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Sehr guter Kosmologie-Vortrag, Topologien

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag

Beitrag von seeker » 22. Dez 2013, 13:07

OK, verstanden. Stimmt.
Denn diese geschlossene Kurve im Torus ist ja quasi das Analogon zu einer unendlichen Linie im unendlich ausgedehnten flachen Raum.
Nur bewertet man scheint's die unendliche Linie in der unendlichen Ebene als nicht geschlossen (womit sie der betrachteten Kategorie "geschlossene Schleife" nicht angehört)...
Aber stimmt das?? Ist diese Linie offen oder ist sie doch eine geschlossene Schleife, mit unendlichem Durchmesser?
Ich denke, das ist dort einfach mathematisch unbestimmt, im physikalisch übertragenen Sinne wäre es aber im Sinne von "unbekannt" zu sehen.

Somit scheint nicht ganz klar zu sein, ob das wirklich ein Unterschiedungsmerkmal darstellt, um sagen zu können, "der 3-Torus ist komplizierter".

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag

Beitrag von breaker » 22. Dez 2013, 14:00

Eine unendlich lange gerade im flachen Raum ich nicht geschlossen.
Es ist nichts unbedtimmt und die Sache mit den Kurven ist eigentlich ganz einfach. Damit man aber sieht, wie einfach es ist, muss man viele technische mathematische Details hinzufügen. Beispielsweise nimmt man für die Definition von einfach-zusammenhängend nur Kurven, die vom abgeschlossenen Intervall [0,1] starten und stetig sind. Diese Einschränkungen führen dann schonmal dazu, dass die Kurven nicht unendlich lang sein können. Geschlossen bedeutet nun, dass die Kurve für 0 und für 1 den selben Wert hat.
...Denn diese geschlossene Kurve im Torus ist ja quasi das Analogon zu einer unendlichen Linie im unendlich ausgedehnten flachen Raum...
Eigentlich ist sie kein Analogon zu einer unendlich langen Linie. Ein Analogon, das die Situation besser veranschaulicht, ist das Folgende:
Wir nehmen nicht Würfel und 3-Torus, sondern ignorieren zwei Dimensionen und betrachten eine Kreislinie und das Einheitsintervall [0,1].
Wenn man die Enden des Intervalls miteinander verklebt, erhält man eine Kreislinie. Angenommen, unsere Gehirne wären nicht klug genug, um sich die Kreislinie vorzustellen (wie es beim 3-Torus der Fall ist). Dann nehmen wir das Einheitsintervall mit identifizierten Endpunkten als Hilfsmittel. Wenn wir zeigen wollen, dass die Kreislinie nicht einfach-zusammenhängend ist, müssen wir versuchen, eine geschlossene Kurve zu finden, die sich nicht zusammenziehen lässt. Wir probieren es mit einer Kurve im Einheitsintervall, die bei 0 startet und bei 1 aufhört. Da die Endpunkte identifiziert sind, ist die Kurve geschossen.
Jetzt ist die Frage: Kann ich die Kurve zusammenziehen? Um diese Frage zu beantworten, nutzen wir jetzt die Tatsache, dass wir uns eine Kreislinie eben doch vorstellen können. Wie sieht die von uns gewählte Kurve in der Kreislinie aus? Es ist eine Kurve, die genau einmal um die Kreislinie herumläuft und wieder bei dem Punkt ankommt, bei dem sie gestartet ist. Diese Kurve kann man aber nicht zusammenziehen, ohne die Kreislinie zu verlassen - was verboten ist.

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag

Beitrag von seeker » 22. Dez 2013, 22:20

breaker hat geschrieben:Eine unendlich lange Gerade im flachen Raum ist nicht geschlossen.
... sagst du jetzt so lapidar. Und du hast natürlich Recht.
Nur frage ich mich, ob das vielleicht nur eine Konvention ist?
Jedenfalls: Wenn ich eine Schleife beliebig groß mache und dann den Grenzwert für Radius->Unendlich betrachte, dann kommt auch eine Gerade raus.
Ich gebe aber zu, dass eine Schleife mit unendlichem Radius die Eigenschaft "Schleife" zu sein zu verlieren scheint.
Man müsste sonst quasi die nicht vorhandenen gegenüberliegenden Ränder im Unendlichen zusammenkleben.
Das Ganze finde ich recht verzwickt und gar nicht einfach... besonders, wenn man dann noch versucht die Sache auf die Physik bzw. Natur zu übertragen.

