Gedanken zum Begriff "Rand des Universums" aus mengentheoretischer Sicht

[Pippen]

Euer Versuch, "von innen" heraus irgendwas zu definieren, führt nicht dazu, dass das "Außen" verschwindet, so wie ihr denkt.

Er funktioniert rein mathematisch.

Am Beispiel deiner eindimensionalen Kreislinie: Sie ist schlicht eine Menge von Punkten innerhalb eines vorgegebenen Universums (1-dimensionaler Raum). Sie hat eine Komplementärmenge. Selbst wenn das die leere Menge sei: die ist nicht nichts, sondern existiert (Leermengenaxiom). Es gibt daher ein Außen zur 1-dimensionalen Kreislinie, nämlich die (existente!!!) leere Menge. So funktioniert das dann für alle anderen Topologien analog, du bekommst mE das "Außen" nie weg.

[tomS]

Am Beispiel deiner eindimensionalen Kreislinie: Sie ist schlicht eine Menge von Punkten innerhalb eines vorgegebenen Universums. Sie hat eine Komplementärmenge. Selbst wenn das die leere Menge sei: die ist nicht nichts, sondern existiert (Leermengenaxiom).

Bis hier her richtig, jedoch irrelevant.

Es gibt daher ein Außen zur 1-dimensionalen Kreislinie, nämlich die leere Menge.

Nein, das ist formal falsch. Das "Außen" ist gerade nicht die leere Menge "an sich", sondern die Menge aller Punkte, die in der leeren Menge enthalten sind; und die leere Menge ist nunmal leer, d.h. es gibt diese Punkte nicht, und daher sich kein "Außen".

So funktioniert das dann für alle anderen Topologien analog, du bekommst mE das "Außen" nie weg.

Dann hätten sich alle Mathematiker seit Poincare gründlich geirrt.

[Pippen]

Hm...jede Topologie ist doch letztlich nichts weiter als ein nichtleeres mengentheoretisches Universum. In diesem U befinden sich dann nichtleere Mengen und deren Komplemente, u.a. auch die leere Menge. Die leere Menge wäre zu M wie Außen zu Innen, das sieht man schön in der Grafik. Ich sehe nicht, was dem entgegenstehen soll, zumal eben die leere Menge existiert; dass darin nichts enthalten ist, spielt dafür keine Rolle. Einzig interessant ist, ob die gleiche leere Menge auch außerhalb von U zu finden ist. U ist ja auch nur eine Menge und kann daher mE nie so definiert werden, dass es kein Komplement zu U gibt, es sei denn mit einem Zusatzaxiom in ZFC. Siehe zur Veranschaulichung meine Skizze. Wenn das so wäre, dann sieht man doch schon anschaulich, dass es immer ein Außen geben wird (auch wenn das nicht immer so schön räumlich aussehen mag).

[tomS]

Dein Denkfehler ist, mit "Außen" und "Innen" zu beginnen. Wenn du eine echte Teilmenge M in U betrachtest, hat diese natürlich ein "Außen" = ein Komplement.

Aber niemand zwingt dich dazu, überhaupt ein "Außen" zu denken; das ist unnötig.

Nochmal zurück zum o.g. Beispiel: betrachte das Intervall [0,L[ und identifizierst die Endpunkte. Oder alternativ, betrachte die reellen Zahlen R und identifiziere alle Zahlen x modulo L mittels der Äquivalenzrelation x ~ x + nL mit ganzzahligem n. Daraus resultiert eine Kreislinientopologie [R]_~ = S¹.

Der Witz ist, dass du in diesem Fall überhaupt nicht über ein "Äußeres" sprechen kannst; es wird nie eingeführt; es gibt keine reelle Zahlenebene R². Die Konstruktion ist minimalistisch und kommt vollständig ohne irgendeine gedachte Entität aus, die sich nicht auf R bezieht. Es gibt nur R! Da nun R alles ist, was gegeben ist, existiert nichts außerhalb von R. Und durch die Kompaktifizierung ~ resultiert ein Kreis S¹, ohne auf irgendetwas außerhalb von R zu verweisen.

Wo soll da nun ein Rand auftreten?

[Pippen]

Wenn du eine echte Teilmenge M in U betrachtest, hat diese natürlich ein "Außen" = ein Komplement.

Hat U selbst so ein "Außen", also ein Komplement? Wäre das die leere Menge oder was macht man da?

