Es ist aber so. Beim FRW-Modell resultiert ein Wert für den Krümmungsparameter aus den Komponenten der Energiedichte. Je nach deren Zusammensetzung ist die lokale Geometrie sphärisch, flach oder hyperbolisch. Zu jeder Geometrie gibt es beliebig viele Möglichkeiten der Topologie. Kleines Beispiel: zu flach passt die 3-Ebene aber auch der 3-Torus. Die Frage, welche Topologie das Universum bei gegebener räumlicher Krümmung hat, kann die ART nicht beantworten. Sie ist prinzipiell nur der Beobachtung zugänglich.Analytiker hat geschrieben:Dass gemäß der ART die Energie nur die Geometrie und nicht die Topologie beeinflusst, stelle ich in Frage.
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Ist unser Universum potentiell unendlich?
Re: Ist unser Universum potentiell unendlich?
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Re: Ist unser Universum potentiell unendlich?
Ja, zu jedem Wert des Krümmungsparameters k existiert eine unendliche Anzahl unterschiedlicher Topologien. Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen legen keine bestimmte Topologie fest.
Die Frage ist, inwieweit sich die Topologie des Universums ändern kann?
Gruß
Analytiker
Die Frage ist, inwieweit sich die Topologie des Universums ändern kann?
Gruß
Analytiker
Re: Ist unser Universum potentiell unendlich?
Sie kann sich nicht ändern. Sobald ein vor-inflationärer Raum existiert, hat er eine bestimmte Topologie, die nicht vom Feld oder dessen Potential abhängt.
Re: Ist unser Universum potentiell unendlich?
Heißt das nicht, dass uns hier noch eine entsprechende Theorie fehlt?Timm hat geschrieben:Die Frage, welche Topologie das Universum bei gegebener räumlicher Krümmung hat, kann die ART nicht beantworten. Sie ist prinzipiell nur der Beobachtung zugänglich.
Wie könnte die aussehen?
Grüße
seeker
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Wissenschaft ... ist die Methode, kühne Hypothesen aufstellen und sie der schärfsten Kritik auszusetzen, um herauszufinden, wo wir uns geirrt haben.
Karl Popper
seeker
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Re: Ist unser Universum potentiell unendlich?
Ein Ansatzpunkt wäre doch hier die Betrachtung der QM, insbesondere kurz nach dem Urknall. Bei geschlossener Topologie würde eine Wellenfunktion nicht im Unendlichen verschwinden, sondern ihre Enden wären auf der anderen Seite des Universums verbunden. Daraus müssten doch gerade kurz nach dem Urknall vielleicht noch heute messbare Erscheinungen folgen. Da stellt sich mir die Frage: Lässt sich die QM in einem geschlossenen Universum überhaupt mathematisch formulieren?
Re: Ist unser Universum potentiell unendlich?
Es geht im Rahmen der chaotischen Inflation (die derzeit in ist) allenfalls um Wahrscheinlichkeiten von Topologien, beispielhaft hier 10.1 Initial conditions and topology of the universe. Die Anfangsbedingungen sind bei diesen Modellen erstaunlich einfach. Sobald der Raum existiert, z.B. per Quantenfluktuation, sind k und die Topologie festgelegt. Wie kommt diese "Entscheidung" zustande? Vielleicht liefert erst eine noch zu findende Quantengravitation die Antwort.
Re: Ist unser Universum potentiell unendlich?
Nein. Wenn du von "Krümmungsparameter" sprichst, dann hast du eine bestimmte Klasse von Lösungen festgelegt; da existieren nicht unendlich viele verschiedene Topologien.Analytiker hat geschrieben:zu jedem Wert des Krümmungsparameters k existiert eine unendliche Anzahl unterschiedlicher Topologien.
Doch, natürlich tun sie das. Jede Lösung legt exakt eine Geometrie (oder meinetwegen eine Klasse von Geometrien in Abhängigkeit von Parametern); und damit natürlich auch exakt eine Topologie.Analytiker hat geschrieben:Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen legen keine bestimmte Topologie fest.
Nach der ART kann sie das nicht.Analytiker hat geschrieben:Die Frage ist, inwieweit sich die Topologie des Universums ändern kann?
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
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Ist unser Universum potentiell unendlich?
Theoretisch ja, da die Topologie die erlaubten "Eigenmoden" einer schwingenden Raumzeit einschränkt; diese Eigenmoden sollten der kosmischen Hintergrundstrahlung aufgeprägt sein, und diese kann man ja vermessen.positronium hat geschrieben: Daraus müssten doch gerade kurz nach dem Urknall vielleicht noch heute messbare Erscheinungen folgen.
