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Gedanken zum Begriff "Rand des Universums" aus mengentheoretischer Sicht

Themen zur Kosmologie, Urknall, inflationärer Kosmologie, Expansion, Entwicklung und Zukunft des Universums
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Dgoe
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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Dgoe » 6. Jan 2018, 23:21

Überhaupt sieht die Mengenlehre so aus, dass sie zeitliche und kausale Veränderungen nicht kann. Schon gar nicht Verschränkungen. Wenn tatsächlich darauf die Mathematik und Physik beruht, ist ja kein Wunder, dass man in Erklärungsnot gerät.

Gruß,
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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von tomS » 7. Jan 2018, 00:23

Off topic ...
Dgoe hat geschrieben:
6. Jan 2018, 23:21
Überhaupt sieht die Mengenlehre so aus, dass sie zeitliche und kausale Veränderungen nicht kann. Schon gar nicht Verschränkungen. Wenn tatsächlich darauf die Mathematik und Physik beruht, ist ja kein Wunder, dass man in Erklärungsnot gerät.
Die Mathematiker führen natürlich noch weitere Strukturen über die Mengenlehre hinaus ein.

Und warum sollten die Physiker bzgl. Verschränkung etc. in Erklärungsnöte geraten? Wir verstehen das sehr gut, allerdings reicht dazu die Mengenlehre nicht aus.
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Tom

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Dgoe » 7. Jan 2018, 01:16

Oben stand, dass dies der Aufbau sei. Was da noch hinzukommt sprengt vielleicht, vielleicht auch nicht den Rahmen.

Wäre aber mal interessant hier.

Weil man sonst überhaupt keine Grundlage hat und ich Pippen sehr gut nachvollziehen kan, beide Laien.

Die Extra-Inputs würden auch mich schwer interessieren.

Gruß,
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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Dgoe » 7. Jan 2018, 02:30

tomS hat geschrieben:
7. Jan 2018, 00:23
Off topic ...
Nein, siehe ersten Absatz in #1.
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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von tomS » 7. Jan 2018, 09:50

Dgoe hat geschrieben:
7. Jan 2018, 02:30
tomS hat geschrieben:
7. Jan 2018, 00:23
Off topic ...
Nein, siehe ersten Absatz in #1.
Doch off topic, denn Verschränkung hat mit der Form oder dem Rand des Universums absolut nichts zu tun.

Dgoe hat geschrieben:
7. Jan 2018, 01:16
Oben stand, dass dies [Mengenlehre?] der Aufbau sei. Was da noch hinzukommt sprengt vielleicht, vielleicht auch nicht den Rahmen.

Die Extra-Inputs würden auch mich schwer interessieren.
Dass Mengenlehre plus Logik die Basis sind, bedeutet nicht, dass man nicht noch einfache Zutaten bräuchte, oder dass es schwierig wäre, diese einzuführen. Die notwendigen Zutaten für die hier diskutierte Frage [Rand des Universums] sind im wesentlichen Strukturen wie reelle Zahlen (kennt jeder aus der Schule) und Topologie (Lehre der Formen und deren Eigenschaften, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben).

Der Begriff der Verschränkung stammt aus der Quantenmechanik, hat mit der hierbgebannten Fragestellung nichts zu tun, und benötigt völlig andere mathematische Strukturen.

Wenn Ihr euch hier verirrt, dann ist das zum Teil der Art der Diskussion geschuldet; ich hatte das oben schon geschrieben. Man kann Topologie für Laien sehr anschaulich beschreiben, dazu müssen wir uns aber auch darauf konzentrieren und nicht irgendwelche völlig abwegigen Diskussionen um Ränder von Nullmengen führen. Das ist Käse.
Gruß
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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von ralfkannenberg » 7. Jan 2018, 11:19

Dgoe hat geschrieben:
6. Jan 2018, 23:21
Überhaupt sieht die Mengenlehre so aus, dass sie zeitliche und kausale Veränderungen nicht kann. Schon gar nicht Verschränkungen. Wenn tatsächlich darauf die Mathematik und Physik beruht, ist ja kein Wunder, dass man in Erklärungsnot gerät.
Hallo Dgoe,

ich habe den Eindruck, dass Du versuchst, dass Pferd von hinten aufzuzäumen.