Aber niemand zwingt dich dazu, überhaupt ein "Außen" zu denken; das ist unnötig.

ME zwingt mich dazu die Tatsache, dass jede Menge ein Komplement hat. Wenn man dieses Komplement als "Außen" von der Menge betrachtet - und das ist mE gut und anschaulich nachvollziehbar - dann hat jede Menge ein Innen und ein Außen (ihr Komplement). Und da Physik auf Mathe aufbaut und Mathe auf Mengenlehre gäbe es schlicht kein physikalisches Modell ohne ein Außen (weil jedes physikalische Modell letztlich ein Mengensystem wäre, in dem es zu jeder Menge ein Komplement gäbe, selbst wenn dieses die leere Menge wäre, so wäre da eben nicht nichts, sondern etwas: eine leere Menge, die eben existiert und daher nicht einfach nichts ist.

[tomS]

Nochmal: dass das Komplement die leere Menge ist, ist eine andere Formulierung dafür, dass das Komplement aus nichts besteht. Zwischen einer Menge und "Nichts" gibt es aber auch keinen Rand.

Du gehst das ganze außerdem viel zu theoretisch an; vergiss' den ganzen mengentheoretischen Kram und denke ganz mal praktisch: der Begriff des Randes einer Mannigfaltigkeit ist extrem anschaulich; wo oder was ist - anschaulich - der Rand der aus den reellen Zahlen R mittels der Äquivalenzrelation x ~ x + nL konstruierten Kreislinie [R]_~ = S¹, bei deren Definition nie ein "Außen" verwendet wurde?

Deine Argumentation kommt mir so vor wie wenn ich mit dir über Handball diskutieren möchte und du ständig von Fußball anfängst, oder von der Menge aller Ballsportarten, um Handball dazu in Beziehung zu setzen. Kannst du machen, ist aber völlig irrelevant, um Handball zu verstehen und zu spielen.

[Dgoe]

Und da Physik auf Mathe aufbaut und Mathe auf Mengenlehre...

Ist dem so?

Gruß,
Dgoe

[tomS]

Und da Physik auf Mathe aufbaut und Mathe auf Mengenlehre...

Ist dem so?

In gewisser weise ja. Theoretische Physik baut auf Mathematik auf, und Mathematik gewissermaßen auf Mengenlehre.

[ralfkannenberg]

In gewisser weise ja. Theoretische Physik baut auf Mathematik auf, und Mathematik gewissermaßen auf Mengenlehre.

Ich würde den Begriff "Mengenlehre" durch den Begriff "Logik" ersetzen, aber das ist ein Detail.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Ich würde den Begriff "Mengenlehre" durch den Begriff "Logik" ersetzen, aber das ist ein Detail.

Nein, das ist kein Detail.

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

Für meine Begriffe gibt es immer ein Drumherum, ein Setting, also etwas. Der Mensch kann sich etwas überlegen, was in sich geschlossen ist, nichts weiteres bedarf - eben außer dem Gehirn oder dem Menschen (+Umwelt), worin dieses stattfindet.

Logik ist dabei sicherlich eine *gg* Schnittmenge aus menschlicher Vorstellung und Natur der Dinge.

Versagt aber bei Null und Unendlich irgendwie, oder auch nur bei mir.

Gruß,
Dgoe

[Skeltek]

Aber ich dachte was Nicht-Laien als Rand bezeichnen ist die Gegenwart und nicht ein räumliche Rand.

Die Gegenwart ist im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie kein Rand, sondern eine Untermannigfaktigkeit.

Stell' dir den eindimensionalen (!) Raum als Kreislinie ohne Rand vor. Die Raumzeit ist dann ein Zylindermantel, die sich außerdem in die Zukunft sowie in die Vergangenheit erstreckt. Die Expansion des Raumes kannst du dir als Expansion der Kreislinie und damit des Zylindermantels vorstellen.

Die Gegenwart ist dann lediglich ein gedachten Schnitt durch den Zylindermantel, also wieder eine Kreislinie.

