Tiefer Einblick bis fast nach dem "Urknall"

[Pippen]

Dann nochmal mein Bsp., was dich eigentlich widerlegen sollte. Wir haben eine Kugel. Ohne mal zu sehr in die Details zu gehen ist eine Kugel aus x-Schalen aufgebaut, quasi ineinander geschachtelte Kugeloberflächen. Nehmen wir an, wir befinden uns als Flatländer in so einer Schale/Kugeloberfläche unterhalb der höchsten Schale (dem was wir klassischerweise als Kugeloberfläche bezeichnen). In einem 2D-Raum wäre unsere Schale eine Fläche ohne Rand, im 3D-Raum (oder noch höheren Räumen) würde man erkennen, dass da 1. eine Kugel ist mit einer Kugeloberfläche als Rand, aber 2. nicht unsere Schale; die wäre kein Rand, die wäre irgendwo in der Kugel.

Ansonsten gebe ich dir Recht: Durch die Einbettung von X ändert sich X nicht, aber man vollzieht einen Perspektivwechsel, in dem X anders erscheinen kann. Nicht jedoch ist es so, dass X nur Rand werden kann. Mein Bsp. oben soll zeigen, dass unser Universum - selbst wenn es in 3D unbegrenzt ist - höherdimensional begrenzt sein kann und dort das unsrige 3D-Universum nicht der Rand sein muss, sondern alles mögliche in einer größeren/andersartigen Struktur sein kann.

Mein grundsätzlicher Punkt ist ohnehin, dass aus der Unbegrenztheit/Unendlichkeit eines Objektes in einem Raum nicht geschlossen werden kann, dass es absolut (für alle Räume) unbegrenzt ist. Für den Flatländer ist seine Kugeloberfläche eine unbegrenzt große Welt, wir erkennen dagegen, dass er nur "zu doof" ist, die wahre Grenze zu erkennen: er müßte nur mal hochhüpfen wollen. So ähnlich könnte das auch mit unserem Universum sein, wobei auch nichts dagegen spräche, wenn unser Universum im 3D-Raum irgendwo wirklich aufhört und zB die Gravitation seiner Materie dort ein weiterkommen verhindert (ähnlich wie wohl die Gravitation der Milchstraße es schwerer machen würde, sie zu verlassen) und danach nur dunkler leerer Raum kommt. Dann müsste halt viel Astrophysik umgeschrieben werden.

[tomS]

Dann nochmal mein Bsp., was dich eigentlich widerlegen sollte. Wir haben eine Kugel. Ohne mal zu sehr in die Details zu gehen ist eine Kugel aus x-Schalen aufgebaut, quasi ineinander geschachtelte Kugeloberflächen. Nehmen wir an, wir befinden uns als Flatländer in so einer Schale/Kugeloberfläche unterhalb der höchsten Schale (dem was wir klassischerweise als Kugeloberfläche bezeichnen). In einem 2D-Raum wäre unsere Schale eine Fläche ohne Rand, im 3D-Raum (oder noch höheren Räumen) würde man erkennen, dass da 1. eine Kugel ist mit einer Kugeloberfläche als Rand, aber 2. nicht unsere Schale; die wäre kein Rand, die wäre irgendwo in der Kugel.

Du zeigst damit völlig schlüssig, dass die Kugel einen Rand hat, nämlich die Kugeloberfläche. Das bedeutet jedoch nicht, dass die Kugeloberfläche einen Rand hat.

Ansonsten gebe ich dir Recht: Durch die Einbettung von X ändert sich X nicht, aber man vollzieht einen Perspektivwechsel, in dem X anders erscheinen kann. Nicht jedoch ist es so, dass X nur Rand werden kann. Mein Bsp. oben soll zeigen, dass unser Universum - selbst wenn es in 3D unbegrenzt ist - höherdimensional begrenzt sein kann und dort das unsrige 3D-Universum nicht der Rand sein muss, sondern alles mögliche in einer größeren/andersartigen Struktur sein kann.

Dein Denkfehler scheint zu sein, dass du meinst, eine Kugelschale wäre der Rand zu einer anderen Kugelschale. Das ist falsch.