Natürlich "kann" die Mengenlehre das und sie kann noch viel mehr, doch es ist irgedwie nicht ihre Aufgabe: der Mengenlehre kannst Du völlig absurde zeitliche und kausale Veränderungen mitgeben, Du kannst in ihr Menschen und Sterne verschränken - solange das alles widerspruchsfrei bleibt ist das für die Mengenlehre kein Problem.

Daraus folgende Resultate sind im Allgemeinen natürlich unsinnig, aber das ist der Mengenlehre "egal": es ist nicht Aufgabe der Mengenlehre, unsere Physik korrekt zu beschreiben. Nein, so etwas ist Aufgabe der Physik. Übrigens auch nicht der Mathematik: aus mathematischer Sicht sind die Zeitinvarianz und die Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit (unter gleichmässig bewegten Bezugssystemen - wir lassen die Details an dieser Stelle weg) völlig gleichwertig, d.h. aus mathematischer Sicht ist die vor-relativistische Physik nicht falsch. Aber aus physikalischer Sicht ist sie falsch, denn es gibt Experimente, die ein anderes Eregbnis liefern als von der klassischen, auf der Zeitinvarianz beruhenden Physik vorhergesagt.

Man darf diese scheinbare Beliebigkeit nicht falsch verstehen: selbstverständlich sind die physikalisch korrekten Situationen auch mathematisch korrekt und sie sind auch mengentheoretisch korrekt, aber es gibt Situationen, die physikalisch inkorrekt, aber mathematisch und mengentheoretisch korrekt sind.

Die Mathematik kannst Du also auch als eine Verallgemeinerung der Physik interpretieren, und die Mengenlehre/Logik als eine Verallgemeinerung der Mathematik.


Freundliche Grüsse, Ralf

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von tomS » 7. Jan 2018, 12:09

Danke für diesen Beitrag!
ralfkannenberg hat geschrieben:
7. Jan 2018, 11:19
... selbstverständlich sind die physikalisch korrekten Situationen auch mathematisch korrekt und sie sind auch mengentheoretisch korrekt, aber es gibt Situationen, die physikalisch inkorrekt, aber mathematisch und mengentheoretisch korrekt sind.

Die Mathematik kannst Du also auch als eine Verallgemeinerung der Physik interpretieren ...
Ich würde umgekehrt die theoretische Physik als Spezialisierung der Mathematik bezeichnen.

Bsp.: Die Mathematik stellt algebraische Strukturen mit Verknüpfungen zur Verfügung. Die Physik nutzt dabei ganz bestimmte Strukturen, z.B. eine sehr spezielle Struktur zur Addition von Geschwindigkeiten im Rahmen der SRT, wobei u.a. die Grenze v < c unter Addition respektiert wird. Die Mathematik stellt auch andere Strukturen zur Verfügung, z.B. die Addition auf elliptischen Kurven, aber die sind im Rahmen der Physik irrelevant (warum, weiß niemand)
Gruß
Tom

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Skeltek » 7. Jan 2018, 13:20

Relationen werden zwischen Mengen und Elementen definiert. Zeit kann man als so etwas ähnliches wie eine Halbordnung betrachten (da hier nur wenige etwas mit der genauen Definition anfangen können kann ich das als Beispiel bringen). Topologie steht knapp über der Mengenlehre, mit dieser als weiter unten liegendes fundament. Rein Mengentechnisch betrachtet kann es eine 'höchste Menge' geben, nach der nichts weiteres kommt (Ende der Zeit z.B.).
Die Existenz einer 'Halbordnung' (ich nenne es jetzt einfach mal so falsch), setzt keine Konsistenz der Topologie voraus. Im Bezug zur Raumzeit kann man sagen, dass uns einfach die Bestätigung fehlt ob das Universum tatsächlich ein Kontinuum ist oder nicht.
Kontinuum würde auf Konsistenz von Topologie und Zeit hindeuten, Eine gequantelte Netz- oder Kristall-ähnliche Raumzeit kann sehr wohl einfach enden oder Brüche aufweisen (von innerhalb vermutlich trotzdem nicht feststellbar).
Die plausibelste Erklaerung jedes hinreichend komplizierten Systems ist falsch