breaker hat geschrieben:Eigentlich ist sie kein Analogon zu einer unendlich langen Linie. Ein Analogon, das die Situation besser veranschaulicht, ist das Folgende:
Wir nehmen nicht Würfel und 3-Torus, sondern ignorieren zwei Dimensionen und betrachten eine Kreislinie und das Einheitsintervall [0,1].
Wenn man die Enden des Intervalls miteinander verklebt, erhält man eine Kreislinie. Angenommen, unsere Gehirne wären nicht klug genug, um sich die Kreislinie vorzustellen (wie es beim 3-Torus der Fall ist). Dann nehmen wir das Einheitsintervall mit identifizierten Endpunkten als Hilfsmittel. Wenn wir zeigen wollen, dass die Kreislinie nicht einfach-zusammenhängend ist, müssen wir versuchen, eine geschlossene Kurve zu finden, die sich nicht zusammenziehen lässt. Wir probieren es mit einer Kurve im Einheitsintervall, die bei 0 startet und bei 1 aufhört. Da die Endpunkte identifiziert sind, ist die Kurve geschossen.
Jetzt ist die Frage: Kann ich die Kurve zusammenziehen? Um diese Frage zu beantworten, nutzen wir jetzt die Tatsache, dass wir uns eine Kreislinie eben doch vorstellen können. Wie sieht die von uns gewählte Kurve in der Kreislinie aus? Es ist eine Kurve, die genau einmal um die Kreislinie herumläuft und wieder bei dem Punkt ankommt, bei dem sie gestartet ist. Diese Kurve kann man aber nicht zusammenziehen, ohne die Kreislinie zu verlassen - was verboten ist.
Ja, das ist gut. Im Prinzip hab ich das auch so ähnlich (wenn auch vielleicht z.T. unbewusst) so gemacht.
Man muss nur fragen: Bekomme ich die Schleife irgendwie (schieben, verziehen, usw., aber nicht aufschneiden) komplett auf mein Blatt Papier, so dass sie keinen Rand mehr berührt?
Das geht beim 3-Torus nicht, wenn die Schleife zwei gegenüberliegende Punkte an den Rändern berührt (so, dass sie auch ne Schleife ist).

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag

Beitrag von breaker » 23. Dez 2013, 00:11

In der Mahematik ist ALLES nur eine Konvention. Diese Schleifen, von denen wir sprechen haben ja keine physikalische Relevanz. Sie sind lediglich mathematische Hilfsmittel, um Aussagen über die Topologie eines Raumes treffen zu können. Und weil sie nur Hilfsmittel sind, ist es eine Frage der Zweckmäßigkeit, wie man sie definiert. Und es hat sich eben herausgestellt , dass es am zweckmäßigsten ist, eine geschlossene Kurve als eine Abbildung von dem Intervall [0,1] in die Mannigfaltigkeit zu definieren, die bei 0 den gleichen Wert hat, wie bei 1. Und nach dieser Definition ist eine Gerade keine geschlossene Kurve.

Übrigens fällt mir auf Anhieb kein sinnvoller Konvergenzbegriff ein, bei dem ein immer größer werdender Krwis gegen eine Gerade konvergiert.

Die Kurve im Torus muss nicht so gelegt werden, dass sie keinen Rand berührt. Die Ränder sind in Wirklichkeit gar nicht da, sie sind nur Teil des anschaulichen Modells, das wir gewählt haben, um uns den Torus vorzustellen.
Wenn du nur Kurven zulässt, die den Rand nicht berühren, untersuchst du tatsächlich nicht mehr den Rorus, sondern den Würfel selbst.

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag

Beitrag von seeker » 23. Dez 2013, 11:05

breaker hat geschrieben:In der Mahematik ist ALLES nur eine Konvention. Diese Schleifen, von denen wir sprechen haben ja keine physikalische Relevanz. Sie sind lediglich mathematische Hilfsmittel, um Aussagen über die Topologie eines Raumes treffen zu können. Und weil sie nur Hilfsmittel sind, ist es eine Frage der Zweckmäßigkeit, wie man sie definiert. Und es hat sich eben herausgestellt , dass es am zweckmäßigsten ist, eine geschlossene Kurve als eine Abbildung von dem Intervall [0,1] in die Mannigfaltigkeit zu definieren, die bei 0 den gleichen Wert hat, wie bei 1. Und nach dieser Definition ist eine Gerade keine geschlossene Kurve.
Ja. Ich denke darüber ja nur nach, weil ich im Hinterkopf habe, dass man evtl. versuchen könnte zu sagen, dass der 3-Torus komplizierter als die unendliche Ebene sei und dass deshalb per Ockham's Razor die Ebene zu bevorzugen sei.

