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Zwillingsparadoxon und Topologie

Themen zur Kosmologie, Urknall, inflationärer Kosmologie, Expansion, Entwicklung und Zukunft des Universums
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Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von seeker » 20. Okt 2017, 17:29

Das Zwillingsparadoxon der SRT ist ja bekannt:
https://de.wikipedia.org/wiki/Zwillingsparadoxon

Wie man sieht ist das Zwillingsparadoxon kein echtes Paradoxon; zunächst...

Ich hatte nun folgenden Gedankengang:

Nehmen wir ein räumlich endliches Universum an.
Nehmen wir z.B. der Einfachheit halber ein flaches, geschlossenes, statisches Universum. Diese Topologie ist wohl ein Hypertorus.
Und sie funktioniert ja, wenn ich es noch recht weiß, ähnlich wie das alte Arcade-Comuterspiel "Asteroids":

Bild

...wenn man den linken Bildschirmrand mit dem Raumschiff überquert kommt man am rechten Bildschirmrand wieder hinein, wenn man oben rausfliegt, kommt man unten wieder rein - und umgekehrt.

Ich baue in so einem Universum ein Zwillingsparadoxon-Szenario auf:

Nehmen wir an dieses Universum hätte zwei Beobachter A und B (Zwillinge), die sich relativ zueinander unbeschleunigt mit relativistischer Geschwindigkeit bewegen. Ansonsten sei es ziemlich leer und hätte aus Sicht der beiden Beobachter einen Durchmesser von 10 Lichtjahren.
Zum Zeitpunkt t1 = 0 tangieren sich A und B (sind also praktisch am selben Ort zur selben Zeit) und entfernen sich dann wieder voneinander.
Wir legen fest, dass wir A als ruhend betrachten. B entfernt sich also mit z.B. mit 90% Lichtgeschwindigkeit von A, durchquert das gesamte Universum und kommt wegen der Topologie von der anderen Seite wieder an A heran, zum Zeitpunkt t1 tangieren/treffen sich die beiden wieder, sind also wieder an denselben Raum-Zeitkoordinaten (alles auch ganz ohne Beschleunigungen).

Aus Sicht von A hat das 11 Jahre gedauert, B erfährt aber eine Zeitdilatation, deshalb hat es für ihn weniger Zeit gebraucht, auf seiner Uhr sind weniger als 11 Jahre vergangen.
Daher ist zum Zeitpunkt t2 B jünger als A.

Umgekehrt können wie aber auch B als ruhend betrachten und A als reisend.
In dem Fall ergibt sich das Umgekehrte: Für B liegen 11 Jahre zwischen t1 und t2, für A hat es weniger lang gedauert.
Daher ist zum Zeitpunkt t2 B älter als A.

Das sieht für mich nach einem echten Paradoxon aus! Ist das so?

Denn falls ja, kann man über gewisse Schlussfolgerungen daraus nachdenken, z.B. denke ich darüber nach, ob um dieses Paradoxon zu vermeiden, um die Kausalität nicht zu verletzen, das Universum nicht unendlich ausgedehnt sein muss, denn in dem Fall ergibt sich das Paradoxon nicht, da eine "Umrundung" dann nicht möglich ist.
Es gibt wohl weitere Möglichkeiten um das Paradoxon auch in endlichen Universen zu vermeiden, diese erscheinen mir aber auf den ersten Blick eher abstrus oder unwahrscheinlich.
Das möchte ich auch noch etwas zurückstellen.

Zunächst möchte ich besprechen, ob das Paradoxon, so wie im obigen Beispiel geschildert, tatsächlich besteht, echt ist?
Was meint ihr?
Grüße
seeker


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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von positronium » 20. Okt 2017, 18:20

Ich sehe keinen wesentlichen Unterschied zwischen einer Rundreise in einem offenen oder einem geschlossenen Universum. Nur fällt beim geschlossenen die Beschleunigung weg.
Die Berechnung würde ich vom Prinzip her genau so machen, wie es Tom in seinem oft verlinkten Beitrag im Physikerboard beschreibt.

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von Gepakulix » 20. Okt 2017, 18:50

seeker hat geschrieben:
20. Okt 2017, 17:29
Universum ... hätte aus Sicht der beiden Beobachter einen Durchmesser von 10 Lichtjahren.
Ich bin nicht sicher, ob das moeglich ist: Eine abgesteckte Strecke hat normalerweise fuer zwei Beobachter nicht dieselbe Länge, wenn die Beobachter zueinander bewegt sind und sich parallel zur Messstrecke bewegen.

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von seeker » 20. Okt 2017, 18:59

Die Beschleunigung kannst du auch so wegbekommen, kein Problem:
https://de.wikipedia.org/wiki/Zwillings ... ungsphasen

Auch hier ist das Paradoxon im dort besprochenen Fall aufgelöst, nach dem hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Zwillings ... adoxon.png

...das funktioniert aber nicht mehr, wenn du eine Rundreise durchs Universum machen kannst, nach vorne weg und von hinten wiederkommen, ohne Umkehrpunkt in dem Sinne, wie im obigen Schaubild.

Stattdessen bekommst du so etwas in der Art hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Zeitdilat ... enzeit.svg

...nur dass die Linien oben das Blatt verlassen können und dann von unten her weitergehen können und sich dann nochmals schneiden können.