Unentscheidbarkeit für Dummies: Dieser Satz ist wahr
oder
Diese Menge hat zwei Elemente: A und B

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Dgoe » 7. Jan 2018, 22:34

Vielen herzlichen Dank meinerseits für die zahlreichen und vor allem aufschlussreichen und lehrreichen Antworten. :-)

Der größere Zusammenhang und das Gesamtbild sind nicht selten Herausforderung für Laien, wie mich. Droht einem dies zu entgleiten, sorgt das für Unruhe und man mag sich kaum mehr auf Details konzentrieren, bis es wenigstens einigermaßen wiederhergestellt ist.

Man findet zwar in all der Literatur auch manchesmal solche guten Stellen, jedoch verbleibt einem persönlich oft dennoch etwas unklar und vor allem findet man diese Stellen meist nie wieder :( oder man muss echt sehr viel lesen, um Neue zu finden.

Ein Forum, wo man echte Fachleute und Akademiker direkt ansprechen kann, ist schon Gold wert, aber auch Antworten zu bekommen, dass diejenigen sich Zeit dafür nehmen, ist einfach großartig und dafür bin ich wirklich zutiefst dankbar.

Ich wünschte zwar, ich könnte etwas nervenschonender auftreten, immerhin bin ich soweit echt glücklich wieder und motiviert.

Gruß,
Dgoe
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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von tomS » 8. Jan 2018, 09:00

Der Thread gilt ja ziemlich verworren, trotz des m.E. recht anschaulichen Themas. Welche Fragen sind denn noch offen?
Gruß
Tom

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Pippen » 9. Jan 2018, 13:47

tomS hat geschrieben:
6. Jan 2018, 00:00
Pippen hat geschrieben:
5. Jan 2018, 20:59
-Wir sind uns einig, dass welche Topologie auch immer das Universum modelliert, es letztlich immer nur ein irgendwie vordefiniertes Mengensystem ist?
-Wir sind uns einig, dass in diesem Mengensystem jede Menge ihr Komplement hat?
Ja
Pippen hat geschrieben:
5. Jan 2018, 20:59
Bereits daraus folgt, dass das Universum ein Komplement (Außen, Nicht-Universum) haben muss und dieses Komplement ist auf jeden Fall etwas, im extremsten Fall eine leere Menge (ein leerer, aber immerhin, "Beutel", siehe Leermengenaxiom, welches die Existenz der leeren Menge postuliert bzw. man kann sie auch ohne in ZFC als existent beweisen, glaub ich).
Ja
Pippen hat geschrieben:
5. Jan 2018, 20:59
Damit wären alle widerlegt, die so tun, als ob Topologien ein Objekt nur von innen beschreiben können.
Nein, denn dieses Komplement bzw. diese leere Menge wird bei der Definition nie bemüht.
MaW: Ihr tut so, als ob eurer Universum kein Komplement hat, obwohl das mengentheoretisch schlicht so ist und euer Modell nunmal mengentheoretisch ist? Ist das nicht unredlich (wenn man ganz genau sein will)?

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tomS
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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von tomS » 9. Jan 2018, 13:56

Pippen hat geschrieben:
9. Jan 2018, 13:47
MaW: Ihr tut so, als ob eurer Universum kein Komplement hat, obwohl das mengentheoretisch schlicht so ist und euer Modell nunmal mengentheoretisch ist? Ist das nicht unredlich (wenn man ganz genau sein will)?
Nein, das stimmt nicht, du liest nicht, was da steht!

Toms: "Dieses Komplement wird bei der Definition nie bemüht".
Pippen: "Ihr tut so, als ob eurer Universum kein Komplement hat".