breaker hat geschrieben:Die Ränder sind in Wirklichkeit gar nicht da, sie sind nur Teil des anschaulichen Modells, das wir gewählt haben, um uns den Torus vorzustellen.
Das ist völlig klar.
breaker hat geschrieben:Die Kurve im Torus muss nicht so gelegt werden, dass sie keinen Rand berührt.
Aber es funktioniert m.E. so auch. Ich glaube, ich tue auf diese Weise exakt dasselbe, wie du mit dem Intervall beschrieben hast.
Die Ränder sind genau [0,1].
breaker hat geschrieben:Wenn du nur Kurven zulässt, die den Rand nicht berühren, untersuchst du tatsächlich nicht mehr den Rorus, sondern den Würfel selbst.
Das tue ich nicht, ich lasse alle Kurven zu. Ich untersuche nur (per Vorstellung), ob eine geschlossene Linie (die bei [0,1] bzw. [(0,0), (1,1)] bzw. ... zusammengeklebt ist, ebenso natürlich dort mein Torus) so manipuliert werden kann, dass sie diesen Rand (der sein kann wo ich möchte) nicht mehr berührt. Ist das der Fall, so kann ich die Schleife auf die Größe Null zusammenziehen, wenn nicht nicht.
...und das geht z.B. beim 2-Torus oder 3-Torus nicht: Ich kann nur Schleifen auf Null zusammenziehen (ohne den Torus selbst zusammenzuziehen), die meine (gegenüberliegenden) Ränder nicht so berühren, dass sie dort zusammengeklebt sind.

Bei der Ebene geht das immer, weil es dort keinen Rand gibt.

Was ich gerade noch interessant finde:
Es scheint auch beim Torus dennoch unendlich lange (offene) Geraden zu geben.

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag

Beitrag von breaker » 23. Dez 2013, 11:20

Ok, ich glaube wir sind uns einig.
Der Torus hat insofern eine kompliziertere Topologie, als dass man nicht jede geschlossene Kurve zu einem Punkt zusammenziehen kann.
Es scheint auch beim Torus dennoch unendlich lange (offene) Geraden zu geben.
Ja, es gibt unendlich lange Kurven, die sich unendlich dicht um den Torus wickeln (und nicht geschlossen sind), falls Du das meinst.

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag

Beitrag von seeker » 23. Dez 2013, 12:02

Ja wir sind uns einig und ja das meinte ich.
breaker hat geschrieben:Der Torus hat insofern eine kompliziertere Topologie, als dass man nicht jede geschlossene Kurve zu einem Punkt zusammenziehen kann.
Und über diesen Punkt habe ich mir Gedanken gemacht: "kompliziertere Topologie"?
Das könnte nur ein Scheinargument sein, das sich daraus ergibt, was man als Schleife definiert und was nicht.
Wenn ich bei der unendlichen Ebene noch die (unendliche) Gerade zu meiner Betrachtung hinzunehme, dann stelle ich auch bei ihr fest, dass ich sie nicht definiert auf einen Punkt zusammenziehen kann.
Damit hätten wir aber sowohl beim Torus als auch bei der Ebene zweierlei Objekte (solche wo das Zusammenziehen geht und solche, wo es nicht geht) und somit sozusagen "Gleichstand".

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag

Beitrag von breaker » 23. Dez 2013, 12:12

seeker hat geschrieben:Ja wir sind uns einig und ja das meinte ich.

Und über diesen Punkt habe ich mir Gedanken gemacht: "kompliziertere Topologie"?
Das könnte nur ein Scheinargument sein, das sich daraus ergibt, was man als Schleife definiert und was nicht.
Wenn ich bei der unendlichen Ebene noch die (unendliche) Gerade zu meiner Betrachtung hinzunehme, dann stelle ich auch bei ihr fest, dass ich sie nicht definiert auf einen Punkt zusammenziehen kann.
Damit hätten wir aber sowohl beim Torus als auch bei der Ebene zweierlei Objekte (solche wo das Zusammenziehen geht und solche, wo es nicht geht) und somit sozusagen "Gleichstand".
Eine unendlich lange Gerade in der Ebene kann man stetig auf einen Punkt zusammenziehen.

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag

Beitrag von seeker » 23. Dez 2013, 12:48

Ja aber gibt's da nicht nen Unterschied?

Wenn ich nen endlichen Kreis immer kleiner mache, dann komme ich im Grenzwert beliebig nahe an den Punkt. Salopp: x/oo = 0
Wenn ich dasselbe mit ner (unendlich langen) Geraden mache bekomme ich etwas Unbestimmtes. Salopp: oo/oo = nicht definiert bzw. unbestimmt
Oder?

