Die Form unseres Universums ist...

[tomS]

Aber dafür gibt es einige natürliche Erklärungsansätze

[tomS]

Inflatonfeld, evtl. in Form des Higgsfeldes, einige Modelle der QG

[tomS]

Gemäß der ART gibt es kein "außerhalb". Was soll das sein? Wie willst du das mathematisch beschreiben? Im Rahmen der ART versteht man dies alles recht gut, ohne ein "außerhalb" zu bemühen. Die kosmologische Konstante ist lediglich ein freier Parameter der Theorie, so wie die Gravitationskonstante auch. Dein Ansatz müsste schon konkreter und auch auch einfacher sein.

[tomS]

Weshalb sollte die Dunkle Energie denn eigentlich nur bis zum sichtbaren Bereich des Universums wirken?

Wer sagt, dass es so ist?

Nochmal: nehmen wir die einfachste Möglichkeit, die mit den existierenden Daten verträglich ist: eine (kleine) positive kosmologische Konstante (unabhängig von Ort und Zeit); dabei handelt es sich um eine Zahl, d.h. leerer Raum wirkt (schwach) antigravitativ; eine Vakuumlösung der ART mit kK ist der deSitter-Kosmos; dieser ist unendlich.

[gradient]

Hallo positive,

deine Fragen sind (für mich zumindest) etwas chaotisch und z.T. unpräzise. Ich hoffe aber trotzdem, dass ich etwas behilflich sein kann:

Wann ist der deStitter unendlich, ab wann ?

Seit immer, wenn wir ihn als ds^2 = dt^2 - exp(2*H*t)dx^2 interpretieren. Klar?

Wie ist es denn dann mit der Dunklen Energie, der KK wie du sagst? Erstmal "brodelt's" vor sich hin, Durchmesser Tennisballgröße.

Sorry, aber was meinst du mit dem zweiten Teil? Zur ersten Frage: Das hat Tom eigentlich schon beantwortet. KK ist äquivalent zu einer Materiedichte, die die Zustandsgleichung P=-rho erfüllt. Man kann dann ausrechnen, dass sich rho während der Expansion nicht ändert. DE ist allgemeiner und meint eine Zustandsgleichung P=w*rho mit w< -1/3 (rho nimmt damit geringfügung während der Expansion ab). Die vorliegenden Daten wünschen w ~ -1.

Damit beantwortet sich auch deine letzte Frage:

Wie sieht die KK zu den verschiedenen Zeitpunkten denn aus?

Unverändert.

Was dich diesbzgl. vermutlich verunsichert hat, war, dass du Inflation und KK vermischt hast:

Das müssen jetzt doch eigentlich 3 verschiedene KK's sein. 1x konstant zu Begin der Infaltion, 2x enorm beschleunigt, wieder 1x konstant wie am Anfang?!

Eine KK für Inflation reicht nicht aus, denn sonst würde die Inflation nie stoppen (da rho_KK per definitionem nicht verschwindet). Tom hat schon beschrieben, dass man ein Inflatonfeld einführt, das für eine extrem kurze Zeit einen positiven Vakuumerwartungswert hat, aber ins Minimum mit (fast?) verschwindendem Vakuumerwartungswert abrutscht. Dann ist die Inflation zu Ende.

MfG
Patrick

[gradient]

Hallo positive,

nur ganz kurz, damit das hier nicht aus dem Ruder läuft: 1. Wenn sich Leute schon die Zeit nehmen, Fragen zu beantworten, kann man sich selbst auch ein wenig bemühen, Fragen verständlich zu stellen. 2. Gerade wenn man hier schon öfters für seine Diskussionsweise negativ aufgefallen ist (LQG threads), ist es ratsam, sich nicht ausschließlich auf seine Selbstwahrnehmung zu verlassen.

MfG
Patrick

[gradient]

Hallo positive,

zum de Sitter Universum: Dieses ist deshalb schon immer unendlich groß gewesen, weil es nicht kompakt ist (du hast das Raumelement dx^2=dx^2+dy^2+dz^2, wie in der euklidischen Geometrie - und der flache Raum ist unendlich groß) und weil der Vorfaktor exp(Ht), welcher der Skalenfaktor ist, keine Nullstelle hat. Erst bei t-> - unendlich ist der Null!