Der Rand einer Fläche ist - wenn er existiert - immer eindimensional.

Mein grundsätzlicher Punkt ist ohnehin, dass aus der Unbegrenztheit/Unendlichkeit eines Objektes in einem Raum nicht geschlossen werden kann, dass es absolut (für alle Räume) unbegrenzt ist. Für den Flatländer ist seine Kugeloberfläche eine unbegrenzt große Welt, wir erkennen dagegen, dass er nur "zu doof" ist, die wahre Grenze zu erkennen: er müßte nur mal hochhüpfen wollen.

Da ist keine Grenze.

[Pippen]

Fassen wir mal zusammen:

1. Wir stimmen darin überein, dass jede Form unseres Universums (auch und insbesondere eine unbegrenzte oder unendliche) in einem höherdimensionalen Raum begrenzt sein kann?
2. Du sagst, dass wenn das der Fall ist, dieses Universum in dem höherdimensionalen Raum dann der Rand/die Grenze ist und sein muss, nichts anderes ist denkbar?

[tomS]

1. Wir stimmen darin überein, dass jede Form unseres Universums (auch und insbesondere eine unbegrenzte oder unendliche) in einem höherdimensionalen Raum begrenzt sein kann?

Nein, da stimmen wir nicht überein. Zumindest nicht im mathematischen Sinne. Was du genau damit meinst, habe ich immer noch nicht verstanden.

2. Du sagst, dass wenn das der Fall ist, dieses Universum in dem höherdimensionalen Raum dann der Rand/die Grenze ist und sein muss, nichts anderes ist denkbar?

Nachdem wir in Punkt 1 nicht übereinstimmen, ist diese Diskussion evtl. sinnlos.

Was ich meine ist, dass die Beispiele die du anführst (z.B. die Kugelfläche) im mathematischen Sinne nie zeigen, dass sie einen Rand haben, sondern lediglich, dass sie ein Rand sind (der Rand eines Balls).

[Pippen]

Was ich meine ist, dass die Beispiele die du anführst (z.B. die Kugelfläche) im mathematischen Sinne nie zeigen, dass sie einen Rand haben, sondern lediglich, dass sie ein Rand sind (der Rand eines Balls).

Schwierige Semantik, wie wär's damit: Die Kugelfläche ist im zweidimensionalen Raum eine unbegrenzte Fläche, im dreidimensionalen Raum ist sie weiterhin die unbegrenzte Fläche und zugleich Rand der Kugel. Unser Universum ist - mal angenommen - im dreidimensionalen Raum (Zeit vernachlässigen wir) ein unbegrenzter Körper, im vierdimensionalen Raum könnte unser Universum weiterhin ein unbegrenzter Körper sein, aber zugleich auch Rand eines dazu übergeordneten Körpers. Da aber unser Universum - anders als die Kugelfläche - nicht unendlich dünn ist, sondern eine gewisse Dicke hat, muss sie auch selbst einen Rand haben. Daher glaube ich, dass man in einem solchen Fall sagen kann: Das Universum ist der Rand (des übergeordneten Körpers) und hat einen Rand (weil wenn es der Rand eines übergeordneten Körpers ist und nicht unendlich dünn wie 2D-Flächen, so dass es auch selbst einen Rand haben muss).

@all: Kennt jmd. eine gute Einführung in diesen "Dimensionskram"?

[tomS]

Was ich meine ist, dass die Beispiele die du anführst (z.B. die Kugelfläche) im mathematischen Sinne nie zeigen, dass sie einen Rand haben, sondern lediglich, dass sie ein Rand sind (der Rand eines Balls).

Schwierige Semantik

Wieso?

Ich bin ein Mann, aber ich habe keinen Mann.

Ist dieser Unterschied wirklich so schwer zu verstehen.

Die Kugelfläche ist im zweidimensionalen Raum eine unbegrenzte Fläche, im dreidimensionalen Raum ist sie weiterhin die unbegrenzte Fläche und zugleich Rand der Kugel. Unser Universum ist - mal angenommen - im dreidimensionalen Raum (Zeit vernachlässigen wir) ein unbegrenzter Körper, im vierdimensionalen Raum könnte unser Universum weiterhin ein unbegrenzter Körper sein, ...