Die Frage ist zunächst einmal:
Wenn sich die Zwillinge wieder treffen (nach meinem dargestellten Szenario), gibt es genau drei Möglichkeiten:

a) A ist älter als B
b) B ist älter als A
c) A und B sind gleich alt

Was trifft zu? Und ist die Antwort eindeutig oder mehrdeutig (= paradox)?
Grüße
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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von seeker » 20. Okt 2017, 19:03

Gepakulix hat geschrieben:
20. Okt 2017, 18:50
Ich bin nicht sicher, ob das moeglich ist: Eine abgesteckte Strecke hat normalerweise fuer zwei Beobachter nicht dieselbe Länge, wenn die Beobachter zueinander bewegt sind und sich parallel zur Messstrecke bewegen.
Der Durchmesser des Universums und somit die zu durchreisende Strecke ist für A und B gleich: 10 Lichtjahre.
Sie können das beide messen, indem sie einen Lichtpuls nach vorne schicken und messen wie lange es dauert bis er von hinten wieder bei ihnen eingetroffen ist.
Grüße
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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von Analytiker » 20. Okt 2017, 19:15

Das Zwillingsparadoxon beschreibt einen scheinbaren Widerspruch. Ein scheinbarer Widerspruch ist kein echter Widerspruch. Es gibt keine absolute Gleichzeitigkeit. Beobachter, sie sich mit konstanter Geschwindigkeit gegeneinander bewegen, sind völlig gleichberechtigt.

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von positronium » 20. Okt 2017, 19:20

Meine Sichtweise ist ganz einfach und intuitiv:
- Wenn sich A bewegt, und B ruht, geht die Uhr von B vor.
- Wenn sich B bewegt, und A ruht, geht die Uhr von A vor.
- Wenn sich A und B mit gleicher Geschwindigkeit bewegen, gehen beide Uhren gleich.
Für mich ist ein sich bewegendes Objekt anders als ein ruhendes, und man kann nicht jede Eigenschaft ohne weiteres einem Relativitätsprinzip unterwerfen - es ist also nicht möglich, einfach einen Beobachter als absolut ruhend anzunehmen, wenn er sich relativ zum Hintergrund (Raum, Koordinaten, oder wie man das bezeichnen will) bewegt.

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von Gepakulix » 20. Okt 2017, 19:29

seeker hat geschrieben:
20. Okt 2017, 19:03
Der Durchmesser des Universums und somit die zu durchreisende Strecke ist für A und B gleich: 10 Lichtjahre.
Hier meine Sichtweise, weshalb das unmöglich ist. Dazu muss ich 3 Annahmen treffen:
- Die Beobachter wissen nicht, wo die Grenze ist (also der linke beziehungsweise rechte Rand des Universum-Modells)
- In diesem Universum gilt auch die RT
- etwa im Abstand von 5 Lichtjahren (sichtweise von Beobachter 1) sind 2 Sonnen. Dieser erste Beobachter ist bei der Sonne 1. Er sieht also die andere Sonne 2 mal (links und rechts, jeweils im Abstand von 5 Lichtjahren).

Nach RT ergibt die Längenmessung von einer beliebigen Distanz (hier z.B. Abstand der beiden Sonnen, welches auch die Hälfte des Universums ist) unterschiedliche Resultate bei Beobachtern, die zueinander bewegt sind.
Es ist also unmöglich, dass der 2te Beobachter den Sonnenabstand auch als 5 Lichtjahre bezeichnet.

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von seeker » 20. Okt 2017, 19:30

Analytiker hat geschrieben:
20. Okt 2017, 19:15
Das Zwillingsparadoxon beschreibt einen scheinbaren Widerspruch.
Ja, allerdings ohne Berücksichtigung der Topologie des Universums. Und darauf zielt ja meine Frage, ob sich dann in bestimmten Fällen ein echter Widerspruch ergeben kann.
Analytiker hat geschrieben:
20. Okt 2017, 19:15
Es gibt keine absolute Gleichzeitigkeit.
Doch! Nämlich zu den Zeitpunkten t1 und t2, wenn sich A und B an denselben RZ-Koordinaten befinden.
Analytiker hat geschrieben:Beobachter, sie sich mit konstanter Geschwindigkeit gegeneinander bewegen, sind völlig gleichberechtigt.
Das ist das Problem.
positronium hat geschrieben:
20. Okt 2017, 19:20
Meine Sichtweise ist ganz einfach und intuitiv:
...
es ist also nicht möglich, einfach einen Beobachter als absolut ruhend anzunehmen, wenn er sich relativ zum Hintergrund (Raum, Koordinaten, oder wie man das bezeichnen will) bewegt.
... darin liegt ja gerade das Problem: Wenn du das tust, nimmst du an, es gäbe so etwas wie ein bevorzugtes BS, so etwas wie eine absolute Geschwindigkeit.
Das könnte auch eine Konsequenz sein, aber keine schöne, das würde ein Grundprinzip der RT infrage stellen...
Grüße
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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von positronium » 20. Okt 2017, 19:55

Nebenbei bemerkt: Man darf hier m.M.n. nicht in Form von Minkowski-Diagrammen denken, weil das Kippen der Ebene der Gleichzeitigkeit in einem geschlossenen Universum nicht möglich ist.

