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Zwillingsparadoxon und Topologie

Themen zur Kosmologie, Urknall, inflationärer Kosmologie, Expansion, Entwicklung und Zukunft des Universums
Timm
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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von Timm » 25. Okt 2017, 17:15

tomS hat geschrieben:
25. Okt 2017, 11:54
Ich verstehe nicht genau, worauf du rauswillst.

In Abwesenheit von Energie = für eine reine Vakuumlösung sind Minkowski sowie flacher Torus (also flacher Raum und Raumzeit) mMn zulässig.

Ich denke, wir können die Verwirrung sehr einfach beheben.

Stimmst du zu, daß die Raumzeit in einem statischen FRW Universum (= abstoßende und anziehende Gravitation heben sich auf) gekrümmt ist?

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von seeker » 26. Okt 2017, 00:05

tomS hat geschrieben:
24. Okt 2017, 14:48
seeker hat geschrieben:Aber wenn du Recht hast, dann ist ein Bewegungszustand "in absoluter Weise ruhend zum umgebenden Raum, bzw. Universum" nicht einmal eine Besonderheit von kompakten Universen, prinzipiell kann das dann auch für unendliche Universen gelten, der Unterschied liegt dann vielmehr darin, dass das in kompakten Universen messbar ist und in unendlichen nicht.
Nein, das ist nicht richtig. Beide Klassen von Universen sind topologisch verschieden; der Unterschied liegt nicht nur in der Messbarkeit.

Im den hier betrachten kompakten Universen bricht die Topologie eine lokale Symmetrie, so dass sie nicht global gültig ist, und zeichnet dadurch ein globales geometrisches Konstrukt – das bevorzugte Ruhesystem – aus. In nicht-kompakten (jedoch weiterhin flachen) Universen ist dies nicht der Fall.
Ich stimme dem zu, wollte aber auf etwas anderes hinaus:
Man kann nicht sagen, dass die Toplogie des 3-Torus die Ursache der Existenz des bevorzugten Ruhesystems sei (und dieses somit Wirkung davon sei), sattdessen tritt hier beides zusammen auf, beides sind einfach Eigenschaften eines solchen Universums. (Dass WIR theoretisch das eine aus dem anderen ableiten, spielt für ein gedachtes reales Universum keine Rolle, hebt im realen Fall nicht das eine irgendwie über das andere hinaus.)
Das besondere am Torus ist, dass das bervorzugte Ruhesystem dort wegend der Topologie identifizierbar ist, theoretisch als auch durch Messung: Die Topologie stellt die Identifizierbarkeit sicher.
Nun ist aber "Identifizierbarkeit" nicht zwingend dasselbe wie "Existenz". Hier gibt es verschiedene Meinungen und es wird philosophisch.
Im unendlich ausgedehnten Universum existiert diese Identifizierbarkeit nach heutigem Wissensstand bzw. im Rahmen der ART wohl eher nicht, aber das beweist ja deshalb nicht die Nichtexistenz (aus dem Zusammenhang 'Identifizierbarkeit->Existenz' folgt logisch nicht zwingend 'Nichtidentifizierbarkeit->Nichtexistenz').
Mit etwas Phantasie könnte man sich z.B. vorstellen, dass aus irgendeinem Grund (der heute noch unbekannt ist) jedes Universum ein solches Ruhesystem relativ zum Raum trägt, die Annahme eines solchen Frames führt zu keinen Widersprüchen.
Wenn man so vermutet, könnte man mit etwas Wagemut sogar die Existenz des bevorzugten Ruhesystems im 3-Torus sogar als Indiz dafür werten, dass es so sein könnte:
Möglicherweise tragen alle Universen ein bevorzugtes Ruhesystem, nur in manchen ist es (bislang) identifizierbar. Wir wissen es nicht.

Das aber nur als Randbemerkung...

Timm hat geschrieben:
24. Okt 2017, 22:41
Um den Beobachter relativ in Ruhe zum Raum zu definieren, braucht man keine Galaxien. Das kosmologische Prinzip ist hinreichend. Man stellt sich mitbewegte Testpartikel vor. Diese sieht dieser Beobachter isotrop. Das geht mit und ohne Materiedichte.
Klar, kann man einen beliebigen unbeschleunigten Beobachter so als lokal ruhend definieren. Ich sehe nur nicht, wie das weiterhilft.
Timm hat geschrieben:
25. Okt 2017, 08:22
Wenn wir uns über reisende Zwillinge unterhalten, dann über die Raumzeit.
Denkst du darüber nach, ob Expansion/Kontraktion etwas an der Antwort zu meiner Frage ändern könnten? Wie?
tomS hat geschrieben:
24. Okt 2017, 22:27
seeker hat geschrieben:Aber zusätzlich wird das unreflektierte Signal beim Auftreffen auf den Spiegeln ja von meinen Freunden detektiert, zeitlich wie auch von der Frequenz her, die teilen mir ihre Ergebnisse ja dann mit ... Wenn meine Armlänge gleich dem Durchmesser des Universums ist, stehen meine Freunde direkt neben mir, dort könnte.
Wenn ihr alle relativ zueinander in Ruhe seid,dann bringt das Experiment gar nichts. Wenn sich einige bewegen (Spiegel oder Freunde) und andere nicht, dann ist es eine Variante oder Erweiterung meines Experimentes.
Ich möchte mein Experiment weiter analysieren.