Praktisch jedoch evtl. nein. Stell' dir vor, du lebst auf einem Gummituch und müsstest anhand der Eigenmoden des Gummituchs dessen Größe und ggf. Berandung(en) ermitteln. Du wirst im Rahmen deiner Messgenauigkeit von lokalen Messungen sicher keinen Unterschied zwischen einem endlichen und einem unendlichen Gummituch feststellen können.
Ja.positronium hat geschrieben:Da stellt sich mir die Frage: Lässt sich die QM in einem geschlossenen Universum überhaupt mathematisch formulieren?
Wenn du mit "QM" meinst, dass man Wellenfunktionen und Schrödingergleichung definiert, dann ist das sehr einfach möglich. Quadratintegrabilität kann man einführen, und die notwendigen Differentialoperatoren existieren auf allen Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Bei der Dirac-Gleichung gibt es (eher irrelevante) Einschränkungen, z.B. muss die 4-dim. Mannigfaltigkeit orientierbar sein, also kein Möbiusband o.ä.
Gruß
Tom
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Tom
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Ist unser Universum potentiell unendlich?
Die einzige mir bekannte Möglichkeit der Topologie-Änderung resultiert aus einer erweiterten Fassung der LQG, in der die Spin-Netzwerke mikroskopisch keine eindeutige Geometrie und damit Topologie festlegen.
Man stelle sich zunächst eine 2-dim. Fläche vor, die man in diskrete, dicht liegende Dreiecke unterteilt. Eine derartige Triangulierung legt die Topologie der Fläche immer noch eindeutig fest.
Nun konstruiert man einen dualen Graphen, indem man im Inneren jedes Dreiecks genau einen Punkt auszeichnet und anschließend Punkte verbindet, wenn deren ursprüngliche Dreiecke benachbart sind, also eine gemeinsame Kante haben. Ein derartiger dualer Graph legt die Topologie der Fläche immer noch eindeutig fest.
(in etwa so gelangt man zu den Spin-Netzwerken)
Nun betrachtet man einen allgemeinen Graphen. Dieser hat nicht unbedingt eine duale Triangulierung! Z.B. kann man in einen Graphen mit dualer Triangulierung weitere Verbindungslinien einzeichnen, so dass keine Entsprechung (Dualität) mit einer Fläche mehr möglich ist. Der allgemeine Graph definiert insbs. kein Objekt mit fester Geometrie, Topologie oder Dimension.
Üblicherweise werden solche Fälle in der LQG ausgeschlossen, d.h. man verwendet Zwangsbedingungen für allgemeine Graphen, die nur noch solche mit einer dualen Triangulierung zulassen. Ich bin jedoch skeptisch, dass das bereits endgültig verstanden ist.
Man stelle sich zunächst eine 2-dim. Fläche vor, die man in diskrete, dicht liegende Dreiecke unterteilt. Eine derartige Triangulierung legt die Topologie der Fläche immer noch eindeutig fest.
Nun konstruiert man einen dualen Graphen, indem man im Inneren jedes Dreiecks genau einen Punkt auszeichnet und anschließend Punkte verbindet, wenn deren ursprüngliche Dreiecke benachbart sind, also eine gemeinsame Kante haben. Ein derartiger dualer Graph legt die Topologie der Fläche immer noch eindeutig fest.
(in etwa so gelangt man zu den Spin-Netzwerken)
Nun betrachtet man einen allgemeinen Graphen. Dieser hat nicht unbedingt eine duale Triangulierung! Z.B. kann man in einen Graphen mit dualer Triangulierung weitere Verbindungslinien einzeichnen, so dass keine Entsprechung (Dualität) mit einer Fläche mehr möglich ist. Der allgemeine Graph definiert insbs. kein Objekt mit fester Geometrie, Topologie oder Dimension.
Üblicherweise werden solche Fälle in der LQG ausgeschlossen, d.h. man verwendet Zwangsbedingungen für allgemeine Graphen, die nur noch solche mit einer dualen Triangulierung zulassen. Ich bin jedoch skeptisch, dass das bereits endgültig verstanden ist.
Gruß
Tom
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Re: Ist unser Universum potentiell unendlich?
Das
Das "in alle Richtungen" bedeutet für das Universum, dass es nicht jede Topologie annehmen könnte. Es könnte nur kugel-, torusförmig o.ä. sein, wobei alle Dimensionen gleich gross sein müssten. Ausserdem sehe ich Probleme bei der Expansion des Universums - eine Welle, die eine Schwingung um das Universum ausführt, müsste in jedem Moment der Expansion Energie verlieren, damit die Wellenlänge noch ausreicht.