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von Analytiker » 20. Okt 2017, 20:01

seeker hat geschrieben:
20. Okt 2017, 19:30
Analytiker hat geschrieben:
20. Okt 2017, 19:15
Es gibt keine absolute Gleichzeitigkeit.
Doch! Nämlich zu den Zeitpunkten t1 und t2, wenn sich A und B an denselben RZ-Koordinaten befinden.
Absolute Gleichzeitigkeit kann es nur bei unendlicher Lichtgeschwindigkeit geben. Die Spezielle Relativitätstheorie ist eine Konsequenz der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von FKM » 20. Okt 2017, 20:25

Genau dieses Thema wurde schon mal in "paradoxes Paradoxon" diskutiert, ab Beitrag viewtopic.php?p=40101#p40101.

Das dort in einem Beitrag verlinkte Papier https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0101014v1.pdf habe ich so verstanden, dass in einem statischen Torus-Universum geschlossene zeitartige Kurven existieren. Auch wenn unser reales Universum eine Torus-Topologie hätte, wäre eine Rundreise aber ausgeschlossen, wenn es sich gemäß dem Hubble-Gesetz endlos ausdehnt.

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von tomS » 21. Okt 2017, 00:46

Ich denke wohl zu sehr in meinem Ansatz; dieser vermeidet das Paradoxon einfach dadurch, dass es nicht einmal formulierbar ist. Gegeben sind zwei Weltlinien, die sich ggf. mehrfach treffen. Entlang jeder Weltlinie ist deren verallgemeinerte Länge = der jeweiligen Eigenzeit definiert. An jedem Treffpunkt werden die Eigenzeiten verglichen; sie können natürlich unterschiedlich sein.

Der wesentliche Punkt ist, dass die physikalisch messbaren Eigenzeiten nur auf den Weltlinien überhaupt definiert sind; sie sind als Eigenzeiten nicht auf den Rest der Raumzeit fortsetzbar. Ich sehe nicht, wie damit ein Paradoxon formuliert werden kann.

@seeker: so wie ich dich verstehe, gehst du das Problem über Koordinatenzeiten an; dabei handelt es sich jedoch um rein theoretische Konstrukte, nicht um direkt messbare Größen.

EDIT: Ich gebe dir recht, wenn die Argumentation mittels Koordinatenzeiten zu anderen Ergebnissen führen würde als die mittels Eigenzeiten, dann hätten wir ein Konsistenzproblem. Nun kann man die Eigenzeiten lokal ohne Probleme zu Koordinatenzeiten in Beziehung setzen; global istbdas nicht sofort offensichtlich. Es ist jedoch auch nicht offensichtlich, dass global überhaupt die bekannte Lorentzinvarianz vorliegt; diese wird durch die Kompaktifizierung des Raumes sicher modifiziert.
Gruß
Tom

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von tomS » 21. Okt 2017, 08:13

FKM hat geschrieben:
20. Okt 2017, 20:25
Das dort in einem Beitrag verlinkte Papier https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0101014v1.pdf habe ich so verstanden, dass in einem statischen Torus-Universum geschlossene zeitartige Kurven existieren. Auch wenn unser reales Universum eine Torus-Topologie hätte, wäre eine Rundreise aber ausgeschlossen, wenn es sich gemäß dem Hubble-Gesetz endlos ausdehnt.
Es gibt keine geschlossenen zeitartigen Kurven; die Topologie is R * M, also,ist der Raum global hyperbolisch.
Gruß
Tom

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von FKM » 21. Okt 2017, 12:48

tomS hat geschrieben:
21. Okt 2017, 08:13
FKM hat geschrieben:
20. Okt 2017, 20:25
Das dort in einem Beitrag verlinkte Papier https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0101014v1.pdf habe ich so verstanden, dass in einem statischen Torus-Universum geschlossene zeitartige Kurven existieren. Auch wenn unser reales Universum eine Torus-Topologie hätte, wäre eine Rundreise aber ausgeschlossen, wenn es sich gemäß dem Hubble-Gesetz endlos ausdehnt.
Es gibt keine geschlossenen zeitartigen Kurven; die Topologie is R * M, also,ist der Raum global hyperbolisch.
Warum oder was bedeutet hier: der Raum ist global hyperbolisch? Ich verstehe es nicht, wenn ich die Definition aus der Wikipedia vergleiche: https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbolischer_Raum
In der Diskussion geht es doch um ein "flaches, geschlossenes, statisches Universum. Diese Topologie ist wohl ein Hypertorus."?
tomS hat geschrieben:
21. Okt 2017, 08:13
Der wesentliche Punkt ist, dass die physikalisch messbaren Eigenzeiten nur auf den Weltlinien überhaupt definiert sind; sie sind als Eigenzeiten nicht auf den Rest der Raumzeit fortsetzbar. Ich sehe nicht, wie damit ein Paradoxon formuliert werden kann.

@seeker: so wie ich dich verstehe, gehst du das Problem über Koordinatenzeiten an; dabei handelt es sich jedoch um rein theoretische Konstrukte, nicht um direkt messbare Größen.