Ja

Genauer: wenn es dreidimensional betrachtet ein unbegrenzter Körper ist, dann ist auch auch in höheren Dimensionen betrachtet sicher ein unbegrenzter Körper; die Eigenschaft, einen Rand zu haben, ist unabhängig von der Einbettung (ich wiederhole das jetzt zum x-ten mal; bitte glaub' mir das, oder versuche es zu verstehen).

[könnte unser Universum ...] aber zugleich auch Rand eines dazu übergeordneten Körpers [sein].

Ja

Da aber unser Universum - anders als die Kugelfläche - nicht unendlich dünn ist, sondern eine gewisse Dicke hat, muss sie auch selbst einen Rand haben.

Diese Argumentation ist sicher falsch! Da sollten wir diskutieren, wie du zu dieser Ansicht kommst, denn das scheint der Kern deines Missverständnisses zu sein.

[deltaxp]

pippen

Ein Schnitt durch einen 4-dimensionalen raum ist eine 3-dimensionale hyperfläche, aus der sicht der 4ten diemension ist daher die dreidimensionale hyperfläche auch unendlich dünn. das kann man beliebig so treiben und ist sicher kein Argument für die Existenz eines randes der hyperfläche.

du darfst nicht den fehler machen immer von der sicht einer Einbettung auszugehen. die ist für die (ich glaub das ist sogar eine topologische) Eigenschaft der existens eines randes einen n-dimensionalen objektes oder so nicht notwendig,

nimm eine endlich lange Linie, wenn sie offen ist, hat sie einen rand, die beiden eindpunkte. und es ist egal ob du nur die Linie an sich als x(t), t=[0,1] parametrisiert im 1-raum, oder ob du sie auf einem blatt papier im 2d-raum oder als "schwebenden" faden im 3d-raum usw usf betrachtest. die offenen Linie hat immer einen rand im sinne das entweder x(t<0) und x(t>0) nicht definiert sind oder mit den Endpunkten definiert werden: x(t<0)=x(0) x(t>1)=x(1).

verknüpfst dagegen die beiden Endpunkte, ist sie immer noch endlich hat aber keinen rand, egal ob einer Dimension , ob der kreis aufm blatt papier ist, oder mann das schnippsgummi durch den raum schiesst usw usf. es gilt IMMER x(t+N)=x(t), N natürliche zahl.

Und das gilt verallgemeinert auch für andere Objekte. für einen N-dimensionalen Torus zum Beispiel, (in kreis is nen eindimensionaler Torus). egal in welcher Dimension ob eingebettet oder nicht, der hat nie einen rand, hat aber einen endlichen Inhalt.

wie das mit Objekten mit unendlichem Inhalt ist, da musste wohl Mathematiker bemühen.

in deinem Beispiel ist der kugelrand das 2d-objekt deine physikalische Realität, die du betrachten musst, eine innere schale oder äussere gibt es nicht. und dieses 2d-objekt hat keinen rand. und man kann alle Eigenschaften innerhalb dieser fläche beschreiben. das 2d-objekt ist endlich hat keinen rand, auch wenn es selbst der rand des 3-d kugel-objektes ist. aber das ist irrelevant, weil die du physikalische Realität IN dem 2d-objekt hast.

der rand einer 4-dimensionalen kugel ist entsprechend ein 3 dimensionales objekt, auch das hat keinen rand, man kann alle Eigenschaften in dem 3d-obekt betrachten. das 3d-objekt selbst ist endlich, hat keinen rand, aber ist von mir aus einen rand des 4-dimensionalen kugel-objektes. und auch hier spielt sich die physikalische Realität in dem 3d-objekt ab.

klar kannst du jetzt mit dem stringtheorie Argument des bulks kommen und unser Universum ist eine 3-brane und für Gravitonen nicht die einzige physikalische Realität, da sie nicht an der brane haften. dennoch kann die 3-brane, unabhängig vom bulk randlos sein, sei es weil sie unendlich ist, oder weil sie eben topologisch im sinne von x(t+N)=x(t) keinen rand hat. aus der sicht der bulk-gravitionen btw wäre die 3brane ding dann woh auch unendlich dünn, dass haben schnitte nun mal so ansich.


so jedenfalls seh ich das

[tomS]

so jedenfalls seh ich das

ich auch

[Pippen]

Ein Schnitt durch einen 4-dimensionalen raum ist eine 3-dimensionale hyperfläche, aus der sicht der 4ten diemension ist daher die dreidimensionale hyperfläche auch unendlich dünn.