Aber auch für Wellenpakete der QM würde das Änderungen mit sich bringen - die Wahrscheinlichkeitsverteilung wäre verändert - ob messbar weiss ich nicht. Das habe ich gerade kurz für Gausssche Wellenpakete gebastelt:
offenes Universum:
geschlossenes Universum:
Die beiden geplottet: Orange ist das Wellenpaket im offenen Universum, schwarz dünn im geschlossenen. Die beiden senkrechten Linien zeigen die Grenze des geschlossenen Universums.
Man sieht, dass die Verteilungen leicht unterschiedlich sind:
Als Plot:
sollte doch für die QM wesentlich sein. Es wären nur noch Wellen mit einer Wellenlänge zulässig, die in alle Richtungen ein ganzzahliger Teiler des Umfangs des Universums sind.tomS hat geschrieben:...da die Topologie die erlaubten "Eigenmoden" einer schwingenden Raumzeit einschränkt...
Das "in alle Richtungen" bedeutet für das Universum, dass es nicht jede Topologie annehmen könnte. Es könnte nur kugel-, torusförmig o.ä. sein, wobei alle Dimensionen gleich gross sein müssten. Ausserdem sehe ich Probleme bei der Expansion des Universums - eine Welle, die eine Schwingung um das Universum ausführt, müsste in jedem Moment der Expansion Energie verlieren, damit die Wellenlänge noch ausreicht.
Aber auch für Wellenpakete der QM würde das Änderungen mit sich bringen - die Wahrscheinlichkeitsverteilung wäre verändert - ob messbar weiss ich nicht. Das habe ich gerade kurz für Gausssche Wellenpakete gebastelt:
offenes Universum:
geschlossenes Universum:
Die beiden geplottet: Orange ist das Wellenpaket im offenen Universum, schwarz dünn im geschlossenen. Die beiden senkrechten Linien zeigen die Grenze des geschlossenen Universums.
Man sieht, dass die Verteilungen leicht unterschiedlich sind:
Als Plot:
Re: Ist unser Universum potentiell unendlich?
Ja, natürlich ergeben sich je nach Topologie unterschiedliche zulässige Lösungen. Auf einer offenen Saite sind z.B. beliebige ebene Wellen möglich, auf einer kreisförmig geschlossenen Saite lediglich periodische. In einem ggü. dem gesamten Universum kleinen Bereich sind Wellenpakete jedoch ununterscheidbar.
Die möglichen Topologien des Universums kann man m.E. nicht a priori einschränken. Man kann die ART so umformulieren, dass man auf einer 3-dim. Mannigfaltigkeit = einer raumartigen Hyperfläche eine Geometrie vorgibt und deren Zeitentwicklung mittels der Einsteinschen Feldgleichungen löst. Die Topologie ist m.E. beliebig; die Geometrie unterliegt gewissen Bedingungen.
Trotzdem sind z.B. beliebige n-Tori mit unterschiedlichen Abmessungen erlaubt sein; was spräche dagegen?
Die möglichen Topologien des Universums kann man m.E. nicht a priori einschränken. Man kann die ART so umformulieren, dass man auf einer 3-dim. Mannigfaltigkeit = einer raumartigen Hyperfläche eine Geometrie vorgibt und deren Zeitentwicklung mittels der Einsteinschen Feldgleichungen löst. Die Topologie ist m.E. beliebig; die Geometrie unterliegt gewissen Bedingungen.
Trotzdem sind z.B. beliebige n-Tori mit unterschiedlichen Abmessungen erlaubt sein; was spräche dagegen?
Gruß
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Re: Ist unser Universum potentiell unendlich?
http://www.wissenschaft-online.de/astro ... html#topoltomS hat geschrieben:Nein. Wenn du von "Krümmungsparameter" sprichst, dann hast du eine bestimmte Klasse von Lösungen festgelegt; da existieren nicht unendlich viele verschiedene Topologien.Analytiker hat geschrieben:zu jedem Wert des Krümmungsparameters k existiert eine unendliche Anzahl unterschiedlicher Topologien.
Doch, natürlich tun sie das. Jede Lösung legt exakt eine Geometrie (oder meinetwegen eine Klasse von Geometrien in Abhängigkeit von Parametern); und damit natürlich auch exakt eine Topologie.Analytiker hat geschrieben:Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen legen keine bestimmte Topologie fest.
Unter dem Abschnitt "Wie misst man die Topologie des Universums?" steht:
Zu jedem Wert des Krümmungsparameters k existiert eine unendliche Anzahl möglicher Topologien!