EDIT: Ich gebe dir recht, wenn die Argumentation mittels Koordinatenzeiten zu anderen Ergebnissen führen würde als die mittels Eigenzeiten, dann hätten wir ein Konsistenzproblem. Nun kann man die Eigenzeiten lokal ohne Probleme zu Koordinatenzeiten in Beziehung setzen; global istbdas nicht sofort offensichtlich.
Ich gebe zu, dass ich auch eher in Koordinatenzeiten denke. Aber man muss doch berechnen können, zu welchem Raum-Zeit-Punkt A und B sich wieder treffen? Man könnte sich noch denken, dass A und B sich ständig Lichtsignale in beiden Richtungen austauschen. Nach den "rückwärts" ausgesandten Signalen nehmen A und B gegenseitig an, dass sie langsamer altern, nach den "vorwärts" ausgesandten würden sie aber schneller altern. In dem klassischen Zwillingsparadoxon der SRT, wo ein Zwilling mindestens 1 mal die Richtung ändert, geht die Rechnung genau auf (vergleiche https://de.wikipedia.org/wiki/Zeitdilat ... tZwill.svg), in dem Torus-Modell kommt es zum Paradox.
tomS hat geschrieben:
21. Okt 2017, 08:13
Es ist jedoch auch nicht offensichtlich, dass global überhaupt die bekannte Lorentzinvarianz vorliegt; diese wird durch die Kompaktifizierung des Raumes sicher modifiziert.
Das wäre eine Lösung, kannst du das erklären? Oder gibt es einen Link zu einem Artikel, der sich damit beschäftigt hat?

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von seeker » 21. Okt 2017, 13:58

Ich habe in das Paper reingeschaut, dort steht:
The twin paradox shows that the compact topology
identifies a preferred frame, namely the frame in which
the length along a given side is shortest, a point empha-
sized in Refs.
...
Multiconnected cosmologies challenge the Copernican Principle.
A compact topology selects a preferred place and a pre-
ferred time so that some galaxy, if not our own, is at the center of the universe.
Some observers are also uniquely
able to synchronize their clocks and observe the smallest volume for the universe.
https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0101014v1.pdf

Ich verstehe bei weitem nicht alles in dem Paper, aber DAS ist starker Tobak, da steht doch nichts anderes, als dass in räumlich endlichen Universen ein ausgezeichnetes Bezugssystem existiert!! Oder?
Ich verstehe allerdings noch nicht, wie das gehen soll.
tomS hat geschrieben:
21. Okt 2017, 00:46
Ich denke wohl zu sehr in meinem Ansatz; dieser vermeidet das Paradoxon einfach dadurch, dass es nicht einmal formulierbar ist.
Was würde das für meine Frage bedeuten?
seeker hat geschrieben:
20. Okt 2017, 18:59
Wenn sich die Zwillinge wieder treffen (nach meinem dargestellten Szenario), gibt es genau drei Möglichkeiten:

a) A ist älter als B
b) B ist älter als A
c) A und B sind gleich alt

Was trifft zu? Und ist die Antwort eindeutig oder mehrdeutig (= paradox)?
Ich glaube, damit sagst du nur:

d) die Frage ist nicht beantwortbar

In dem skizzierten Universum ist das Szenario aber real durchführbar, d.h. es muss eine Lösung existieren - es sei denn, dass ein solches Universum nicht existieren kann.
tomS hat geschrieben:
21. Okt 2017, 00:46
@seeker: so wie ich dich verstehe, gehst du das Problem über Koordinatenzeiten an; dabei handelt es sich jedoch um rein theoretische Konstrukte, nicht um direkt messbare Größen.

EDIT: Ich gebe dir recht, wenn die Argumentation mittels Koordinatenzeiten zu anderen Ergebnissen führen würde als die mittels Eigenzeiten, dann hätten wir ein Konsistenzproblem. Nun kann man die Eigenzeiten lokal ohne Probleme zu Koordinatenzeiten in Beziehung setzen; global istbdas nicht sofort offensichtlich. Es ist jedoch auch nicht offensichtlich, dass global überhaupt die bekannte Lorentzinvarianz vorliegt; diese wird durch die Kompaktifizierung des Raumes sicher modifiziert.
Ich gehe das Problem rein darüber an, was messbar ist.
Das die Lorenzinvarianz hier nicht mehr gilt, könnte sein, die Antwort auf meine Frage wäre dann evtl.: c) A und B sind gleich alt

Das wäre aber auch widersprüchlich, denn lokal gilt die Zeitdilatation nachweislich und wie sollte sie sich global anders ergeben als als Summe der lokalen Dilatationen?

Wir können dazu ein modifiziertes Gedankenexperiment betrachten:


Nehmen wir an dieses nichtexpandierende, flache, endliche Universum hätte zwei Beobachter A und B (Zwillinge), die sich relativ zueinander unbeschleunigt mit relativistischer Geschwindigkeit bewegen. Ansonsten sei es ziemlich leer und hätte aus Sicht der beiden Beobachter einen Durchmesser von 10 Lichtjahren (messbar in dem die Beobachter Lichtsignale losschicken und warten, bis sie von der anderen Seite wieder zurückkommen).
Zum Zeitpunkt t1 = 0 tangieren sich A und B (sind also praktisch am selben Ort zur selben Zeit, hier synchronisieren sie ihre Uhren) und entfernen sich dann wieder voneinander.
Wir legen fest, dass wir A als ruhend betrachten. B entfernt sich also mit z.B. mit 90% Lichtgeschwindigkeit von A, durchquert das gesamte Universum und kommt wegen der Topologie von der anderen Seite wieder an A heran, zum Zeitpunkt t1 tangieren/treffen sich die beiden wieder, sind also wieder an denselben Raum-Zeitkoordinaten (und vergleichen hier ihre Uhren, alles auch ganz ohne Beschleunigungen).

