breaker hat geschrieben:Das verändert die Topologie NICHT. D.h. eigentlich darf man das.
Ok. Das nehme ich so hin.
breaker hat geschrieben:Aber in der Physik gibt es Gründe, aus denen man solche Räume lieber vermeidet. Ein Raum mit Ecken ist keine glatte Mannigfaltigkeit mehr. Deshalb lassen wir lieber mal alles schön glatt.
Kann ich mir vorstellen. Bildet ein SL in der Singularität nicht so eine Spitze aus?
Ich habe noch drüber nachgedacht, dass es auch fraktale Mannigfaltigkeiten geben müsste... mit interessanten Eigenschaften:
Damit müsste man ein Objekt bauen können, das 'von der Ferne gesehen' endlich groß ist (z.B. eine Kugelsphäre), das aber dennoch eine unendlich große Oberfläche hat, was man aber erst 'aus der Nähe' merkt.
Klar, für solche Aussagen bräuchte ich natürlich eine Metrik. Nur: Was für eine Metrik legt man auf ein solches Ding?
Ich glaube das wird komliziert...
breaker hat geschrieben:Dabei muss man aufpassen. Ich behaupte, was Du hier tust, ist nur eine Umparametrisierung der Kurve und sagt dir daher überhaupt nichts über die Topologie.
Vielleicht. Ich denke darüber nach:
Damit ich eine Aussage generieren kann, muss ich auf diesem Weg Unterschiede zwischen versch. Topologien klar finden können.
Am liebsten natürlich möglichst allgemein, für alle möglichen Fälle und nicht nur für ganz spezielle Objekte, wie Geraden.
Dennoch:
Wenn ich mit der 'Halbierungsmethode' auch nur ein einziges Objekt auf Topologie A finden kann, das auf Topologie B nicht existiert, dann kann ich beide Topologien unterscheiden. Das ist der Fall, wenn ich Schleifen zulasse: Es gibt Schleifen auf dem Torus, die sich nicht beliebig oft halbieren lassen (wegen dem 'Loch').
Diese existieren nicht auf der Ebene und auch nicht auf der Sphäre. Der Vorteil der 'Halbierungsmethode' scheint mir zu sein, dass sie bijektiv ist, was bei der 'Punktmethode' nicht der Fall ist.
Ich bin in der Notation leider nicht geübt und muss das zur Sicherheit nachfragen:
Wie verstehe ich das genau in Worten?
mit
. X bezeichnet den Raum, den man untersuchen will.
bedeutet eine Zuordnungsvorschrift des Intervalls auf X.
Ist
die Bedingung, die einen Punkt erzeugt? D.h. die Funktion Gamma ordnet der 1 denselben Wert zu wie der Null? Was ist mit den Werten dazwischen?
Beim wiederholten Halbieren braucht man das nicht, denn man wird nur beliebig klein, kommt aber nie zu einem Punkt.
Man muss m. E. nur sicherstellen, dass man stets und wiederholt halbieren darf, bzw. muss man identifizieren, wenn es nicht geht.
Es könnte evtl. sein, dass sich das (formal) nicht klar aufschreiben lässt. Das weiß ich noch nicht.
(Man muss wiederholt halbieren können, wenn man im Torus auch lange ('ausgeleierte') Schleifen (die durch das Loch gehen) finden können will.)
breaker hat geschrieben:Für Deine Methode mit der halbierten Länge muss man also auch zunächst spezifizieren, welche Kurven man benutzen will. Was soll ihr Definitionsbereich sein? Ein offenes Intervall? Ein geschlossenes Intervall? Oder ganz R?
Sollen sie irgendwelche Zusatzbedingungen erfüllen
Nun ja, wenn man das vernünftig machen wollte, dann müsste man wohl zunächst sicherstellen, dass die Abbildung existiert.
Außerdem könnte man beliebige Kurven/Schleifen untersuchen wollen (offen und geschlossen).
Bedingung muss natürlich sein, dass die Länge nach der Abbildung auch halb so groß ist (oder in einer schwächeren Form würde evtl. auch genügen, dass sie um einen nicht gegen Null gehenden Faktor kleiner geworden sein muss).
Die Länge von Kurven würde ich technisch so messen, dass ich sie in gleichgroße kleine Teilstücke zerlege, die ich als (gerade) Strecken behandeln und einzeln halbieren kann.
Keine Ahnung was man am Besten als Def.-Bereich nimmt. Warum nicht ganz R?
Ich weiß zu wenig darüber, was man in solchen Bereichen vernünftigerweise genau herausarbeiten will/sollte.
Grüße
seeker