Logischer Hintergrund und Motivation ist folgende:
Es gibt ein Gedankenexperiement (das mit B und B', das du vorgestellt hast, nennen wir es Experiment I), das aussagt, dass der ruhende B die emittierten Lichtsignale im Torusuniversum gleichzeitig wieder empfängt, der bewegte B' aber ungleichzeitig.
Wenn nun ein anderes Szenario gefunden werden könnte, wo etwas dazu Widersprüchliches herauskäme, dann könnte damit trotz der fehlerlosen Argumentation deines Experimentes immer noch eine Inkonsistenz im 3-Torus als solchem nachgewiesen werden. Ich erwarte das nicht, aber ich möchte es abklopfen. Außerdem möchte ich noch etwas dabei dazulernen, wie denn das mit 'lokal' und 'global' genau zu verstehen ist.
Das mit dem Doppler ist soweit geklärt, denke ich, können wir nun wohl weglassen.

Die Idee meines Experiments (nennen wir es Experiment II) ist folgende:

Ich als B' positioniere auf meiner Bewegungslinie zwei weitere Beobachter, meine Freunde F'1 und F'2 in gleichem Abstand s vor und hinter mich, relativ zu mir ruhend.
(Um das tun zu können brauche ich die Apparatur mit den Spiegeln, denn sonst könnte ich 'gleicher Abstand s' nicht bestimmen.)
Zunächst messe ich bei kleinem s nichts Besonderes: F'1 und F'2 empfangen meine Singnale gleichzeitig, diese kommen auch gleichzeitig wieder zu mir zurück, der ganz normale lokale Fall. Nun vergrößere ich s aber schrittweise, bis s zuletzt genauso groß wie der Durchmesser d des Universums ist.
An diesem Punkt glaube ich (ich bin noch nicht ganz sicher) exakt dein vorgestelltes Experiment I mit B und B' zu haben.
Wir hätten also folgende Situation: Für kleine s empfangen F'1 und F'2 meine Signale gleichzeitig (lokaler Fall), für s=d aber nicht mehr (laut deinem Experiment, globaler Fall).
Wenn dem aber so wäre, dann ergäbe sich genau der besagte Widerspruch, denn man kann s an d beliebig annähern.

Also denke ich darüber nach, wie man das auflösen kann.
Eine meiner Voraussetzungen lautet ja z.B.: Für s=d befinden sich B', F'1 und F'2 an demselben Ort, F'1 und F'2 kann man dort daher weglassen und es ergibt sich das Experiment I für B', welches besagt, dass seine Signale ungleichzeitig wieder bei ihm ankommen. Aber ist das wirklich so, befinden sich hier F'1 und F'2 evtl. an einem anderen Ort als B'?
Wir müssen jedenfalls noch Lorentzkontraktion und Zeitdilatation berücksichtigen, das Universum hat für B' einen kleineren Durchmesser als für B, aus demselben Grund ist s für B stets kleiner als für B'. Aber hilft das? Die beiden Arme von mir zu F'1 und F'2 sind doch dennoch gleich lang?
Eine weitere Möglichkeit wäre evtl., dass sich wegen der Topologie des 3-Torus auch lokal etwas ändert, aber ich sehe nicht, wie das gehen soll.
Weiterhin muss man das "F'1 und F'2 empfangen meine Singnale gleichzeitig, diese kommen auch gleichzeitig wieder zu mir zurück, der ganz normale lokale Fall." wohl auch noch genauer anschauen, inwiefern das so ist.
Ich komme im Moment jedenfalls nicht weiter...
Grüße
seeker


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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von tomS » 26. Okt 2017, 10:28

Timm hat geschrieben:
25. Okt 2017, 17:15
Stimmst du zu, daß die Raumzeit in einem statischen FRW Universum (= abstoßende und anziehende Gravitation heben sich auf) gekrümmt ist?
Ich kenne neben der Minkowski-Lösung nur den Einstein-Kosmos als statisches und homogen-isotropes kosmologisches Modell; man benötigt dazu eine positive, nicht-verschwindende kosmologische Konstante.

Zunächst bedeutet statisch, dass da / dt = 0 sowie d²a / dt² = 0 gilt.

Außerdem nimmt man drucklosen Staub mit p = 0 sowie konstanter Dichte ρ = const. an. Damit folgt aus den Friedmann-Gleichungen

Λ = Gρ / 2

mit Λ > 0 wg. ρ > 0

a² = κ / Λ = 2κ / Gρ

und damit κ = 1 wg. ρ > 0.

Für den Ricci-Skalar R folgt

R = -6 κ / a² = -6Λ
Gruß
Tom

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von tomS » 26. Okt 2017, 12:29

