Abenteuer-Universum

tomS hat geschrieben: ↑

25. Dez 2017, 09:28

Bsp.:
der Rand einer 2-dim. Kreisscheibe ist der 1-dim. Kreis (der selbst keinen Rand hat)
der Rand einer 3-dim. Kugel / eines Balls ist die 2-dim. Kugeloberfläche (die selbst keinen Rand hat)

Im Falle des 3-dim. Universum müsste der Rand 2-dim. sein. Es geht jedoch gerade darum, zu veranschaulichen, dass es keinen derartigen Rand braucht.

Deshalb finde ich das Ballongleichnis immer so unbefriedigend, den natürlich hat auch der Ballon einen Rand bzw. eine Grenze und darum geht es den meisten Fragenden. Und es gibt eben kein Objekt ganz ohne Rand, jedes Objekt hat immer irgendwie einen Rand, sonst wäre es ja auch kein Objekt mehr, sondern würde "zerfließen". Deshalb spricht das auch für die Arbeitshypothese eines Universums mit Rand, genauso wie alles für ein endliches Universum spricht, einfach weil wir keine realen Unendlichkeiten kennen und kennen können. Der eigentliche Punkt ist, dass es ein außerhalb des Randes nicht geben muss! Das Universum kann sozusagen von innen begrenzt sein, ohne dass es ein außen gibt.

tomS hat geschrieben: ↑

25. Dez 2017, 22:27

Tut es nicht; du hast lediglich nicht verstanden, was ein Rand mathematisch genau bedeutet.

Ein Rand ist für mich die leere Schnittmenge zwischen einer Menge und ihrem Komplement. Auf dein Bild mit der Kreislinie bezogen: Das Schwarze ist eine Menge, das Weiße ist sein Komplement und der Rand ist dort, wo sie sich treffen. Rand und Weißes sind freilich in diesem Beispiel die leere Menge. Durch diese Definition wird klar, dass alles immer einen Rand haben muss, im Extremfall gilt: Rand und Menge sind leere Menge oder Rand und Komplement sind leere Menge; Menge und Komplement -> leere Menge das kann nicht sein. Damit kann man beweisen, dass alles, auch das Universum, einen Rand hat - immer, egal wie man es dreht und wendet. Die Frage ist dann halt nur: Ist das Komplement des Universums leer oder nichtleer.

Diese abstrakte Überlegung ähnelt der geometrischen mit einem wichtigen Unterschied. Dort hat jedes Objekt in irgendeiner Dimension einen Rand. Deine Kreislinie hat eben in d1 keinen Rand, aber in d2 ist sie der Rand der Kreisscheibe. Es gibt kein denkbares Objekt, was in d_x keinen Rand hätte, also auch das Universum. Hier gibt's aber einen Ausweg, den es oben nicht gibt: Man kann postulieren, dass es nur d_a Dimensionen gibt und damit könnte es Objekte ohne Rand geben.

Pippen hat geschrieben: ↑

26. Dez 2017, 03:17

Dort hat jedes Objekt in irgendeiner Dimension einen Rand. Deine Kreislinie hat eben in d1 keinen Rand, aber in d2 ist sie der Rand der Kreisscheibe. Es gibt kein denkbares Objekt, was in d_x keinen Rand hätte, also auch das Universum. Hier gibt's aber einen Ausweg, den es oben nicht gibt: Man kann postulieren, dass es nur d_a Dimensionen gibt und damit könnte es Objekte ohne Rand geben.

Bitte um Erklärung , wo mein Gedächtnis einen Rand hat???

Pippen hat geschrieben: ↑

26. Dez 2017, 03:17

tomS hat geschrieben: ↑

25. Dez 2017, 22:27

Tut es nicht; du hast lediglich nicht verstanden, was ein Rand mathematisch genau bedeutet.

Auf dein Bild mit der Kreislinie bezogen: Das Schwarze ist eine Menge, das Weiße ist sein Komplement und der Rand ist dort, wo sie sich treffen.