Also, rho bleibt auf der Strecke sozusagen und dafür kommt w. w ist dann die DE?! Deshalb die Beschleunigung.

Es ist so, dass nicht nur die Energiedichte rho zur Gravitation beiträgt, sondern auch Druck P. w ist dagegen nur eine Zahl (wobei es Modelle gibt, in der sich w auch im Laufe der Expansion ändert). Die DE ist die Materieform, die die Zustandsgleichung P=w*rho mit w<-1/3 erfüllt. Alle Materieformen mit w < -1/3 tragen positiv zur Beschleunigung der Expansion bei.

MfG
Patrick

[tomS]

Auf die Gefahr hin, dass das auch wieder nicht klar verstanden werden wird: die deSitter-Geometrie wird auf einer nicht-kompakten, randlosen Mannigfaltigkeit definiert (einfachstes Beispiel: die unendliche Gerade der reellen Zahlen). Insofern ist der Raum "immer schon unendlich groß". Nun existiert damit aber noch kein Abstandsbegriff, d.h. keine Metrik. Die deSitter-Metrik ist nun so geartet, dass sie für t gegen Null zwei beliebigen Punkten P1 und P2 einen Abstand d(P1, P2) zuordnet, der ebenfalls gegen Null geht. Insofern existiert in dieser Metrik eine Urknallsingularität, die allerdings nicht "punktförmig" ist sondern die gesamte Mannigfaktigkeit einnimmt (ein Beispiel für eine Metrik auf der reellen Geraden ist d(x,y) = a(t) * tanh|x-y| wobei x und y die beiden Punkte P1 und P2 bezeichnen; diese Metrik ordnet zwei beliebigen Punkten einen endlichen Abstand zu, der je nach a(t) für t=0 ebenfalls 0 ist). Die "unendliche Ausdehnung" ist insofern irreführend, da es sich noch nicht um den physikalisch relevanten Abstandsbegriff der Metrik handelt.

[tomS]

Ist deSitter nun endlich oder unendlich? Ich frage nicht nach "unendlich".

s.o.

Ich werde den Eindruck nicht los, dass die nächste Antwort wieder unscharf sein wird

die letzte war mathematisch präzise ;-)

[tomS]

Gibt es ein Modell mit der DE von Anfang an.?

Hast du dir klar gemacht, was ich oben geschrieben habe?

... nehmen wir die einfachste Möglichkeit, die mit den existierenden Daten verträglich ist: eine (kleine) positive kosmologische Konstante (unabhängig von Ort und Zeit) ...

Eine Konstante ist konstant, hat also für alle Zeiten t einen festen Wert.

Was spricht im Allgemeinen gegen eine unendliche Raumausdehnung während der Inflationsphase ... Ausser, dass die ART, dass so sagt...

Was meinst du jetzt mit unendlicher Raumausdehnung?
A) Unendlich im Sinne von nicht-kompakt und randlos? (noch ohne Abstandsbegriff)
B) Unendlich im Sinne von unendlichem Abstands- und Volumenbegriff?
Im Sinne von A) ist der deSitter Kosmos und viele andere mit der ART verträgliche Modelle unendlich. Im Sinne von B) ist der deSitter Kosmos ebenfalls unendlich; wenn überhaupt, dann ist es genau die ART, die etwas entgegensteht: das deSitter Universum ist für beliebige Zeiten t>0 tatsächlich unendlich im Sinne eines Abstandsbegriffs, allerdings ist dieser Abstandsbegriff für t=0 undefiniert, das ist genau die Singularität.

Die Inflation ist einfach ein besonderer Mechanismus, der auf einer Raumzeit startet, wenn bestimmte energetische Bedingungen erfüllt sind. Insofern spricht die Inflation gegen gar keine Raumzeit als Anfangsbedingung, sie könnte auch auf einem deSitter Kosmos starten und diesen bereits unendlichen Raum extrem schnell weiter expandieren.