Das ist mein ursprüngliches Szenario, nun kommt die Modifikation:

Zusätzlich gibt es auf dem Weg den B durcheilt Bojen, die aus der Sicht von A in einer Linie stationär im Abstand zueinander alle 1 Lichtjahre von ihm und voneinander entfernt sind.
Diese Bojen bilden also sozusagen ein einen Perlenketten-Ring durch das gesamte Universum um A: 1 Lj entfernt (nach vorne), 2 Lj entfernt (nach vorne), ..., 5 Lj entfernt, 4 Lj entfernt (nach hinten), ..., 1 Lj entfernt (nach hinten).
Es sind 9 Bojen, mit A zusammen wird das Universum dadurch durch 10 Objekte in 10 Segmente unterteilt.
B durchfliegt diesen Weg mit fast Lichtgeschwindigkeit relativ zu A und den Bojen, er wird stets feststellen, dass er für ein Segment weniger als 1 Jahr Eigenzeit braucht und auch dass die nächste Boje immer weniger als 1 Lj zur übernächsten Boje entfernt steht.
Damit ist sichergestellt, dass B für einen kompletten Rundweg A->Boje 1->Boje 2->...Boje 9->A 10x die Zeit für ein einzelnes Segment benötigt, also insgesamt weniger als 10 Jahre, womit für meine Frage gelten würde: a) A ist älter als B

Das ist schon deshalb widersprüchlich, weil er gleichzeitig messen kann, dass ein nach vorne losgeschicktes Lichtsignal eine längere Zeit für eine Umrundung braucht bis er es von hinten kommen wieder detektiert, nämlich 10 Jahre (s.o.), womit er zum Schluss kommen müsste, sich mit >c bewegt zu haben.
Außerdem kann auch B seine eigenen Bojen aufstellen, die dann aus seiner Sicht ruhend sind und von A druchflogen werden, wobei dann herauskommt: b) B ist älter als A

(Damit ist m. E. auch dein Einwand geklärt, Gepakulix.)

Das Problem ließe sich bei endlichen Universen auch noch anderweitig vermeiden:

1) Endliche Universen müssen zu jedem Zeitpunkt ihrer Existenz so stark expandieren, dass sich ein Horizont einstellt, womit ein komplettes Umrunden des Universums stets unmöglich wird. Das Problem sehe ich hier im "jedem", weil das dann auch schon direkt beim/nach dem Urknall gelten muss. Außerdem können solche Universen wohl nicht kontrahieren, ohne das Paradoxon zu erzeugen.

2) Das Paradoxon wird dadurch vermieden dass beim erneuten Zusammentreffen der Zwillinge gilt: a) A ist älter als B UND b) B ist älter als A UND c) A und B sind gleich alt. Mit anderen Worten: Das Universum unterliegt hier einer Unschärfe bzw. spaltet sich in verschiedene Universen auf, wie bei der VWI. Das wäre allerdings wohl weit hergeholt, es erscheint zunächst abstrus.

Hinzu kommen die Möglichkeiten:

3) Endliche Universen existieren nicht!

4) In endlichen Universen existiert ein bevorzugtes Bezugssystem - und zwar prinzipiell messbar (das ist m. E. eine sehr interessante Option, denn dann könnte man prinzipiell feststellen, ob man sich in einem unendlichen Universum befindet oder nicht)

Es mag noch weitere Möglichkeiten geben, ich tendiere im Moment zu 4).
Grüße
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FKM
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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von FKM » 21. Okt 2017, 15:02

seeker hat geschrieben:
21. Okt 2017, 13:58
Das Problem ließe sich bei endlichen Universen auch noch anderweitig vermeiden:

1) Endliche Universen müssen zu jedem Zeitpunkt ihrer Existenz so stark expandieren, dass sich ein Horizont einstellt, womit ein komplettes Umrunden des Universums stets unmöglich wird. Das Problem sehe ich hier im "jedem", weil das dann auch schon direkt beim/nach dem Urknall gelten muss. Außerdem können solche Universen wohl nicht kontrahieren, ohne das Paradoxon zu erzeugen.

Es mag noch weitere Möglichkeiten geben, ich tendiere im Moment zu 4).
Ich vermute, dass das im 1. Post definierte "Asteroids"-Universum nur eine mathematische Gedankenspielerei, aber nicht physikalisch ist.
Ein geschlossenes FLRW-Universum wäre per Definition ja nicht mehr flach und statisch.

Eine ähnliche, aber realistische Fragestellung wäre: zwei "Zwillinge" A und B umrunden einen (nicht rotierenden) Neutronenstern oder ein SL passender Größe auf der selben Kreis-Bahn aber in entgegengesetzter Richtung mit relativistischer Geschwindigkeit (im freien Fall). Wenn sie sich wieder treffen und die Uhren vergleichen: ist A älter als B, B älter als A oder A und B gleich alt?

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von tomS » 21. Okt 2017, 22:19

FKM hat geschrieben:
21. Okt 2017, 12:48
Warum oder was bedeutet hier: der Raum ist global hyperbolisch? Ich verstehe es nicht, wenn ich die Definition aus der Wikipedia vergleiche: https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbolischer_Raum
Sorry, das war wohl irreführend; global-hyperbolisch hat nichts mit dem hyperbolischen Raum zu tun.

Stell' dir einen 2-dim. Raum vor, also eine Fläche. Die Zeitrichtung steht senkrecht auf dieser Fläche. Nun legst du immer weitere Flächen wie bei einem Papierstapel aufeinander. Diese dürfen gekrümmt sein, aber der ggf. verbogene Stapel bleibt immer dicht. Die Zeitrichtung durchdringt diesen Stapel senkrecht.