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag

Beitrag von breaker » 23. Dez 2013, 13:43

Die mathematischen Definitionen sind so gemacht, dass es eben geht.
Um das beweisen zu können, muss man mehr ins Detail gehen:

"Stetig auf einen Punkt zusammenziehen" bedeutet, dass folgendes:
Sei irgendein Intervall in den reellen Zahlen. Eine Kurve heißt stetig-auf-einen-Punkt-zusammenziehbar, wenn es eine stetige Abbildung gibt, sodass für alle t und für alle t.

Prüfen wir für und die Gerade nach, ob das möglich ist:
Setze . Dann gilt und für alle t.
Also ist die Gerade auf einen Punkt zusammenziehbar.

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag

Beitrag von seeker » 30. Dez 2013, 11:59

OK.
Das heißt, wenn ich jeden Punkt der Geraden eindeutig so auf einen beliebigen einzigen Punkt in R^2 abbilden kann, dass es zu keinen Unstetigkeiten (also in unserem Fall Zweideutigkeiten) kommt, dann heißt die Figur "auf einen Punkt zusammenziehbar".
(Nebenbemerkung: Diese Abbildung ist nicht eineindeutig/bijektiv.)

Das ist bei der Geraden auf der Ebene gegeben, allerdings zu dem Preis, dass ich nie mit meiner Abbilderei fertig werde. Ich kann jedoch prinzipiell alle (bzw. jeden beliebigen) Punkte der Geraden (beweisbar) eindeutig abbilden.
Bei der Schleife auf dem Torus aber nicht immer, weil es dort Schleifen gibt, die (gedachte) gegenüberliegende Ränder berühren.
Es kommt also dort zwangsläufig (egal, wo ich meine Null festlege) zu mindestens einer Zweideutigkeit bei der Abbildung auf einen Punkt (es sei denn, ich verzichte auf die Bedingung , womit ich nur noch eine Pseudometrik habe - oder es sei denn, ich betrachte die Dinge nicht in R sondern in nicht-dichten Mengen, wie z.B. in N, was erhebliche Nachteile hätte).
Dafür kann ich alle Punkte auf der endlichen Schleife "sehen", die ich abbilden will.

Mir fällt noch eine Ähnlichkeit zwischen Geraden auf der Ebene und nicht zusammenziebaren Schleifen auf dem Torus auf, die zwei gegenüberliegende Ränder im rechten Winkel überqueren:
Wenn ich beide versuche nicht auf einen Punkt zusammenzuziehen, sondern nur in der Länge zu verkürzen, dann geht das bei beiden nicht.
Im Gegensatz dazu gelingt genau das bei einer Kugelsphäre und der endlichen, berandeten Ebene: Es existieren dort keine endlich langen Kurven oder Schleifen, deren Länge ich nicht z.B. halbieren kann.

Noch ein Gedanke:
Wenn ich mir vorstelle, dass ich meinen Torus unendlich groß mache, dann komme ich doch genau zu der unendlich ausgedehnten Ebene - oder?
Insofern wäre der Torus eines der einfachsten endlichen Äquivalente zur unendlichen Ebene.
Wie mir scheint sogar einfacher als die endlich ausgedehnte, berandete Ebene und die Kugelsphäre.
Kann man das so bewerten?

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag, Topologien

Beitrag von breaker » 31. Dez 2013, 11:57

Zunächst eine wichtige Sache: Die Methode mit den zusammenziehbaren Schleifen setzt KEINE Metrik voraus. Die Topologie einer Mannigfaltigkeit ist grundlegender in dem Sinne dass jede Mannigfaltigkeit eine Topologie hat, aber nicht jede Mannigfaltigkeit eine Metrik braucht. Die Metrik ist eine Zusatzstruktur.
Anschaulich: Mit einer Topologie ist man relativ blind. Man kann eine Kaffeetasse nicht von einem Torus unterscheiden, aber immerhin eine Kugel von einem Torus. Hat man eine Metrik gewählt, dann kann man sehrwohl die Kaffeetasse vom Torus unterscheiden.

Solange man keine Metrik hat, ist es aber nicht sinnvoll, über Längen von Kurven zu sprechen.