Unter dem Abschnitt "Ergebnis: Das Universum ist flach" steht:
Aber die Relativitätstheorie lässt die Frage nach der Topologie noch offen. Sie ist nicht durch Einsteins Feldgleichungen festgelegt. Oft wird dieser topologische Aspekt der Kosmologie vernachlässigt und unterschätzt - auch von Kosmologen.
Was ist denn nun richtig?
Kompliziertere Topologien kann die ART nicht ausschließen. Mit der Wahl einer Metrik ist die Topologie nicht eindeutig festgelegt. Die Krümmungstensoren, die man aus der Metrik ableiten kann, geben die jeweilige lokale Krümmung an. Bei einem Torus, der eine andere Topologie als die Ebene hat, ist der Krümmungstensor immer 0 und in der Ebene auch.
Gruß
Analytiker
Ist unser Universum potentiell unendlich?
Ich glaube, da ist Andreas ein Fehler unterlaufen. Der Krümmungsparameter bezeichnet nicht einfach die Krümmung, sondern die Krümmung innerhalb einer ganz speziellen Klasse von Lösungen.Analytiker hat geschrieben:http://www.wissenschaft-online.de/astro ... html#topol
Unter dem Abschnitt "Wie misst man die Topologie des Universums?" steht:
Zu jedem Wert des Krümmungsparameters k existiert eine unendliche Anzahl möglicher Topologien!
Z.B. gibt es einen 3-dim. Torus mit flacher Geometrie. Aber ausschließlich der 3-dim. Euklidische Raum, der gerade kein Torus ist, entspricht m.E. dem üblichen FRW-Universum mit k = 0.
Sollen wir Andreas mal fragen?
Das ist richtig.Analytiker hat geschrieben:Aber die Relativitätstheorie lässt die Frage nach der Topologie noch offen. Sie ist nicht durch Einsteins Feldgleichungen festgelegt. Oft wird dieser topologische Aspekt der Kosmologie vernachlässigt und unterschätzt - auch von Kosmologen.
Die Feldgleichungen legen die Topologie nicht fest. Sie lassen m.E. praktisch beliebige 3-dim. Topologien zu. Zu jeder kann man wiederum unterschiedliche Geometrien konstruieren. Und die Feldgleichungen beschreiben lediglich die zeitliche Entwicklung dieser Geometrie unter Beibehaltung der gewählten Topologie.
Doch. Allerdings nur dann, wenn man die Metrik vollständig, d.h. global versteht, d.h. wenn man im Sinne der Differentialgeometrie einen vollständigen Atlas der Mannigfaltigkeit angibt. Z.B. muss man im Falle von Ebene bzw. Torus schon dazusagen, ob man zwei Gebiete identischer Metrik identifiziert oder nicht. Andernfalls hat man aber die Metrik doch nicht vollständig definiert.Analytiker hat geschrieben:Mit der Wahl einer Metrik ist die Topologie nicht eindeutig festgelegt.
Betrachte die Erdoberfläche. Die Wahl einer Metrik entspricht hier z.B. den Details der Festlegung von Höhenzügen, Schluchten usw. Diese unterschiedlichen Geometrien stimmen jedoch alle in einem überein, dass die Erdoberfläche topologisch gesehen einer 2-dim. Kugelfläche entspricht.
Die Topologien sind natürlich verschieden. Aber sowohl Torus als auch Ebene lassen bei gleicher Topologie Deformationen (Verbiegen, Verdrehen, Strecken, ...) zu, die anderen Geometrien entsprechen.Analytiker hat geschrieben:Bei einem Torus, der eine andere Topologie als die Ebene hat, ist der Krümmungstensor immer 0 und in der Ebene auch.
Außerdem sind der flache 2-Torus sowie der im 3-dim. Raum eingebettet Torus topologisch identisch, jedoch geometrisch verschieden; insbs. ist der eingebettete Torus offensichtlich nicht flach. D.h. die Torus-Topologie impliziert keineswegs eine flache Geometrie.
Ich weiß aber was du meinst. Wir sollten uns im folgenden auf Mannigfaltigkeiten unterschiedlicher Topologie jedoch lokal (!) identischer Geometrie beschränken, d.h. z.B. flacher 2-Torus sowie flache Ebene = 2-dim. Euklidischer Raum.
Gruß
Tom
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Re: Ist unser Universum potentiell unendlich?