Die Topologie im Artikel wird mit R * M angegeben, d.h. die Zeit entspricht der reellen Gerade; insbs. läuft sie nicht in sich selbst zurück. Anschaulich bedeutet das, dass du immer weitere Flächen oben auf den Stapel legst, ohne dass du dabei jemals von unten wieder am Stapel ankommst.

Damit existieren keine geschlossenen zeitartigen Kurven.

Das Bild des Stapels entspricht in etwa der mathematischen Eigenschaft der globalen Hyperbolizität.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Globall ... c_manifold
FKM hat geschrieben:
21. Okt 2017, 12:48
Ich gebe zu, dass ich auch eher in Koordinatenzeiten denke. Aber man muss doch berechnen können, zu welchem Raum-Zeit-Punkt A und B sich wieder treffen?
Ja, kann man auch.

Aber man sollte sich davon verabschieden, dass die dabei verwendeten Koordinaten immer irgendeine physikalische Bedeutung haben.
FKM hat geschrieben:
21. Okt 2017, 12:48
tomS hat geschrieben:
21. Okt 2017, 08:13
Es ist jedoch auch nicht offensichtlich, dass global überhaupt die bekannte Lorentzinvarianz vorliegt; diese wird durch die Kompaktifizierung des Raumes sicher modifiziert.
Das wäre eine Lösung, kannst du das erklären? Oder gibt es einen Link zu einem Artikel, der sich damit beschäftigt hat?
Na, ich denke, der verlinkte Artikel zeigt das ganz gut.
Gruß
Tom

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von tomS » 21. Okt 2017, 22:29

seeker hat geschrieben:
21. Okt 2017, 13:58
Ich verstehe bei weitem nicht alles in dem Paper, aber DAS ist starker Tobak, da steht doch nichts anderes, als dass in räumlich endlichen Universen ein ausgezeichnetes Bezugssystem existiert!!
Wenn ein Beobachter gleichzeitig zwei Lichtsignale in entgegengesetzter Richtung aussendet und diese wieder gleichzeitig beimihm einlaufen, dann befindet er sich bzgl. des Raumes in Ruhe.
seeker hat geschrieben:
21. Okt 2017, 13:58
Ich gehe das Problem rein darüber an, was messbar ist.
Mittels welcher Methoden misst du, und sie beschreibst du das mathematisch? Eine wie auch immer konstruierte "globale" Zeitkoordinate ist jedenfalls nicht messbar.
seeker hat geschrieben:
21. Okt 2017, 13:58
Das wäre aber auch widersprüchlich, denn lokal gilt die Zeitdilatation nachweislich ...
Wie definierst du die Zeitdilatation lokal?

Den Rest muss ich mir erst noch genauer durchlesen, jedoch

Zu 1) das Problem muss rein kinematisch widerspruchsfrei lösbar sein, ohne irgendeine Forderung an die Dynamik zu stellen

2) ist keine wirklich gute Idee, oder?

Zu 3) siehe (1)

Zu 4) ja, das ist ein Kerngedanke aus dem Paper; ich möchte aber eine Lösung, die ohne diese Tatsache auskommt
Gruß
Tom

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von tomS » 21. Okt 2017, 22:43

Generell empfehle ich euch mal, diese Überlegungen zu lesen; ich denke, damit kann man auch in kompakten Räumen argumentieren

https://www.physikerboard.de/topic,3775 ... doxon.html
Gruß
Tom

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von FKM » 22. Okt 2017, 21:59

tomS hat geschrieben:
21. Okt 2017, 22:19
global-hyperbolisch hat nichts mit dem hyperbolischen Raum zu tun.

Stell' dir einen 2-dim. Raum vor, also eine Fläche. Die Zeitrichtung steht senkrecht auf dieser Fläche. Nun legst du immer weitere Flächen wie bei einem Papierstapel aufeinander. Diese dürfen gekrümmt sein, aber der ggf. verbogene Stapel bleibt immer dicht. Die Zeitrichtung durchdringt diesen Stapel senkrecht.

Die Topologie im Artikel wird mit R * M angegeben, d.h. die Zeit entspricht der reellen Gerade; insbs. läuft sie nicht in sich selbst zurück. Anschaulich bedeutet das, dass du immer weitere Flächen oben auf den Stapel legst, ohne dass du dabei jemals von unten wieder am Stapel ankommst.

Damit existieren keine geschlossenen zeitartigen Kurven.

Das Bild des Stapels entspricht in etwa der mathematischen Eigenschaft der globalen Hyperbolizität.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Globall ... c_manifold
Danke für die Klärung des Begriffs "global hyperbolisch". Der hat mich schon im Zusammenhang mit rotierenden SLs verwirrt (http://xxx.uni-augsburg.de/pdf/gr-qc/9707012v1 pg. 68). Demnach ist jede Fläche des Stapels eine Cauchy-Fläche ("die eine kausale Kurve nur einmal schneiden kann"). Definitionsgemäß existieren in einer global-hyperbolische Raumzeit keine "Zeitschleifen" (geschlossene zeitartige Kurven).

Aber warum ist das "Asteroids"-Universum oder die im Papier genannte Topologie R x M / Γ (wo gegenüberliegende Seiten/Flächen identifiziert werden) global hyperbolisch? Kann man das voraussetzen, oder müsste man das nicht erst beweisen oder widerlegen?