seeker hat geschrieben:
26. Okt 2017, 00:05
Ich stimme dem zu, wollte aber auf etwas anderes hinaus:
Man kann nicht sagen, dass die Topologie des 3-Torus die Ursache der Existenz des bevorzugten Ruhesystems sei (und dieses somit Wirkung davon sei), sattdessen tritt hier beides zusammen auf, beides sind einfach Eigenschaften eines solchen Universums. (Dass WIR theoretisch das eine aus dem anderen ableiten, spielt für ein gedachtes reales Universum keine Rolle, hebt im realen Fall nicht das eine irgendwie über das andere hinaus.)
Das Besondere am Torus ist, dass das bevorzugte Ruhesystem dort wegen der Topologie identifizierbar ist, theoretisch als auch durch Messung: Die Topologie stellt die Identifizierbarkeit sicher.
Nun ist aber "Identifizierbarkeit" nicht zwingend dasselbe wie "Existenz". Hier gibt es verschiedene Meinungen und es wird philosophisch.
Ich stimme dir zu, würde das aber im Folgenden gerne ausklammern
seeker hat geschrieben:
26. Okt 2017, 00:05
Es gibt ein Gedankenexperiement (das mit B und B', das du vorgestellt hast, nennen wir es Experiment I), das aussagt, dass der ruhende B die emittierten Lichtsignale im Torusuniversum gleichzeitig wieder empfängt, der bewegte B' aber ungleichzeitig.
Wenn nun ein anderes Szenario gefunden werden könnte, wo etwas dazu Widersprüchliches herauskäme, dann könnte damit trotz der fehlerlosen Argumentation deines Experimentes immer noch eine Inkonsistenz im 3-Torus als solchem nachgewiesen werden. Ich erwarte das nicht, aber ich möchte es abklopfen.
Es wäre furchtbar, denn es würde u.a. meine Diplomarbeit entwerten 
seeker hat geschrieben:
26. Okt 2017, 00:05
Die Idee meines Experiments (nennen wir es Experiment II) ist folgende:

Ich als B' positioniere auf meiner Bewegungslinie zwei weitere Beobachter, meine Freunde F'1 und F'2 in gleichem Abstand s vor und hinter mich, relativ zu mir ruhend.
(Um das tun zu können brauche ich die Apparatur mit den Spiegeln, denn sonst könnte ich 'gleicher Abstand s' nicht bestimmen.)
Zunächst messe ich bei kleinem s nichts Besonderes: F'1 und F'2 empfangen meine Signale gleichzeitig, diese kommen auch gleichzeitig wieder zu mir zurück, der ganz normale lokale Fall. Nun vergrößere ich s aber schrittweise, bis s zuletzt genauso groß wie der Durchmesser d des Universums ist.
An diesem Punkt glaube ich (ich bin noch nicht ganz sicher) exakt dein vorgestelltes Experiment I mit B und B' zu haben.
Sicher nein: in meinem Experiment I laufen die Photonen einmal um das Universum, werden detektiert, und die Zeiten werden verglichen; in deinem Experiment II laufen die Photonen einmal um das Universum sowie wieder zurück, werden dann erst detektiert, und die Zeiten werden dann erst verglichen.

Du erhältst mein Experiment, wenn du dich sowie F‘1 und F‘2 identifizierst und die Zeiten bei der Reflexion vergleichst, nicht erst nach dem Rückweg.

Der wesentliche Punkt des Torus-Universums ist die Existenz topologisch nicht-trivialer geschlossener Wege mit Windungszahl ungleich Null. Nur Experimente, diese sensitiv für diese Windungszahl sind, können Unterschiede zum topologisch trivialen Fall wie dem Minkowski-Universum detektieren.
In ähnlicher Weise (jedoch ohne topologischen Kontext) kannst du statische Gravitationsfelder mittels Photonen nur dann nachweisen, wenn du die Rotverschiebung ausschließlich für den Hinweg bestimmst; sobald du Hin- und Rückweg zusammennimmst verschwindet die Rotverschiebung.
seeker hat geschrieben:
26. Okt 2017, 00:05
Also denke ich darüber nach, wie man das auflösen kann.
Eine meiner Voraussetzungen lautet ja z.B.: Für s=d befinden sich B', F'1 und F'2 an demselben Ort, F'1 und F'2 kann man dort daher weglassen und es ergibt sich das Experiment I für B', welches besagt, dass seine Signale ungleichzeitig wieder bei ihm ankommen. Aber ist das wirklich so, befinden sich hier F'1 und F'2 evtl. an einem anderen Ort als B'?
Ja, sie befinden sich am selben Ort, da du das durch sukzessives Verlängern der Arme gerade so geschickt aufbaust.
seeker hat geschrieben:
26. Okt 2017, 00:05
Wir müssen jedenfalls noch Lorentzkontraktion und Zeitdilatation berücksichtigen, das Universum hat für B' einen kleineren Durchmesser als für B, aus demselben Grund ist s für B stets kleiner als für B'. Aber hilft das? Die beiden Arme von mir zu F'1 und F'2 sind doch dennoch gleich lang?
Die Länge ist irrelevant; wichtig ist nur, dass sie gleich lang sind.
seeker hat geschrieben:
26. Okt 2017, 00:05
Eine weitere Möglichkeit wäre evtl., dass sich wegen der Topologie des 3-Torus auch lokal etwas ändert, aber ich sehe nicht, wie das gehen soll.
Das ist mathematisch ausgeschlossen.
seeker hat geschrieben:
26. Okt 2017, 00:05
Weiterhin muss man das "F'1 und F'2 empfangen meine Singnale gleichzeitig, diese kommen auch gleichzeitig wieder zu mir zurück, der ganz normale lokale Fall." wohl auch noch genauer anschauen, inwiefern das so ist.
Warum sollte das anders sein?

Du machst es dir zu kompliziert.

Die Topologie induziert die Existenz eines ausgezeichneten Inertialsystems. Dessen Existenz ist mittels geeigneter Experimente, die sensitiv für die topologische Struktur der Raumzeit sind, nachweisbar; mittels anderer nicht.
Gruß
Tom

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von seeker » 26. Okt 2017, 13:10

tomS hat geschrieben:
26. Okt 2017, 12:29
Sicher nein: in meinem Experiment I laufen die Photonen einmal um das Universum, werden detektiert, und die Zeiten werden verglichen; in deinem Experiment II laufen die Photonen einmal um das Universum sowie wieder zurück, werden dann erst detektiert, und die Zeiten werden dann erst verglichen.