OK, dann wird dein Missverständnis klar: du betrachtest das Weiße als notwendige Umgebung, um das Schwarze einbetten zu können. In der formalen mathematischen Beschreibung ist das Weiße jedoch unnötig; es existiert nicht (*)

Pippen hat geschrieben: ↑

26. Dez 2017, 03:17

Durch diese Definition wird klar, dass alles immer einen Rand haben muss, im Extremfall gilt: Rand und Menge sind leere Menge

Wenn der Rand die leere Menge ist, dann ist da schlichtweg nichts, was ein Rand sein könnte. Wenn die Menge selbst die leere Menge wäre, dann wäre da gar nichts. Das sind sprachliche Probleme bzgl. des Verständnisses der Mathematik, keine echten mathematischen Probleme.

Pippen hat geschrieben: ↑

26. Dez 2017, 03:17

Damit kann man beweisen, dass alles, auch das Universum, einen Rand hat - immer, egal wie man es dreht und wendet. Die Frage ist dann halt nur: Ist das Komplement des Universums leer oder nichtleer.

Das ist wieder dein o.g. Missverständnis (*)

Zu (*)
Das Weiße ist ein Artefakt der Zeichnung. Es ist mathematisch irrelevant, unnötig, und nicht existent. Dies gilt auch für die Anwendung in der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Ich möchte im Folgenden kurz zwei Methoden erklären, um einen Kreis zu definieren.


A) Gegeben sei die 2-dim. reelle Zahlenebene mit Koordinaten x,y. Ein Kreis mit Radius R ist definiert durch

x² + y² = R²

Die 2-dim. reelle Zahlenebene is sozusagen das Weiße, der Kreis selbst das Schwarze. Die 2-dim. reelle Zahlenebene dient dazu, den Kreis einzubetten.

Dies, d.h. (A) ist nicht die Methode, die die Mathematiker in der Topologie und der Differentialgeometrie verwenden; und es ist nicht die Methode der Physiker in der ART.


B) Gegeben sei ein Intervall [0,L[ der Länge L mit der Koordinate x und 0 ≤ x < L. Nun identifizieren wir x = 0 mit x = L (im Limes x gegen L); dies kompaktifiziert das halboffenen Intervalls [0,L[ zum kompakten Kreis S¹. Auf diesem Intervall seien außerdem Funktionen f(x) definiert, die z.B. physikalische Eigenschaften wie Dichte, Temperatur u.ä. definieren. Für alle diese Funktionen gelte

f(x+L) = f(x)

Diese zusätzliche Forderung der Periodizität gehorcht ebenfalls der Kompaktifizierung.

Der so konstruierte Kreis hat keinen Rand, denn diesen haben wir durch die Identifizierung der beiden Ränder = Endpunkte des Intervalls eliminiert. Insbs. ist offensichtlich keine weitere Dimension existent und keine Einbettung o.ä. notwendig.

Diese Methode (B) wird in der Mathematik verwendet, um einen 1-dim. Kreis S¹ ohne Einbettung in eine 2-dim. Ebene zu beschreiben.

tomS hat geschrieben: ↑

26. Dez 2017, 08:56

dies kompaktifiziert das halboffenen Intervalls [0,L[ zum kompakten Kreis S¹.

...und das ist letztlich eine Menge S¹ und dazu gibt es ein Komplement (S¹)^c. Das gilt auch da, wird nur aus Bequemlichkeit weggelassen. Selbst wenn (S¹)^c in dem Beispiel die leere Menge (= nichts) wäre, so änderte das nichts an der Dichtonomie von S¹ und (S¹)^c und damit hast du begriffstechnisch sofort einen Rand, nämlich das, was genau zwischen den Beiden verläuft. Wenn daher Mathematiker und Physiker von "randlos" sprechen, dann meinen sie schlicht den Fall, wo das Komplement der betreffenden Menge nichts ist und damit der Rand genau dort, wo die Menge definitionsgemäß endet - und sie endet immer irgendwo und irgendwie - und daher finde ich "randlos" eine suboptimale Begrifflichkeit.

Und das ist wichtig, denn eigentlich geht es uns Laien um folgende Frage: Ist das (physikalische) Komplement unseres Universums leer oder nichtleer? Das ist es, was wir meinen, wenn wir fragen, ob das Universum einen Rand hat oder was "vor dem Big Bang" war. Das ist letztlich die Frage nach Multiversen, wobei man das Spiel dann weiter treiben kann und nach deren Komplement fragt usw.

@Frank: Der Rand deines Gedächtnisses trennt dein Gedächtnis von allem, was nicht dein Gedächtnis wäre. Dort "ist" der Rand.