Nochmal ein Kommentar zu oben: für reelle Zahlen x,y kann man verschiedene Abstandsbegriffe definieren, neben |x-y| auch

d(x,y) = a(t) * tanh|x-y|

Dies erlaubt eine Kompaktifizierung der (zunächst unendlich erscheinenden) reellen Zahlengeraden. Dann wären x,y nur unphysikalische Koordinaten, d(x,y) der physikalisch relevante, d.h. auch messbare Abstandsbegriff. Das vereinfachte Modell soll demonstrieren, dass eine unendlich erscheinende (!) Mannigfaltigkeit ausschließlich endliche Abstände produzieren kann. Das funktioniert auch umgekehrt, d.h. man kann auf endlich erscheinenden Mannigfaltigkeiten einen Abstandsbegriff definieren, der unendliche Abstände zulässt. Außerdem zeigt der o.g. Abstandsbegriff, wie für ein geeignetes a(t) ein singulärer Abstandsbegriff möglich ist, der für t=0 zwei beliebigen Koordinaten x,y einen verschwinden Abstand d(x,y) = 0 zuordnet.

Der wesentliche Unterschied in der ART (FRW-Universen, deSitter, ...) ist, dass in diesen Lösungen der ART die Formel für d(x,y) nicht ein willkürlicher Input ist, sondern als mathematisch beweisbares Resultat abgeleitet wird, d.h. wir müssen dies nicht fördern, die Theorie sagt diese Abstandsbegriffe vorher.

[tomS]

Hast du dir klar gemacht, was ich oben geschrieben habe?

Nicht wirklich.

Schade.

[tomS]

Insofern existiert in dieser Metrik eine Urknallsingularität, die allerdings nicht "punktförmig" ist sondern die gesamte Mannigfaktigkeit einnimmt

1) Wie meinst du das? Wenn t=0 und d(x,y)=0 dann ist das undefiniert, warum sollte die Singularität die gesamte Mannigfaltigkeit einnehmen?

Betrachten wir zunächst den Fall t>0: die Mannigfaltigkeit ist nicht-kompakt und unberandet; sie ist damit unendlich im Sinne von A). Außerdem existiert auf ihr die deSitter-Metrik, d.h. sie ist auch unendlich im Sinne von B). Konkret bedeutet das, dass die Obergrenze des maximal möglichen Abstands zweier Punkte unendlich ist. Zu jedem Punkt, mit einer Entfernung D kann ich einen anderen Punkt mit doppelter Entfernung D' = 2D finden. Diese Argumentation kann ich auf auf den uns vertrauten 3-dim. Raum anwenden, das ist also nichts ungewöhnliches.

Nun gilt diese Argumentation für alle t>0, d.h. für beliebig kleine t. Egal wie klein ich t wähle, der Raum ist immer unendlich im Sinne von B). Trotzdem expandiert der Raum, denn der Abstand zweier vorgegebener Punkte vergrößert sich mit der Zeit; wenn ich t' > t habe, dann gilt für den Abstand zweier Punkte für diese zwei Zeiten D' > D. Die Punkte "bewegen sich sozusagen mit dem expandierenden Raum mit". Vergleiche das mit zwei Farbtupfen auf dem dehnbaren Gummituch.

Nun versuchen wir den Grenzübergang t gegen Null. Für beliebig kleine t > 0 ist der Raum unendlich im Sinne von B). Außerdem ist die Mannigfaltigkeit selbst (ohne Abstandsbegriff) unendlich im Sinne von A). Natürlich ist der Grenzübergang zu t=0 sinnlos, denn da haben wir ja die Singularität und unser Abstandsbegriff wird undefiniert. Aber wenn wir in diesem Grenzübergang keine "Konvergenz" der Mannigfaltigkeit hin zu einem "kleinen" Gebilde beobachten, sondern wenn die Mannigfaltigkeit für beliebig kleine t>0 immer noch unendlich ausgedehnt bleibt, dann sollten wir nicht von einem Punkt reden, denn dieser suggeriert etwas unendlich kleines; das liegt jedoch nicht vor.

[tomS]

Wieso musste ich das Ganze denn jetzt eigentlich verstehen?

Keine Ahnung.