Du erhältst mein Experiment, wenn du dich sowie F‘1 und F‘2 identifizierst und die Zeiten bei der Reflexion vergleichst, nicht erst nach dem Rückweg.
Genau das tue ich ja, ich messe ja zwei mal: F'1 und F'2 messen die Zeitpunkte der Reflektion, B' misst die Zeitpunkte der Emission und der Rückkehr.
Bei s=d ergibt sich die Besonderheit, dass alle Messungen an ein- und demselben Ort stattfinden. Deshalb entsprechen die Messungen von F'1 und F'2 dort Experiment I (dem Teil der sich auf die Messung von B' bezieht und aussagt, dass die Signale nicht zeitgleich ankommen).
Bei s<d tun sie das nicht, dort sind B', F'1 und F'2 an verschiedenen Orten. Ich erwarte, dass man dort dennoch sagen kann, dass F'1 und F'2 meine Signale stets gleichzeitig empfangen.
Ist hier vielleicht ein Fehler drin?

Nochmal:
Es sieht für mich so aus, dass für s<d F'1 und F'2 meine Signale stets gleichzeitig empfangen.
Für s=d sollte es auch so sein.
Dem widerpricht aber Experiment I, das aussagt, dass F'1 und F'2 hier meine Signale nicht gleichzeitig empfangen.
Grüße
seeker


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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von tomS » 26. Okt 2017, 13:35

Wenn du B', F1' und F2' nicht identifizieren kannst, weil sie nicht am selben Ort sitzen, dann hilft dir das recht wenig, weil du immer noch eine Rechnung benötigst, um von den gemessenen Zeiten bei F1' und F2' auf eine andere Zeit bei B' schließen zu können. Jedenfalls darfst du für nicht am selben Ort befindliche Beobachter keinesfalls von Gleichzeitigkeit ausgehen; das darfst du in der SRT nie (*)

Ich denke, es sollte zunächst ausreichen, nach Inkonsistenzen bei der Betrachtung direkt messbarer Eigenzeiten zu suchen. Berechnete Koordinatenzeiten sind einerseits nicht unbedingt direkt messbar, andererseits wissen wir, dass die notwendige Lorenztransformation sich sowieso etwas anders verhält.

Wo genau befürchtest du derartige Inkonsistenzen, die sich auf direkt beobachtbare Eigenzeiten beziehen?

Zur Berechnung: betrachte einen Beobachter B als Referenzbeobachter; du kannst aus seiner Sicht berechnen, wann sich die Weltlinien von B', F1' und F2' einerseits sowie die der beiden Photonen andererseits treffen:

B: x(t) = 0
B': x(t) = vt
F1': x(t) = s + vt
F2': x(t) = -s + vt
P1: x(t) = ct
P2: x(t) = -ct

Nun kannst du die Koordinaten sämtlicher Schnittpunkte sehr einfach berechnen. Dabei musst du immer beachten, dass du für |x| > L/2 die x-Koordinate in das Intervall [-L/2, +L/2] zurücksetzen musst (manchmal ist es einfacher, mit [0,L] zu argumentieren; ist letztlich Geschmacksache)

Wichtig ist, dass die Lorentztransformation per Konstruktion die Schnittpunkte auf der Mannigfaltigkeit invariant lässt; sie schreibt diesen lediglich unterschiedliche Koordinaten zu. D.h. insbs. dass die Lorentztransformation gleichzeitige Ereignisse in gleichzeitige Ereignisse überführt. Wenn also für zwei Ereignisse wie das Eintreffen eines Photons von rechts bei B sowie eines weiteren Photons von links bei B die Koordinaten (t1,x1) und (t2, x2) berechnet werden und wenn dabei gilt (t1,x1) = (t2, x2), dann gilt dies auch für jedes andere Bezugssystem, also (t1',x1') = (t2', x2').

Genauso verhält es sich mit Eigenzeitdifferenzen. Wenn zwischen zwei Ereignisse wie das Eintreffen eines Photons von rechts bei B' sowie eines weiteren Photons von links bei B' für B' die Eigenzeit T vergeht, dann kann diese Berechnung in jedem beliebigen Bezugssystem durchgeführt werden. Mit den Koordinaten dieser beiden Ereignisse in unterschiedlichen Bezugsystemen (t1, x1) und (t2, x2) sowie (t1',x1') und (t2', x2') folgt die invariante Eigenzeit T[(t1,x1), (t2,x2)] = T[(t1',x1'), (t2',x2')].

Ich halte es für sinnvoll, ausschließlich über derartige Ereignisse und Eigenzeitintervalle zu diskutieren. Damit vermeiden wir Missverständnisse wie
seeker hat geschrieben:
26. Okt 2017, 13:10
Es sieht für mich so aus, dass für s<d F'1 und F'2 meine Signale stets gleichzeitig empfangen.
Zum einen kannst du hier keine Eigenzeiten vergleichen und keine Eigenzeitintervalle berechnen; dies ist nur für Eigenzeiten jeweils ein und des selben Beobachters bzw. für Eigenzeitintervalle auf der selben Weltlinie definiert und sinnvoll. Und zum anderen bezieht sich damit die gedachte Gleichzeitigkeit bzgl. eines Signals bei F1' und eines anderen Signals bei F2' sicher nicht auf die Eigen- sondern auf Koordinatenzeiten; und diese Gleichzeitigkeit ist relativ, d.h. bezugsystemabhängig und nicht messbar.
Gruß
Tom

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von Timm » 26. Okt 2017, 20:55

tomS hat geschrieben:
26. Okt 2017, 10:28
Timm hat geschrieben:
25. Okt 2017, 17:15
Stimmst du zu, daß die Raumzeit in einem statischen FRW Universum (= abstoßende und anziehende Gravitation heben sich auf) gekrümmt ist?
Ich kenne neben der Minkowski-Lösung nur den Einstein-Kosmos als statisches und homogen-isotropes kosmologisches Modell; man benötigt dazu eine positive, nicht-verschwindende kosmologische Konstante.