@Pippen: Du machst einen Fehler; Du fügst etwas hinzu, was weder gewollt noch nötig ist.

Eigentlich ist das doch ganz einfach. Beispiel:
1. x Element R besitzt keinen Rand, weil dieser im Unendlichen liegen würde.
2. x Element [0..1] besitzt offensichtlich einen Rand bei 0 und 1.
3. X Element R; x(X):=X-abrunden(X). Hier ist x endlich und hat keinen Rand.
Auf allen x kann man eine Physik formulieren, sagen wir eine Bewegungsgleichung g(x):=irgendwas.

Du machst aber etwas anderes als oben dargestellt. Du nimmst nicht nur x, sondern sagst, dass dieses x eingebettet sein muss, und machst somit daraus {x,y}. Das kannst Du eigentlich sogar tun, aber es ändert nichts an der Physik g(x), weil wenn Du eine Physik/Gleichung G(x,y) definierst, aber obige Physik betreiben willst, hast Du G(x,y):=g(x), also ist y überflüssig.

Hm,
also ich unterscheide ganz pauschal zwischen zeitlichen Rand (vor Urknall) und räumlichen Rand (Universum ist größer als übersehbar, aber endet irgendwo dennoch irgendwie vielleicht).
Einen guten Punkt finde ich in dem Zusammenhang, dass auch SLs das Universum abschnüren irgendwie, EH als Rand. Mit einer Einschränkung: Die Gravitation stört sich am EH nicht, geht kausal hinaus - egal wie wegredend per gekrümmter Raumzeit.

Gruß,
Dgoe

Pippen hat geschrieben: ↑

26. Dez 2017, 21:37

tomS hat geschrieben: ↑

26. Dez 2017, 08:56

dies kompaktifiziert das halboffenen Intervalls [0,L[ zum kompakten Kreis S¹.

...und das ist letztlich eine Menge S¹ und dazu gibt es ein Komplement (S¹)^c. Das gilt auch da, wird nur aus Bequemlichkeit weggelassen. Selbst wenn (S¹)^c in dem Beispiel die leere Menge (= nichts) wäre, ...

Das ist doch inhaltsleere Haarspalterei.

Nehmen wir eine Uhr bzw. ein Zifferblatt, auf dem wir die Minuten einer Stunde von 0 bis 60 (= 0) anzeigen; die Stunden vernachlässigen wir. Das Komplement dieser Minuten von 0 bis 60 (= 0) ist also die Menge aller Minuten, die nicht auf der Uhr angezeigt werden. Offensichtlich gibt es jedoch keinen Minutenstand, der nicht auf einem Zifferblatt angezeigt wird; das Zifferblatt ist also vollständig, das Komplement ist leer, und der Rand zwischen den Minuten von 0 bis 60 (= 0) und deren leerem Komplement ist wiederum leer.

Pippen hat geschrieben: ↑

26. Dez 2017, 21:37

... denn eigentlich geht es uns Laien um folgende Frage: Ist das (physikalische) Komplement unseres Universums leer oder nichtleer?

Es ist leer.

Pippen hat geschrieben: ↑

26. Dez 2017, 21:37

Das ist es, was wir meinen, wenn wir fragen, ob das Universum einen Rand hat ...

Ich bin mir nicht sicher, aber ich befürchte, du stehst mit deiner Meinung unter allen Laien sehr sehr einsam da.

Pippen hat geschrieben: ↑

26. Dez 2017, 21:37

Das ist letztlich die Frage nach Multiversen, wobei man das Spiel dann weiter treiben kann und nach deren Komplement fragt usw.

Im Falle eines hypothetischen Multiversums verhält es sich ganz genauso; nur der Name ist ein anderer.

Ich würde jedoch bevorzugen, dass du erst mal das o.g. Beispiel der Uhr verstehst :-)

Dgoe hat geschrieben: ↑

26. Dez 2017, 23:06

Hm ...

Man könnte tatsächlich den Urknall sowie ein SL als "verallgemeinerten Rand" auffassen. Der Mathematiker würde um eine Singularitä herum eine winzig kleine Kugel ausschneiden und dadurch die Singularität eliminieren, jedoch eine Kugelfläche als künstlichen Rand einführen.

tomS hat geschrieben: ↑

26. Dez 2017, 23:50

Man könnte tatsächlich den Urknall sowie ein SL als "verallgemeinerten Rand" auffassen.