Wenn man sich auf Topologien beschränkt, die keine Berandung, aber 0<=n<=bel.viele Löcher haben, hast Du wohl recht. Bei m-dimensionalen Topologien mit einer oder mehreren Berandungen, auch solchen mit weniger Dimensionen als m-1 würde es schwieriger, weil man dann verschiedene Wellenarten hätte - Ich denke hier auch an das von Dir vor langer Zeit einmal gebrachte Beispiel mit dem Wasserschlauch für aufgerollte Dimensionen.tomS hat geschrieben:Die möglichen Topologien des Universums kann man m.E. nicht a priori einschränken.
Für Kugelwellen wäre das doch ein Problem.tomS hat geschrieben:Trotzdem sind z.B. beliebige n-Tori mit unterschiedlichen Abmessungen erlaubt sein; was spräche dagegen?
Bei nicht-flacher Metrik wohl auch für ebene Wellen.
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Re: Ist unser Universum potentiell unendlich?
Der Wert des Krümmungsparameters sagt nur aus, ob der Raum hyperbolisch, flach oder elliptisch ist. Wenn er flach ist, dann ist die räumliche Krümmung, gemessen mit dem Krümmungstensor immer 0. Ist er hyperbolisch oder elliptisch, dann kann der Krümmungstensor nur bezogen auf den Raum beliebige Werte annehmen. Die raumzeitliche Krümmung eines flachen Universums kann aber ungleich 0 sein. Ein expandierendes flaches Universum hat bezogen auf die Raumzeit einen nichtverschwindenden Krümmungstensor.tomS hat geschrieben:Ich glaube, da ist Andreas ein Fehler unterlaufen. Der Krümmungsparameter bezeichnet nicht einfach die Krümmung, sondern die Krümmung innerhalb einer ganz speziellen Klasse von Lösungen.Analytiker hat geschrieben:http://www.wissenschaft-online.de/astro ... html#topol
Unter dem Abschnitt "Wie misst man die Topologie des Universums?" steht:
Zu jedem Wert des Krümmungsparameters k existiert eine unendliche Anzahl möglicher Topologien!
Z.B. gibt es einen 3-dim. Torus mit flacher Geometrie. Aber ausschließlich der 3-dim. Euklidische Raum, der gerade kein Torus ist, entspricht m.E. dem üblichen FRW-Universum mit k = 0.
Sollen wir Andreas mal fragen?
Dass es unendlich viele Topologien bezüglich eines Wertes des Krümmungsparameters geben kann, ist eigentlich trivial. Eine Mannigfaltigkeit kann beliebig viele Löcher aufweisen. Unterscheidet sich die Lochanzahl hat man schon eine andere Topologie.
Ich denke, dass Andreas kein Fehler unterlaufen ist, aber ich werde ihn mal anschreiben.
Gruß
Analytiker
Re: Ist unser Universum potentiell unendlich?
Ich stoße auf diese Information hier:
Was bedeutet das? Geht das in die Richtung, die Positronium angedacht hat?
Falls das stimmt und unser Universum endlich und (im Rahmen der Messgenauigkeit) flach ist, dann wären damit doch ganze Klassen an Topoligien ausschließbar - oder?
Kann man über diese Dichtewellengeschichte eine Abschätzung zur Größe des Universums durchführen: Falls endlich, wie groß dann?
Noch eine Anmerkung:
Bei der Diskussion endlich/unendlich sollten wir m. E. immer angeben/herausarbeiten ob wir das räumlich (3D-Foliation der RZ) oder raumzeitlich meinen (3+1 D).
Was ist in dem obigen Zitat gemeint? Der 3D-Fall - oder?
Grüße
seeker
http://www.spektrum.de/lexikon/astronomie/topologie/492Die Diagnose von WMAP ist jedoch, dass besonders lange Dichtewellen fehlen! Dies spricht demnach für ein endliches Universum.
Was bedeutet das? Geht das in die Richtung, die Positronium angedacht hat?
Falls das stimmt und unser Universum endlich und (im Rahmen der Messgenauigkeit) flach ist, dann wären damit doch ganze Klassen an Topoligien ausschließbar - oder?
Kann man über diese Dichtewellengeschichte eine Abschätzung zur Größe des Universums durchführen: Falls endlich, wie groß dann?
Noch eine Anmerkung:
Bei der Diskussion endlich/unendlich sollten wir m. E. immer angeben/herausarbeiten ob wir das räumlich (3D-Foliation der RZ) oder raumzeitlich meinen (3+1 D).
Was ist in dem obigen Zitat gemeint? Der 3D-Fall - oder?
Grüße
seeker
Grüße
seeker
Wissenschaft ... ist die Methode, kühne Hypothesen aufstellen und sie der schärfsten Kritik auszusetzen, um herauszufinden, wo wir uns geirrt haben.