Man kann aber natürlich versuchen, eine Metrik zu benutzen, um etwas über die Topologie der Mannigfaltigkeit zu lernen (beispielsweise kann man mit dem Satz von Gauß-Bonnet die Euler-Charakteristik aus der Metrik berechnen). Man kann Deine Idee also folgendermaßen umsetzen:
Ich wähle irgendeine Metrik auf meiner Mannigfaltigkeit und schaue dann, ob sich von jeder Kurve die Länge halbieren lässt. Diese Problemstellung ergibt nun Sinn, da die Kurvenlängen durch die Metrik definiert sind.
Aber wenn man das als Alternative zum weiter oben beschriebenen Verfahren vorschlagen will, gibt es einige Hürden:
1. Wenn man nur geschlossene Kurven zulässt, dann kommt wahrscheinlich das gleiche heraus, wie bei der alten Methode. Denn wenn man alle Kurvenlängen halbieren kann, kann man sich irgendeine Kurve nehmen und deren Länge immerwieder halbieren und landet irgendwann bei einem Punkt. Damit hab ich sie auf einen Punkt zusammengezogen.
2. Wenn man nicht nur geschlossene Kurven zulässt, gibt es unter Umständen Kurven unendlicher Länge. Aber was bedeutet "Länge halbieren" für solche Kurven?

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag, Topologien

Beitrag von seeker » 5. Jan 2014, 14:08

breaker hat geschrieben:Zunächst eine wichtige Sache: Die Methode mit den zusammenziehbaren Schleifen setzt KEINE Metrik voraus. Die Topologie einer Mannigfaltigkeit ist grundlegender in dem Sinne dass jede Mannigfaltigkeit eine Topologie hat, aber nicht jede Mannigfaltigkeit eine Metrik braucht. Die Metrik ist eine Zusatzstruktur.
Anschaulich: Mit einer Topologie ist man relativ blind. Man kann eine Kaffeetasse nicht von einem Torus unterscheiden, aber immerhin eine Kugel von einem Torus. Hat man eine Metrik gewählt, dann kann man sehrwohl die Kaffeetasse vom Torus unterscheiden.
Ja, das hatte ich schon einigermaßen verstanden und versuche es mir zu merken. Die Topologie ist sozusagen die strukturelle Minimalaussage/-festlegung.

Soweit ich das sehe, kann ich mir für diese Diskussion hier die Dinge so merken:
Wenn ich eine Topologie habe, dann ist diese dadurch festgelegt, wie viele (äußere) Ränder und Löcher (='innere Ränder') ich finde und in wie vielen Dimensionen ich arbeite.
Ich darf die Struktur verziehen, stauchen, verdrehen und verknoten, usw., wie es mir beliebt, ohne die Topologie dabei zu verändern.
Was ich nicht darf ist zerschneiden und verkleben von Punkten, Rändern oder Flächen, denn das ändert die Topologie.

Was ich noch nicht weiß:
Darf ich ich meine (z.B. flache) Topologie so manipulieren, dass Ecken, Spitzen und Kanten entstehen? Verändert das die Topologie oder nicht?
Ich glaube, dass es das tut, denn ein Eck bzw. eine Spitze stellt eine Unstetigkeit dar, die eine flache Ebene nicht hat. Ist das so?
Oder lassen sich auch dort (manchmal?) Metriken finden, die diese scheinbaren Unstetigkeiten auflösen?
breaker hat geschrieben:Solange man keine Metrik hat, ist es aber nicht sinnvoll, über Längen von Kurven zu sprechen.
Wichtig! Ja, nochmals ins Bewusstsein gehoben.
breaker hat geschrieben:Ich wähle irgendeine Metrik auf meiner Mannigfaltigkeit und schaue dann, ob sich von jeder Kurve die Länge halbieren lässt. Diese Problemstellung ergibt nun Sinn, da die Kurvenlängen durch die Metrik definiert sind. Aber wenn man das als Alternative zum weiter oben beschriebenen Verfahren vorschlagen will, gibt es einige Hürden:
1. Wenn man nur geschlossene Kurven zulässt, dann kommt wahrscheinlich das gleiche heraus, wie bei der alten Methode. Denn wenn man alle Kurvenlängen halbieren kann, kann man sich irgendeine Kurve nehmen und deren Länge immerwieder halbieren und landet irgendwann bei einem Punkt. Damit hab ich sie auf einen Punkt zusammengezogen.
2. Wenn man nicht nur geschlossene Kurven zulässt, gibt es unter Umständen Kurven unendlicher Länge. Aber was bedeutet "Länge halbieren" für solche Kurven?
Meinen Vorschlag zum Halbieren von Längen sehe ich nicht unbedingt als Alternative zum weiter oben beschriebenen Verfahren -denn dieses Strukturkriterium besteht ja dennoch- sondern als für mich interessante Frage, ob und wie sich eine solche Struktur identifizieren lässt.
Ich interessiere mich einfach ein wenig dafür, welche Strukturen man auf Topologien finden kann und was uns diese sagen.

Zu 1.: Ja, sehe ich genauso. Wichtig erscheint mir, dass es auch hier auf dem Torus Schleifen gibt, die sich nicht beliebig oft halbieren lassen (und die es auf der Ebene nicht gibt).

