Poincaré-Vermutung und Universum

[Pippen]

Kann jmd. darlegen, welche Konsequenzen sich aus der bestätigten Poincaré-Vermutung für unser Universum ableiten? Insbesondere: Wenn unser Universum eine 3-dim. Kugel/Sphäre ist, wie & wann könnten wir das herausfinden, was müsste dazu geschehen? (zZ sieht es ja eher so aus, als ob das Universum ein stinknormaler euklid. Raum ist, also randlos, unendlich und das Parallelenaxiom gilt auf großen Distanzen, oder?)

[tomS]

Ich weiß nicht, ob daraus überhaupt etwas für das Universum folgt.

Zunächst besagt der Satz ja folgendes:

Jede einfach zusammenhängende, kompakte, unberandete, 3-dimensionale Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre.

Nehmen wir also an, das Universum wäre eine einfach zusammenhängende, kompakte, unberandete, 3-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann wissen wir seit dem Beweis von Perelman, dass damit das Universum zwingend die Topologie einer 3-Sphäre haben müsste, dass also die Topologie eindeutig festgelegt wäre (vorher hätte die Möglichkeit bestanden, dass auch andere, jedoch unbekannte Topologien zulässig gewesen wären; seit dem Beweis wissen wir, das es diese nicht gibt).

Nur: wir wissen nicht, ob die Voraussetzungen zutreffen!
- einfach zusammenhängende: statt einer 3-Sphäre könnte z.B. such ein 3-Torus vorliegen
- kompakt: der R[up]3[/up] ist ein einfaches Gegenbeispiel
- unberandete: davon gehen alle mir bekannten Modelle aus

Noch eine unscheinbare Kleinigkeit zu 3-dimensionale Mannigfaltigkeit: darin versteckt sich implizit die Annahme, dass die Raumzeit die Topologie M[up]4[/up] = R * M[up]3[/up] hat und wir uns nur noch um die räumliche 3-Mannigfaltigkeit kümmern müssen; dies wird oft vorausgesetzt, aber es gibt Gegenbeispiele wie Raumzeiten mit Wurmlöchern oder den Gödelkosmos.

Da wir also nicht wissen, ob die Voraussetzungen gelten, folgt daraus m.E. nichts.

[tomS]

zZ sieht es ja eher so aus, als ob das Universum ein stinknormaler euklid. Raum ist, also randlos, unendlich und das Parallelenaxiom gilt auf großen Distanzen, oder?

Wenn wir von einer positiven kosmologischen Konstante ausgehen (und Materie und Strahlung vernachlässigen, was in ferner Zukunft eine sehr gute Näherung wäre), dann liegt ein deSitter-Universum vor, und damit tatsächlich eine 3-Sphäre:

http://en.wikipedia.org/wiki/De_Sitter_space

[Skeltek]

Jede einfach zusammenhängende, kompakte, unberandete, 3-dimensionale Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre.

Und das hat jemand herausgefunden? *rolleyes*
Ich wusste gar nicht, daß man einem unberandeten Objekt von innerhalb überhaupt eine Form zuordnen kann.
Außerdem hat das Universum Löcher usw...
Die Frage vielmehr ist ja wohl ob jeder Bereich tatsächlich konvex ist oder man an konkaven Rändern die Beschleunigung unendlich nach innen steigt...

[breaker]

Und das hat jemand herausgefunden? *rolleyes*

Und da ist sie mal wieder, die unangemessene Arroganz...

[Skeltek]

Und das hat jemand herausgefunden? *rolleyes*

Und da ist sie mal wieder, die unangemessene Arroganz...

Ja, ich denke die Provokation ist mir gut gelungen?

[breaker]

Du sagst das so, als wäre das irgendeine Errungenschaft.

[Skeltek]

Ich bin nicht arrogant. Ich kann beweisen, daß ich das Zentrum des Universums bin. Nach einer komplizierten Koordinatentransformation kann man jedes Sphäroid als Pyramide auffassen.
Die Kugeloberfläche ist die Pyramidengrundseite und
der Radius ist die Pyramidenhöhe
Frei nach
1/3 (4 Pi r²) * r = 1/3 Kugeloberfläche mal Radius = 1/3 Pyramidengrundseite mal Höhe
Und ich stehe an der Spitze der Pyramide

Mal Spaß und Arroganz beiseite:
Wäre das Universum ein Kreis, kann man dies nicht erkennen, wenn der betrachtete Ausschnitt klein genug gewählt wird. Es ist als würde man ein Polynom vom Grad n+1 mithilfe von nur n Messpunkten interpolieren wollen während zeitgleich einem Messungenauigkeit vorliegen und die Kurve selbst noch hochfrequenten Störschwankungen unterworfen ist.
Das Problem der ganzen Sache ist, das wir nur einen kleinen Ausschnitt sehen können und nicht feststellen können, ob die hiesigen Messungen universal gelten oder auf lokale Störungen zurückzuführen sind, in denen sich unsere Hubblesphäre befindet.
Denn egal ob wir einen Kreis, mehrdimensionale Kugel oder an der Spitze umgestülpte Pyramide haben, strebt die Topologie für ein genügend kleines Areal soweit ich weiss lokal gegen die des euklidischen Raumes zu.