Das ist etwas völlig anderes!

Topologie ist eine präzise definierte mathematische Disziplin, in der Punktmengen mit bestimmten Eigenschaften diskutiert werden, ohne dass man dazu das Komplement dieser Punktmengen betrachten muss.

Wenn ich Schweinebraten mache, verwende ich keine Sahne, auch wenn eine im Kühlschrank ist.
Gruß
Tom

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von ralfkannenberg » 9. Jan 2018, 14:26

Pippen hat geschrieben:
9. Jan 2018, 13:47
obwohl das mengentheoretisch schlicht so ist und euer Modell nunmal mengentheoretisch ist? Ist das nicht unredlich (wenn man ganz genau sein will)?
Hallo Pippen,

mehr Verallgemeinerung bedeutet nicht zwingend "mehr Erkenntnis", sondern mehr Verallgemeinerung bedeutet zunächst einmal nur "mehr Willkürlichkeit" !

Wenn Du eine Kugel in einen 20-dimensionalen Raum einbettest, so bedeutet das keinerlei Mehrwert für die Beschreibung der Kugel, sondern nur 17 zusätzliche Freiheitsgrade, in die Du irgendetwas hineindefinieren kannst. Dabei ist zu beachten, dass dieses "irgendetwas" im Allgemeinen nicht "sinnvoll" sein wird.

Und jetzt bewege ich mich noch nicht einmal in der Mengenlehre, in der im Wesentlichen nur eine Teilmengen-Beziehung definiert ist, sondern in einem Vektorraum, der doch einer strengen algebraischen Struktur folgt. Aber ob beispielsweise Abstände in diesem 20-dimensionalen Raum so definiert sind, dass auch der Abstand echt-verschiedener Punkte gleich 0 wird, wie man das beispielsweise von der Raumzeit her kennt, lässt sich daraus nicht folgern.


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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Pippen » 9. Jan 2018, 16:17

tomS hat geschrieben:
9. Jan 2018, 13:56
Topologie ist eine präzise definierte mathematische Disziplin, in der Punktmengen mit bestimmten Eigenschaften diskutiert werden, ohne dass man dazu das Komplement dieser Punktmengen betrachten muss.
Mag sein, dass man das Komplement dieser Punktmengen nicht betrachten muss, aber es ist doch trotzdem da und zwar durch die ZFC-Regeln. Das ist ja gerade mein Vorwurf, nämlich dass ihr existente Komplemente einfach ignoriert.

Sei unten der Rahmen irgendeine Topologie des Universums - der Inhalt interessiert uns gar nicht - dann weigert ihr euch einfach anzuerkennen, dass "draußen" die leere Menge existiert, obwohl das so ist. Das ist mein Punkt. Es kann natürlich sein, dass ihr es bewußt wegpostuliert ("Wir schauen nur auf den Inhalt des Rahmens, der Rest wird gar nicht betrachtet"), dann würde ich euch verstehen, aber dann würde ich natürlich mit ockhams razor kommen und fragen, wozu man so eine Extraforderung aufstellen soll - nur um dem Theologen stolz erklären zu können, dass Universum brauche kein Außen?
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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von ralfkannenberg » 9. Jan 2018, 16:40

Pippen hat geschrieben:
9. Jan 2018, 16:17
die ZFC-Regeln.
Hallo Pippen,

darf ich mal fragen, welchen Narren Du an diesen Sch[ZENSUR]ß ZFC-Regeln, für die sich selbst kaum Mathematiker interessieren, gefressen hast ? Das sind schon sehr wichtige Erkenntnisse, aber für die Praxis - ja schon für die "mathematische Praxis", sind die doch in den meisten Fallen völlig irrelevant.