Zu 2.: Ich denke, das ließe sich bewerkstelligen, das zu definieren.

Beispiel:
Ich nehme eine Ebene ohne Rand (also unendlich ausgedehnt), lege eine kartesisches KS darauf und zeichne eine Gerade darauf: x = 1
'Länge halbieren' würde dann bedeuten, dass ich eine Abbildung durchführe, die jeden Punkt P(1|y) auf einen Punkt P'(1|y/2) abbildet.
Dasselbe kann ich auch mit einer Strecke machen.

Nach der Abbildung bewerte ich die Länge der halbierten/abgebildeten Figur indem ich mir die Differenz zwischen Anfangs- und Endpunkt anschaue.
Bei der Geraden bleibt diese Differenz auch nach der Abbildung offensichtlich unendlich, bei einer Strecke der Länge s wurde sie aber auf s/2 verkürzt.
Daher kann ich das so interpretieren, dass sich die Gerade nicht halbieren lässt.

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag, Topologien

Beitrag von breaker » 5. Jan 2014, 18:29

Soweit ich das sehe, kann ich mir für diese Diskussion hier die Dinge so merken:
Wenn ich eine Topologie habe, dann ist diese dadurch festgelegt, wie viele (äußere) Ränder und Löcher (='innere Ränder') ich finde und in wie vielen Dimensionen ich arbeite.
Ich darf die Struktur verziehen, stauchen, verdrehen und verknoten, usw., wie es mir beliebt, ohne die Topologie dabei zu verändern.
Was ich nicht darf ist zerschneiden und verkleben von Punkten, Rändern oder Flächen, denn das ändert die Topologie.
Als anschauliche Faustregel ist das gut, ja.
Darf ich ich meine (z.B. flache) Topologie so manipulieren, dass Ecken, Spitzen und Kanten entstehen? Verändert das die Topologie oder nicht?
Das verändert die Topologie NICHT. D.h. eigentlich darf man das.
Aber in der Physik gibt es Gründe, aus denen man solche Räume lieber vermeidet. Ein Raum mit Ecken ist keine glatte Mannigfaltigkeit mehr. Deshalb lassen wir lieber mal alles schön glatt.
Zu 2.: Ich denke, das ließe sich bewerkstelligen, das zu definieren.

Beispiel:
Ich nehme eine Ebene ohne Rand (also unendlich ausgedehnt), lege eine kartesisches KS darauf und zeichne eine Gerade darauf: x = 1
'Länge halbieren' würde dann bedeuten, dass ich eine Abbildung durchführe, die jeden Punkt P(1|y) auf einen Punkt P'(1|y/2) abbildet.
Dasselbe kann ich auch mit einer Strecke machen.
Dabei muss man aufpassen. Ich behaupte, was Du hier tust, ist nur eine Umparametrisierung der Kurve und sagt dir daher überhaupt nichts über die Topologie.
Um die von Dir angestrebte Methode präzise zu machen, muss man vorher sagen, welche Kurven man zulässt. Bei der Methode, die ich oben beschrieben habe (das mit Kurven auf einen Punkt zusammenziehen und so), benutzt man Schleifen. Das sind Kurven

mit . X bezeichnet den Raum, den man untersuchen will.
Für Deine Methode mit der halbierten Länge muss man also auch zunächst spezifizieren, welche Kurven man benutzen will. Was soll ihr Definitionsbereich sein? Ein offenes Intervall? Ein geschlossenes Intervall? Oder ganz ?
Sollen sie irgendwelche Zusatzbedingungen erfüllen (analog zu )?

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag, Topologien

Beitrag von seeker » 6. Jan 2014, 00:07

breaker hat geschrieben:Das verändert die Topologie NICHT. D.h. eigentlich darf man das.
Ok. Das nehme ich so hin.
breaker hat geschrieben:Aber in der Physik gibt es Gründe, aus denen man solche Räume lieber vermeidet. Ein Raum mit Ecken ist keine glatte Mannigfaltigkeit mehr. Deshalb lassen wir lieber mal alles schön glatt.
Kann ich mir vorstellen. Bildet ein SL in der Singularität nicht so eine Spitze aus?
Ich habe noch drüber nachgedacht, dass es auch fraktale Mannigfaltigkeiten geben müsste... mit interessanten Eigenschaften:
Damit müsste man ein Objekt bauen können, das 'von der Ferne gesehen' endlich groß ist (z.B. eine Kugelsphäre), das aber dennoch eine unendlich große Oberfläche hat, was man aber erst 'aus der Nähe' merkt.
Klar, für solche Aussagen bräuchte ich natürlich eine Metrik. Nur: Was für eine Metrik legt man auf ein solches Ding?
Ich glaube das wird komliziert... :)
breaker hat geschrieben:Dabei muss man aufpassen. Ich behaupte, was Du hier tust, ist nur eine Umparametrisierung der Kurve und sagt dir daher überhaupt nichts über die Topologie.
Vielleicht. Ich denke darüber nach:
Damit ich eine Aussage generieren kann, muss ich auf diesem Weg Unterschiede zwischen versch. Topologien klar finden können.
Am liebsten natürlich möglichst allgemein, für alle möglichen Fälle und nicht nur für ganz spezielle Objekte, wie Geraden.