Zum SL: Die Gravitation, oder meinetwegen Raumzeitkrümmung, verbindet aber das SL mit dem Rest des Universums (über den EH hinaus).

tomS hat geschrieben: ↑

26. Dez 2017, 23:50

Der Mathematiker würde um eine Singularitä herum eine winzig kleine Kugel ausschneiden und dadurch die Singularität eliminieren, jedoch eine Kugelfläche als künstlichen Rand einführen.

Na ja, über Singularitäten hatten wir schon diskutiert. So wie ich das sehe, haben viele Wissenschaftler eh Probleme damit...

Klingt interessant, was Du schreibst. Cool, dass ausgerechnet Du, als Ultra-Profi für mich, nachdenkst.

Ich weiß sowieso nicht.

Gruß,
Dgoe

Dgoe hat geschrieben: ↑

27. Dez 2017, 00:21

Zum SL: Die Gravitation ... verbindet aber das SL mit dem Rest des Universums (über den EH hinaus).

Es geht auch nicht darum, dass der EH ein solcher Rand ist, sondern lediglich darum, dass ...

tomS hat geschrieben: ↑

26. Dez 2017, 23:50

... die Mathematiker um eine Singularität herum eine winzig kleine Kugel ausschneiden und dadurch die Singularität eliminieren, jedoch eine Kugelfläche als künstlichen Rand einführen würden.

tomS hat geschrieben: ↑

26. Dez 2017, 23:41

Nehmen wir eine Uhr bzw. ein Zifferblatt, auf dem wir die Minuten einer Stunde von 0 bis 60 (= 0) anzeigen; die Stunden vernachlässigen wir. Das Komplement dieser Minuten von 0 bis 60 (= 0) ist also die Menge aller Minuten, die nicht auf der Uhr angezeigt werden. Offensichtlich gibt es jedoch keinen Minutenstand, der nicht auf einem Zifferblatt angezeigt wird; das Zifferblatt ist also vollständig, das Komplement ist leer, und der Rand zwischen den Minuten von 0 bis 60 (= 0) und deren leerem Komplement ist wiederum leer.

Ja, genauso! Wir sagen: "Es gibt nichts jenseits der Uhr, die Uhr hat keinen Rand", aber wir meinen damit: "Jenseits der Uhr ist die leere Menge und der Rand ist die Trennung von Uhr und leerer Menge", denn diese leere Menge existiert - sie ist nicht nichts - wenn sie auch nichts beinhaltet (Beweis: Leermengenaxiom). Man kann das auch ohne Formalkram zeigen: Wenn es ein z gäbe, was keine Grenze (Rand) hätte, dann gäbe es kein ~z, doch genau das fordert unsere Logik, so dass es dieses z nicht geben kann. Das ist Haarspalterei, aber es zeigt: Euer Versuch, "von innen" heraus irgendwas zu definieren, führt nicht dazu, dass das "Außen" verschwindet, so wie ihr denkt.

Es ist leer.

Sei das Universum alles, was durch unseren Big Bang verursacht wurde. Gäbe es verschiedene Big Bangs und damit Universen, dann wäre das Komplement unseres U. nicht leer. Die große Frage lautet natürlich: Ist das Komplement allen physikalisch Seienden (sog. Omniversum) leer? Wenn nämlich nicht, dann jubelt der Theologe und darf hoffen, während die Wissenschaft ein Problem bekäme.

Pippen hat geschrieben: ↑

27. Dez 2017, 02:20

Euer Versuch, "von innen" heraus irgendwas zu definieren, führt nicht dazu, dass das "Außen" verschwindet, so wie ihr denkt.

Er funktioniert rein mathematisch.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Geschlo ... faltigkeit

Pippen hat geschrieben: ↑

27. Dez 2017, 02:20

Sei das Universum alles, was durch unseren Big Bang verursacht wurde. Gäbe es verschiedene Big Bangs und damit Universen, dann wäre das Komplement unseres U. nicht leer. Die große Frage lautet natürlich: Ist das Komplement allen physikalisch Seienden (sog. Omniversum) leer? Wenn nämlich nicht, dann jubelt der Theologe und darf hoffen, während die Wissenschaft ein Problem bekäme.

Darum geht es hier aber nicht, sondern darum, dass ...