Das verstehe ich nicht, zumal es doch ganz falsch scheint: Wir würden ja evtl. in solch einem Rand leben und wissen, dass er eben nicht unendlich dünn ist und sein kann.

Was ich i.Ü. wohl meine ist: Selbst ein unbegrenztes oder unendliches Universum könnte in einer höheren Einbettung Teil eines Körpers sein, der endlich ist, so wie eine Kugelfläche zwar unbegrenzt ist, aber eigentlich nur Teil eines begrenzen Körpers (Kugel). Diesen Körper meine ich, wenn ich davon spreche, er habe einen Rand.

[positronium]

Ein Schnitt durch einen 4-dimensionalen raum ist eine 3-dimensionale hyperfläche, aus der sicht der 4ten diemension ist daher die dreidimensionale hyperfläche auch unendlich dünn.

Das verstehe ich nicht, zumal es doch ganz falsch scheint: Wir würden ja evtl. in solch einem Rand leben und wissen, dass er eben nicht unendlich dünn ist und sein kann.

Ein 4D-Raum unterscheidet sich vom 3D-Raum dadurch, dass man sich von jedem Punkt des 3D-Raums in die 4. Dimension bewegen kann. Auf der 4. Dimension ist also jeder Punkt des 3D-Raums nur ein Punkt.
Vorstellbar ist es aber besser, wenn man jeweils eine Dimension tiefer geht: Wir als 3D-Lebewesen können jeden Punkt eines Strichmännchens auf einem Blatt Papier sehen - nicht nur sein 2D-Äusseres, sondern auch sein Innenleben.

Was ich i.Ü. wohl meine ist: Selbst ein unbegrenztes oder unendliches Universum könnte in einer höheren Einbettung Teil eines Körpers sein, der endlich ist, so wie eine Kugelfläche zwar unbegrenzt ist, aber eigentlich nur Teil eines begrenzen Körpers (Kugel). Diesen Körper meine ich, wenn ich davon spreche, er habe einen Rand.

"unbegrenzt", also ohne Rand, oder tatsächlich unendlich? Bei letzterem hätte man einen Übergang von unendlich nach endlich - das geht nicht. Bei ersterem hättest Du Recht, wobei die Kugeloberfläche nicht Teil der Kugel ist.

[Pippen]

Es ist mE paradox, dass ein 3D-Raum mit dem Volumen von zB unserem Universum in einem 4D-Raum nur eine unendlich dünne Fläche sein soll. So ist zB eine Linie auch schon in der ersten Dimension unendlich dünn und bleibt es dann auch durchgehend, das ist in dem Beispiel mit unserem Universum im Vorsatz anders....

[positronium]

Es ist mE paradox, dass ein 3D-Raum mit dem Volumen von zB unserem Universum in einem 4D-Raum nur eine unendlich dünne Fläche sein soll.

Ein 3D-Volumen bleibt natürlich immer ein 3D-Volumen - es büsst durch Einbettung keine Eigenschaft ein, und verändert sich auch nicht. Nur hat man in 4D natürlich eine Richtung mehr, über welche man jeden Punkt des 3D-Volumens erreichen kann, ohne das Volumen durchdringen zu müssen.

[tomS]

Ich denke, wir kommen so nicht weiter.

Wie war's mit ein paar Graphiken zu ...