Dennoch:
Wenn ich mit der 'Halbierungsmethode' auch nur ein einziges Objekt auf Topologie A finden kann, das auf Topologie B nicht existiert, dann kann ich beide Topologien unterscheiden. Das ist der Fall, wenn ich Schleifen zulasse: Es gibt Schleifen auf dem Torus, die sich nicht beliebig oft halbieren lassen (wegen dem 'Loch').
Diese existieren nicht auf der Ebene und auch nicht auf der Sphäre. Der Vorteil der 'Halbierungsmethode' scheint mir zu sein, dass sie bijektiv ist, was bei der 'Punktmethode' nicht der Fall ist.

Ich bin in der Notation leider nicht geübt und muss das zur Sicherheit nachfragen:
Wie verstehe ich das genau in Worten?

mit . X bezeichnet den Raum, den man untersuchen will.
bedeutet eine Zuordnungsvorschrift des Intervalls auf X.
Ist die Bedingung, die einen Punkt erzeugt? D.h. die Funktion Gamma ordnet der 1 denselben Wert zu wie der Null? Was ist mit den Werten dazwischen?

Beim wiederholten Halbieren braucht man das nicht, denn man wird nur beliebig klein, kommt aber nie zu einem Punkt.
Man muss m. E. nur sicherstellen, dass man stets und wiederholt halbieren darf, bzw. muss man identifizieren, wenn es nicht geht.
Es könnte evtl. sein, dass sich das (formal) nicht klar aufschreiben lässt. Das weiß ich noch nicht.
(Man muss wiederholt halbieren können, wenn man im Torus auch lange ('ausgeleierte') Schleifen (die durch das Loch gehen) finden können will.)
breaker hat geschrieben:Für Deine Methode mit der halbierten Länge muss man also auch zunächst spezifizieren, welche Kurven man benutzen will. Was soll ihr Definitionsbereich sein? Ein offenes Intervall? Ein geschlossenes Intervall? Oder ganz R?
Sollen sie irgendwelche Zusatzbedingungen erfüllen
Nun ja, wenn man das vernünftig machen wollte, dann müsste man wohl zunächst sicherstellen, dass die Abbildung existiert.
Außerdem könnte man beliebige Kurven/Schleifen untersuchen wollen (offen und geschlossen).
Bedingung muss natürlich sein, dass die Länge nach der Abbildung auch halb so groß ist (oder in einer schwächeren Form würde evtl. auch genügen, dass sie um einen nicht gegen Null gehenden Faktor kleiner geworden sein muss).
Die Länge von Kurven würde ich technisch so messen, dass ich sie in gleichgroße kleine Teilstücke zerlege, die ich als (gerade) Strecken behandeln und einzeln halbieren kann.
Keine Ahnung was man am Besten als Def.-Bereich nimmt. Warum nicht ganz R?
Ich weiß zu wenig darüber, was man in solchen Bereichen vernünftigerweise genau herausarbeiten will/sollte.

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag, Topologien

Beitrag von breaker » 7. Jan 2014, 20:20

Kann ich mir vorstellen. Bildet ein SL in der Singularität nicht so eine Spitze aus?
Ja, ich würde sagen, das kann man sich so vorstellen.
Ich bin in der Notation leider nicht geübt und muss das zur Sicherheit nachfragen:
Wie verstehe ich das genau in Worten?
Die Schreibweise bedeutet, dass eine Abbildung ist, deren Definitionsbereich das Intervall [0,1] und deren Zielbereich der Raum X ist. Solche Abbildungen nennt man Kurven. Die Anschauung dabei ist, dass das Intervall durch die Abbildung irgendwie verzerrt in den Raum X hineingesetzt wird.
Warum nicht ganz R?
Ganz grob gesagt ist das Problem folgendes:
Wenn jede Kurve ganz R als Definitionsbereich haben soll, dann gibt es keine geschlossenen Kurven, weil R weder einen anfangs- noch einen Endpunkt hat.
Wenn man nur abgeschlossene Intervalle (z.B. [0,1]) zulässt, dann gibt es keine unendlich langen Kurven.