Ich gehe davon aus, wir sind uns einig, daß die Raumzeit in einem statischen FRW Universum gekrümmt ist. Leider beantwortest du Fragen nicht direkt. Die Topologie ist ist durch die Einstein'schen Feldgleichungen bekanntlich nicht festgelegt, d.h. es kann seeker's 3-Torus. Gekrümmte Raumzeit bedeutet, daß die SRT global nicht gilt. Nach meinem Eindruck argumentierst du mit der SRT global. Ist das richtig?

Falls du mit Energiedichte Null argumentierst, google Chapter 4, "The empty universe" der Thesis von Tamara Davis. Dieses Universum ist nicht statisch. Was du "Minkowski-Lösung" nennst, ist als Milne Modell bekannt, ein Explosionszenario. Und dieses ist wie erwähnt, mit dem "empty universe" mathematisch äquivalent.

Mit anderen Worten seeker's statisches FRW Universum gibt es nicht mit globaler SRT Gültigkeit .

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von tomS » 26. Okt 2017, 22:54

Timm hat geschrieben:
26. Okt 2017, 20:55
Ich gehe davon aus, wir sind uns einig, daß die Raumzeit in einem statischen FRW Universum gekrümmt ist. Leider beantwortest du Fragen nicht direkt.
Sorry.

Für das Einstein-Universum, d.h. ein statisches FRW-Universum, gilt wie oben geschrieben κ = 1 und R < 0, d.h. es liegt eine nicht-verschwindende Krümmung vor.
Timm hat geschrieben:
26. Okt 2017, 20:55
Die Topologie ist durch die Einstein'schen Feldgleichungen bekanntlich nicht festgelegt ...
Ja, evtl. kann man seeker's 3-Torus auch für eine gekrümmte Raumzeit betrachten. Allerdings denke ich nicht, dass der 3-Torus mit räumlicher Krümmung Null mit dem Einstein-Universum mit positiver Krümmung (und wohl anderer Fundamentalgruppe) homöomorph ist. Ich kenne den 3-Torus jedenfalls nur für flache Universen.
Timm hat geschrieben:
26. Okt 2017, 20:55
Gekrümmte Raumzeit bedeutet, daß die SRT global nicht gilt. Nach meinem Eindruck argumentierst du mit der SRT global. Ist das richtig?
Ja.
Timm hat geschrieben:
26. Okt 2017, 20:55
Mit anderen Worten seeker's statisches FRW Universum gibt es nicht mit globaler SRT Gültigkeit .
Ich denke, du hast recht.

Statisch bedeutet "Einstein-Modell", und das enthält keinen 3-Torus. Und 3-Torus bedeutet "flach", aber nicht statisch sondern expandierend.

Ist es das, worauf du hinauswillst?

Nun müssen wir entscheiden, was wir diskutieren wollen: ein flaches, statisches toy-model im Rahmen der SRT, oder die ART und demzufolge nur deren erlaubte Lösungen.

Geodäten, Eigenzeiten und Zwillinge kann man in der SRT, in der ART sowie allgemein für eine Riemannsche Geometrie diskutieren. Man muss nicht voraussetzen, dass die betrachtete Geometrie eine Lösung der ART ist. Wir haben in keinem dieser Fälle irgendein Paradoxon. Wenn's nur um die Effekte der Topologie geht, dann ist das toy model ausreichend.
Gruß
Tom

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von Timm » 27. Okt 2017, 10:51

Langsam kommen wir uns näher, war etwas mühsam. :)
tomS hat geschrieben:
26. Okt 2017, 22:54
Timm hat geschrieben:
26. Okt 2017, 20:55
Die Topologie ist durch die Einstein'schen Feldgleichungen bekanntlich nicht festgelegt ...
Ja, evtl. kann man seeker's 3-Torus auch für eine gekrümmte Raumzeit betrachten. Allerdings denke ich nicht, dass der 3-Torus mit räumlicher Krümmung Null mit dem Einstein-Universum mit positiver Krümmung (und wohl anderer Fundamentalgruppe) homöomorph ist. Ich kenne den 3-Torus jedenfalls nur für flache Universen.
Man hat keine andere Wahl als für ihn eine gekrümmte RZ anzunehmen, jedenfalls nicht im FRW Kontext. Das Vorzeichen von k und auch die Topologie ergeben sich aus der Beobachtung (im Prinzip), demnach sollte FRW mit einem statischen 3-Torus konsistent sein. Die Betonung, dein letzter Satz, liegt auf räumlich flach. Es gibt hier keine Wahlmöglichkeit, denn der Torus kann durch 2 Schnitte in die Ebene abgewickelt werden.
tomS hat geschrieben:
26. Okt 2017, 22:54
Timm hat geschrieben:
26. Okt 2017, 20:55
Mit anderen Worten seeker's statisches FRW Universum gibt es nicht mit globaler SRT Gültigkeit .
Ich denke, du hast recht.