1) eine gerade Linie ist 1-dim; sie besitzt zwei 0-dim. "Ränder" = Endpunkte; das gilt für die Linie alleine sowie für ihre Einbettungen in 2-, 3-, ... n-dim. Räume

2) eine Kreislinie ist 1-dim; sie besitzt keine "Ränder"

3) ein Quadrat ist 2-dim.; es besitzt einen 1-dim. Rand

4) eine Seifenblasenhaut ist 2-dim.; sie besitzt keinen Rand; das gilt mathematisch (formal) bereits ohne Einbettung; das erkennt man aber bei der Einbettung auch sehr anschaulich

5) ein Ball ist 3-dim.; er besitzt einen 2-dim "Rand" = eine Kugeloberfläche; das gilt mathematisch (formal) bereits ohne Einbettung; das erkennt man aber bei der Einbettung auch sehr anschaulich

6) ein 3-dim. Gebilde ohne Rand kann man formal beschreiben, aber man kann sich das nicht mehr vorstellen, weder im 3-dim. noch eingebettet im 4-dim. Raum; hier eine Erklärung, wie's aussehen könnte:
- nimm einen langen Zylinder
- markiere alle Punkte auf einem kreisförmigen Rand mit unterschiedlichen Farben
- übertrage diesen farbigen Kreis identisch auf den zweiten kreisförmigen Rand
- klebe den Zylinder zu einem Torus zusammen, so dass immer Punkte gleicher Farbe verklebt werden
- die Torusoberfläche ist eine "Röhre"
- halbiere die "Röhre" gedanklich entlang der Längsachse; du erhältst zwei "Rinnen"
- markiere alle Punkte auf einer "Rinne" mit unterschiedlichen Farben
- übertrage diese farbige "Rinne" identisch auf die zweite "Rinne"
- nun hast du einen bunten Torus mit einer "Röhre" als Rand, wobei immer zwei Punkte die selbe Farbe haben
Ab jetzt kannst du's dir nicht mehr vorstellen:
- klebe die beiden gedachten "Rinnen" so zusammen, so dass immer Punkte gleicher Farbe veklebt warden

Das resultierende Gebilde ist randlos.

[Pippen]

1) eine gerade Linie ist 1-dim; sie besitzt zwei 0-dim. "Ränder"

3) ein Quadrat ist 2-dim.; es besitzt einen 1-dim. Rand

5) ein Ball ist 3-dim.; er besitzt einen 2-dim "Rand" = eine Kugeloberfläche

Offenbar ist der Rand eines Körpers immer eine Dimension niedriger als die des Körpers. Ein 4-dimensionales Objekt hätte daher einen 3-dimensionalen Rand und nie einen 0-,1- oder 2-dimensionalen, richtig? Was ich dann nicht verstehe ist, dass just dieser 3-dimensionale Rand im 4D-Raum keine "Dicke" hätte, sondern unendlich dünn wäre, ganz so wie eine Kugeloberfläche der (unendlich dünne) Rand einer Kugel ist und selbst keinen Rand hat. Die Beispiele 1) und 3) aus unteren Dimensionen stützen das noch, denn dort ist jeder Rand in seiner Dimension bereits unendlich dünn und da ist es logisch, dass er es auch in höheren Einbettungen bleibt. Ein 3D-Körper, zB eine Kugel oder unser Universum, ist aber in 3D nicht unendlich dünn, warum dann auf einmal in 4D?

[tomS]

Wenn ein 3-dim. Objekt einen Rand hat, dann ist dieser 2-dim.; das gilt unabhängig von der Einbettung.

Warum soll die Kugel in 4 Dim. Unendlich dünn sein? Ist sie nicht. Sie bleibt 3-dim., ihr Rand 2-dim.

[tomS]

Das Beispiel mit dem Torus und dessen Verklebung ist recht kompliziert; ich denke, ich hab ein einfacheres, das ich sogar zeichnen kann.

[Pippen]

Vielleicht nochmal so erklärt, wie ich das sehe:

Die Kugeloberfläche hat in der 2. Dim. keine "Dicke", sie ist quasi unendlich dünn und das bleibt sie auch in der 3. Dim., wo sie aber (zusätzlich) der Rand einer Kugel ist. Sie selbst kann auch in der 3. Dim. keinen Rand haben, weil sie unendlich dünn ist - sie ist nur der Rand. Unser Universum dagegen hat in der 3. Dimension "Dicke", es ist nicht unendlich dünn und das bleibt es auch in der 4. Dim., wo es aber der Rand eines größeren Körpers ist. Dadurch wäre es der Rand des Körpers und hätte zugleich einen eigenen Rand. Ich stelle mir dann in 4D unser Universum wie eine 1m dicke Kugeloberfläche einer riesigen Kugel vor und diese Kugeloberfläche wäre der Rand der Kugel, hätte aber zugleich einen Rand, nämlich die "Außenhaut" der 1m breiten Kugeloberfläche.