Hmm gut, klar, kann ich mir vorstellen. Das ist doch dann eher die Frage, wo man den Kuchen schneidet wenn man das Model durch wegkürzen bestimmter Dimensionen simplifiziert bzw welche Hyperflächen man für die Darstellung wählt und dann modelhaft darstellt. Meine Vorstellung war mehr, mir die Gegenwart 2-dimensional als Fläche vorzustellen während ich gleichzeitig die Expansion mitberücksichtige. Bei mir wäre dann das Kugelinnere die Vergangenheit, die Oberfläche die Gegenwart und der Radius das derzeitige Alter des Universums.
Bei unseren Darstellungen verwenden wir beide die Achsen für Raumkrümmung/Zeit oder Ausdehnung/Zeit - je nachdem wie man die Achsen beschriftet und die Skalen wählt oder verzerrt.
Wenn ich bei meiner Darstellung Zukunftslichtkegel einzeichne, ist das denke ich einfacher darzustellen, wobei beim Urknall der Kegel entartet und keinen Rand hat.

Worauf ihr euch konzentriert ist halt der hypothetische Rand eines Zukunftslichtkegels dessen Spitze im Urknall liegt, während ich den Kegel einfach bei der Gegenwartslinie abschneide. Aber ich denke du hast recht, da man ja sagen kann, dass sich bei einer Ausbreitung des Volumensrandes mit '1' es keinen Unterschied macht, ob man die Ausbreitung auf den Raumachsen oder Zeitachsen meint - effektiv repräsentiert die Zeit ja beides (wegen Bijektion usw).

Von einem räumlichen Rand kann man aber denke ich nicht wirklich sprechen wenn man annimmt, dass dieser sich jederzeit mit mindestens 'c' von uns weg bewegt. In dem Falle gäbe es ja gar keinen tasächlichen Unterschied, zumal ja jeder beliebige Raumpunkt die Existenz von Dingen außerhalb seines Zukunfts- und Vergangenheits-Lichtkegels abstreiten kann; dafür muss man nicht unbedingt den Urknall wählen.

[Pippen]

Nochmal: dass das Komplement die leere Menge ist, ist eine andere Formulierung dafür, dass das Komplement aus nichts besteht.

Eben nicht, denn die leere Menge ist Etwas, das existiert, auch wenn es nichts enthält!!! Für dich scheint leere Menge = nichts zu gelten und das ist genaugenommen falsch. Und das erklärt auch unseren Dissens, denn klar, wenn die leere Menge nix wäre, dann wäre das leere Komplement einer Menge schlicht nix und man könnte das so interpretieren, dass es da kein Außen gäbe.

Du gehst das ganze außerdem viel zu theoretisch an; vergiss' den ganzen mengentheoretischen Kram und denke ganz mal praktisch:

Ihr Physiker könnt nicht auf der einen Seite superabstrakte und formale Gebilde entwickeln und euch auf deren Struktur zurückziehen, wenn wir Laien mit irgendwas kommen, doch wenn es euch passt, dann auf einmal wieder "ganz praktisch" werden, mit Anschauung usw. Eure Topologien sind nichts weiter als Mengensysteme und die haben Mengen und deren Komplemente und jedes Komplement existiert und damit haben wir eine Dichtonomie zwischen Menge (Innen) und Komplement (Außen). Das kann man nur beenden, wenn man postuliert, dass bestimmte Mengen kein Komplement haben, doch das wäre sowas wie ein "Verbot von etwas außerhalb" und das sieht doch ganz anders aus als die vielgepriesene Aussage "ein Gebilde lasse sich rein nur von innen heraus beschreiben".

[tomS]

Eigentlich habe ich keine Lust mehr, auf deine Irrtümer einzugehen, weil du meine Erklärungen letztlich nicht zu Kenntnis nimmst.

Beantworte bitte folgende einfache Frage: - s.o.:

Wo oder was ist der Rand der aus den reellen Zahlen R mittels der Äquivalenzrelation x ~ x + nL konstruierten Kreislinie [R]_~ = S¹?

Nochmal: dass das Komplement die leere Menge ist, ist eine andere Formulierung dafür, dass das Komplement aus nichts besteht.

Eben nicht, denn die leere Menge ist Etwas, das existiert, auch wenn es nichts enthält!!! Für dich scheint leere Menge = nichts zu gelten und das ist genaugenommen falsch. Und das erklärt auch unseren Dissens, denn klar, wenn die leere Menge nix wäre, dann wäre das leere Komplement einer Menge schlicht nix und man könnte das so interpretieren, dass es da kein Außen gäbe.