Karl Popper
seeker
Wissenschaft ... ist die Methode, kühne Hypothesen aufstellen und sie der schärfsten Kritik auszusetzen, um herauszufinden, wo wir uns geirrt haben.
Karl Popper
Re: Ist unser Universum potentiell unendlich?
Ich finde Andreas hat Recht. Der 3-Torus und andere Topologien sind konstant flach, also k = 0, neben der trivialen Topologie, der Ebene.Es gibt zu jedem der möglichen 3 Werte von k unendlich viele Topologien.tomS hat geschrieben:Ich glaube, da ist Andreas ein Fehler unterlaufen. Der Krümmungsparameter bezeichnet nicht einfach die Krümmung, sondern die Krümmung innerhalb einer ganz speziellen Klasse von Lösungen.Analytiker hat geschrieben:http://www.wissenschaft-online.de/astro ... html#topol
Unter dem Abschnitt "Wie misst man die Topologie des Universums?" steht:
Zu jedem Wert des Krümmungsparameters k existiert eine unendliche Anzahl möglicher Topologien!
Z.B. gibt es einen 3-dim. Torus mit flacher Geometrie. Aber ausschließlich der 3-dim. Euklidische Raum, der gerade kein Torus ist, entspricht m.E. dem üblichen FRW-Universum mit k = 0.
Sollen wir Andreas mal fragen?
.
Ist unser Universum potentiell unendlich?
Der Krümmungsparameter k ist nur sinnvoll definiert im Kontext der FRW-Metrik:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Friedma ... ker-Metrik
Die FRW-Metrik definiert je möglichem Wert für k (0, +1, -1) die räumliche Topologie einer 3-dim. Riemannschen Mannigfaltigkeit M eindeutig! Da außerdem eine global-hyperbolische Raumzeit vorliegt, ist die Topologie der Raumzeit immer R * M, wobei R immer eine nicht-kompakte Menge darstellt (im Falle von Ur- bzw. Endknall werden diese immer ausgenommen, d.h. die Topologie entspricht immer der offenen Menge R).
Anders gesagt, die FRW-Metrik lässt verschiedene Geometrien zu (gegeben durch verschiedene Skalenfaktoren a), jedoch nicht verschiedene Topologien.
Zu der Idee, z.B. verschiedene flache Topologien mit Löchern einzuführen: ja, das funktioniert, jedoch entspricht dann die Geometrie global sicher nicht der FRW-Metrik, das hatte ich auch oben schon angedeutet:
Betrachten wir eine global flache 2-dim. diff.-bare Mannigfaltigkeit mit der Karte ]0,L[ * ]0,L[ sowie dem darauf definierten euklidischen Abstandsbegriff. Diese Karte können wir auf den R^2 anwenden; sie definiert da einen (diff.-baren) Atlas Genauso können wir diese Karte auf den T^2 anwenden, nur definiert sie auf diesem keinen Atlas! In den Randstreifen zur Kompaktifizierung benötigen wir zusätzliche Karten sowie zusätzlich Kartenwechselabbildungen; der euklidische Abstandsbegriff gilt damit zwar je Karte, ist jedoch sicher nicht global gültig bzw. fortsetzbar, da Abstände auf dem T^2 nach oben beschränkt sind.
Auf dem T^2 gilt also global nicht "die" FRW-Metrik.
Wenn wir also von einer 3-dim. Mannigfaltigkeit mit k = 0 sprechen, dann müssen wir schon sehr präzise sagen, was wir meinen:
1) eine 3-Mannigfaltigkeit, auf der global "die" FRW-Metrik mit k = 0 gilt? dann entspricht diese Mannigfaltigkeit zwingend der R^3 (im Sinne einer Isometrie)
2) eine Mannigfaltigkeit, auf der lokal (= für jeweils eine Karte U) eine FRW-Metrik mit k = 0 gilt? dann entspricht diese Mannigfaltigkeit nicht zwingend der R^3 (nicht einmal im abgeschwächten Sinne einer homöomorphen Abbildung)
(2) bedeutet, dass auf einer Karte U eine FRW-Metrik mit k = 0 existiert, dass diese Karte jedoch ggf. nicht die gesamte Mannigfaltigkeit überdecken kann; d.h. man kann (bzw. muss) weitere Karten V, W, ... finden, wobei weiterhin auf jeder eine FRW-Metrik mit k = 0 vorliegt, so dass diese Karten letztlich einen (minimalen) Atlas A = {U, V, W, ...} bilden und somit die gesamte Mannigfaltigkeit überdecken. Wenn der minimale Atlas A zwei oder mehr Karten umfasst, dann ist es nicht gerechtfertigt, von "der" FRW-Metrik auf der Mannigfaltigkeit zu sprechen; dies kann nur "je Karte" gesagt werden. Andersherum: gäbe es "die" FRW-Metrik mit k = 0, also einen minimalen Atlas mit genau einer Karte, dann wären die euklidischen Abstände entsprechend der Metrik unbeschränkt; dies schließt aber z.B. den Torus aus.