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag, Topologien

Beitrag von seeker » 9. Jan 2014, 12:59

breaker hat geschrieben:Wenn jede Kurve ganz R als Definitionsbereich haben soll, dann gibt es keine geschlossenen Kurven, weil R weder einen anfangs- noch einen Endpunkt hat.
Ach so ist das gemeint. Ich war gedanklich woanders. Ich bin es halt gewöhnt, dass man erst den Def.Bereich festlegt (als Grundmenge) und dann erst Einschränkungen darauf vornimmt.
Daher auch die Verwirrung. Wenn ich nen Torus habe, dann wär's ja eh sinnlos ganz R als Def.Bereich zu nehmen - oder wie ist das?
Falls doch nicht, dann gäb's ja doch geschlossene Kurven in R, wenn es z.B. ein Torus oder eine Sphäre ist?

Wenn ich dagegen [0,1] nehme, dann schließe ich ja im Grunde nur die Unendlichkeit aus -oder?
Denn ich kann ja mein Intervall im Prinzip beliebig skalieren, sodass im Prinzip kein Unterschied zwischen z.B. [0,1] und [0,10000000000000] besteht. Ja?

Sag mal, in wie vielen Dimensionen bewegen wir uns bei all dem was du sagst hier eigentlich?

U.a auch hier:
Die Schreibweise bedeutet, dass eine Abbildung ist, deren Definitionsbereich das Intervall [0,1] und deren Zielbereich der Raum X ist. Solche Abbildungen nennt man Kurven. Die Anschauung dabei ist, dass das Intervall durch die Abbildung irgendwie verzerrt in den Raum X hineingesetzt wird.
Ein Intervall ist gewohnheitsbedingt für mich zuerst einmal eindimensional. Wie ist es hier? (In einer Dimension kann man keine Schleifen machen.)
breaker hat geschrieben:Wenn man nur abgeschlossene Intervalle (z.B. [0,1]) zulässt, dann gibt es keine unendlich langen Kurven.
Schon bei zwei Dimensionen würde das doch schon nicht mehr gelten:
Ich kann meine Kurve fraktal machen (und damit unendlich lang) und ich kann eine Schleife, wenn ich sie flach zusamndrücke und doppelt nehme auf einer endlichen Fläche auch unendlich lang werden lassen, indem ich dicht-gepackte Schlangenlinien fahre.
Nicht?

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Re: Sehr guter Kosmologie-Vortrag, Topologien

Beitrag von breaker » 9. Jan 2014, 14:44

Wenn ich dagegen [0,1] nehme, dann schließe ich ja im Grunde nur die Unendlichkeit aus -oder?
Denn ich kann ja mein Intervall im Prinzip beliebig skalieren, sodass im Prinzip kein Unterschied zwischen z.B. [0,1] und [0,10000000000000] besteht. Ja?
Ja.
Ein Intervall ist gewohnheitsbedingt für mich zuerst einmal eindimensional. Wie ist es hier? (In einer Dimension kann man keine Schleifen machen.)
Ja, es ist eindimensional. Eine Abbildung, die etwas eindimensionales nimmt und es in irgendeinen Raum hinein abbildet, nennt man Kurve. Die Schreibweise [0,1] bedeutet immer die Menge aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1 (wobei 0 und 1 dazugehören).
Daher sind Torus und Sphäre keine Kurven.
Sag mal, in wie vielen Dimensionen bewegen wir uns bei all dem was du sagst hier eigentlich?
Nochmal zur Sicherheit: Die Dimension des Intervalls [0,1] ist 1 und die Dimension des Zielraumes X ist im Prinzip egal. Man kann jeden Raum mit Hilfe von Kurven untersuchen (auch wenn das beliebig schwierig sein kann...)
Ich kann meine Kurve fraktal machen (und damit unendlich lang) und ich kann eine Schleife, wenn ich sie flach zusamndrücke und doppelt nehme auf einer endlichen Fläche auch unendlich lang werden lassen, indem ich dicht-gepackte Schlangenlinien fahre.
Nicht?
Ich denke, da macht dir die Stetigkeit einen Strich durch die Rechnung.



Noch eine Sache zum letzten Beitrag von mir:
Ich hab behauptet, wenn man ganz R als Definitionsbereich nähme, gäbe es keine geschlossenen Kurven. Das kann man so nicht sagen (ich kann eine geschlossene Kurve erhalten, indem ich von t=-oo bis t=0 an einem Punkt stehen bleibe, dann einen Loop mache, bei t=1 wieder an diesen Punkt zurückkomme und dann wieder unendlich lange stehenbleibe).
Es wird dann aber technisch komplizierter, mit diesen zu arbeiten.

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