Betrachten wir ein Intervall I = [0,L] innerhalb R: Das Komplement des Intervalls ist R \ I = ]-∞ ,0[ ∪ ]L,+∞[. Der Rand des Intervalls ist ∂I = {0,L}

Nun betrachten wir das o.g. S¹: Das Komplement ist S¹ \ S¹ = ∅. Der Rand von S¹ ist ∂S¹ = ∅.

Was ist daran falsch?

[Pippen]

Nun betrachten wir das o.g. S¹: Das Komplement ist S¹ \ S¹ = ∅. Der Rand von S¹ ist ∂S¹ = ∅.
Was ist daran falsch?

Nichts. Der Rand, die Grenze bzw. das Außen von S¹ ist ∅, das sehe ich genauso, aber das ist eben nicht nichts, sondern etwas Existentes, nämlich eine Menge ohne Elemente. Damit haben wir sofort eine Dichtonomie: einerseits S¹, andererseits ∅ und das kann man als Innen-Außen interpretieren. Warum teilst du u.a. diese Ansicht nicht, die doch genaugenommen die richtige zu sein scheint, weil sie die Mengenaxiome genau beim Wort nimmt?

[tomS]

Damit haben wir sofort eine Dichtonomie: einerseits S¹, andererseits ∅ und das kann man als Innen-Außen interpretieren. Warum teilst du u.a. diese Ansicht nicht ...?

Ich teile sie. Das „Außen“ sowie der Rand sind leer, d.h. S¹ hat keinen Rand.

Ich sehe nicht, wie deine komplizierte Denkweise helfen könnte.

Du kannst ja mal mit Null Euro im Geldbeutel zahlen wollen; das wird nicht funktionieren. Dein Argument, du hättest doch einen leeren Geldbeutel, wird den Verkäufer nicht interessieren; er will nämlich Geld, keinen Geldbeutel.

[ralfkannenberg]

Logik ist dabei sicherlich eine *gg* Schnittmenge aus menschlicher Vorstellung und Natur der Dinge.

Hallo Dgoe,

hier bin ich anderer Meinung: Logik sollte unabhängig von "menschlicher Vorstellung" und von "Natur" sein.

Versagt aber bei Null und Unendlich irgendwie, oder auch nur bei mir.

Wieso das denn ? Die Algebra oder die Analysis mögen hier "versagen", wobei das kein "Versagen" ist, sondern einfach etwas, was nicht definiert ist. Ok, nette Probleme kann man mit "Mengen aller Mengen", die Teilmengen mit gewissen Eigenschaften haben, konstruieren, aber das macht es doch eher spannend. Und das hübsche ist: das Russel'sche Paradoxon ist bei uns gültig, im Andromedanebel und in irgendeiner fernen Galaxie ebenfalls.

Das ist aber nicht Thema dieses Threads, d.h. bei Interesse sollten wir das auslagern.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

@Pippen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Dichotomie

Die Vereinigung der dichotomen Begriffe führt wieder zum Ursprungsbegriff.

Dichotome Einteilungen sind nicht immer zweckmäßig. 

https://de.wikipedia.org/wiki/Leere_Menge

Die leere Menge ist definitionsgemäß in jedem topologischen Raum zugleich abgeschlossen und offen.

Gruß,
Dgoe


P.S.@Ralf: Ja, besser separat, gerne...

[Skeltek]

Hängt das nicht von der Betrachtungsebene ab?
Klar ist eine Menge ohne Elemente etwas anderes als gar keine Menge. Fraglich ist halt, wie es geschachtelt ist. Die leere Menge bezieht sich denke ich immer auf einen Betrachtungsrahmen - die leere Menge ist auch in der Obermenge enthalten? Es ist in der Regel nicht notwendig die leeren Mengen zu differenzieren. Denke es ist nicht notwendig wieder Paradoxien wie 'Menge aller Mengen' wieder herauszukramen um das durchzudiskutieren.
Man unterscheidet zwischen leeren Mengen ja deshalb nicht, weil die semantische Bedeutung für den Bildraum einer Betrachtung immer derselbe ist.