Statisch bedeutet "Einstein-Modell", und das enthält keinen 3-Torus. Und 3-Torus bedeutet "flach", aber nicht statisch sondern expandierend.

Ist es das, worauf du hinauswillst?
Ja, das wollte ich klarstellen, wobei nmM statisch nicht zwingend k=1 bedeutet, s. oben.
tomS hat geschrieben:
26. Okt 2017, 22:54
Nun müssen wir entscheiden, was wir diskutieren wollen: ein flaches, statisches toy-model im Rahmen der SRT, oder die ART und demzufolge nur deren erlaubte Lösungen.
Deine Entscheidung. Mich interessiert ein "toy-model" nicht, sofern ein solches Universum nicht ART konform ist. Das erwähnte Mine Modell mit Minkowski Raumzeit ist ART konform.

Das übliche Zwillingsparadoxon in gekrümmter Raumzeit basiert auf einem Potentialwechsel des Reisenden. @seeker's Idee ist ja gerade deshalb interessant, denn hier bewegt sich der Reisende auf Extremalgeodäten (in der 2-Analogie auf Längen- bzw. Breitenkreisen des Torus) und kehrt bei konstantem Potential zum Ausgangspunkt zurück.
Nun zum Verlauf der Zeit. Für beliebige mitbewegte Beobachter vergeht die Eigenzeit gleich schnell. Unser ruhender Zwilling ist mitbewegt (Definition s. weiter oben im Thread). Die spannende Frage ist nun doch die nach der Eigenzeit des reisenden Zwillings. In einem statischen Universum enthält der Energie-Impuls-Tensor Komponenten, die für einen bewegten Körper <> 0 sind (für den ruhenden sind alle 0), ein weiterer Unterschied zwischen ruhend und bewegt . Ich bin gerade erst zurückt und hatte keine Gelegenheit, mir das näher anzuschauen. Meine intuitive Vorstellung hatte ich schon genannt*. Ideen zur Eigenzeit des reisenden Zwillings?

* Qualitativ scheint klar zu sein, daß die kürzeste Geodäte (die des ruhenden Zwillings) diejenige der maximalen Eigenzeit ist.

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von Timm » 27. Okt 2017, 22:52

Du hast dir da etwas ziemlich exotisches ausgesucht, seeker. Es gibt nicht viel dazu. Das hier kann immerhin als Lebenszeichen gelten, wenn es auch nicht viel weiter hilft:

https://books.google.de/books?id=4pgrDg ... us&f=false

Offensichtlich nicht toy, sondern true physics.

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von Skeltek » 28. Okt 2017, 04:50

Überlege gerade ob es irgendeinen Sinn macht, dem Universum überhaupt eine 'Form' wie einen Donut oder ähnliches zu geben - würde das nicht implizieren, dass es eine Relation oder Verbindung abseits der 'normalen direkten inner-universums Strecke' gibt?
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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von tomS » 28. Okt 2017, 08:55

Timm hat geschrieben:
27. Okt 2017, 10:51
tomS hat geschrieben:
26. Okt 2017, 22:54
Nun müssen wir entscheiden, was wir diskutieren wollen: ein flaches, statisches toy-model im Rahmen der SRT, oder die ART und demzufolge nur deren erlaubte Lösungen.
Deine Entscheidung. Mich interessiert ein "toy-model" nicht, sofern ein solches Universum nicht ART konform ist. Das erwähnte Mine Modell mit Minkowski Raumzeit ist ART konform.
Nun, der spannende und neue Punkt bei seekers Fragestellung ist doch die nicht-triviale Topologie; deren Effekte gilt es zu untersuchen.

Dass eine statische Raumzeit vorliegt hilft dabei insofern, als man keine zusätzlichen Effekte der Expansion berücksichtigen muss, die man nicht sauber separieren kann. Z.B. besteht keine Symmetrie zwischen Hinweg und zeitversetztem Rückweg. Deshalb bevorzuge ich den statischen Kontext.

Ich verzichte jedoch gerne darauf, dass das untersuchte Modell eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen ist. Ich möchte stattdessen allgemeingültige Aussagen ableiten, die für die Klasse aller statischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten zutreffen, unabhängig davon, ob es sich um Lösungen der ART handelt oder nicht.

Timm hat geschrieben:
27. Okt 2017, 10:51
Die spannende Frage ist nun doch die nach der Eigenzeit des reisenden Zwillings. In einem statischen Universum enthält der Energie-Impuls-Tensor Komponenten, die für einen bewegten Körper <> 0 sind (für den ruhenden sind alle 0), ein weiterer Unterschied zwischen ruhend und bewegt .
Wenn alle Komponenten gleich Null sind, dann ist der Energie-Impuls-Tensor identisch Null, und er bleibt es auch unter lokalen Lorentztransformationen. Außerdem tritt der Energie-Impuls-Tensor bei der Berechnung der Eigenzeiten überhaupt nicht auf. Hier verstehe ich nicht, was du meinst.
Timm hat geschrieben:
27. Okt 2017, 10:51
Qualitativ scheint klar zu sein, daß die kürzeste Geodäte (die des ruhenden Zwillings) diejenige der maximalen Eigenzeit ist.
Wieso nur qualitativ?
Gruß
Tom

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von tomS » 28. Okt 2017, 09:02

Skeltek hat geschrieben:
28. Okt 2017, 04:50
Überlege gerade ob es irgendeinen Sinn macht, dem Universum überhaupt eine 'Form' wie einen Donut oder ähnliches zu geben - würde das nicht implizieren, dass es eine Relation oder Verbindung abseits der 'normalen direkten inner-universums Strecke' gibt?
Das ist eine recht simple Idee. Die ART legt eine Geometrie immer nur lokal fest. Man kann nun überlegen, welche Topologien mit einer gegebenen Geometrie verträglich sind. Bsp. flache Raumzeit: zulässig sind R * R³ und R * T³; nicht zulässig ist z.B. R * S³ (dabei steht das erste R für die reelle Zahlengerade der Zeit; die erste Lösung ist der flache Minkowskiraum, der zweite der 3-Torus; der Fall der 3-Sphäre ist nicht verträglich mit der Flachheit).