Evtl. weil du dich für die Form des Universums interessierst? Oder weil du speziell wissen möchtest, welche Form im Falle einer positiven kosmologischen Konstante vorliegt? Weil das deSitter Universum ein einfaches Modell eines unendlichen, beschleunigt expandierenden Universums ist, das eine Urknallsingularität aufweist, und ggf. eine realistische Lösung der ART darstellt? Oder weil du verstehen möchtest, welche mathematischen Strukturen der ART zugrundeliegen? Weil es einige deiner Fragen beantwortet?

Gegenfrage: warum stellst du hier eigtl. Fragen?

[tomS]

Welche Eigenschaften hat die Mannigfaltigkeit?

In welchem Sinn? Ich kann dir jetzt einige mathematische Eigenschaften runterbeten, die du aber auch bei Wikipedia nachlesen kannst. Also was konkret möchtest du wissen?

[tomS]

... Aber Stichwort DE bzw. DM. Das müsste man dann der ART-Lösung "einpflanzen".

Nein, das stimmt nicht, zumindest was die kosmologische Konstante betrifft. Diese ist in der ART bereits enthalten. Die ART, ihre Gleichungen und Lösungen Hängen von zwei Parametern (Naturkonstanten) ab, der Newtonschen Gravitationskonstanten und der kosmologischen Konstanten. Die einzig verbleibende Frage ist, ob wir deren Werte erklären können und warum die kosmologische Konstante so klein aber doch nicht exakt Null ist.

Darauf gibt es evtl. eine Antwort im Rahmen der Renormierungsgruppentheorie der Quantengravitation; Stichwort "Asymptotic Safety".

Alle anderen DE-Modelle sind zunächst künstlich und spekulativ - und werden auch nicht benötigt.

DM ist dagegen (aus Sicht der ART) eine gewöhnliche Theorie gewöhnlicher Materie.

[tomS]

Nun, die kK ist winzig, sonst würden wir ja eine deutlich beschleunigte Expansion sehen, nicht nur eine fast marginale; aber ein Parameterwert fast exakt Null aber nicht genau Null verlangt anch einer Erklärung.

[seeker]

Wobei ich es mir sehr schwer vorstelle an dem Punkt eine belegte Erklärung zu finden.
Ebenso gut könnte man ja auch eine Erklärung für den Wert der Gravitationskonstanten (oder anderer Naturkonstanten) finden wollen?
Ist das bei der kosmologischen Konstanten vermutlich leichter herauszufinden?
Was wäre eine Erklärung? Eine Reduzierung der KK (ist es eine Konstante?) auf andere, grundlegendere Naturkonstanten?

Grüße
seeker

[tomS]

Die kK spielt eine Sonderrolle.

Zum einern ist sie ein freier Parameter im Rahmen der ART.
Zum anderen kann man sie in den Einsteingleichungen als besonderen Beitrag der Energiedichte zurechnen, d.,h. sie ist nicht mehr Bestandteil der Geometrie sondern der Materie.
Da die Materieseite im Rahmend er QFT der Renormierungsgruppe unterworfen ist, erwartet man Vakuumbeiträge zur kK (diese sind mittels der heutigen QFTs inkl. SUSY / SUGRA nicht berechenbar).
Andereseits erwartet man im Rahmen der QG, dass die kK auch hier wieder der Renormierungsgruppe unterworfen ist.

Es ist also ohne QG letztlich nicht klar, welche Natur die kK eigtl. hat, Geometrie oder Materie oder (wahrscheinlich) beides.

Und dann bleibt da immer noch die Frage nach der gesamten Renormierungsgruppe sowie dem Wert der kK. Man erwartet von einer umfassenden Theorie QG+QFT mindestens, dass sie sogenannte Renormierungsgruppentrajektorien liefert, d.h. sämtliche Parameter und Kopplungskonstanten als Funktion einer Skala (Energie ~ inverse Länge)

[seeker]

Man erwartet von einer umfassenden Theorie QG+QFT mindestens, dass sie sogenannte Renormierungsgruppentrajektorien liefert, d.h. sämtliche Parameter und Kopplungskonstanten als Funktion einer Skala (Energie ~ inverse Länge)

Was bedeutet das? Bedeutet es (als Ziel) die Reduzierung aller Naturkonstanten auf nur eine bzw. zwei Konstanten?