Ich hoffe, damit verstehst du zumindest meine Denkweise ein wenig besser.

[tomS]

Wenn unser 3-dim. Universum der Rand eines anderen Körpers wäre, dann müsste dieser Körper 4-dim. sein (du hast oben richtig erkannt, dass der Rand immer eine Dimension niedriger ist); damit erhält unser Universum jedoch sicher keinen eigenen Rand, der der müsste logischerweise 2-dim. sein

[Pippen]

Das ist eben so atemberaubend: Wenn unser dreidimensionales Universum nicht schon in sich begrenzt wäre und einen Rand hätte, sondern unbegrenzt und damit randlos wäre, dann könnte es dennoch der Rand eines vierdimensionalen Körpers sein, d.h. wir wären dann mit unserer Erde im Rand des Körpers und könnten uns dennoch im Rand dieses Körpers auf und ab und zur Seite bewegen (zB per Raumschiff) und wären doch für alle Zeiten darin gefangen, was irgendwie begrifflich nicht zu einem "Rand" passt. Aber das erklärt vllt. meine Verständnisschwierigkeiten.

Anschlussfrage: Es ist ja nun nicht so, dass Dimensionen parallel existieren müssen. Auch ein 2D-Wesen kann einen Ball wahrnehmen, doch eben nur in seiner 2D-Form. Könnte es nun sein, dass SL's oder Inflation/Expansion Phänomene eines 4D-Raumkörpers sein könnten, die für uns so "unlogisch" aussehen, wie für einen Flatländer ein springender Ball (der im Flatland einen größer und wieder kleiner werdenden Kreis darstellt).

[tomS]

So, ich denke, ich weiß jetzt, wie ich dir das besser erkläre.

Vergiss bitte alles, was du dir über Einbettungen vorstellst, sie führen dich offensichtloich in die Irre. Und betrachte bitte immer nur genau die Dimension des Objektes selbst.

Ich zeige dir, wie du von einem n-dim. nicht-kompakten Objekt mit Rand zu einem ebenfalls n-dim. kompakten Objekt ohne Rand gelangst. Für 1-dim. und 2-dim. Objekte ist das noch anschauloich klar, für 3-dim. Objekte leider nicht mehr. Aber letzteres würde dann fürunser unser Universum gelten (wenn es kompakt wäre, d.h. endlich und ohne Rand).

Die Strategie ist immer die selbe: wenn man zwei n-dim. Objekte mit Rand vollständig an ihren (n-1)-dim. Rändern verklebt, dann sind die Ränder zuletzt verschwunden. Umgekehrt kann man ein n-dim. Objekt ohner Rand entlang einer (n-1)-dim. Ebene aufschneiden; dadurch erhält man die Ränder wieder zurück.

Wir definieren sogenannte n-Bälle und n-Kugelflächen. Ein n-Ball besteht dabei immer aus seinem (n-1) dim. Rand = der (n-1)-dim Kugelfläche und dem n-dim. Inneren, eine n-Kugelfläche nur aus dem n-dim. Rand des jeweiligen (n+1)-Balles. Kurz: Rand[n-Ball] = (n-1)-Kugelfläche. Eine n-Kugelfläche hat nie einen Rand. Kurz: Rand[n-Kugelfläche] = 0.