Insofern hat Andreas nicht wirklich Unrecht. Ich halte den Beitrag jedoch für mathematisch unsauber, da er suggeriert, es läge global "die" FRW-Metrik vor; richtig ist, dass lokal ggf. mehrere Karten mit je einer FRW-Metrik vorliegen, und dass dies die Möglichkeit eröffnet, diese verschiedenen Karten mittels Kartenwechselabbildungen unterschiedlich "zusammenzukleben" und so unterschiedliche Topologien zu konstruieren.
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Friedma ... ker-Metrik
Die FRW-Metrik definiert je möglichem Wert für k (0, +1, -1) die räumliche Topologie einer 3-dim. Riemannschen Mannigfaltigkeit M eindeutig! Da außerdem eine global-hyperbolische Raumzeit vorliegt, ist die Topologie der Raumzeit immer R * M, wobei R immer eine nicht-kompakte Menge darstellt (im Falle von Ur- bzw. Endknall werden diese immer ausgenommen, d.h. die Topologie entspricht immer der offenen Menge R).
Anders gesagt, die FRW-Metrik lässt verschiedene Geometrien zu (gegeben durch verschiedene Skalenfaktoren a), jedoch nicht verschiedene Topologien.
Zu der Idee, z.B. verschiedene flache Topologien mit Löchern einzuführen: ja, das funktioniert, jedoch entspricht dann die Geometrie global sicher nicht der FRW-Metrik, das hatte ich auch oben schon angedeutet:
Doch. Allerdings nur dann, wenn man "Metrik" global versteht, d.h. wenn man im Sinne der Differentialgeometrie einen vollständigen Atlas der Mannigfaltigkeit [inkl. einer Metrik auf jeder Karte] angibt. Z.B. muss man im Falle von Ebene bzw. Torus schon dazusagen, ob man zwei Bereiche identifiziert oder nicht. Andernfalls hat man aber die Metrik doch nicht vollständig definiert.Analytiker hat geschrieben:Mit der Wahl einer Metrik ist die Topologie nicht eindeutig festgelegt.
Betrachten wir eine global flache 2-dim. diff.-bare Mannigfaltigkeit mit der Karte ]0,L[ * ]0,L[ sowie dem darauf definierten euklidischen Abstandsbegriff. Diese Karte können wir auf den R^2 anwenden; sie definiert da einen (diff.-baren) Atlas Genauso können wir diese Karte auf den T^2 anwenden, nur definiert sie auf diesem keinen Atlas! In den Randstreifen zur Kompaktifizierung benötigen wir zusätzliche Karten sowie zusätzlich Kartenwechselabbildungen; der euklidische Abstandsbegriff gilt damit zwar je Karte, ist jedoch sicher nicht global gültig bzw. fortsetzbar, da Abstände auf dem T^2 nach oben beschränkt sind.
Auf dem T^2 gilt also global nicht "die" FRW-Metrik.
Wenn wir also von einer 3-dim. Mannigfaltigkeit mit k = 0 sprechen, dann müssen wir schon sehr präzise sagen, was wir meinen:
1) eine 3-Mannigfaltigkeit, auf der global "die" FRW-Metrik mit k = 0 gilt? dann entspricht diese Mannigfaltigkeit zwingend der R^3 (im Sinne einer Isometrie)
2) eine Mannigfaltigkeit, auf der lokal (= für jeweils eine Karte U) eine FRW-Metrik mit k = 0 gilt? dann entspricht diese Mannigfaltigkeit nicht zwingend der R^3 (nicht einmal im abgeschwächten Sinne einer homöomorphen Abbildung)
(2) bedeutet, dass auf einer Karte U eine FRW-Metrik mit k = 0 existiert, dass diese Karte jedoch ggf. nicht die gesamte Mannigfaltigkeit überdecken kann; d.h. man kann (bzw. muss) weitere Karten V, W, ... finden, wobei weiterhin auf jeder eine FRW-Metrik mit k = 0 vorliegt, so dass diese Karten letztlich einen (minimalen) Atlas A = {U, V, W, ...} bilden und somit die gesamte Mannigfaltigkeit überdecken. Wenn der minimale Atlas A zwei oder mehr Karten umfasst, dann ist es nicht gerechtfertigt, von "der" FRW-Metrik auf der Mannigfaltigkeit zu sprechen; dies kann nur "je Karte" gesagt werden. Andersherum: gäbe es "die" FRW-Metrik mit k = 0, also einen minimalen Atlas mit genau einer Karte, dann wären die euklidischen Abstände entsprechend der Metrik unbeschränkt; dies schließt aber z.B. den Torus aus.