Grüße
seeker

[tomS]

Zunächst einmal ging es um die DE, dann wurde die DE zu einer kK.

Es ist genau umgekehrt, und das würde auch oben im Thread schon angesprochen. Die DE ist eine Verallgemeinerung der kK mit einer allgemeineren Zustandsgleichung.

Die DE ist also komplett überflüssig in der ART-Gleichung, es gibt nur die kK?

Die beobachtete beschleunigte Expansion ist mit einer kK verträglich, eine Verallgemeinerung ist zumindest aufgrund der aktuell vorliegenden Daten nicht notwendig. Also genügt es, die kK in ihrer ursprünglichen Form zu diskutieren.

Dann kamen wir zum deSitter-Raum.

Der deSitter Raum ist die Lösung der ART für verschwindende Materie und Strahlung unter Anwesenheit einer positiven kK. Ein Universum mit Materie und kK (wie unseres) wird langfristig von der kK dominiert, da die gewöhnliche Materiedichte mit der Zeit abnimmt, während die kK eben konstant bleibt. D.h. in ferner Zukunft wird unser Universum nicht von einem deSitter Universum zu unterscheiden sein.

Jetzt ist es mir immer noch nicht ganz klar, weshalb ich den Zusammenhang mit der Mannigfaltigkeit verstehen musste, ...

Eine Mannigfaltigkeit ist die mathematische Grundlage der ART. Sie stellt die Vorstufe zu einer metrischen Mannigfaltigkeit dar, d.h. sie enthält noch keinen Abstandsbegriff. Wenn es im weitesten Sinne um die "Form" des Universums unabhängig von seiner Größe geht (sowie um die "Form" der Singularität) dann ist sie der geeignete mathematische Rahmen um das zu beschreiben.

Dein Schade klang so als wenn diese DE darin irgendeine wichtige Rolle spielen würde.

Mein "Schade" sollte einfach heißen: "du stellst eine Frage, ich antworte, du stellst eine neue Frage - und hast dir offensichtlich die Antwort nicht klar gemacht"; das ist nicht besonders ermutigend.

[tomS]

Na ja, aber es geht im Thread ja auch darum, ob der Raum eben nur bis zum sichtbaren Bereich des Universums geht oder ein Stückchen weiter. Nach der ART-Lösung geht es nicht. Aber die Vorstufe hat ja keine Metrik, darauf basiert aber die geometrische Beschreibung der ART-Lösung mit positiver kK jetzt.

Die Annahme, dass es jenseits des sichtbaren Bereichs so aussieht wie diesseits ist vernünftig. Die Newtonsche Mechanik und die ART sind so formuliert, dass dies selbstverständlich wird. Warum sollte die Existenz und Form einer Mannigfaltigkeit im Allgemeinen von der Sichtbarkeit für uns im Speziellen abhängen?

Eine Mannigfaltigkeit ist die mathematische Grundlage der ART. Sie stellt die Vorstufe zu einer metrischen Mannigfaltigkeit dar

Das heißt dann wohl Nein. Die Mannigfaltigkeit gilt jetzt nur rein mathematisch, es gibt da nichts Physikalisches.

Verstehe ich nicht. Die Mannigfaltigkeit ist eine mathematische Struktur, die im Kontext eines physikalischen Modells verwendet wird, um die Realität zu beschreiben. Was soll ich dazu sonst noch sagen?

[tomS]

Warum sollte die Existenz und Form einer Mannigfaltigkeit im Allgemeinen von der Sichtbarkeit für uns im Speziellen abhängen?

Wer sagt das, ich nicht.

Nun, wenn das Universum jenseits des Sichtbarkeitshorizontes anders aussähe, dann wäre das tatsächlich der Fall. Es ist aber seltsam, das anzunehmen. Besser ist es, anzunehmen, dass wir keinen bevorzugten Platz im Universum einnehmen. Daraus folgt aber, dass wir einen typischen Ausschnitt des Universums sehen, und dass dieser auch typisch für nicht-sichtbare Bereiche ist.

[tomS]

das wurde hier im Thread angerissen