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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Pippen » 9. Jan 2018, 17:04

ralfkannenberg hat geschrieben:
9. Jan 2018, 16:40
darf ich mal fragen, welchen Narren Du an diesen Sch[ZENSUR]ß ZFC-Regeln, für die sich selbst kaum Mathematiker interessieren, gefressen hast ? Das sind schon sehr wichtige Erkenntnisse, aber für die Praxis - ja schon für die "mathematische Praxis", sind die doch in den meisten Fallen völlig irrelevant.
Nun, ich will es mal ganz genau wissen mit der Topologie des U. und ob's da wirklich kein Außen gibt. Dazu muss ich doch an die Quelle und das ist ZFC. Wenn ZFC sagt, dass jede Menge ihr Komplement hat und dass jedes Komplement existiert (so auch die leere Menge) und wenn das Universum der Physiker ein ZFC-Gebilde ist - und das ist es - dann kann ich kommen und sagen: Die Physiker benutzen ein Modell ihres Universums, welches eigentlich ein Außen (Komplement) kennt bzw. kennen müsste, aber sie ignorieren das bzw. sehen es als sinnlos an. Und das ist eben was ganz Anderes als wenn es ein Modell wäre, was von Vornherein kein Komplement des U. kennen würde (was ich zB ursprünglich annahm, wann immer ich davon hörte, dass das U. "von innen heraus" definiert ist und kein Außen kennt).

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von ralfkannenberg » 9. Jan 2018, 17:11

Pippen hat geschrieben:
9. Jan 2018, 17:04
Nun, ich will es mal ganz genau wissen mit der Topologie des U. und ob's da wirklich kein Außen gibt. Dazu muss ich doch an die Quelle und das ist ZFC.
Hallo Pippen,

nein, das ist falsch: wenn Du topologische Fragestellungen untersuchen möchtest, dann musst Du die Regeln der Topologie anwenden, nicht diejenigen der Mengenlehre. Diejenigen, die die Axiome der Topologie aufgestellt haben, haben schon sichergestellt, dass diese nicht im Widerspruch zur Logik stehen.

Wenn Du im Supermarkt 10 Äpfel kaufst, dann brauchst Du auch nicht die Peano-Axiome zu bemühen, um die Äpfel an der Kasse bezahlen zu können, sondern da genügt es völlig, die Regeln der Gruppentheorie für die ganzen Zahlen einzuhalten.


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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von positronium » 9. Jan 2018, 17:15

@Pippen: Ich kann leider nicht für die Physiker sprechen, aber meine Position und meine Sicht auf die Physik ist, dass man immer ganz genau aufpassen muss, wann man in der Physik mit Mathematik argumentieren kann, und wann nicht. Du hast schon Recht, wenn Du schreibst, dass viele Argumente der Physiker sehr mathematisch wirken, aber man sollte nicht so weit gehen, und jegliche mathematische Konsequenz als natürlich betrachten. Allein die Tatsache, dass man jeder Formel in der Physik einen Kontext mit Mengenangaben, Gültigkeitsbereichen, sogar textlichen Erklärungen mitgeben muss, und dann noch unphysikalische Lösungen aussortieren muss, zeigt doch ganz klar, dass eine rein mathematische Argumentation ohne Beiwerk heute nicht funktioniert. Und vielleicht tut eine solche es nie, weil die Natur möglicherweise nicht so wie die Mathematik gestrickt ist.

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von ralfkannenberg » 9. Jan 2018, 17:16

ralfkannenberg hat geschrieben:
9. Jan 2018, 17:11
sondern da genügt es völlig, die Regeln der Gruppentheorie für die ganzen Zahlen einzuhalten.
Und zwar wirklich für die ganzen Zahlen. Zwar sind die Regeln der Gruppentheorie auch für die IZ10 gültig, aber an der Kasse werden die im Supermarkt wenig Freude haben, wenn Du Dich dort auf den Standpunkt stellst, dass 10 Äpfel modulo 10 = 0 Äpfel gilt und Du deswegen nichts zu bezahlen brauchst.


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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von ralfkannenberg » 9. Jan 2018, 17:19

positronium hat geschrieben:
9. Jan 2018, 17:15
Und vielleicht tut eine solche es nie, weil die Natur möglicherweise nicht so wie die Mathematik gestrickt ist.
Hallo Positronium,

das ist kein "vielleicht", sondern das ist ein "offensichtlich", denn wie Du sicherlich weisst ist die vor-relativistische Physik mit der Zeitkonstanz bei gleichmässig bewegten Bezugssystemen mathematisch korrekt.