Insofern hat Andreas nicht wirklich Unrecht. Ich halte den Beitrag jedoch für mathematisch unsauber, da er suggeriert, es läge global "die" FRW-Metrik vor; richtig ist, dass lokal ggf. mehrere Karten mit je einer FRW-Metrik vorliegen, und dass dies die Möglichkeit eröffnet, diese verschiedenen Karten mittels Kartenwechselabbildungen unterschiedlich "zusammenzukleben" und so unterschiedliche Topologien zu konstruieren.
Gruß
Tom
Der Wert eines Dialogs hängt vor allem von der Vielfalt der konkurrierenden Meinungen ab.
Sir Karl R. Popper
Tom
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Re: Ist unser Universum potentiell unendlich?
Ich kann deine Bedenken nicht nachvollziehen. Andreas Müller bezieht sich explizit auf FRW-Modelle, was üblich ist, worauf aber nicht immer verwiesen wird, wie etwa hier (wenn ich es nicht überlesen habe):
http://luth2.obspm.fr/~luminet/etopo.html
http://luth2.obspm.fr/~luminet/etopo.html
Re: Ist unser Universum potentiell unendlich?
Es ist mathematisch unpräzise, von einem FRW-Modell zu sprechen und dabei zu verschweigen, dass eine Kompaktifizierung dessen wesentliche Eigenschaften zerstört.Timm hat geschrieben:Ich kann deine Bedenken nicht nachvollziehen. Andreas Müller bezieht sich explizit auf FRW-Modelle, was üblich ist ...
Das FRW-Modell mit k = 0 hat eine r-Koordinate [0,unendlich[ und erlaubt invariante raumartige Abstände [0,unendlich[. Ein kompaktifiziertes Modell (Torus) mit Krümmung = 0 erlaubt invariante raumartige Abstände [0,L[, L < unendlich; damit ist es schlichtweg kein FRW-Modell im globalen Sinn, da die Radialkoordinate anders definiert ist.
Dass die Physiker diese Präzisierungen gerne vergessen, macht es nicht richtiger.
Gruß
Tom
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Sir Karl R. Popper
Tom
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Re: Ist unser Universum potentiell unendlich?
Ja, du hast mich überzeugt und danke für deine Geduld. Kompakt schließt ja gerade unendliche invariante Abstände aus. Wenn ich mich recht erinnere, gilt für solche Modelle abweichend von den FRW-Modellen auch das kosmologische Prinzip nicht.tomS hat geschrieben:
Das FRW-Modell mit k = 0 hat eine r-Koordinate [0,unendlich[ und erlaubt invariante raumartige Abstände [0,unendlich[. Ein kompaktifiziertes Modell (Torus) mit Krümmung = 0 erlaubt invariante raumartige Abstände [0,L[, L < unendlich; damit ist es schlichtweg kein FRW-Modell im globalen Sinn, da die Radialkoordinate anders definiert ist.
Falls du einen Draht zu Andreas hast, würde ich ihn nutzen. Verbesserungsvorschläge sollten eigentlich in seinem Sinn sein.
Ist unser Universum potentiell unendlich?
Stimmt, der 2-Torus T² = R² / Z² ist z.B. nicht isotrop (was man unmittelbar an den Windungszahlen einer Geodäte erkennt: diese kann unterschiedlich um den Torus laufen, so dass der Torus - in Richtung dieser Geodäte blickend - unterschiedliche aussieht).Timm hat geschrieben:Ja, du hast mich überzeugt und danke für deine Geduld. Kompakt schließt ja gerade unendliche invariante Abstände aus. Wenn ich mich recht erinnere, gilt für solche Modelle abweichend von den FRW-Modellen auch das kosmologische Prinzip nicht.tomS hat geschrieben:
Das FRW-Modell mit k = 0 hat eine r-Koordinate [0,unendlich[ und erlaubt invariante raumartige Abstände [0,unendlich[. Ein kompaktifiziertes Modell (Torus) mit Krümmung = 0 erlaubt invariante raumartige Abstände [0,L[, L < unendlich; damit ist es schlichtweg kein FRW-Modell im globalen Sinn, da die Radialkoordinate anders definiert ist.
Gruß
Tom
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