt und damit könnte es Objekte ohne Rand geben.

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