Da die Topologie auch die erlaubten Schwingungsmuster festlegt führt das zu Effekten in den Spektren primordialer Gravitationswellen, die man direkt oder indirekt untersuchen möchte.
Gruß
Tom

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von Timm » 28. Okt 2017, 10:28

tomS hat geschrieben:
28. Okt 2017, 08:55
Ich verzichte jedoch gerne darauf, dass das untersuchte Modell eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen ist. Ich möchte stattdessen allgemeingültige Aussagen ableiten, die für die Klasse aller statischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten zutreffen, unabhängig davon, ob es sich um Lösungen der ART handelt oder nicht.
Hört sich ehrgeizig an. Aber ja, sicherlich auch interessant, wenn man auf diesem Feld bewandert ist.

tomS hat geschrieben:
28. Okt 2017, 08:55

Wenn alle Komponenten gleich Null sind, dann ist der Energie-Impuls-Tensor identisch Null, und er bleibt es auch unter lokalen Lorentztransformationen. Außerdem tritt der Energie-Impuls-Tensor bei der Berechnung der Eigenzeiten überhaupt nicht auf. Hier verstehe ich nicht, was du meinst.
Ja, das hat keinen Bezug zur Eigenzeit, wäre ein anderes Thema im Kontext statisches FRW Modell.

tomS hat geschrieben:
28. Okt 2017, 08:55
Timm hat geschrieben:
27. Okt 2017, 10:51
Qualitativ scheint klar zu sein, daß die kürzeste Geodäte (die des ruhenden Zwillings) diejenige der maximalen Eigenzeit ist.
Wieso nur qualitativ?
Weil seeker's Frage
seeker hat geschrieben:
20. Okt 2017, 18:59

Die Frage ist zunächst einmal:
Wenn sich die Zwillinge wieder treffen (nach meinem dargestellten Szenario), gibt es genau drei Möglichkeiten:

a) A ist älter als B
b) B ist älter als A
c) A und B sind gleich alt

Was trifft zu? Und ist die Antwort eindeutig oder mehrdeutig (= paradox)?
qualitativer Natur ist und damit qualitativ geklärt wäre.

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von tomS » 28. Okt 2017, 12:49

Timm hat geschrieben:
28. Okt 2017, 10:28
tomS hat geschrieben:
28. Okt 2017, 08:55
Ich verzichte jedoch gerne darauf, dass das untersuchte Modell eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen ist. Ich möchte stattdessen allgemeingültige Aussagen ableiten, die für die Klasse aller statischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten zutreffen, unabhängig davon, ob es sich um Lösungen der ART handelt oder nicht.
Hört sich ehrgeizig an. Aber ja, sicherlich auch interessant, wenn man auf diesem Feld bewandert ist.
Für statische Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist das überschaubar. Die Komplexität steckt in der Topologie, nicht in der speziellen Klasse der Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen. Für nicht-statische Mannigfaltigkeiten ist das sehr aufwändig.
Timm hat geschrieben:
28. Okt 2017, 10:28
tomS hat geschrieben:
28. Okt 2017, 08:55
Timm hat geschrieben:
27. Okt 2017, 10:51
Qualitativ scheint klar zu sein, daß die kürzeste Geodäte (die des ruhenden Zwillings) diejenige der maximalen Eigenzeit ist.
Wieso nur qualitativ?
Weil seeker's Frage
seeker hat geschrieben:
20. Okt 2017, 18:59

Die Frage ist zunächst einmal:
Wenn sich die Zwillinge wieder treffen (nach meinem dargestellten Szenario), gibt es genau drei Möglichkeiten:

a) A ist älter als B
b) B ist älter als A
c) A und B sind gleich alt

Was trifft zu? Und ist die Antwort eindeutig oder mehrdeutig (= paradox)?
qualitativer Natur ist und damit qualitativ geklärt wäre.
Aber es scheint nicht nur qualitativ klar zu sein, daß die kürzeste Geodäte diejenige der maximalen Eigenzeit ist, es ist sicher quantitativ so, da 'Länge der Weltlinie' sowie 'Eigenzeit entlang der Weltlinie' mathematisch identisch sind.
Gruß
Tom

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von Timm » 30. Okt 2017, 10:19

tomS hat geschrieben:
26. Okt 2017, 22:54
Statisch bedeutet "Einstein-Modell", und das enthält keinen 3-Torus. Und 3-Torus bedeutet "flach", aber nicht statisch sondern expandierend.
Gut auf den Punkt gebracht. Genauso ist es, ich habe mich mittlerweile anderswo vergewissert.