FIGURE 3 des Artikels bringt es meiner Meinung auf den Punkt: für einen Reisenden in einem bewegten Intertialsystem (H), würden zwei identifizierte Raumzeitpunkte unterschiedliche Zeitpunkte haben:
The twin paradox in compact spaces hat geschrieben:What the above formalism
shows is that only one reference frame can be at rest with
respect to the compact spatial sections. All other iner-
tial observers in relative motion live in a universe where
both space and time points are identified.
Mit anderen Worten: der periodisch Reisende springt irgendwann in seine Vergangenheit zurück, es ist eine geschlossene zeitartige Kurve entstanden.

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von Timm » 22. Okt 2017, 22:54

Ich denke, daß B weniger altert, wenn A relativ zum Fluid ruht bzw. gemäß Tom's Definition beide Lichtstrahlen gleichzeitig bei ihm eintreffen. Dabei gehe ich davon aus, daß A's Weltlinie kürzer als die von B ist.

Das klassische Zwillingsparadoxon funktioniert auch, wenn ein weiterer reisender Beobachter am Umkehrpunkt des ersten im Vorbeiflug seine mit dessen Uhr synchronisiert und an dessen Stelle zum ruhenden Zwilling fliegt. Auch wenn die Identität der Uhr nicht erhalten ist, zeigt das Beispiel, daß die kürzere Eigenzeit auch ohne Beschleunigung realisiert ist. Entscheidend ist der Vergleich der Länge der Weltlinien.

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von tomS » 23. Okt 2017, 06:47

FKM hat geschrieben:
22. Okt 2017, 21:59
Aber warum ist die im Papier genannte Topologie R x M / Γ (wo gegenüberliegende Seiten/Flächen identifiziert werden) global hyperbolisch? Kann man das voraussetzen, oder müsste man das nicht erst beweisen oder widerlegen?
Für mich war das per Konstruktion klar.
FKM hat geschrieben:
22. Okt 2017, 21:59
FIGURE 3 des Artikels bringt es meiner Meinung auf den Punkt: für einen Reisenden in einem bewegten Intertialsystem (H), würden zwei identifizierte Raumzeitpunkte unterschiedliche Zeitpunkte haben:
The twin paradox in compact spaces hat geschrieben:What the above formalism
shows is that only one reference frame can be at rest with
respect to the compact spatial sections. All other iner-
tial observers in relative motion live in a universe where
both space and time points are identified.
Mit anderen Worten: der periodisch Reisende springt irgendwann in seine Vergangenheit zurück, es ist eine geschlossene zeitartige Kurve entstanden.
Ich muss mir die Bedeutung des letzten Satzes nochmal überlegen. Aber so wie du verstehe ich ihn auf gar keinen Fall.
Gruß
Tom

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von tomS » 23. Okt 2017, 06:58

Timm hat geschrieben:
22. Okt 2017, 22:54
Ich denke, daß B weniger altert, wenn A relativ zum Fluid ruht bzw. gemäß Tom's Definition beide Lichtstrahlen gleichzeitig bei ihm eintreffen. Dabei gehe ich davon aus, daß A's Weltlinie kürzer als die von B ist.
Nochmal: man kann das m.E. mit dem von mir vorgeschlagenen Formalismus berechnen.

Dazu führt man das "relativ zum Torus ruhende" Koordinatensystem ein, als reines mathematisches Konstrukt, nicht zwingend als System eines physikalischen Beobachters. Bzgl. dieses Koordinatensystems definiert man anschließend die Kompaktifizierung zum Torus und überträgt diese auf die Weltlinien beliebiger Beobachter.

Die verbleibende Frage ist dann nicht mehr die Auflösung des Paradoxons, das ist damit erledigt, sondern lediglich die Übertragung der Kompaktifizierung und der Berechnung in andere Koordinatensysteme. Es handelt sich dabei aber m.E. um ein anderes Problem, nämlich um die Konstruktion der Lorentzsymmetrie auf dem Torus. Letztere ist in gewisser Weise gebrochen. Lokal sind weiterhin alle Koordinatensysteme bzgl. lokaler Lorentztransformationen gleichberechtigt. Global ist das jedoch nicht mehr der Fall.

Die Auszeichnung eines speziellen ggü. allen anderen durch lokale Lorentztransformationen generierten Koordinatensystemen ist sowohl i) topologisch als auch ii) geometrisch zu verstehen. Führt man in den jeweiligen Koordinatensystemen ruhende Beobachter ein, so existiert genau ein Beobachter,
i) dessen Weltlinie sich nicht um den Torus windet
2) für den in entgegengesetzte Richtung ausgesandte, um den Torus umlaufende Lichtsignale, gleichzeitig wieder bei ihm eintreffen
Gruß
Tom

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Re: Zwillingsparadoxon und Topologie

Beitrag von seeker » 23. Okt 2017, 09:24

tomS hat geschrieben:
21. Okt 2017, 22:29
Wenn ein Beobachter gleichzeitig zwei Lichtsignale in entgegengesetzter Richtung aussendet und diese wieder gleichzeitig beimihm einlaufen, dann befindet er sich bzgl. des Raumes in Ruhe.
Ich verstehe nicht, warum das bei einem nichtexpandierenden Torus nicht automatisch immer gegeben sein sollte.
Ich verstehe auch nicht, warum und wie das bei einem nichtexpandierenden Torus nicht für verschiedene, sich relativ zueinander bewegende Beobachter gegeben sein sollte.