Die Zahl bezeichnet dabei immer die Dimension des eigtl. Objektes

- der 1-Ball ist eine 1-dim. Linie; der Rand besteht aus den zwei 0-dim. Endpunkte
- der 2-Ball ist eine 2-dim. Kreisscheibe; der Rand besteht aus der 1-dim. Kreislinie
- der 3-Ball ist ein 3-dim. Ball; der Rand besteht aus der 2-dim. Kugeloberfläche
- die 1-Kugelfäche ist eine 1-dim. Kreislinie
- die 2-Kugelfäche ist eine 2-dim. Kugeloberfläche (z.B. Seifenblasenhaut)
- die ist nicht mehr vorstellbar

Die 3-Kugelfäche wäre nun ein Modell eines geschlossenen, kompakten, unberandeten 3-dim. Universums.

Kugeln

spheres.png (74.58 KiB) 9498 mal betrachtet

Die Skizze zeigt das Verkleben anhand von farbigem Leim auif dem Rand. Punkte mit gleicher Leimfarbe werden paarweise verklebt. Dadurch verschwinden die Ränder vollständig, zurück bleibt ein randloses Objekt
- man verklebt zwei 1-Bälle an ihren Enden = den 0-Rändern zu einer 1-Sphäre = Kreislinie
- man verklebt zwei 2-Bälle = Kreisscheiben an ihren 1-Rändern = Kreislinien einer 2-Sphäre = Kugeloberfläche
- man verklebt zwei 3-Bälle = 3-dim. Bälle an ihren 2-Rändern = 2-dim.- Kugeloberflächen zu einer 3-Sphäre

Dieses Verkleben der 3-Bälle erfordert natürlich eine Deformation der Bälle und ist nicht mehr vorstellbar, jedoch mathematisch präzise definiert.

[Pippen]

Danke, das scheine ich zu verstehen.

Wichtig wäre mir noch, dass du über das drüberschaust und evtl. korrigierst, was ich als Quintessenz aus dieser Diskussion herausnehme:

Das ist eben so atemberaubend: Wenn unser dreidimensionales Universum nicht schon in sich begrenzt wäre und einen Rand hätte, sondern unbegrenzt und damit randlos wäre, dann könnte es dennoch der Rand eines vierdimensionalen Körpers sein, d.h. wir wären dann mit unserer Erde im Rand des Körpers und könnten uns dennoch im Rand dieses Körpers auf und ab und zur Seite bewegen (zB per Raumschiff) und wären doch für alle Zeiten darin gefangen, was irgendwie begrifflich nicht zu einem "Rand" passt. Aber das erklärt vllt. meine Verständnisschwierigkeiten.

[tomS]

Was du als Fazit aus der Diskussion rausziehst ist nicht falsch, aber mein Fazit wäre es nicht. Ich halte die Überlegungen bzgl. Rand und Einbettung für nutzlos.

[Pippen]

Ich halte die Überlegungen bzgl. Rand und Einbettung für nutzlos.

Warum? Ist es nicht spannend die theoretischen Möglichkeiten einmal durchzugehen?

[tomS]

Es ändert nichts an der Physik. Die ART liefert mit und ohne Einbettung exakt identische Resultate.

[deltaxp]

Ein Schnitt durch einen 4-dimensionalen raum ist eine 3-dimensionale hyperfläche, aus der sicht der 4ten diemension ist daher die dreidimensionale hyperfläche auch unendlich dünn.

Das verstehe ich nicht, zumal es doch ganz falsch scheint: Wir würden ja evtl. in solch einem Rand leben und wissen, dass er eben nicht unendlich dünn ist und sein kann.

ich zitier mal den doc aus zurück in die Zukunft: "du musst vierdimensional denken, marti, vierdimensional!"


das ist genau das gleiche wenn du in einen 3d-raum schneidest, hast du du eine 2d-trennfläche. die kann in 2dimensionen unendlich sein, bei einem
so ist das eben auch bei einem schnitt in einem 4d-raum. du hast 4 unabhängige variable, der schnitt ist eine randbedinung, verbleiben 3 unabhängige variable. Beispiel alle sei ein vd raum duch die Koordinaten (x1,x2,x3,x4) x_i element R und die einschränkng (der schnitt) x4=0. kannst du mit x1-x3 immer noch alle werte nehmen und dich darin austoben. aus der sicht von x4 ist es aber unendlich dünn, nämli x4=0 nicht x4+-irgendwas, sondern 0. unendlich dünn