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von seeker » 31. Okt 2017, 12:07

tomS hat geschrieben:
26. Okt 2017, 13:35
Wenn du B', F1' und F2' nicht identifizieren kannst, weil sie nicht am selben Ort sitzen, dann hilft dir das recht wenig, weil du immer noch eine Rechnung benötigst, um von den gemessenen Zeiten bei F1' und F2' auf eine andere Zeit bei B' schließen zu können. Jedenfalls darfst du für nicht am selben Ort befindliche Beobachter keinesfalls von Gleichzeitigkeit ausgehen; das darfst du in der SRT nie (*)

Ich denke, es sollte zunächst ausreichen, nach Inkonsistenzen bei der Betrachtung direkt messbarer Eigenzeiten zu suchen. Berechnete Koordinatenzeiten sind einerseits nicht unbedingt direkt messbar, andererseits wissen wir, dass die notwendige Lorenztransformation sich sowieso etwas anders verhält.

Wo genau befürchtest du derartige Inkonsistenzen, die sich auf direkt beobachtbare Eigenzeiten beziehen?
Ok. Ich möchte das nur noch besser verstehen und ich möchte das nicht ausklammern, nur weil ich dafür ne Rechnung benötige.
Zunächst können wir das Problem vereinfachen, denn wir müssen für das Szenario nur Beobachter berücksichtigen, die sich auf der Linie befinden, die durch B und B' definiert ist.
Dann ist mir noch eingefallen, dass wir die Relativgeschwindigkeit von B zu B' (plus F'1/F'2) beliebig klein machen können ohne das Experiment prinzipiell zu verändern (man muss dann nur sehr lange warten).
Damit werden auch die Effekte der Zeitdilatation und Lorentzkontraktion beliebig klein. Ich bin mir aber noch nicht sicher ob das hilft, weil die Beobachtungszeit dann entsprechend groß wird, womit auch winzige Effekte vergrößert werden. Ich weiß daher im Moment nicht, ob man lieber ein Szenario mit sehr kleiner Relativgeschwindigkeit zwischen B und B' betrachten sollte oder nicht.

Ich möchte jedenfalls die beiden Szenarien "lokal" und "global" hier besser zusammenbringen und dabei gerne auch von relativistisch großen V zwischen B und B' ausgehen:
tomS hat geschrieben:
26. Okt 2017, 13:35
seeker hat geschrieben:Es sieht für mich so aus, dass für s<d F'1 und F'2 meine Signale stets gleichzeitig empfangen.
Zum einen kannst du hier keine Eigenzeiten vergleichen und keine Eigenzeitintervalle berechnen; dies ist nur für Eigenzeiten jeweils ein und des selben Beobachters bzw. für Eigenzeitintervalle auf der selben Weltlinie definiert und sinnvoll. Und zum anderen bezieht sich damit die gedachte Gleichzeitigkeit bzgl. eines Signals bei F1' und eines anderen Signals bei F2' sicher nicht auf die Eigen- sondern auf Koordinatenzeiten; und diese Gleichzeitigkeit ist relativ, d.h. bezugsystemabhängig und nicht messbar.
Nun ja, jedoch hat B' seine Freunde an den beiden Spiegeln ja gerade genau so angebracht, dass sie aus seiner Sicht gleich weit von ihm entfernt sind, nämlich die Entfernung c*t von ihm haben. Das ist in Übereinstimmung damit, dass die an den Spiegeln reflektierten Signale auch immer gleichzeitig wieder zurück kommen. Er schließt daraus, dass die Signale auch gleichzeitig bei F'1 und F'2 reflektiert wurden. Er kann sogar zweiter Weg-Experimente durchführen, um das abzuklopfen. Er weiß m. E. trotz allem nicht genau, ob ihm das nur so scheint, dass F'1 und F'2 gleich weit von ihm entfernt sind und die Signale gleichzeitig empfangen oder ob es tatsächlich, in einem absoluten (bzw. globalen) Sinne so ist.

Wir nehmen ja an, dass B relativ zum Raum ruhend ist und im 3-Torus daher ein bevorzugtes Bezugssystem einnimmt.
Wenn ich nun frage: Wie sieht das Experiment von B' aus Sicht von B aus?
Haben wir dort nicht genau das bekannte Zug-Gedankenexperiment?
https://de.wikipedia.org/wiki/Relativit ... .A4uterung
D.h. für B kommen die beiden Signale nicht zeitgleich bei F'1 und F'2 an.
Und das unabhängig von den Entfernungen s zwischen B' und F'1/F'2.

Wenn nun B' die Entfernungen (Armlängen) s genaus groß macht wie den Durchmesser d des Universums, dann kommen die Lichtsignale auch für B' feststellbar nicht zeitgleich bei F'1 und F'2 an. Nur an dem Punkt kann auch B' erkennen, dass es so ist, womit sich alle möglichen Widersprüche auflösen: Lokal und Global gehen konform.

Ich würde dann so argumentieren:

Bei B ist das was scheint und das was wirklich Sache ist dasselbe, für B' nicht, wenn s ≠ d.
B' rechnet für s ≠ d nur das aus, was ihm scheint, was auch im Einklang mit seinen Informationen ist, die aber unvollständig sind, da er nicht direkt weiß, was wann bei F'1 und F'2 geschieht.
Das Licht bewegt sich relativ zum ruhenden Raum mit einer absoluten Geschwindigkeit. Dass das gemessene c dennoch auch bei Relativbewegungen zum ruhenden Raum immer noch mit einem unveränderten Wert isotrop gemessen wird, ist nur etwas, das dem Beobachter aufgrund seiner Bewegung durch die Raumzeit so scheint.
Das wäre jedenfalls die globale Perspektive in einem 3-Torus.

Kann man das so stehen lassen?
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

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