Dares hat geschrieben: ↑

24. Dez 2017, 11:51

... häufig in verschiedenen Beiträgen versucht wird ... den Rand des Universums zu definieren

Also habe ich die mathematische Definition erläutert.

tomS hat geschrieben: ↑

27. Dez 2017, 00:36

Dgoe hat geschrieben: ↑

27. Dez 2017, 00:21

Zum SL: Die Gravitation ... verbindet aber das SL mit dem Rest des Universums (über den EH hinaus).

Es geht auch nicht darum, dass der EH ein solcher Rand ist, sondern lediglich darum, dass ...

tomS hat geschrieben: ↑

26. Dez 2017, 23:50

... die Mathematiker um eine Singularität herum eine winzig kleine Kugel ausschneiden und dadurch die Singularität eliminieren, jedoch eine Kugelfläche als künstlichen Rand einführen würden.

Was kennzeichnet den Radius dieser Kugel denn als besonders aus?
Meinst Du mit Rand hier einen zum Universum?

Gruß,
Dgoe

Verstehe ich nicht. Und von Radius habe ich nichts geschrieben.

Es geht um folgendes: stell' dir eine Kegelfläche vor; sie besitzt eine Spitze und ist dort singulär; nun schneidet man um die Spitze einen kleinen Bereich der Kegelfläche ab; dadurch eliminiert man die Singularität, erzeugt jedoch einen Rand.

Dgoe hat geschrieben: ↑

28. Dez 2017, 17:02

tomS hat geschrieben: ↑

26. Dez 2017, 23:50

... die Mathematiker um eine Singularität herum eine winzig kleine Kugel ausschneiden und dadurch die Singularität eliminieren, jedoch eine Kugelfläche als künstlichen Rand einführen würden.

Was kennzeichnet den Radius dieser Kugel denn als besonders aus?

Bemerkung: Zitat von TomS von mir eingefärbt

Hallo Dgoe,

hier könnte noch ein kleiner Fallstrick sein. Ich habe in Toms Zitat die Kugel und die Kugelfläche eingefärbt, weil das verschiedene Dinge sind: die Kugel ist ein drei-dimensionales Gebilde, während die Kugeloberfläche (dieser Kugel) ein zwei-dimensionales Gebilde ist.


Freundliche Grüsse, Ralf

Hallo,

@Ralf: na und? Egal.

@Tom: Wieso sollte nicht der Ereignishorizont als eine Grenze und damit als Rand von etwas anderem - nämlich dem auf der einen Seite - betrachtet werden irgendwie? Als vom Universum wohl kaum, weil da ja eine Verbindung über die Krümmung der Raumzeit herrscht (gemäß dem offiziellen Vokabular, oder?). Kaum ignorierbar.

Das wird sich auch nicht trennen lassen, egal wieviel näher man den Radius schraubt. Und warum überhaupt näher? Und wieso ganz nah, was ist da?

Gruß,
Dgoe

tomS hat geschrieben: ↑

25. Dez 2017, 23:06

Für die Existenz eines Randes gibt es keine Hinweise. Der Rand sollte ja durch irgendwelchen lokalen Effekte die lokale Physik beeinflussen, und dies sollte ggf. sichtbar werden (auch ein extrem kurzsichtiger Billardspieler kann die Existenz des jenseitigen Randes des Billardtisches durch ein einfaches Experiment erkennen: der Rand = die Bande reflektiert die Kugel; diese läuft wieder zurück). Da wir derartige Effekte nicht sehen, kann die Existenz eines Randes zumindest innerhalb eines gewissen Bereiches des Universums ausgeschlossen werden.

Kann man so sehen. Aber ich dachte was Nicht-Laien als Rand bezeichnen ist die Gegenwart (Oberfläche einer bestimmten Art von expandierender nicht kompakter Kugel) und nicht ein räumliche Rand.

Dgoe hat geschrieben: ↑

29. Dez 2017, 02:23

Wieso sollte nicht der Ereignishorizont als eine Grenze und damit als Rand von etwas anderem - nämlich dem auf der einen Seite - betrachtet werden ...

Zumindest nach dem Verständnis der Allgemeinen Relativitätstheorie ist der Ereignishorizont keine Fläche, auf der irgendetwas besonderes bemerkbar oder messbar ist; die Raumzeit setzt sich nach innen hinein völlig stetig und glatt fort. Daher wäre es seltsam, den Ereignishorizont als Rand zu betrachten. Der Mathematiker versteht unter einem Rand einen Ort, an dem die Mannigfaltigkeit sozusagen endet.