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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Pippen » 9. Jan 2018, 18:13

ralfkannenberg hat geschrieben:
9. Jan 2018, 17:11
nein, das ist falsch: wenn Du topologische Fragestellungen untersuchen möchtest, dann musst Du die Regeln der Topologie anwenden, nicht diejenigen der Mengenlehre. Diejenigen, die die Axiome der Topologie aufgestellt haben, haben schon sichergestellt, dass diese nicht im Widerspruch zur Logik stehen.
Gilt denn nach den Regeln der Topologie, dass mal eine Menge kein Komplement hat? Wo also zB postuliert wird: Es gibt keine Menge - nicht einmal die leere - jenseits des Mengenuniversums.

Wie positronium schreibt, muss man natürlich aufpassen, denn Physik ist eben mehr als Mathematik. Aber wenn Physiker ein physikalisches Modell auf einem mathematischen Modell basieren und dann einfach unliebsame Prämissen des math. Modells weglassen, damit's "passt", dann ist das wissenschaftstheoretisch nicht fein; dann sollen sie halt genau das Modell angeben, was sie verwenden und sagen: wir verwenden ein Modell, wo zB das Mengenuniversum kein Komplement hat. Das wäre völlig ok.

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Fiffilix » 9. Jan 2018, 19:39

Dares hat geschrieben:
24. Dez 2017, 11:51
Ist das so richtig?
Nein.

Dares
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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Dares » 9. Jan 2018, 19:53

Fiffilix hat geschrieben:
9. Jan 2018, 19:39
Dares hat geschrieben:
24. Dez 2017, 11:51
Ist das so richtig?
Nein.
Oh, vielen Dank Fiffilix für Deine Antwort.
Du müsstest auch den dazugehörigen Teil meiner Frage mit "in Quote" setzen. Sonst weiss ich nicht genau worauf sich meine Frage:
"Ist das so richtig" bezieht. Ich müsste sonst alle Beiträge in diesem Topic nochmal überfliegen um zu schauen auf was DuDich genau
beziehst.

Ein kurzes "Nein" von Dir reicht auch nicht. Eine Begründung wäre schon schön.

Komm erstmal im Forum an und schau wie Andere es machen :wink: . In diesem Sinne Herzlich Willkommen.

Freundliche Grüsse

Dares

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Analytiker » 9. Jan 2018, 20:23

Dares hat geschrieben:
9. Jan 2018, 19:53
Du müsstest auch den dazugehörigen Teil meiner Frage mit "in Quote" setzen. Sonst weiss ich nicht genau worauf sich meine Frage:
"Ist das so richtig" bezieht. Ich müsste sonst alle Beiträge in diesem Topic nochmal überfliegen um zu schauen auf was DuDich genau
beziehst.
Ich hab auch erst gesucht, jedoch steht im Zitat von Fiffflix rechts eine Zeitangabe und somit hat man einen Anhaltspunkt für die Suche.

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Re: Begriff "Rand des Universums" irreführend?

Beitrag von Dgoe » 9. Jan 2018, 21:01

Analytiker hat geschrieben:
9. Jan 2018, 20:23

Ich hab auch erst gesucht, jedoch steht im Zitat von Fiffflix rechts eine Zeitangabe und somit hat man einen Anhaltspunkt für die Suche.
Bei mir steht dort bei jedem Zitat aus dem Forum ein Pfeil, der ein Link zum Original ist.

ralfkannenberg hat geschrieben:
9. Jan 2018, 17:16
aber an der Kasse werden die im Supermarkt wenig Freude haben, wenn Du Dich dort auf den Standpunkt stellst, dass 10 Äpfel modulo 10 = 0 Äpfel gilt und Du deswegen nichts zu bezahlen brauchst.
:D das wäre mal einen Versuch wert
(mit Vorsicht Kamera am Besten). :lol:

Gruß,
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