Mengenarten können ja auch verschachtelt sein bzw selbst Elemente einer nächsthöheren Menge. Jede Ebene dieser Schachtelung beinhaltet eine leere Menge. Das Leermengenaxiom ist Definitionsabhängig. Bei der gängigen Definition wird zwischen den verschiedenen Ebenen nicht unterschieden.
Stellen wir uns vor, wir haben einen porösen würfelfürmigen Raum mit Volumen. Jedes Raumvolumen hat eine Menge Punkte. Es gibt auch übergeordnete Mengen die eine Auswahl an Raumvolumina als Elemente beinhalten.
Macht es denn einen Unterschied, ob man eine Menge hat, welche keine Raumvolumina als Elemente beinhaltet oder eine Menge hat, welche keine Punkte hat?
Das ist als würde man 0, 0Punkte, 0m und 0m³ versuchen zu unterscheiden. Effektiv ist es egal, ob man 1m mit 0, 0m oder 0m³ multipliziert, am Ende kommt doch ehh immer 0 irgendwas raus.

[Dgoe]

Könnte man dann Null und Unendlich als eine Art Rand des Universums betrachten?

Gruß,
Dgoe

[tomS]

Könnte man dann Null und Unendlich als eine Art Rand des Universums betrachten?

Was meinst du damit?

Das Universum bzw. die Raumzeit wird im Rahmen der ART als 4-dim. Mannigfaltigkeit beschrieben; Anfang und Ende in der Zeit werden durch die Dynamik bzw. die spezielle Lösung der Gleichungen der ART festgelegt (Urknall etc.).

Von einem "Rand" o.ä. haben wir bisher nur bzgl. des 3-dim. Raumes gesprochen; wo soll da jetzt Null und Unendlich sein? was ist "Null" und "Unendlich" überhaupt?

Eine Mannigfaltigkeit ist pure Geometrie bzw. Form, noch völlig ohne Koordinaten, und so sollten wir das diskutieren.

[Dgoe]

... eher abstrakt, als räumlich oder zeitlich.

[ralfkannenberg]

Könnte man dann Null und Unendlich als eine Art Rand des Universums betrachten?

Hallo Dgoe,

wieder einmal eines meiner berüchtigten Beispiele - themenfremd, aber doch ist da etwas dran. Wenn Du Dich dazu ein bisschen informieren möchtest ist das Stichwort "stereographische Projektion" ein ganz guter Ausgangspunkt.

Wie auch immer: betrachte mal eine Kugel - genauer: deren Oberfläche, z.B. den Globus auf dem Schrank. Der hat einen Nordpol und einen Südpol und mit so einer stereographische Projektion wurde die Zahl 0 auf den Südpol und die Zahl "oo" auf den Nordpol abgebildet. Letzteres genauer: für Punkte-Folgen der Ebene, deren Absolutbetrag über alle Schranken anwächst, konvergiert der Bildpunkt gegen den Nordpol.

NUn hast Du da also eine schöne Kugel oder einen Globus mit einem Nordpol und einem Südpol. Gibt es da irgendwie einen Rand ?

Nö, diese Punkte sind nicht anders als die anderen Punkte auf dieser Kugel.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

... was ist "Null" und "Unendlich" überhaupt?

Am Besten das, was man in den einschlägigen Enzyklopädien so dazu findet.
Besser gesagt, weißt Du das viel besser als ich. Ich schließe daraus, dass so eine Betrachtung keinen Sinn macht.

Eine Mannigfaltigkeit ist pure Geometrie bzw. Form, noch völlig ohne Koordinaten, und so sollten wir das diskutieren.

Einverstanden, vielleicht mache ich einen separaten Thread auf, um nicht weiter abzulenken. Ich hielte das für gerade noch topic, daher nur. Aber man kommt da schnell von Höckchen auf Stöckchen, wie so oft, sorry.

... einen Globus mit einem Nordpol und einem Südpol. Gibt es da irgendwie einen Rand ?

Wetten ich finde Ränder, wenn ich die Aufhängung vom Globus entferne? *scherz*

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Wetten ich finde Ränder, wenn ich die Aufhängung vom Globus entferne? *scherz*

Hallo Dgoe,

das ist gar nicht so abwegig, ganz im Gegenteil - da haben wir jetzt einen laiengerechten Zugang für diese Fragestellung gefunden: für die Aufhängung muss Du zwei kleine Kreisscheiben auf dem Globus entfernen und genau an diesen beiden Stellen entstehen Ränder.

Welcher Dimension sind eigentlich diese beiden Ränder ? (Tipp)


Freundliche Grüsse, Ralf