Ich könnte mir noch vorstellen, dass eine Richtungsabhängigkeit besteht, dass Lichtstrahlen, die in Richtung Dontutmitte ausgesandt werden eine z.B. kürzere Umlaufzeit zeigen als Lichtstrahlen, die in Richtung Äquatorlinie ausgesandt werden.
Damit könnte man Beobachter konstruieren, für die ihr Universum nicht in jeder Richtung denselben Durchmesser hat.

Aber zwei Lichtsignale, gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung ausgesandt, müssen doch wieder gleichzeitig zurückkommen, die Situation ist doch symmertrisch, wie denn nicht?
tomS hat geschrieben:
21. Okt 2017, 22:29
Mittels welcher Methoden misst du, und sie beschreibst du das mathematisch? Eine wie auch immer konstruierte "globale" Zeitkoordinate ist jedenfalls nicht messbar.
Ich kann mich wie gesagt rein auf das Gedankenexperiment zurückziehen, mir vorstellen, es wäre real durchgeführt und meine Frage stellen:

Welcher Zwilling ist der ältere, wenn sie sich das zweite Mal treffen - oder sind dort beide gleich alt?

Welche ist die richtige Antwort (?):

a) A ist älter als B
b) B ist älter als A
c) A und B sind gleich alt
d) Sowohl als auch
e) Weder noch
f) Man kann es nicht sagen

Die Uhren beider Zwillinge sind messbar und zu den Zeitpunkten t1 und t2 vergleichbar.
Des Weiteren ist der zurückzulegende Relativweg durch Lichtlaufzeiten messbar. (Ok, man sollte diese Strecke in beiden Richtungen messen, aber warum sollte das ein ungleiches Ergebnis liefern, s.o.?)

Der eigentliche Widerspruch ergibt sich im skizzierten Universum aus diesen beiden Forderungen, die hier nicht zusammengehen:
1. Es ist für einen unbeschleunigten Beobachter nicht möglich eine Relativbewegung relativ zum umgebenden Raum zu messen.
2. Die Lichtgeschwindigkeit c ist konstant bzw. ihre Messung ergibt für beliebige Beobachter stets denselben Wert.

Das Problem bzw. die Besonderheit zeigt sich im Szenario auch, dass die zwei Beobachter während ihrer Reise zwei widersprüchliche Entfernungsinformationen erhalten, wenn sie unterwegs ihre relativen Abstände durch zueinander gesandte Lichtpulse und der Messung der entsprechenden Lichtlaufzeiten bestimmen:
Sie erhalten zwei verschiedene Abstände (statt einem, wie normalerweise), einer von vorne, einer von hinten. Welcher ist der 'richtige', der relevante?

Ein weiterer Unterschied zum normalen Zwillingsparadoxon (mit Umkehr) ist, dass dort B bei seiner Rückkehr alle Licht-Signale, die A zu ihm gesckickt hat, empfangen hat.
Beim Torus ist das nicht so: Wenn B nach einer Umrundung A wieder erreicht, sind nur alle Signale bei ihm angekommen, die A ihm entgegen geschickt hat, nicht aber alle Signale, die ihm hinterher geschickt wurden.
tomS hat geschrieben:
21. Okt 2017, 22:29
Wie definierst du die Zeitdilatation lokal?
Man kann sie z.B. bestimmen, indem man die verlängerte Halbwertszeit von Teilchen der kosmischen Strahlung misst.
A oder B könnten den Wert ihrer lokalen Zeitdilatation auch dadurch bestimmen, indem sie Experimente mit Teilchen durchführen, die auf relativistische Geschwindigkeiten gebracht wurden. Ich sehe keinen Grund, warum A dabei zu anderen Werten kommen sollte als B, insbesondere nicht, dass dabei der Wert Null herauskommen kann, d.h. A als auch B können die Existenz der Zeitdilatation lokal nachweisen uns sie kommen zu denselben Werten.
tomS hat geschrieben:
23. Okt 2017, 06:58
so existiert genau ein Beobachter,
i) dessen Weltlinie sich nicht um den Torus windet
Warum sollte es genau ein Beobachter sein? Ich denke, es sind zumindest unendlich viele, die relativ zueinander ruhen.
Worin unterschiedet sich ein solcher 'ruhender' Beobachter von einem anderen, dessen Weltlinie ein symmetrisches Objekt umrundet? Nehmen wir an, der Beobachter B würde den Donut auf der Äquatoriallinie umrunden (also 'außen herum', nicht durch das Loch), was auf seinem Weg unterschiedet dort einen Punkt auf dieser Linie von irgendeinem anderen? Ich finde nichts.
tomS hat geschrieben:
23. Okt 2017, 06:58
2) für den in entgegengesetzte Richtung ausgesandte, um den Torus umlaufende Lichtsignale, gleichzeitig wieder bei ihm eintreffen
Warum sollte das bei einem nichtexpandierenden Torus nicht immer so sein?
Das verstehe ich wie gesagt noch nicht.

Es hieße auf jeden Fall, dass alle kompakte Universen zwingend eine solche Asymmetrie beinhalten müssen, sonst können sie nicht existieren.
Ist das die Schlussfolgerung, dass hier zwingend eine Expansion/Kontraktion geschehen muss, um das Paradoxon zu vermeiden, dass diese die Asymmetrie verursacht?
Grüße
seeker


Mache nie eine Theorie zu DEINER Theorie!
Denn tut man das, so verliert man zumindest ein Stück weit seine Unvoreingenommenheit, Objektivität.

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