Dgoe hat geschrieben: ↑

29. Dez 2017, 02:23

Das wird sich auch nicht trennen lassen, egal wieviel näher man den Radius schraubt. Und warum überhaupt näher? Und wieso ganz nah, was ist da?

Stell' dir das für den Kegel einfach mal bildlich vor.

Skeltek hat geschrieben: ↑

29. Dez 2017, 03:37

Aber ich dachte was Nicht-Laien als Rand bezeichnen ist die Gegenwart und nicht ein räumliche Rand.

Die Gegenwart ist im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie kein Rand, sondern eine Untermannigfaktigkeit.

Stell' dir den eindimensionalen (!) Raum als Kreislinie ohne Rand vor. Die Raumzeit ist dann ein Zylindermantel, die sich außerdem in die Zukunft sowie in die Vergangenheit erstreckt. Die Expansion des Raumes kannst du dir als Expansion der Kreislinie und damit des Zylindermantels vorstellen.

Die Gegenwart ist dann lediglich ein gedachten Schnitt durch den Zylindermantel, also wieder eine Kreislinie.

Wo Geodäten enden und nicht mehr fortgesetzt werden können, endet eine Mannigfaltigkeit. Das ist bei intrinsischen Krümmungssingularitäten der Fall.

@TomS: Ich habe weiter oben ausversehen immer Kugeloberfläche, bzw. Kugel statt Kegel gelesen (ja, ich habe eine Brille), sorry.
Die Analogie mit dem Zylinder spitzt sich zu einem Kegel, nahe am SL, nehme ich an.

@Ralf: Danke für den Tipp, nochmal. Ich konnte da nur keinen Zusammenhang zum Kontext finden.

Dgoe hat geschrieben: ↑

29. Dez 2017, 10:49

@Ralf: Danke für den Tipp, nochmal. Ich konnte da nur keinen Zusammenhang zum Kontext finden.

Hallo Dgoe,

vergiss mal für den Moment die SL, die EH und das Universum. Bei dem Entfernen dieser Singularitäten geht es anschaulich gesprochen nur darum, eine "Spitze" wegzukriegen. Da man aber möglichst viel vom Rest der Figur behalten möchte, schneidet man nur ganz wenig in der Nähe dieser Spitze ab. Statt der singulären Spitze hast Du da nun irgendetwas abgeschnitten, und das hat eine Oberfläche. Und das ist dieser "Rand", den Tom genannt hat.

Was ich nun geschrieben habe ist in dieser Form natürlich ungenau und entsprechend falsch, aber so kann man sich das ungefähr vorstellen.


Freundliche Grüsse, Ralf

Hallo Ralf,

ja, ok. Ich hatte mir eine kl. Kugel vorgestellt, die um die Singularität ausgeschnitten wird, da ich mich verlesen hatte. Wie groß oder klein der Radius dieser Kugel sein soll, entspricht in etwa aber auch dem Abstand von der Spitze des Kegels.

Dort gibt es aber keine ausgezeichnete Stelle dafür - oder vielleicht doch, fällt mir ein: wie wäre es mit der Plancklänge?

Gruß,
Dgoe

Hallo Dgoe,

Dgoe hat geschrieben: ↑

29. Dez 2017, 11:45

Wie groß oder klein der Radius dieser Kugel sein soll, entspricht in etwa aber auch dem Abstand von der Spitze des Kegels.

nö, der Radius ist epsilon. Deswegen nennt man so etwas ja auch eine "epsilon-Umgebung"

Dgoe hat geschrieben: ↑

29. Dez 2017, 11:45

Dort gibt es aber keine ausgezeichnete Stelle dafür - oder vielleicht doch, fällt mir ein: wie wäre es mit der Plancklänge?

Das ist jetzt eine physikalische Fragestellung, und nach dem derzeitigen Kenntnisstand, der sich aus der Heisenberg'schen Unschärferelation ergibt, machen Längenangaben unter einer Plancklänge keinen Sinn.

Ich vermute aber, dass dieser Radius in der Praxis grösser sein wird, denn ganz konkret muss der nicht-ausgeschnittene Bereich innerhalb des Gültigkeitsbereiches der verwendeten Theorie liegen.


Freundliche Grüsse, Ralf